Реферат Курсовая Конспект
ГОТОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Эконометрика - раздел Философия, Министерство Образования И Науки Российской Федерации...
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное агентство по образованию
Санкт-Петербургский государственный
Университет сервиса и экономики
Кафедра «Математика и математические методы в экономике»
ГОТОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
НИЗКИЕ ЦЕНЫ
www.net-xvostov.ru
http://vk.com/club12612185
С.И. Никитин
В.И. Лаптев
Б.А. Михайлов
Эконометрика
Практикум
Санкт-Петербург
Одобрены на заседании кафедры «Высшая математика», протокол №2 от 19.09.2001 г.
Утверждены Методическим Советом ФЭУСС, протокол №2 от 02.10.2001 г.
Эконометрика. Практикум. – СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2005. – 63с.
Составители: канд. физ.-мат. наук, проф. С.И. Никитин;
канд. экон. наук, доц. Б.А. Михайлов;
канд. экон. наук, доц. В.И. Лаптев
Рецензент: канд. экон. наук, проф. И.Н. Гаврильчак
Ó Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики
2005 г.
Содержание
Порядок оформления контрольных работ.. 4
Варианты контрольной работы для студентов
заочного отделения 2002- 2003 учебный год. 4
Вариант №1. 4
Вариант №2. 9
Вариант №3. 14
Вариант №4. 19
Вариант №5. 24
Решение типовых задач.. 29
Задача №1. 29
Задача №2. 36
Задача №3. 41
Задача №4. 44
Задача №5. 45
Задача №6. 47
Задача №7. 57
Приложение 1. Таблица значений F-критерия Фишера. 61
Приложение 2. Таблица критических значений t-статистики Стьюдента. 62
Приложение 3. Шкала атрибутивных оценок тесноты
корреляционной зависимости. 62
Приложение 4. Критические значения линейных коэффициентов корреляции. 63
Приложение 5. Случайная ошибка коэффициента асимметрии
для выборок разного объема. 63
Список рекомендуемой литературы... 64
Распределение вариантов контрольных заданий
Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | Вариант 5 | ||
Начальная буква фамилии студента | ||||||
А | Б | В | Г | Д | ||
Е | Ё | Ж | З | И | ||
К | Л | М | Н | О | ||
П | Р | С | Т | У | ||
Ф | Х | Ц | Ч | Ш | ||
Щ | Э | Ю | Я | … | ||
Порядок оформления контрольных работ
1. Работу следует выполнять в тетрадях или на скреплённых листах формата А4, оставляя поля для замечаний при проверке. Графики желательно выполнять на миллиметровой бумаге и вклеивать их в работу.
2. На обложке необходимо указать название ВУЗа, название работы, специальность, свои фамилию, имя, отчество, номер выполняемого варианты контрольной работы.
3. Страницы работы следует пронумеровать. Обязательно приводить условие задачи, используемые формулы, полный порядок расчёта результата и единицы его измерения, если они используются.
4. Полученные результаты следует обязательно прокомментировать, то есть должен быть дан их подробный и содержательный анализ.
5. Абсолютно идентичные работы, а также работы, переснятые на ксероксе, не принимаются и не рассматриваются.
Варианты контрольной работы для студентов заочного отделения 2002- 2003 учебный год
Вариант №1.
Задача №1.
По территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:
Территории федерального округа | Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y | Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X |
1. Респ. Адыгея | 5,1 | 1,264 |
2. Респ. Дагестан | 13,0 | 3,344 |
3. Респ. Ингушетия | 2,0 | 0,930 |
4. Кабардино-Балкарская Респ. | 10,5 | 2,382 |
5. Респ. Калмыкия | 2,1 | 6,689 |
6. Карачаево-Черкесская Респ. | 4,3 | 0,610 |
7. Респ. Северная Осетия – Алания | 7,6 | 1,600 |
8. Краснодарский край1) | 109,1 | 52,773 |
9. Ставропольский край | 43,4 | 15,104 |
10. Астраханская обл. | 18,9 | 12,633 |
11. Волгоградская обл. | 50,0 | 10,936 |
12. Ростовская обл. | 69,0 | 20,014 |
Итого, S | 225,9 | 75,506 |
Средняя | 20,536 | 6,8642 |
Среднее квадратическое отклонение, s | 21,852 | 6,4427 |
Дисперсия, D | 477,50 | 41,5079 |
Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.
1. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
2. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня ().
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оценив точность выполненного прогноза.
Задача №2.
Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год.
Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.;
X1 – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
X3 – Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие одной территории (г. Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=9.
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,7677 | 0,8653 | 0,4237 | |
X1 | 0,7677 | 0,8897 | 0,0157 | |
X2 | 0,8653 | 0,8897 | -0,0179 | |
X3 | 0,4237 | 0,0157 | -0,0179 | |
Средняя | 31,92 | 8,87 | 121,18 | 0,5683 |
σ | 14,61 | 5,198 | 48,19 | 0,6942 |
Б) - коэффициентов частной корреляции
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | -0,1462 | 0,8737 | 0,8791 | |
X1 | -0,1462 | 0,5562 | 0,1612 | |
X2 | 0,8737 | 0,5562 | -0,7842 | |
X3 | 0,8791 | 0,1612 | -0,7842 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 102,1 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Задача №3.
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.
Y1- среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
Y2 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;
X1 - инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам;
X3 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
Y1 | X1 | X2 | Y2 | X3 | |||
Y1 | 0,7823 | 0,7093 | Y2 | 0,8474 | 0,7337 | ||
X1 | 0,7823 | 0,6107 | 0,8474 | 0,7061 | |||
X2 | 0,7093 | 0,6107 | X3 | 0,7337 | 0,7061 | ||
Средняя | 115,83 | 5,600 | 0,2701 | Средняя | 23,77 | 115,83 | 0,5697 |
30,0303 | 2,4666 | 0,2036 | 7,2743 | 30,0303 | 0,1160 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
- определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
- рассчитайте параметры a1, a2 и a0 уравнений множественной регрессии в естественной форме;
- с помощью коэффициентов парной корреляции и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
- оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Задача №4.
Предлагается изучить взаимозависимость социально-экономических показателей региона.
Y1 –инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.;
Y2 –среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, млрд. руб.;
Y3 –стоимость валового регионального продукта региона, млрд. руб.
X1 –инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.
X2 –темп роста производства промышленной продукции в регионе, %
X3 –среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.
При этом, сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:
Задание:
1. На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Задача №5.
По 18 территориям Центрального федерального округа России имеются данные за 2000 год о следующих показателях:
Y1 - розничный товарооборот, млрд. руб.
Y2- сумма доходов населения за год, млрд. руб.
X1- численность занятых в экономике, млн. чел.
X2 - основные фонды в экономике, млрд. руб.
X3 - объём промышленной продукции, млрд. руб.
Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:
Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:
Задание:
1. Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;
2. Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;
3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;
4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных и
Задача №6.
Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства – Qt, га, за период с 1993 по 2001 год (на конец года) в Российской Федерации.
Годы | Qt | Годы | Qt |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - Qt
2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи ( r и r2 );
- значимость модели тренда (F-критерий);
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -
4. Выполните прогноз до 2003 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта (St) и импорта (Kt) Индии, млрд. $, приводятся за 1990-1999 гг.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - , а для импорта –
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и .
Годы | Экспорт (St) | Импорт (Kt) | ||
Sфакт. | = | K факт.. | ||
18,0 | 16,4 | 23,6 | 18,5 | |
17,7 | 18,7 | 20,4 | 21,4 | |
19,6 | 21,0 | 23,6 | 24,3 | |
21,6 | 23,3 | 22,8 | 27,2 | |
25,1 | 25,6 | 26,8 | 30,1 | |
30,8 | 27,9 | 34,5 | 33,0 | |
33,1 | 30,2 | 37,4 | 35,9 | |
34,2 | 32,5 | 41,0 | 38,8 | |
32,9 | 34,8 | 42,2 | 41,7 | |
36,3 | 37,1 | 44,9 | 44,6 |
Предварительная обработка исходной информации дала следующие результаты:
St | Kt | t | |
St | 0,9725 | 0,9658 | |
Kt | 0,9725 | 0,9558 | |
T | 0,9658 | 0,9558 | |
Итого | 269,3 | 317,2 | |
Средняя | 26,93 | 31,72 | 5,5 |
6,926 | 8,795 | 2,872 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( );
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:
4. Проанализируйте полученные результаты.
Вариант №2.
Задача №1.
По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:
Территории федерального округа | Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y | Кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млн. руб., X |
1. Респ. Адыгея | 5,1 | 60,3 |
2. Респ. Дагестан | 13,0 | 469,5 |
3. Респ. Ингушетия | 2,0 | 10,5 |
4. Кабардино-Балкарская Респ. | 10,5 | 81,7 |
5. Респ. Калмыкия | 2,1 | 46,4 |
6. Карачаево-Черкесская Респ. | 4,3 | 96,4 |
7. Респ. Северная Осетия – Алания | 7,6 | 356,5 |
8. Краснодарский край1) | 109,1 | 2463,5 |
9. Ставропольский край | 43,4 | 278,6 |
10. Астраханская обл. | 18,9 | 321,9 |
11. Волгоградская обл. | 50,0 | 782,9 |
12. Ростовская обл. 1) | 69,0 | 1914,0 |
Итого, S | 156,9 | 2504,7 |
Средняя | 15,69 | 250,47 |
Среднее квадратическое отклонение, s | 16,337 | 231,56 |
Дисперсия, D | 266,89 | 53620,74 |
1) Предварительный анализ исходных данных выявил наличие двух территорий с аномальными значениями признаков. Эти территории исключены из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанных аномальных единиц.
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,037 от среднего уровня ().
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.
Задача №2.
Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год:
Y – инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X1 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;
X2 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
X3 – инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил одну территорию (г. Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=9.
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,7813 | 0,8897 | 0,9114 | |
X1 | 0,7813 | 0,7372 | 0,7959 | |
X2 | 0,8897 | 0,7372 | 0,6998 | |
X3 | 0,9114 | 0,7372 | 0,6998 | |
Средняя | 8,867 | 0,4652 | 121,2 | 4,992 |
5,1976 | 0,1287 | 48,19 | 3,183 |
Б) - коэффициентов частной корреляции
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | -0,2830 | 0,8617 | 0,8729 | |
X1 | -0,2830 | 0,4466 | 0,5185 | |
X2 | 0,8617 | 0,4466 | -0,6838 | |
X3 | 0,8729 | 0,5185 | -0,6838 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F -критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 107,3 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Задача №3.
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа:
Y1- среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
Y2 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;
X1 - инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;
X3 – среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс. руб.
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
Y1 | X1 | X2 | Y2 | X3 | |||
Y1 | 0,7823 | 0,8011 | Y2 | 0,8530 | 0,7584 | ||
X1 | 0,7823 | 0,6420 | 0,8530 | 0,5009 | |||
X2 | 0,8011 | 0,6420 | X3 | 0,7584 | 0,5009 | ||
Средняя | 115,83 | 5,600 | 0,570 | Средняя | 23,77 | 115,83 | 1,553 |
30,0303 | 2,4666 | 0,1160 | 7,2743 | 30,0303 | 0,2201 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами №1 и №2.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
- определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
- рассчитайте параметры a1, a2 и a0 уравнений множественной регрессии в естественной форме;
- с помощью коэффициентов парной корреляции и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
- оцените с помощью F -критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Задача №4.
