Лекция 5.Кинематика точки. Кинематика изучает движение с внешней стороны

 

 

Лекция 5.Кинематика точки

Кинематика изучает движение с внешней стороны, рассматривая лишь его геометрические свойства и временные характеристики - скорость и ускорение.

Объекты кинематики: точка и твердое тело, т.е. такое тело, расстояния между точками которого, не изменяются.

Основные задачи кинематики: 1) математическое описание движений точки и твердого тела; 2) определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) и твердого тела (угловой скорости и углового ускорения).

Тело отсчета – тело, относительно которого рассматривается движение других тел. Система отсчета - это тело отсчета, с которым связана система координат для измерения расстояний и часы - для измерения времени.

 

Способы описания движения точки

Все современные математические способы описания движения используют две основные идеи, автором которых, по-видимому, является Р.Декарт (1637): 1)… Координатный способ. Пусть задана система координат, жестко связанная с телом… , , . (5.1)

Вектор скорости

Скорость характеризует быстроту и направление движения точки, поэтому естественно определить её как вектор перемещения точки Dr= = r(t+Dt) - r(t),… (5.4) Недостатком такого определения будет зависимость скорости от продолжительности Dt промежутка времени [t, t + Dt] на…

Ускорение точки

Ускорение точки характеризует быстроту изменения её скорости и играет исключительно важную роль в динамике. Это видно из того, что ускорение входит… Пусть Dv= v(t + Dt) - v(t) - изменение вектора скорости за промежуток времени… (5.7)

Вычисление скорости и ускорения точки

При координатном описании её движения.

Пусть движение точки М в декартовой системе координат (рис.1) задано уравнениями вида (5.1). Разложение радиус-вектора r точки М по базисным векторам i, j, k имеет вид: … r = xi + yj + zk (5.8)

Вычисление скорости и ускорения точки

При естественном описании движения.

Пусть задана траектория движения точки М, а на ней указано начало О и положительное направление отсчета дуговой координаты s. Пусть также задано… Рассмотрим радиус-вектор r точки М относительно какого-нибудь неподвижного… Итак, вектор скорости точки:

Задания для самостоятельной работы

1. Чем отличаются величиныи ?

2. Какой характер имеет движение точки при выполнении следующих условий :

а) ;

б) ;

в) , .

3. Какое направление имеет вектор ускорения точки при её равномерном движении по окружности?

 

Приложение 1. Сведения из дифференциальной геометрии

Касательной к кривой К в точке М называют предельное положение секущей, проходящей через М и соседнюю точку М₁ этой же кривой при стремлении М₁ к точке М. Радиус-вектор точки кривой является функцией дуговой координаты r = r(s), поэтому орт t⁰ касательной выражается в виде :

Откуда следует, что положительное направление касательной Мt совпадает с направлением отсчета дуговой координаты s.

Соприкасающейся окружностью кривой К в точке М называют предельное положение окружности, проходящей через М и две соседние точки этой же кривой М₁ и М₂ при стремлении М₁ и М₂ к М . Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а ее радиус r - радиусом кривизны кривой К в точке М.

Кривизной кривой К в точке М называют величину k обратную радиусу кривизны. Другое определение кривизны - предел отношения угла поворота Dq касательной к соответствующему изменению Ds дуговой координаты

 

 

Ось Мn , идущая из точки М в центр кривизны называется главной нормалью кривой К в точке М.

Плоскость соприкасающейся окружности называют соприкасающейся плоскостью кривой К в точке М. Можно определить соприкасающуюся плоскость и как предельное положение плоскости, которая проходит через касательную Мt и параллельна касательной М₁t , при стремлении точки М₁ к точке М .

Из этих определений ясно, что касательная Мt и главная нормаль Мn лежат в соприкасающейся плоскости и взаимно перпендикулярны.

Направление орта t⁰ касательной Мt зависит от дуговой координаты s точки М , следовательно t⁰ = t⁰(s). Вычислим производную

Здесь n⁰ - орт главной нормали кривой .

Бинормалью к кривой К в точке М называют ось Мb, проходящую через точку М и образующую с касательной Мt и главной нормалью Мn правую тройку взаимно перпендикулярных осей (рис.10).

Касательную Мt , главную нормаль Мn и бинормаль Мb называют естественными осями кривой К в точке М.