Предлагается изучить взаимозависимость социально-экономических показателей региона.
Y1 – расходы населения региона на личное потребление, млрд. руб.
Y2 – стоимость продукции и услуг текущего года, млрд. руб.
Y3 – фонд оплаты труда занятых в экономике региона, млрд. руб.
X1 – удельный вес занятых в экономике среди всего населения региона, %
X2– среднегодовая стоимость основных производственных фондов в экономике региона, млрд. руб.
X3 – инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.
При этом, сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:
Задание:
1. На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Задача №5.
По территориям Приволжского федерального округа России имеются сведения за 2000 год о следующих показателях:
Y1 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.
Y2 - розничный товарооборот, млрд. руб.
X1- инвестиции в основной капитал, млрд. руб.
X2- численность занятых в экономике, млн. чел.
X3- среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс. руб.
Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:
Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:
Задание:
1. Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;
2. Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;
3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;
4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных и
Задача №6.
За период с 1992 по 2000 год по Российской Федерации приводятся сведения и численности экономически активного населения – Wt, млн. чел., (материалы выборочного обследования Госкомстата).
Годы | Wt | Годы | Wt |
74,9 | 68,1 | ||
72,9 | 67,3 | ||
70,5 | 71,8 | ||
70,9 | 71,8 | ||
69,7 |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - Wt
2. Рассчитайте параметры параболы второго порядка
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи ( η и η2 );
- значимость модели тренда через F -критерий;
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -
4. Выполните прогноз до 2003 года.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта () и импорта () Туниса, млрд. $, приводятся за период с 1990 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - , а для импорта –
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и .
Годы | Экспорт () | Импорт () | ||
М факт. | = | G факт.. | ||
3,53 | 3,53 | 5,54 | 5,41 | |
3,70 | 3,80 | 5,19 | 5,76 | |
4,02 | 4,07 | 6,43 | 6,11 | |
3,80 | 4,34 | 6,21 | 6,46 | |
4,66 | 4,61 | 6,58 | 6,81 | |
5,48 | 4,88 | 7,90 | 7,16 | |
5,52 | 5,16 | 7,75 | 7,51 | |
5,56 | 5,43 | 7,91 | 7,86 | |
5,74 | 5,70 | 8,35 | 8,21 | |
5,87 | 5,97 | 8,47 | 8,56 | |
5,85 | 6,24 | 8,56 | 8,91 |
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
Mt | Gt | T | |
Mt | 0,9725 | 0,9658 | |
Gt | 0,9751 | 0,9558 | |
t | 0,9445 | 0,9546 | |
Итого | 53,73 | 78,89 | |
Средняя | 4,88 | 7,17 | 6,0 |
0,908 | 1,161 | 3,162 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( );
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп. 1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:
4. Проанализируйте полученные результаты.
Вариант №3.
Задача №1.
По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:
Территории федерального округа | Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y | Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел., X |
1. Респ. Адыгея | 5,1 | 0,157 |
2. Респ. Дагестан | 13,0 | 0,758 |
3. Респ. Ингушетия | 2,0 | 0,056 |
4. Кабардино-Балкарская Респ. | 10,5 | 0,287 |
5. Респ. Калмыкия | 2,1 | 0,119 |
6. Карачаево-Черкесская Респ. | 4,3 | 0,138 |
7. Респ. Северная Осетия – Алания | 7,6 | 0,220 |
8. Краснодарский край | 109,1 | 2,033 |
9. Ставропольский край | 43,4 | 1,008 |
10. Астраханская обл. | 18,9 | 0,422 |
11. Волгоградская обл. | 50,0 | 1,147 |
12. Ростовская обл. | 69,0 | 1,812 |
Итого, S | 8,157 | |
Средняя | 27,917 | 0,6798 |
Среднее квадратическое отклонение, s | 32,20 | 0,6550 |
Дисперсия, D | 1036,87 | 0,4290 |
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,023 от среднего уровня ().
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.
Задача №2.
Производится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год..
Y – оборот розничной торговли, млрд. руб.;
X1 – кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.;
X2 – доля лиц в высшим и незаконченным высшим образованием среди занятых, %;
X3 – годовой доход всего населения, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие двух территорий (г. Санкт-Петербург и Вологодская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных двух аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=8.
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,2461 | 0,0117 | 0,9313 | |
X1 | 0,2461 | 0,8779 | 0,0123 | |
X2 | 0,8779 | 0,8897 | -0,2041 | |
X3 | 0,9313 | 0,0123 | -0,2041 | |
Средняя | 13,64 | 0,2134 | 22,29 | 24,69 |
4,250 | 0,1596 | 2,520 | 9,628 |
Б) - коэффициентов частной корреляции
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,3734 | -0,0388 | 0,9473 | |
X1 | 0,3734 | 0,8483 | -0,2322 | |
X2 | -0,0388 | 0,8483 | -0,1070 | |
X3 | 0,9473 | -0,2322 | -0,1070 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F -критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 108,5 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Задача №3.
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.
Y1 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
Y2 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;
X1 – инвестиции прошлого, 1999, года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – кредиты прошлого, 1999, года, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
X3 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.
Рабочие гипотезы:
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
Y1 | X1 | X2 | Y2 | X3 | |||
Y1 | 0,6631 | 0,7477 | Y2 | 0,7863 | 0,7337 | ||
X1 | 0,6631 | 0,4747 | 0,7863 | 0,6177 | |||
X2 | 0,7477 | 0,4747 | X3 | 0,7337 | 0,6177 | ||
Средняя | 115,83 | 0,1615 | 3,75 | Средняя | 23,77 | 115,83 | 0,570 |
30,0303 | 0,1400 | 1,6836 | 7,2743 | 30,0303 | 0,1160 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
- определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
- рассчитайте параметры a1, a2 и a0уравнений множественной регрессии в естественной форме;
- с помощью коэффициентов парной корреляции и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
- оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Задача №4.
Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических показателей региона за период.
Y1 - удельный вес занятых в экономике среди всего населения региона, %
Y2 - среднемесячная заработная плата 1-го занятого в народном хозяйстве региона, тыс. руб.
Y3 - среднемесячный душевой доход населения региона, тыс. руб.
X1 – средний возраст населения региона, лет
X2 - доля безработных среди экономически активного населения, %
X3 - стоимость продукции и услуг в среднем на 1-го занятого в народном хозяйстве региона, тыс. руб.
X4 - инвестиции текущего года в народное хозяйство региона, млрд. руб.
X5 - среднемесячный размер назначенной пенсии, тыс. руб.
Приводится система рабочих гипотез, справедливость которые необходимо проверить:
Задание:
1. На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Задача №5.
По территориям Сибирского и Уральского федеральных округов России имеются данные о следующих показателях за 2000 год:
Y1 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.
Y2 - розничный товарооборот, млрд. руб.
X1 – основные фонды в экономике, млрд. руб.
X2 - инвестиции в основной капитал, млрд. руб.
X3- среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс. руб.
Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:
Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:
Задание:
1. Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;
2. Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;
3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;
4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных и
Задача №6.
Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства – Nt, га, за период с 1993 по 2001 год (на конец года) в Российской Федерации.
Годы | Nt | Годы | Nt |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - Nt
2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи ( r и r2 );
- значимость модели тренда (F -критерий);
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -
4. Выполните прогноз до 2003 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта () и импорта () Испании, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта -, а для импорта –
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и
Годы | Экспорт () | Импорт () | ||
E факт. | = | G факт.. | ||
60,2 | 57,5 | 93,3 | 82,3 | |
64,3 | 64,4 | 99,8 | 89,6 | |
59,6 | 71,4 | 78,6 | 97,0 | |
73,3 | 78,3 | 92,5 | 104,3 | |
91,7 | 85,3 | 115,0 | 111,7 | |
102,0 | 92,3 | 121,8 | 119,0 | |
104,1 | 99,2 | 122,7 | 126,4 | |
109,2 | 106,2 | 133,1 | 133,7 | |
110,0 | 113,1 | 144,0 | 141,1 | |
113,3 | 120,1 | 152,6 | 148,4 |
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
Et | Pt | t | |
Et | 0,5387 | 0,6468 | |
Pt | 0,5387 | 0,2454 | |
t | 0,6468 | 0,2454 | |
Итого | 887,7 | 1153,4 | |
Средняя | 88,8 | 115,3 | 5,5 |
20,961 | 22,847 | 2,872 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических (и );
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:
4. Проанализируйте полученные результаты.
Вариант №4.
Задача №1.
По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:
Территории федерального округа | Оборот розничной торговли, млрд. руб., Y | Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости), млрд. руб., X |
1. Респ. Адыгея | 2,78 | 42,6 |
2. Респ. Дагестан | 9,61 | 96,4 |
3. Респ. Ингушетия | 1,15 | 4,2 |
4. Кабардино-Балкарская Респ. | 6,01 | 44,3 |
5. Респ. Калмыкия | 0,77 | 21,2 |
6. Карачаево-Черкесская Респ. | 2,63 | 29,5 |
7. Респ. Северная Осетия – Алания | 7,31 | 39,5 |
8. Краснодарский край | 54,63 | 347,9 |
9. Ставропольский край | 30,42 | 204,0 |
10. Астраханская обл. | 9,53 | 98,9 |
11. Волгоградская обл. | 18,58 | 213,8 |
12. Ростовская обл. | 60,59 | 290,9 |
Итого, S | 204,01 | 1433,2 |
Средняя | 17,0008 | 119,43 |
Среднее квадратическое отклонение, s | 19,89 | 110,89 |
Дисперсия, D | 395,59 | 12296,7 |
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,040 от среднего уровня ().
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.
Задача №2.
Производится изучение социально-экономических показателей по территориям Сибирского федерального округа РФ за 2000 год..
Y – валовой региональный продукт, млрд. руб.;
X1 – инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
X3 – инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям не выявил территорий с аномальными значениями признаков. Поэтому значения приводимых показателей рассчитаны по полному перечню территорий федерального округа.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=12.
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,9493 | 0,9541 | 0,9287 | |
X1 | 0,9493 | 0,9152 | 0,9660 | |
X2 | 0,9541 | 0,9152 | 0,9582 | |
X3 | 0,9287 | 0,9152 | 0,9582 | |
Средняя | 42,43 | 7,758 | 168,6 | 5,208 |
36,03 | 6,642 | 114,7 | 3,865 |
Б) - коэффициентов частной корреляции
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,7990 | 0,8217 | -0,6465 | |
X1 | 0,7990 | -0,7054 | 0,8710 | |
X2 | 0,8217 | -0,7054 | 0,8407 | |
X3 | -0,6465 | -0,8710 | 0,8407 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 107,7 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Задача №3.
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.
Y1 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
Y2 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;
X1 – инвестиции текущего, 2000, года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;
X3 - среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс. руб.
Рабочие гипотезы:
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
Y1 | X1 | X2 | Y2 | X3 | |||
Y1 | 0,6631 | 0,8011 | Y2 | 0,7288 | 0,7584 | ||
X1 | 0,6631 | 0,6217 | 0,7288 | 0,2430 | |||
X2 | 0,8011 | 0,6217 | X3 | 0,7584 | 0,2430 | ||
Средняя | 115,83 | 0,1615 | 0,570 | Средняя | 23,77 | 115,83 | 1,5533 |
30,0303 | 0,1400 | 0,1160 | 7,2743 | 30,0303 | 0,2201 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
- определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
- рассчитайте параметры a1, a2 и a0 уравнений множественной регрессии в естественной форме;
- с помощью коэффициентов парной корреляции и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
- оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Задача №4.
Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических характеристик региона за период.
Y1 - доля занятых в экономике в процента от численности экономически активного населения региона, %;
Y2 - среднемесячная заработная палата 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.;
Y3 - стоимость продукции и услуг в среднем на 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.;
X1 - доля лиц в возрасте 25-45 лет в общей численности населения региона, %;
X2 - процент лиц со специальным профессиональным образованием среди занятых в экономике региона, %;
X3 - инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.;
X4 - среднее число членов в семьях региона, чел.;
X5 - среднее число детей в семьях региона, чел.
Приводится система рабочих гипотез, которые необходимо проверить.
Задание
1.Используя рабочие гипотезы, постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2.Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3.Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Задача №5.
По территориям Сибирского и Дальневосточного федеральных округов России имеются данные о следующих показателях за 2000 год:
Y1 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.
Y2 - розничный товарооборот, млрд. руб.
X1 – основные фонды в экономике, млрд. руб.
X2- инвестиции в основной капитал, млрд. руб.
X3- численность занятых в экономике, млн. чел.
Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:
Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:
Задание:
1.Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;
2.Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;
3.Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;
4.Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных и
Задача №6.
Площадь всего жилого фонда, приходящегося в среднем на 1 жителя, на конец года, кв. метры, в 1990-2000 гг. в Российской Федерации характеризуется следующими сведениями:
Годы | Ut | Годы | Ut |
16,4 | 18,3 | ||
16,5 | 18,6 | ||
16,8 | 18,8 | ||
17,3 | 19,1 | ||
17,7 | 19,3 | ||
18,0 |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда -Ut
2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи ( r и r2 );
- значимость модели тренда (F-критерий);
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -
4. Выполните прогноз до 2003 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта () и импорта () республики Шри-Ланка, млрд. $, приводятся за период с 1990 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта -, а для импорта –
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и
Годы | Экспорт () | Импорт () | ||
B факт. | W факт.. | |||
1,98 | 1,87 | 2,69 | 2,77 | |
2,04 | 2,22 | 3,05 | 3,19 | |
2,46 | 2,57 | 3,45 | 3,61 | |
2,86 | 2,92 | 3,99 | 4,03 | |
3,21 | 3,27 | 4,78 | 4,45 | |
3,80 | 3,62 | 5,19 | 4,87 | |
4,10 | 3,97 | 5,42 | 5,29 | |
4,63 | 4,32 | 5,84 | 5,70 | |
4,73 | 4,67 | 5,92 | 6,12 | |
4,60 | 5,03 | 6,00 | 6,54 | |
5,40 | 5,38 | 7,20 | 6,96 |
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
Bt | Wt | t | |
Bt | 0,9899 | 0,9859 | |
Wt | 0.9899 | 0,9824 | |
T | 0,9859 | 0,9824 | |
Итого | 39,81 | 53,53 | |
Средняя | 3,619 | 4,866 | 6,0 |
1,125 | 1,349 | 3,162 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических (и );
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней:; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:
4. Проанализируйте полученные результаты.
Вариант №5.
Задача №1.
По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:
Территории федерального округа | Оборот розничной торговли, млрд. руб., Y | Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел., X |
1. Респ. Адыгея | 2,78 | 0,157 |
2. Респ. Дагестан | 9,61 | 0,758 |
3. Респ. Ингушетия | 1,15 | 0,056 |
4. Кабардино-Балкарская Респ. | 6,01 | 0,287 |
5. Респ. Калмыкия | 0,77 | 0,119 |
6. Карачаево-Черкесская Респ. | 2,63 | 0,138 |
7. Респ. Северная Осетия – Алания | 7,31 | 0,220 |
8. Краснодарский край | 54,63 | 2,033 |
9. Ставропольский край | 30,42 | 1,008 |
10. Астраханская обл. | 9,53 | 0,422 |
11. Волгоградская обл. | 18,58 | 1,147 |
12. Ростовская обл. | 60,59 | 1,812 |
Итого, S | 204,01 | 8,157 |
Средняя | 17,001 | 0,6798 |
Среднее квадратическое отклонение, s | 19,89 | 0,6550 |
Дисперсия, D | 395,59 | 0,4290 |
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.
7. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
8. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,023 от среднего уровня ().
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.
Задача №2.
Изучаются показатели социально-экономического развития экономики территорий Южного федерального округа РФ за 2000 год..
Y – валовой региональный продукт, млрд. руб.;
X1 – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;
X2 – инвестиции предыдущего, 1999 года в основной капитал, млрд. руб.;
X3 – кредиты, предоставленные в предыдущем, 1999 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.
Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил одну территорию (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=11.
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,9348 | 0,9578 | 0,7914 | |
X1 | 0,9348 | 0,8696 | 0,7764 | |
X2 | 0,9578 | 0,8696 | 0,7342 | |
X3 | 0,7914 | 0,7764 | 0,7342 | |
Средняя | 20,54 | 0,4995 | 3,379 | 0,2762 |
σ | 21,85 | 0,4187 | 3,232 | 0,3159 |
Б) - коэффициентов частной корреляции
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y | 0,6545 | 0,8211 | 0,2468 | |
X1 | 0,6545 | -0,2352 | 0,1399 | |
X2 | 0,8211 | -0,2352 | -0,0976 | |
X3 | 0,2468 | 0,1399 | -0,0976 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 106,7 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Задача №3.
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.
Y1 – среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс. руб.;
Y2 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;
X1 – доля занятых в экономике в общей численности населения, %;
X2 - инвестиции текущего, 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X3 - среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), млн. руб.
Рабочие гипотезы:
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
Y1 | X1 | X2 | Y2 | X3 | |||
Y1 | 0,6712 | 0,6745 | Y2 | 0,8179 | 0,6085 | ||
X1 | 0,6712 | 0,3341 | 0,8179 | 0,5440 | |||
X2 | 0,6745 | 0,3341 | X3 | 0,6085 | 0,5440 | ||
Средняя | 1,553 | 44,23 | 5,600 | Средняя | 23,77 | 1,553 | 1,3246 |
0,2201 | 2,1146 | 2,4666 | 7,2743 | 0,2001 | 0,2123 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
- определите бета коэффициенты b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
- рассчитайте параметры a1, a2 и a0 уравнений множественной регрессии в естественной форме;
- с помощью коэффициентов парной корреляции и b-коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
- оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Задача 4.
Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических характеристик региона за период.
Y1 – среднее число детей в 1-ой семье региона, чел.
Y2 – среди населения в возрасте 18-49 лет процент лиц с полным средним образованием, %
Y3 – среднемесячная заработная плата 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.
X1 – среди членов семьи средний процент пенсионеров, %
X2 – приходится в среднем кв. м жилой площади на 1-го члена семьи в регионе, кв. м
X3 – инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.
Приводится система рабочих гипотез, которые необходимо проверить.
Задание
1. Используя рабочие гипотезы, постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Задача №5.
По территориям Сибирского и Уральского федеральных округов России имеются данные о следующих показателях за 2000 год:
Y1 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.
Y2 - розничный товарооборот, млрд. руб.
X1 – основные фонды в экономике, млрд. руб.
X2 - инвестиции в основной капитал, млрд. руб.
X3- среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс. руб.
Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:
Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:
Задание:
1. Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;
2. Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;
3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;
4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных и
Задача №6.
Число крестьянских (фермерских) хозяйств (на конец года), -Zt , тыс., в 1993-2000 гг. в Российской Федерации характеризуется следующими сведениями:
Годы | Zt | Годы | Zt |
182,8 | 278,6 | ||
270,0 | 274,3 | ||
279,2 | 270,2 | ||
280,1 | 261,1 | ||
278,1 | 261,7 |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда -Zt
2. Рассчитайте параметры равносторонней гиперболы:
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи ( η и η2 );
- значимость модели тренда (F-критерий);
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -
4. Выполните прогноз до 2003 года.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта () и импорта () Великобритании, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - , а для импорта – .
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и
Годы | Экспорт () | Импорт () | ||
. | ||||
185,0 | 178,8 | 209,9 | 197,8 | |
190,0 | 191,7 | 221,6 | 213,6 | |
180,2 | 204,6 | 205,4 | 229,4 | |
204,9 | 217,5 | 227,0 | 245,2 | |
242,0 | 230,4 | 263,7 | 261,0 | |
260,7 | 243,3 | 286,0 | 276,8 | |
281,7 | 256,2 | 306,6 | 292,6 | |
271,8 | 269,1 | 314,0 | 308,4 | |
268,2 | 282,0 | 318,0 | 324,2 | |
281,4 | 294,9 | 334,3 | 340,0 |
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
Сt | Qt | t | |
Ct | 0,9795 | 0,9262 | |
Qt | 0,9795 | 0,9262 | |
T | 0,9262 | 0,9262 | |
Итого | 2365,9 | 2686,5 | |
Средняя | 236,6 | 268,7 | 5,5 |
39,89 | 46,87 | 2,87 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических (и );
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:
4. Проанализируйте полученные результаты.
Решение типовых задач
Примечание к решению типовых задач.
При решении типовых задач в табличном процессоре EXCEL и вручную, на калькуляторе из-за особенностей программы при округления цифр промежуточных расчётов некоторые из итоговых результатов могут отличаться. Это не является ошибкой, а лишь особенностью пакетного и ручного решения.
Задача №1.
Приводятся данные за 2000 год по территориям Северо-Западного федерального округа
Таблица №1.
Территории Северо-Западного федерального округа | Оборот розничной торговли за год, млрд. руб. | Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб. |
А | Y | X |
1.Респ. Карелия | 9,4 | 19,1 |
2.Респ. Коми | 16,7 | 37,3 |
3.Архангельская обл. | 16,3 | 30,0 |
4.Вологодская обл. | 12,1 | 27,5 |
5.Калининградская обл. | 14,0 | 19,0 |
6.Ленинградская обл. | 15,6 | 26,2 |
7.Мурманская обл. | 20,5 | 39,5 |
8.Новгородская обл. | 9,3 | 14,8 |
9.Псковская обл. | 7,3 | 11,6 |
10.г.Санкт-Петербург1) | 83,1 | 133,6 |
Итого | 121,2 | |
Средняя | 13,47 | 25,0 |
4,036 | 9,120 | |
Дисперсия, D | 16,289 | 83,182 |
Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (г.Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции , степенной , линейно-логарифмической функции и параболы второго порядка .
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r и ρ) и детерминации (r2 и ρ2), проанализируйте их значения.
5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите скорректированную среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня ().
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оценивая точность выполненного прогноза.
Решение:
1.Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . См. табл. 2. Если график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат – на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи оборота розничной торговли (Y) с общей суммой доходов населения (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.
Таблица №2.
Территории Северо-Западного федерального округа | Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб. | Оборот розничной торговли за год, млрд. руб. |
А | ||
1.Псковская обл. | 11,6 | 7,3 |
2.Новгородская обл. | 14,8 | 9,3 |
3.Калининградская обл. | 19,0 | 14,0 |
4.Респ. Карелия | 19,1 | 9,4 |
5.Ленинградская обл. | 26,2 | 15,6 |
6.Вологодская обл. | 27,5 | 12,1 |
7.Архангельская обл. | 30,0 | 16,3 |
8.Респ. Коми | 37,3 | 16,7 |
9.Мурманская обл. | 39,5 | 20,5 |
Итого | 121,2 | |
Средняя | 25,0 | 13,47 |
9,120 | 4,036 | |
Дисперсия, D | 83,182 | 16,289 |
2. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.
3. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, оносительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1 Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.
Расчётная таблица №3
№ | ||||||||
А | ||||||||
11,6 | 7,3 | 134,6 | 84,7 | 8,1 | -0,8 | 0,6 | 5,2 | |
14,8 | 9,3 | 219,0 | 137,6 | 9,4 | -0,1 | 0,0 | 0,4 | |
19,0 | 14,0 | 361,0 | 266,0 | 11,1 | 2,9 | 8,4 | 19,5 | |
19,1 | 9,4 | 364,8 | 179,5 | 11,1 | -1,7 | 2,9 | 11,2 | |
26,2 | 15,6 | 686,4 | 408,7 | 13,9 | 1,7 | 2,9 | 10,9 | |
27,5 | 12,1 | 756,3 | 332,8 | 14,5 | -2,4 | 5,7 | 15,7 | |
30,0 | 16,3 | 900,0 | 489,0 | 15,5 | 0,8 | 0,6 | 5,5 | |
37,3 | 16,7 | 1391,3 | 622,9 | 18,4 | -1,7 | 2,9 | 11,3 | |
39,5 | 20,5 | 1560,3 | 809,8 | 19,3 | 1,2 | 1,4 | 8,0 | |
Итого | 225,0 | 121,2 | 6373,6 | 3331,0 | 121,2 | 0,0 | 25,4 | 98,4 |
Средняя | 25,0 | 13,5 | — | — | — | — | — | 10,9 |
Сигма | 9,12 | 4,04 | — | — | — | — | — | — |
Дисперсия, D | 83,18 | 16,29 | — | — | — | — | — | — |
Δ= | 6737,76 | — | — | — | — | — | — | — |
Δа0= | 23012,4 | 3,415 | — | — | — | — | — | |
Δа1= | 2708,91 | 0,402 | — | — | — | — | — |
3. Расчёт определителя системы выполним по формуле:
9*6373,6 – 225,0*225,0 = 6737,76;
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:
121,2*6373,6 – 3331,0*225,0 = 23012,4.
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:
9*3331,0 – 121,2*225,0 = 2708,91.
4.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:
; .
В конечном счёте,получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:
В уравнении коэффициент регрессии а0 = 0,415 означает, что при увеличении доходов населения на 1 тыс. руб. (от своей средней) объём розничного товарооборота возрастёт на 0,415 млрд. руб. (от своей средней).
Свободный член уравнения а0 =3,415 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём розничного товарооборота.
5.Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:
В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:
Это означает, что при изменении общей суммы доходов населения на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличивается на 0,744 процента от своей средней.
6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Коэффициент корреляции, равный 0,9075, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой доходов населения за год и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации, равный 0,824, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 82,4% из 100% предопределена вариацией общей суммы доходов населения; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 17,6%, что является сравнительно небольшой величиной.
7.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).
В нашем случае, . Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 33 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия:при степенях свободы d.f.1=k-1=1 и d.f.2=n-k=9-2=7 и уровне значимости α=0,05.
Значения представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».
В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.
8. Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.
Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Yтеор. и Xфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.
9. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:
.
В нашем случае скорректированная ошибка аппроксимации составляет 10,2%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).
10. Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.
Расчётная таблица №4
№ | |||||||||
А | |||||||||
11,6 | 2,451 | 7,3 | 6,007 | 17,892 | 7,0 | 0,3 | 0,1 | 2,4 | |
14,8 | 2,695 | 9,3 | 7,261 | 25,060 | 9,3 | 0,0 | 0,0 | 0,4 | |
19,0 | 2,944 | 14,0 | 8,670 | 41,222 | 11,6 | 2,4 | 5,8 | 17,9 | |
19,1 | 2,950 | 9,4 | 8,701 | 27,727 | 11,6 | -2,2 | 4,8 | 16,6 | |
26,2 | 3,266 | 15,6 | 10,665 | 50,946 | 14,6 | 1,0 | 1,0 | 7,6 | |
27,5 | 3,314 | 12,1 | 10,984 | 40,102 | 15,0 | -2,9 | 8,4 | 21,8 | |
30,0 | 3,401 | 16,3 | 11,568 | 55,440 | 15,8 | 0,5 | 0,3 | 3,4 | |
37,3 | 3,619 | 16,7 | 13,097 | 60,437 | 17,9 | -1,2 | 1,4 | 8,8 | |
39,5 | 3,676 | 20,5 | 13,515 | 75,364 | 18,4 | 2,1 | 4,4 | 15,5 | |
Итого | 28,316 | 121,2 | 90,468 | 394,190 | 121,2 | 0,0 | 26,2 | 94,2 | |
Средняя | 3,146 | 13,5 | — | — | — | — | 2,9 | 10,5 | |
Сигма | 0,391 | 4,04 | |||||||
Дисперсия, D | 0,153 | 16,29 |
Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:
; ; . Отсюда получаем параметры уравнения:
Полученное уравнение имеет вид:.
Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи ρ=0,9066 (сравните с 0,9075), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 10,5%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.
Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.
11. Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка. В этом случае используются определители третьего порядка, расчёт которых выполняется по стандартным формулам и требует особого внимания и точности. См. расчётную таблицу 5
По материалам табл. 5 выполним расчёт четырёх определителей третьего порядка по следующим формулам:
Δ = n*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σx2 + Σx*Σx3*Σx2 – Σx2*Σx2*Σx2 – Σx*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*n =
= 331.854.860,7;
Δa0 = Σy*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σ(y*x2)+ Σ(y*x)*Σx3*Σx2 – Σ(y*x2)*Σx2*Σx2 –
- Σ(y*x)*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*Σy = 751.979.368,8
Δa1 = n*Σ(y*x)*Σx4 + Σy*Σx3*Σx2 + Σx*Σ(y*x2)*Σx2 – Σx2*Σ(y*x)* Σx2 – Σx*Σy* Σx4 -
Y*x2)*Σx3*n = 167.288.933,1
Δa2 = n*Σx2*Σ(y*x2) + Σx*Σyx*Σx2 + Σx*Σx3*Σy – Σx2*Σx2*Σy – Σx*Σx*Σ(y*x2) –
X3*Σ(y*x)*n = - 656.926,8
В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы:
; ;
Уравнение имеет следующий вид: . Для него показатель детерминации составляет 82,7%, Fфактич.= 14,3, а ошибка аппроксимации 10,7%.
Как видим, по сравнению с линейной функцией построить уравнения параболы гораздо сложнее, а изучаемую зависимость она описывает почти с той же точностью, хотя надёжность уравнения параболы значительно ниже (для линейной модели Fфактич.= 32,8, а для параболы Fфактич.= 14,3). Поэтому в дальнейшем анализе парабола второго порядка использоваться не будет.
Расчётная таблица №5
№ | |||||||||||
А | |||||||||||
11,6 | 7,3 | 84,7 | 6,007 | 17,892 | 18106,4 | 982,3 | 7,8 | -0,5 | 0,3 | 4,1 | |
14,8 | 9,3 | 137,6 | 7,261 | 25,060 | 47978,5 | 2037,1 | 9,3 | 0,0 | 0,0 | 0,1 | |
14,0 | 266,0 | 8,670 | 41,222 | 130321,0 | 5054,0 | 11,1 | 2,9 | 8,4 | 21,3 | ||
19,1 | 9,4 | 179,5 | 8,701 | 27,727 | 133086,3 | 3429,2 | 11,2 | -1,8 | 3,2 | 13,2 | |
26,2 | 15,6 | 408,7 | 10,665 | 50,946 | 471199,9 | 10708,5 | 14,1 | 1,5 | 2,3 | 11,0 | |
27,5 | 12,1 | 332,8 | 10,984 | 40,102 | 571914,1 | 9150,6 | 14,6 | -2,5 | 6,3 | 18,8 | |
16,3 | 489,0 | 11,568 | 55,440 | 810000,0 | 14670,0 | 15,6 | 0,7 | 0,5 | 5,1 | ||
37,3 | 16,7 | 622,9 | 13,097 | 60,437 | 1935687,9 | 23234,5 | 18,3 | -1,6 | 2,6 | 12,0 | |
39,5 | 20,5 | 809,8 | 13,515 | 75,364 | 2434380,1 | 31985,1 | 19,1 | 1,4 | 2,0 | 10,5 | |
Итого | 121,2 | 3331,0 | 90,468 | 394,190 | 6552674,1 | 101251,3 | 121,2 | 0,0 | 25,6 | 96,0 | |
Средняя | 25,0 | 13,5 | — | — | — | — | — | — | — | 2,8 | 10,7 |
Сигма | 9,12 | 4,04 | |||||||||
D | 83,18 | 16,29 |
12. Проведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует процедура линеаризации исходных переменных. В данном случае выполняется логарифмирование обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, где линейно связаны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение после логарифмирования приобретает следующий вид: . Порядок расчёта приведён в таблице 6.
Расчётная таблица №6
№ | ||||||||||
А | ||||||||||
11,6 | 7,3 | 2,4510 | 1,9879 | 4,8723 | 4,8723 | 2,0330 | 0,0020 | 7,6 | 2,5 | |
14,8 | 9,3 | 2,6946 | 2,2300 | 6,0091 | 6,0091 | 2,2148 | 0,0002 | 9,2 | 1,0 | |
19,0 | 14,0 | 2,9444 | 2,6391 | 7,7705 | 7,7705 | 2,4011 | 0,0566 | 11,0 | 22,0 | |
19,1 | 9,4 | 2,9497 | 2,2407 | 6,6094 | 6,6094 | 2,4050 | 0,0270 | 11,1 | 12,5 | |
26,2 | 15,6 | 3,2658 | 2,7473 | 8,9719 | 8,9719 | 2,6408 | 0,0113 | 14,0 | 11,7 | |
27,5 | 12,1 | 3,3142 | 2,4932 | 8,2629 | 8,2629 | 2,6770 | 0,0338 | 14,5 | 18,1 | |
30,0 | 16,3 | 3,4012 | 2,7912 | 9,4933 | 9,4933 | 2,7419 | 0,0024 | 15,5 | 5,8 | |
37,3 | 16,7 | 3,6190 | 2,8154 | 10,1889 | 10,1889 | 2,9044 | 0,0079 | 18,3 | 11,5 | |
39,5 | 20,5 | 3,6763 | 3,0204 | 11,1040 | 11,1040 | 2,9471 | 0,0054 | 19,1 | 10,8 | |
Итого | 121,2 | 28,3162 | 22,9651 | 73,2824 | 73,2824 | 22,9651 | 0,1467 | 120,3 | 96,0 | |
Средняя | 13,5 | 3,1462 | 2,5517 | — | — | — | — | — | 10,7 | |
Сигма | 0,3914 | 0,3187 | ||||||||
D | 0,1532 | 0,1016 |
В результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:
12,4075;
2,5371;
9,25642.
Параметры степенной функции составляют:
; .
Уравнение имеет вид: lnY=ln a0 + a1*ln X = 0,2045 + 0,7460*X , а после процедуры потенцирования уравнение приобретает окончательный вид:
или .
Полученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более надёжно по сравнению с линейной моделью. Степенная модель имеет детерминацию на уровне 84,0% (против 82,4% по линейной модели), Fфакт.=36,6 (против 33,1 для линейной модели) и ошибку аппроксимации на уровне 10,7% (сравните с 10,9% для уравнения прямой).
Очевидно, что преимущества степенной модели по сравнению с линейной не столь значительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. Поэтому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, которая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу линейной модели:
Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.
Если предположить, что прогнозное значение общей суммы доходов населения, например, Новгородской области, (см. табл.2 строка 2) возрастёт с 14,8 млрд. руб.на 5,7% и составит 15,6 млрд. руб., то есть Xпрогнозн.= 14,8*1,057=15,6, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:Yпрогнозн. =3,415+0,402*15,6=9,7 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 5,7% приводит к приросту результата на 4,2 процента (.
Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .
В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).
Ошибка положения регрессии составит: =
= = = 0,914 (млрд. руб.).
Интегральная ошибка прогноза составит:= = 2,1 (млрд. руб.).
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,365*2,1 = 5,011 ≈ 5,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,365. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит
= 9,7 + 5,0 = 14,7(млрд. руб.).
Нижняя граница доверительного интервала составит:
= 9,7 - 5,0 = 4,7(млрд. руб.).
Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит:= раза. Это означает, что верхняя граница в 3,12 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Калининградскую область с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.
Задача №2.
Выполняется изучение социально-экономических процессов в регионах Южного федерального округа РФ по статистическим показателям за 2000 год.
Y – оборот розничной торговли, млрд. руб.;
X1 – инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – средний возраст занятых в экономике, лет
X3 – среднегодовая численность населения, млн. чел.
Требуется изучить влияние указанных факторов на оборот розничной торговли.
Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил наличие двух территорию (Краснодарский край и Ростовская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения:
А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=10.
0,7938 | 0,2916 | 0,8891 | ||
0,7938 | 0,2994 | 0,6693 | ||
0,2916 | 0,2994 | 0,0113 | ||
0,8891 | 0,6693 | 0,0113 | ||
Средняя | 8,878 | 5,549 | 38,79 | 1,160 |
8,7838 | 5,1612 | 1,0483 | 0,90107 |
Б) - коэффициентов частной корреляции
0,4726 | 0,5169 | 0,8511 | ||
0,4726 | 0,0521 | -0,0793 | ||
0,5156 | 0,0521 | -0,5598 | ||
0,8511 | -0,0793 | -0,5598 |
Задание:
1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.
2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть a1, a2, и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).
5. Рассчитайте прогнозное значение результата , предполагая, что прогнозные значения факторов ()составят 101,3 процента от их среднего уровня.
6. Основные выводы оформите аналитической запиской.
Если инвестиции в экономику региона возрастут до 5,621 млрд. руб., а численность населения составит 1,175 млн. чел, тогда следует ожидать, что розничный товарооборот возрастёт до 9,02 млрд. руб., то есть увеличится на 1,6% от своего среднего уровня.
Задача №3.
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.
Y1 – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб
Y2 – среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс. руб.
X1 – инвестиции текущего, 2000, года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
X3 -.доля занятых в экономике в общей численности населения, %;
Рабочие гипотезы:
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:
N=15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
Y1 | X1 | X2 | Y2 | X3 | |||
Y1 | 0,8171 | 0,8498 | Y2 | 0,6043 | 0,6712 | ||
X1 | 0,8171 | 0,7823 | 0,6043 | 0,2519 | |||
X2 | 0,8498 | 0,7823 | X3 | 0,6712 | 0,2519 | ||
Средняя | 23,77 | 5,600 | 115,833 | Средняя | 1,5533 | 23,77 | 44,23 |
7,2743 | 2,4666 | 30,0303 | 0,2201 | 7,2743 | 2,1146 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
- определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
- дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
- рассчитайте параметры a1, a2 и a0 уравнений множественной регрессии в естественной форме;
- с помощью коэффициентов парной корреляции и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
- цените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Решение:
1. В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через b , коэффициенты при экзогенных переменных - через a. Каждый коэффициент имеет двойную индексацию: первый индекс – номер уравнения, второй – индивидуальный номер признака. Тогда:
2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная Y1, значения которой формируются в условиях данной системы., а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.
3. Выполним расчёт b-коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:
По полученным результатам построено уравнение в стандартизованном виде:
По данным первого уравнения сделаем вывод, что инвестиции текущего года в основной капитал () влияют на стоимость валового регионального продукта () слабее, чем среднегодовая стоимость основных фондов в экономике (), т.к. .
Второе уравнение можно построить на основе следующих результатов:
Второе уравнение в стандартизованной форме имеет вид: .
Из второго уравнения очевидно, что на уровень среднемесячной заработной палаты более сильное влияние оказывает доля занятых, и менее сильное – стоимость ВРП.
4. Расчёт параметров уравнения регрессии в естественной форме даёт следующие результаты:
= 23,77-1,15*5,6 – 0,13*115,833 = 2,27.
По полученным результатам построено уравнение №1 в естественной форме:
.
Параметры уравнения №2 рассчитываются аналогичным образом. Но главная отличительная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения , а его теоретические значения , полученные расчётным путём при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов и .
Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:
; ;
.
По полученным результатам построено уравнение №2 в естественной форме:.
Представим результаты построения уравнений в виде рекурсивной системы:
Значения коэффициентов регрессии каждого из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого из факторов на результат. Но для сравнительной оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения -коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - , , и .
5. Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации.
.
.
В первом уравнении факторы и объясняют 76,7% вариации стоимости валового регионального продукта, а 23,3% его вариации определяется влиянием прочих факторов.
Во втором уравнении переменные и объясняют 65,3% изменений заработной платы, а 34,7% изменений заработной платы зависят от прочих факторов. Обе регрессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного комплекса.
6.Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей:
и .
Для проверки нулевых гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчёт его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия. По результата сравнения принимается решение относительно нулевой гипотезы.
В нашей задаче:
;
Табличные значения F-критерия формируются под влиянием случайных причин и зависят от трёх условий: а) от числа степеней свободы факторной дисперсии - , где k – число факторных переменных в модели; б) от числа степеней свободы остаточной дисперсии - , где n – число изучаемых объектов; в) от уровня значимости , который определяет вероятность допустить ошибку, принимая решение по нулевой гипотезе. Как правило, значение берут на уровне 5% (=0,05), но при высоких требованиях к точности принимаемых решений уровень значимости составляет 1% (=0,01) или 0,1% ((=0,001).
Значения представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера». (См. приложение 1 данных «Методических указаний…»).
В рассматриваемой задаче для и =0,05 соствляет 3,88. В силу того, что нулевую гипотезу о статистической незначимости характеристик уравнения №1 следует отклонить, то есть . Аналогичное решение принимается и относительно второй нулевой гипотезы, т.к. . То есть, .Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определённой степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частности, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры моделей неслучайны, то есть формируются под воздействиемпредставленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчётах среднемесячной заработной платы и стоимости валового регионального продукта, которые основаны не только на влиянии , но и на влиянии эндогенной переменной Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза.
Задача №4.
Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических характеристик региона за период.
Y1 - инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.
Y2 - стоимость продукции промышленности и АПК в текущем году, млрд. руб.
Y3 - оборот розничной торговли в текущем году, млрд. руб.
х1 - инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.
х2 - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, млрд. руб.
х3 - среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.
Приводится система рабочих гипотез, которые необходимо проверить.
Задание
1. Используя рабочие гипотезы, постройте систему уравнений, определите их вид и проведите их идентификацию.
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез.
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборота от стоимости ВРП, основных фондов в экономике, от численности занятых в экономике и от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Данный перечень переменных объясняет 87,4% вариации оборота розничной торговли, а соотношение позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости.
4. Для выполнения прогнозных расчётов и наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных () подставляются в приведённые уравнения. Точность и надёжность прогнозов в этом случае зависит от качества приведённых моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.
Задача №6.
Среднегодовая численность занятых в экономике Российской Федерации, млн. чел., за период с 1990 по 2000 год характеризуется следующими данными:
Годы | Qt | Годы | Qt |
75,3 | 66,4 | ||
73,8 | 66,0 | ||
72,1 | 64,7 | ||
70,9 | 63,8 | ||
68,5 | 64,0 | ||
64,3 |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда -Qt
2. Рассчитайте параметры параболы второго порядка : ,
линейной : и логарифмической функций :
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи ( ρ и ρ2 );
- значимость модели тренда (F-критерий);
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -
4. Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней прогноз до 2003 года.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Решение:
1. Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений. Для его построения введём дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через t и условно отождествим с течением времени. Для обозначения комплекса систематических факторов используются числа натурального ряда: 1, 2, 3, …,n. См. табл. 1.
В первую очередь выявим линейный тренд и проверим его статистическую надёжность и качество. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка, используя формулы, рассмотренные нами в зад. 1. Получены значения определителей:; ; . С их помощью получены следующие параметры линейного тренда: ; , уравнение имеет вид:. Уравнение детерминирует 92,2% вариации численности занятых (; ).
Таблица 1.
Годы | Qt | T | t2 | Qt*t | Qt расч. | DQt | (dQt)2 | |
А | ||||||||
75,3 | 75,3 | 74,3 | 1,0 | 1,0 | 1,5 | |||
73,8 | 147,6 | 73,0 | 0,8 | 0,6 | 1,1 | |||
72,1 | 216,3 | 71,8 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |||
70,9 | 283,6 | 70,6 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |||
68,5 | 342,5 | 69,4 | -0,9 | 0,8 | 1,3 | |||
66,4 | 398,4 | 68,2 | -1,8 | 3,2 | 2,6 | |||
66,0 | 462,0 | 66,9 | -0,9 | 0,8 | 1,4 | |||
64,7 | 517,6 | 65,7 | -1,0 | 1,0 | 1,5 | |||
63,8 | 574,2 | 64,5 | -0,7 | 0,5 | 1,0 | |||
64,0 | 640,0 | 63,3 | 0,7 | 0,5 | 1,0 | |||
64,3 | 707,3 | 62,1 | 2,2 | 4,8 | 3,3 | |||
Итого | 749,8 | 4364,8 | 749,8 | 0,0 | 13,4 | 15,6 | ||
Средняя | 68,2 | 6,0 | — | — | — | — | — | 1,4 |
Сигма | 4,01 | 3,16 | — | — | — | — | — | — |
Дисперсия, D | 16,08 | 10,0 | — | — | — | — | — | — |
Средняя ошибка аппроксимации очень невелика (= 1,4%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач. Фактическое значение F-критерия составило 108 и сравнение с 5,12 его табличного значения позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда.
Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений фактических уровней от рассчитанных по уравнению тренда. Если будет установлено отсутствие связи отклонений, это укажет на их случайную природу, то есть на то, что тренд выбран верно, что он полностью исключил основную тенденцию из фактических уровней ряда и что он сформировал случайный значения отклонений.
Выполним расчёт в табл.2. Поместим во второй графе фактические отклонения от тренда , для удобства расчёта обозначим их через Y. В соседней графе поместим эти же отклонения, но, сместив их относительно первой строки на один год вниз; обозначим их через и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:
Используем значения определителей второго порядка для расчёта коэффициента регрессии с1, который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:
Отсюда . При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:
В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений F- критерия: . Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений не может быть принята, отклонения связаны между собой и не являются случайными величинами. То есть, линейный тренд не полностью исключил из фактических уровней влияние систематических факторов, формирующих основную тенденцию. Следует рассмотреть тренд иной формы.
Таблица 2
(Y) | (X) | |||
1,0 | — | — | — | |
0,8 | 1,0 | 0,8 | 1,0 | |
0,3 | 0,8 | 0,2 | 0,6 | |
0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | |
-0,9 | 0,3 | -0,3 | 0,1 | |
-1,8 | -0,9 | 1,6 | 0,8 | |
-0,9 | -1,8 | 1,6 | 3,2 | |
-1,0 | -0,9 | 0,9 | 0,8 | |
-0,7 | -1,0 | 0,7 | 1,0 | |
0,7 | -0,7 | -0,5 | 0,5 | |
2,2 | 0,7 | 1,5 | 0,5 | |
Итого | -1,0 | -2,2 | 6,6 | 8,6 |
Средняя | -0,1 | -0,2 | — | — |
Сигма | 1,12 | 0,91 | — | — |
2. Рассмотрим возможность использования для описания тренда равносторонней гиперболы:. В качестве аргумента в уравнении тренда здесь выступает . Выполним расчёт параметров и оценим полученное уравнение. См. табл. 3.
Таблица 3
Годы | . | |||||||
75,3 | 1,000 | 75,300 | 1,0000 | 77,8 | -2,5 | 6,3 | 3,7 | |
73,8 | 0,500 | 36,900 | 0,2500 | 71,2 | 2,6 | 6,8 | 3,9 | |
72,1 | 0,333 | 24,033 | 0,1111 | 68,9 | 3,2 | 10,2 | 4,6 | |
70,9 | 0,250 | 17,725 | 0,0625 | 67,8 | 3,1 | 9,6 | 4,5 | |
68,5 | 0,200 | 13,700 | 0,0400 | 67,2 | 1,3 | 1,7 | 2,0 | |
66,4 | 0,167 | 11,067 | 0,0278 | 66,7 | -0,3 | 0,1 | 0,5 | |
66,0 | 0,143 | 9,429 | 0,0204 | 66,4 | -0,4 | 0,2 | 0,6 | |
64,7 | 0,125 | 8,088 | 0,0156 | 66,2 | -1,5 | 2,2 | 2,2 | |
63,8 | 0,111 | 7,089 | 0,0123 | 66,0 | -2,2 | 4,8 | 3,2 | |
64,0 | 0,100 | 6,400 | 0,0100 | 65,8 | -1,8 | 3,2 | 2,7 | |
64,3 | 0,091 | 5,845 | 0,0083 | 65,7 | -1,4 | 2,0 | 2,1 | |
Итого | 749,8 | 3,020 | 215,575 | 1,5580 | 749,8 | 0,0 | 47,1 | 29,9 |
Средняя | 68,16 | 0,275 | — | — | — | — | 4,3 | 2,7 |
Сигма | 4,01 | 0,257 | — | — | — | — | — | — |
D | 16,08 | 0,066 | — | — | — | — | — | — |
Определители составили:; ; . По их значениям рассчитаны параметры и получено уравнение тренда: . Уравнение тренда выявляет тенденциюпостепенного снижения и сохранения на неизменном уровне численности занятых. Индекс корреляции оценивает выявленную связь как тесную: (см. гр. 7 и 8). Здесь изменения численности занятых на 73,3% определены изменениями систематических факторов, а на 26,7% - прочими причинами. Ошибка аппроксимации очень невелика =2,7% (гр. 9) и поэтому возможности дальнейшего использования модели будут зависеть от оценки корреляции отклонений.
Коэффициент корреляции отклонений (коэффициент автокорреляции) выявил их заметную связь (), которая является статистически незначимой: , то есть нулевая гипотеза может быть принята с 5%-ой вероятностью допустить ошибку. Таким образом, имеются веские основания для использования модели равносторонней гиперболы для выполнения прогнозных расчётов.
При выполнении прогнозов на 2001, 2002, 2003 и 2004 годы подставим в уравнение прогнозные значения фактора, 12, 13, 14, 15, что позволяет получить результат на уровне 65,6 – 65,4 млн. чел.: ; ; ; . В данном прогнозе реализуется гипотеза о стабилизации численности занятых и её сохранении на уровне 65,4 млн. чел.
3. Рассмотрим возможность использования показательной кривой для описания тенденции и прогноза. Показательная форма тренда имеет вид и предполагает выполнение процедуры линеаризации исходного уравнения с целью приведения его к линейному виду. В расчёте параметров полученного линейного уравнения участвуют значения и Порядок расчёта представим в табл. 4.
Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:
По ним рассчитаны параметры линеаризованной функции:
и построено уравнение: . Для получения уравнения в естественной форме выполним процедуру потенцирования результатов: .
Таблица 4.
Годы | |||||||||||
75,3 | 4,321 | 4,321 | 4,309 | 0,013 | 0,00017 | 74,3 | 1,0 | 1,4 | |||
73,8 | 4,301 | 8,603 | 4,291 | 0,010 | 0,00010 | 73,0 | 0,8 | 1,1 | |||
72,1 | 4,278 | 12,834 | 4,273 | 0,005 | 0,00003 | 71,8 | 0,3 | 0,5 | |||
70,9 | 4,261 | 17,045 | 4,256 | 0,006 | 0,00004 | 70,5 | 0,4 | 0,6 | |||
68,5 | 4,227 | 21,134 | 4,238 | -0,011 | 0,00012 | 69,3 | -0,8 | 1,1 | |||
66,4 | 4,196 | 25,174 | 4,220 | -0,025 | 0,00063 | 68,0 | -1,6 | 2,4 | |||
66,0 | 4,190 | 29,328 | 4,203 | -0,013 | 0,00017 | 66,9 | -0,9 | 1,3 | |||
64,7 | 4,170 | 33,358 | 4,185 | -0,015 | 0,00023 | 65,7 | -1,0 | 1,4 | |||
63,8 | 4,156 | 37,402 | 4,167 | -0,011 | 0,00012 | 64,5 | -0,7 | 1,1 | |||
64,0 | 4,159 | 41,589 | 4,149 | 0,009 | 0,00008 | 63,4 | 0,6 | 0,9 | |||
64,3 | 4,164 | 45,799 | 4,132 | 0,032 | 0,00102 | 62,3 | 2,0 | 3,0 | |||
Итого | 749,8 | 46,422 | 276,587 | 46,422 | 0,0 | 0,00271 | 749,7 | 0,102 | 14,7 | ||
Средняя | 68,16 | 4,220 | — | — | — | — | 0,00025 | — | — | 1,3 | |
Сигма | 4,01 | 0,0581 | 3,162 | — | — | — | — | — | — | — | — |
D | 16,08 | 0,00337 | 10,00 | — | — | — | — | — | — | — | — |
Показательный тренд установил, что численность занятых сокращается со среднегодовым темпом, равным 0,9825 или 98,3%. За период 1990-2001 гг. численность занятых ежегодно уменьшалась в среднем на 1,7%.
В данном случае, показатели тесноты изучаемой связи рассчитываются не как обычно – на фактических и расчётных значениях результата (и ), а с использованием линеаризованных значений результата и , потому что именно для них выполняется требование МНК о наименьшей сумме квадратов отклонений. Расчёт выполнен в гр.8 и 9.
Выявлена весьма тесная зависимость численности занятых от комплекса систематических факторов: . Уравнение и его параметры статистически значимы и надёжны, т.к. Fфакт.=112, что значительно превосходит Fтабл.=5,12 (при d.f.1=1; d.f.2=11-1-1=9; α=0,05).
Средняя ошибка аппроксимации в данной задаче рассчитывается как обычно, с использованием и , т. к. при решении прогнозных задач производится оценка естественных, а не линеаризованных значений результата. Ошибка мала: =1,3% и поэтому модель может быть рекомендована для использования при прогнозировании. При этом, важно убедиться, что после выявления тренда формируются отклонения =, представляющие собой значения случайной переменной.
Для этого рассчитаем коэффициент автокорреляции отклонений: . Расчёт выполняется по линеаризованным значениям результата, то есть, с иcпользованием и .
Необходимая для расчёта информация представлена в табл. 5.
По аналогии с предыдущими расчётами определим коэффициент автокорреляции через определители второго порядка для двух рядов отклонений: и .
;
; ;
;
Таблица 5
(Y) | (X) | |||
0,013 | — | — | — | |
0,010 | 0,013 | 0,00013 | 0,00016 | |
0,005 | 0,010 | 0,00005 | 0,00011 | |
0,006 | 0,005 | 0,00003 | 0,00002 | |
-0,011 | 0,006 | -0,00006 | 0,00003 | |
-0,025 | -0,011 | 0,00027 | 0,00012 | |
-0,013 | -0,025 | 0,00032 | 0,00060 | |
-0,015 | -0,013 | 0,00019 | 0,00017 | |
-0,011 | -0,015 | 0,00017 | 0,00023 | |
0,009 | -0,011 | -0,00011 | 0,00013 | |
0,032 | 0,009 | 0,00030 | 0,00009 | |
Итого | -0,013 | -0,032 | 0,00129 | 0,00166 |
Средняя | -0,0013 | -0,0032 | — | — |
Сигма | 0,01579 | 0,0124841 | — | — |
D | 0,0002493 | 0,0001559 | — | — |
Отклонения от показательного тренда находятся в заметной зависимости, которая, по оценке F-критерия, является статистически значимой и надёжной: . Нулевая гипотеза о несущественной связи отклонений должна быть отвергнута с 5%-ой вероятностью ошибки. Это означает, что показательный тренд не является лучшим, т.к. не аккумулирует в себе влияния всего комплекса существенных факторов, а оставляет часть этого влияния в отклонениях от тренда. Поэтому показательный тренд не следует рассматривать как лучший.
4. Остановимся на порядке построения и использования степенной модели в решении поставленных задач. В данной модели реализуется концепция мультипликативного механизма воздействия фактора на результат: . Построению модели предшествует процедура линеаризации исходного уравнения путём логарифмирования его элементов: . В расчёте параметров участвуют и . Необходимая для расчёта исходная и промежуточная информация представлена в табл. 6.
Расчёт определителей приводит к следующим результатам:
;
;
.
Значения параметров линеаризованного уравнения составят:
; ,
а уравнение линейное в линейной форме имеет вид:
.
Таблица 6
Годы | |||||||
0,000 | 4,321 | 0,000 | 0,000 | 4,346 | -0,025 | 0,00063 | |
0,693 | 4,301 | 0,480 | 2,981 | 4,291 | 0,010 | 0,00010 | |
1,099 | 4,278 | 1,207 | 4,700 | 4,259 | 0,019 | 0,00036 | |
1,386 | 4,261 | 1,922 | 5,907 | 4,236 | 0,025 | 0,00063 | |
1,609 | 4,227 | 2,590 | 6,803 | 4,219 | 0,008 | 0,00006 | |
1,792 | 4,196 | 3,210 | 7,518 | 4,204 | -0,009 | 0,00008 | |
1,946 | 4,190 | 3,787 | 8,153 | 4,192 | -0,002 | 0,00000 | |
2,079 | 4,170 | 4,324 | 8,671 | 4,182 | -0,012 | 0,00014 | |
2,197 | 4,156 | 4,828 | 9,131 | 4,172 | -0,016 | 0,00026 | |
2,303 | 4,159 | 5,302 | 9,576 | 4,164 | -0,005 | 0,00003 | |
2,398 | 4,164 | 5,750 | 9,984 | 4,156 | 0,007 | 0,00005 | |
Итого | 17,502 | 46,422 | 33,400 | 73,424 | 46,422 | 0,000 | 0,00234 |
Средняя | 1,591 | 4,220 | — | — | — | — | 0,00021 |
Сигма | 0,710 | 0,058 | — | — | — | — | — |
D | 0,505 | 0,0034 | — | — | — | — | — |
После процедуры потенцирования получаем уравнения в естественной форме:
или иначе .
В модели нашло отражение единственная тенденция устойчивого сокращения численности занятых со снижающимся темпом этого сокращения. Если использовать модель для прогноза, то это будет прогноз снижения численности занятых, но при этом, процент её (численности) сокращения год от года будет уменьшаться.
Степенная модель выявляет связь, которая оценивается как весьма тесная и статистически значимая: . .
Особо отметим, что в данном случае, так же, как и при оценке тесноты связи показательной модели, расчёты общей и остаточной дисперсий проводятся по линеаризованным значениям признака-результата, то есть по и
Расчёт ошибки аппроксимации приводится в табл. 7. Её значение очень невелико и составляет 1,7%. При отсутствии автокорреляции в отклонениях от тренда степенная модель может использоваться для прогноза без формальных ограничений.
Таблица 7.
Годы | ||||||||
77,2 | -1,9 | 3,6 | 2,8 | -0,025 | — | — | — | |
73,1 | 0,7 | 0,5 | 1,1 | 0,010 | -0,025 | -0,00025 | 0,000610 | |
70,8 | 1,3 | 1,7 | 2,0 | 0,019 | 0,010 | 0,00019 | 0,000101 | |
69,2 | 1,7 | 2,9 | 2,6 | 0,025 | 0,019 | 0,00047 | 0,000355 | |
67,9 | 0,6 | 0,4 | 0,8 | 0,008 | 0,025 | 0,00020 | 0,000617 | |
67,0 | -0,6 | 0,4 | 0,8 | -0,009 | 0,008 | -0,00007 | 0,000065 | |
66,2 | -0,2 | 0,0 | 0,2 | -0,002 | -0,009 | 0,00002 | 0,000074 | |
65,5 | -0,8 | 0,6 | 1,1 | -0,012 | -0,002 | 0,00003 | 0,000006 | |
64,9 | -1,1 | 1,2 | 1,6 | -0,016 | -0,012 | 0,00019 | 0,000139 | |
64,3 | -0,3 | 0,1 | 0,5 | -0,005 | -0,016 | 0,00008 | 0,000271 | |
63,8 | 0,5 | 0,3 | 0,7 | 0,007 | -0,005 | -0,00004 | 0,000025 | |
Итого | 749,73 | 0,1 | 11,7 | 14,1 | 0,025 | -0,007 | 0,00083 | 0,002265 |
Средняя | — | — | 1,06 | 1,3 | 0,0025 | -0,0007 | — | — |
D | — | — | — | — | 0,01283 | 0,01503 | — | — |
В табл. 7 приводятся результаты проверки остатков на их автокоррелированность. В результате установлено, что в остатках существует умеренная связь, но она не является статистически значимой, то есть ряд отклонений представляют собой случайную переменную.
; ;
; .
Следовательно, нулевая гипотеза о статистической незначимости взаимосвязи отклонений от степенного тренда должна быть принята, при том, что вероятность допустить ошибку не превысит общепринятого 5% уровня.
Следовательно, степенной тренд отражает влияние комплекса систематических факторов и после исключения этого влияния из фактических уровней в них остаются значения, случайные по своей природе. Поэтому нет формальных ограничений на использование степенной модели в прогнозных расчётах.
5.Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка и оценим возможность её использования для выполнения прогнозов.
Значения параметров рассчитаем, используя определители третьего порядка, формулы которых приведены в решении типовой задачи №1. Необходимые данные представлены в табл. 8. В результате получены следующие значения определителей системы нормальных уравнений:
Таблица 8
Годы | |||||||||||
75,3 | 75,3 | 75,3 | 75,9 | -0,6 | 0,36 | 0,9 | |||||
73,8 | 147,6 | 295,2 | 73,7 | 0,1 | 0,01 | 0,1 | |||||
72,1 | 216,3 | 648,9 | 71,7 | 0,4 | 0,16 | 0,6 | |||||
70,9 | 283,6 | 1134,4 | 69,9 | 1,0 | 1,00 | 1,4 | |||||
68,5 | 342,5 | 1712,5 | 68,4 | 0,1 | 0,01 | 0,2 | |||||
66,4 | 398,4 | 2390,4 | 67,0 | -0,6 | 0,36 | 0,9 | |||||
66,0 | 462,0 | 65,9 | 0,1 | 0,01 | 0,1 | ||||||
64,7 | 517,6 | 4140,8 | 65,1 | -0,4 | 0,16 | 0,5 | |||||
63,8 | 574,2 | 5167,8 | 64,4 | -0,6 | 0,36 | 0,9 | |||||
64,0 | 640,0 | 64,0 | 0,0 | 0,00 | 0,0 | ||||||
64,3 | 707,3 | 7780,3 | 63,8 | 0,5 | 0,25 | 0,8 | |||||
Итого | 749,8 | 4364,8 | 32979,6 | 749,8 | 0,0 | 2,68 | 6,5 | ||||
Средняя | 68,2 | — | — | — | — | — | — | — | 0,24 | 0,6 | |
Сигма | 4,01 | 3,16 | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
D | 16,08 | 10,0 | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
; ; ;
; ; .
Уравнение параболы второго порядка имеет вид:. Знак минус у коэффициента регрессии а2 указывает на то, что парабола обращена своей вершиной вниз. То есть, у параболы есть точка минимума, в которой результатпринимает наименьшее значение. Достигается это минимальное значение при условии равенства нулю первой производной данной функции. В нашем примере или . Отсюда .
В соответствии с используемой моделью параболы второго порядка численность занятых в экономике РФ будет наименьшей в период между 11 и 12 годами, то есть в период 2000-2001 года. В этот момент численность занятых достигнет своего минимального значения в 63,8 млн. чел.:
(млн. чел.).
Начиная с этого момента, в соответствии с рассматриваемой моделью, численность занятых в экономике РФ будет постепенно увеличиваться. Проблема состоит в том, чтобы определить те временные границы, в которых рассматриваемая модель может использоваться с наибольшей результативностью, т.е. давать наиболее точные и достоверные прогнозы.
Для нас важной особенностью представляемой модели является то, что в ней реализуется гипотеза о стабилизации процесса снижения численности занятых и следующего за ним процесса постепенного увеличения контингента занятых. Но, при этом, очень важно, чтобы для модели были характерны высокие оценочные параметры.
В гр. 9, 10 и 11 представлены данные для расчёта показателей тесноты описанной параболой связи. Уравнение выявило весьма тесную связь (), которая на 98,5% детерминирована системой устойчивых, статистически значимых факторов. Об этом говорит F-критерий, фактическое значение которого в десятки раз превышает его табличное значение: при d.f.1=2; d.f.2=8 при α=0,05.
Ошибка аппроксимации имеет весьма малое значение: =0,6%, что указывает на хорошие перспективы при использовании модели для прогнозных расчётов.
В табл. 9 представлены данные для проверки наличия автокорреляции в отклонениях фактических уровней ряда от теоретических, рассчитанных по уравнению параболы.
Рассчитаем определители для коэффициента регрессии отклонений с1 и по ним определим его значение:
С помощью коэффициента регрессии отклонений (с1) и значений средних квадратических отклонений каждого ряда остатков ( и ) определим коэффициент автокорреляции:
;
.
Таблица 9.
Годы | |||||
77,2 | -0,6 | — | — | — | |
73,1 | 0,1 | -0,6 | -0,06 | 0,36 | |
70,8 | 0,4 | 0,1 | 0,04 | 0,01 | |
69,2 | 1,0 | 0,4 | 0,40 | 0,16 | |
67,9 | 0,1 | 1,0 | 0,10 | 1,00 | |
67,0 | -0,6 | 0,1 | -0,06 | 0,01 | |
66,2 | 0,1 | -0,6 | -0,06 | 0,36 | |
65,5 | -0,4 | 0,1 | -0,04 | 0,01 | |
64,9 | -0,6 | -0,4 | 0,24 | 0,16 | |
64,3 | 0,0 | -0,6 | -0,00 | 0,36 | |
63,8 | 0,5 | 0,0 | 0,00 | 0,00 | |
Итого | 749,73 | 0,6 | -0,5 | 0,56 | 2,43 |
Средняя | — | 0,06 | -0,05 | — | — |
D | — | 0,476 | 0,491 | — | — |
Как показали расчёты коэффициента автокорреляции, отклонения от параболического тренда находятся в слабой взаимосвязи, которая не является статистически значимой, устойчивой и надёжной. То есть, парабола наилучшим образом отражает форму основной тенденции в фактических уровнях.
Кроме того, парабола способна реализовать прогноз, основанный на предположении о постепенной стабилизации численности занятых с её последующим увеличением. В качестве альтернативы может быть рассмотрен прогноз, основанный на гипотезе о снижающейся численности занятых, но с затухающими темпами этого снижения, то есть вариант стабилизирующейся численности занятых. Указанный вариант прогноза может быть выполнен либо по уравнению равносторонней гиперболы, либо по степенной модели. Окончательный выбор вариантов прогноза может быть сделан по результатам анализа оперативной информации о текущих изменениях численности занятых в экономике РФ.
Заканчиваем решение задачи выполнением прогноза по параболе второго порядка. Прогноз выполним на четыре года: на 2001 – 2004 гг. Условный фактор – фактор времени t, примет прогнозные значения, продолжающие натуральный ряд чисел, использованных для его обозначения. То есть,
При подстановке значений и в уравнение параболы и после выполнения соответствующих расчётов получаем прогнозные значения численности занятых:
млн. чел.;
млн. чел.;
млн. чел.;
млн. чел.
По результатам прогноза по параболе численность занятого населения в ближайшие годы будет постепенно возрастать, достигая 64 – 65 млн. чел.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта () и импорта () Франции, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - , а для импорта – .
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и
Годы | Экспорт () | Импорт () | ||
. | ||||
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
Mt | Zt | t | |
Mt | 0,9606 | 0,8836 | |
Zt | 0,9606 | 0,8629 | |
T | 0,8836 | 0,8629 | |
Итого | |||
Средняя | 266,6 | 260,7 | 5,5 |
35,579 | 30,845 | 2,872 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( и );
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной с
4. Проанализируйте полученные результаты.
Решение.
1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и (см. табл. 1)
Таблица 1.
Годы | |||||||||
-31 | -36 | ||||||||
-14 | -17 | ||||||||
-5 | -35 | ||||||||
-4 | -3 | ||||||||
-21 | -1 | ||||||||
Итого | — | — | |||||||
Средняя | 266,6 | — | 260,7 | — | — | 283,6 | 248,8 | ||
Сигма | 35,58 | — | 30,84 | — | 16,84 | 15,77 | — | — | — |
D | 1265,84 | — | 951,41 | — | 283,60 | 248,80 | — | — | — |
Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с1, и . Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .
В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного:. С изменением отлонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,8935 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с1 используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:
;
Выявлена тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что на 70,0% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 30% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.
Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:
.
Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а1 и далее с помощью и расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.
Расчёт определителей дал следующие результаты:
Значения параметров регрессии:; , а уравнение имеет вид:
.
Коэффициенты тесноты связи уровней составят:; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 92,2% вариации экспорта.
Таблица 2.
Годы | |||||
Итого | |||||
Средняя | 266,6 | 260,7 | |||
Сигма | 35,58 | 30,84 | |||
D | 1265,84 | 951,41 |
2. Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.
В действительности связь рядов существует, оценивается она как тесная; то есть, в ней экспорт на 70% детерминирован вариацией импорта. Фактический F-критерий равен 18,9. Это больше табличного (F табл.=5,32), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.
3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: . В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а2 отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.
Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а1 , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .
Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.
Для построения уравнения в стандартизованном масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:
Получено следующее уравнение: .
Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:
По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме: ;
.
Уравнение имеет вид:. С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,895 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t ) экспорт увеличивается в среднем за год на 2,65 млрд. $.
Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:
; .
Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.
Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора Z и фактора t. То есть,
Приложения
Приложение 1.
Таблица значений F-критерия Фишера
k2 -степени свободы остаточной дисперсии (k2 =n-m-1) | k1 - степени свободы факторной дисперсии (k1 = m ) | |||||||||||
k1=1 | k1=2 | K1=3 | k1=4 | |||||||||
Уровень значимости, α | ||||||||||||
0,10 | 0,05 | 0,01 | 0,10 | 0,05 | 0,01 | 0,10 | 0,05 | 0,01 | 0,10 | 0,05 | 0,01 | |
39,9 | 161,5 | 49,5 | 199,5 | 53,6 | 215,72 | 55,8 | 224,57 | |||||
8,5 | 18,5 | 98,5 | 9,0 | 19,0 | 99,00 | 9,2 | 19,16 | 99,2 | 19,2 | 19,25 | 99,30 | |
5,54 | 10,13 | 34,1 | 5,46 | 9,6 | 30,82 | 5,39 | 9,28 | 29,5 | 5,34 | 9,12 | 28,71 | |
4,54 | 7,71 | 21,2 | 4,32 | 6,9 | 18,00 | 4,19 | 6,59 | 16,7 | 4,11 | 6,39 | 15,98 | |
4,06 | 6,61 | 16,3 | 3,78 | 5,79 | 13,27 | 3,62 | 5,41 | 12,1 | 3,52 | 5,19 | 11,39 | |
3,78 | 5,99 | 13,8 | 3,46 | 5,14 | 10,92 | 3,29 | 4,76 | 9,8 | 3,18 | 4,53 | 9,15 | |
3,59 | 5,59 | 12,3 | 3,26 | 4,74 | 9,55 | 3,07 | 4,35 | 8,5 | 2,96 | 4,12 | 7,85 | |
3,46 | 5,32 | 11,3 | 3,11 | 4,46 | 8,65 | 2,92 | 4,07 | 7,6 | 2,81 | 3,84 | 7,01 | |
3,36 | 5,12 | 10,6 | 3,01 | 4,26 | 8,02 | 2,81 | 3,86 | 7,0 | 2,69 | 3,63 | 6,42 | |
3,29 | 4,96 | 10,0 | 2,92 | 4,10 | 7,56 | 2,73 | 3,71 | 6,6 | 2,61 | 3,48 | 5,99 | |
3,23 | 4,84 | 9,7 | 2,86 | 3,98 | 7,20 | 2,66 | 3,59 | 6,2 | 2,54 | 3,36 | 5,67 | |
3,18 | 4,75 | 9,3 | 2,81 | 3,88 | 6,93 | 2,61 | 3,49 | 6,0 | 2,48 | 3,26 | 5,41 | |
3,14 | 4,67 | 9,1 | 2,76 | 3,80 | 6,70 | 2,56 | 3,41 | 5,7 | 2,43 | 3,18 | 5,20 | |
3,10 | 4,60 | 8,9 | 2,73 | 3,74 | 6,51 | 2,52 | 3,34 | 5,6 | 2,39 | 3,11 | 5,03 | |
3,07 | 4,54 | 8,7 | 2,70 | 3,68 | 6,36 | 2,49 | 3,29 | 5,4 | 2,36 | 3,06 | 4,89 | |
3,05 | 4,49 | 8,5 | 2,67 | 3,63 | 6,23 | 2,46 | 3,24 | 5,3 | 2,33 | 3,01 | 4,77 | |
3,03 | 4,45 | 8,4 | 2,64 | 3,59 | 6,11 | 2,44 | 3,20 | 5,2 | 2,31 | 2,96 | 4,67 | |
3,01 | 4,41 | 8,3 | 2,62 | 3,55 | 6,01 | 2,42 | 3,16 | 5,1 | 2,29 | 2,93 | 4,58 | |
2,99 | 4,38 | 8,2 | 2,61 | 3,52 | 5,93 | 2,40 | 3,13 | 5,0 | 2,27 | 2,90 | 4,50 | |
2,97 | 4,35 | 7,9 | 2,59 | 3,49 | 5,72 | 2,38 | 3,10 | 4,9 | 2,25 | 2,87 | 4,31 | |
… | 4,32 | 8,0 | … | 3,47 | 5,78 | … | 3,07 | 4,9 | … | 2,84 | 4,37 | |
2,95 | 4,30 | 7,9 | 2,56 | 3,44 | 5,72 | 2,35 | 3,05 | 4,8 | 2,22 | 2,82 | 4,31 | |
… | 4,28 | 7,9 | … | 3,42 | 5,66 | … | 3,03 | 4,8 | … | 2,80 | 4,26 | |
2,93 | 4,26 | 7,8 | 2,54 | 3,40 | 5,61 | 2,33 | 3,01 | 4,7 | 2,19 | 2,78 | 4,22 | |
… | 4,24 | 7,8 | … | 3,38 | 5,57 | … | 2,99 | 4,7 | … | 2,76 | 4,18 | |
2,91 | 4,22 | 7,7 | 25,2 | 3,37 | 5,53 | 2,31 | 2,98 | 4,6 | 2,17 | 2,73 | 4,14 | |
2,88 | 4,17 | 7,56 | 2,49 | 3,32 | 5,39 | 2,28 | 2,92 | 4,5 | 2,14 | 2,69 | 4,02 | |
2,84 | 4,08 | 7,31 | 2,44 | 3,23 | 5,18 | 2,23 | 2,84 | 4,3 | 2,09 | 2,61 | 3,83 | |
2,79 | 4,00 | 7,08 | 2,39 | 3,15 | 4,98 | 2,18 | 2,76 | 4,1 | 2,04 | 2,53 | 3,65 | |
2,77 | 8,96 | 6,96 | 2,37 | 3,11 | 4,88 | 2,16 | 2,72 | 4,0 | 2,02 | 2,48 | 3,56 | |
2,76 | 3,94 | 6,90 | 2,36 | 3,09 | 4,82 | 2,14 | 2,70 | 3,98 | 2,00 | 2,46 | 3,51 | |
∞ | 2,71 | 3,84 | 6,63 | 2,30 | 3,00 | 4,61 | 2,08 | 2,60 | 3,78 | 1,94 | 2,37 | 3,32 |
Приложение 2
Таблица критических значений t-статистики Стьюдента
Число степеней свободы, d.f.=n-k-1 | Уровень значимости, α (двусторонний) | ||||||
0,40 | 0,30 | 0,20 | 0,10 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | |
1,38 | 1,96 | 3,08 | 6,31 | 12,71 | 31,82 | 63,66 | |
1,06 | 1,39 | 1,89 | 2,92 | 4,30 | 6,97 | 9,93 | |
0,98 | 1,25 | 1,64 | 2,35 | 3,18 | 4,54 | 5,84 | |
0,94 | 1,19 | 1,53 | 2,13 | 2,78 | 3,75 | 4,60 | |
0,92 | 1,16 | 1,48 | 2,02 | 2,57 | 3,37 | 4,03 | |
0,91 | 1,13 | 1,44 | 1,94 | 2,45 | 3,14 | 3,71 | |
0,90 | 1,12 | 1,42 | 1,90 | 2,37 | 3,00 | 3,50 | |
0,89 | 1,11 | 1,40 | 1,86 | 2,31 | 2,90 | 3,36 | |
0,88 | 1,10 | 1,38 | 1,83 | 2,26 | 2,82 | 3,25 | |
0,88 | 1,09 | 1,37 | 1,81 | 2,23 | 2,76 | 3,17 | |
0,88 | 1,09 | 1,36 | 1,80 | 2,20 | 2,72 | 3,11 | |
0,87 | 1,08 | 1,36 | 1,78 | 2,18 | 2,68 | 3,06 | |
0,87 | 1,08 | 1,35 | 1,77 | 2,16 | 2,65 | 3,01 | |
0,87 | 1,08 | 1,35 | 1,76 | 2,15 | 2,62 | 3,00 | |
0,87 | 1,07 | 1,34 | 1,75 | 2,13 | 2,60 | 2,95 | |
0,87 | 1,07 | 1,34 | 1,75 | 2,12 | 2,58 | 2,92 | |
0,86 | 1,07 | 1,33 | 1,74 | 2,11 | 2,57 | 2,90 | |
0,86 | 1,07 | 1,33 | 1,73 | 2,10 | 2,55 | 2,88 | |
0,86 | 1,07 | 1,33 | 1,73 | 2,09 | 2,54 | 2,86 | |
0,86 | 1,06 | 1,33 | 1,73 | 2,09 | 2,53 | 2,85 | |
0,86 | 1,06 | 1,32 | 1,72 | 2,08 | 2,52 | 2,83 | |
0,86 | 1,06 | 1,32 | 1,72 | 2,07 | 2,51 | 2,82 | |
0,86 | 1,06 | 1,32 | 1,71 | 2,07 | 2,50 | 2,81 | |
0,86 | 1,06 | 1,32 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,80 | |
0,86 | 1,06 | 1,32 | 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,79 | |
0,86 | 1,06 | 1,32 | 1,71 | 2,06 | 2,48 | 2,78 | |
0,86 | 1,06 | 1,31 | 1,70 | 2,05 | 2,47 | 2,77 | |
0,86 | 1,06 | 1,31 | 1,70 | 2,05 | 2,47 | 2,63 | |
0,85 | 1,06 | 1,31 | 1,70 | 2,05 | 2,46 | 2,76 | |
0,85 | 1,06 | 1,31 | 1,70 | 2,04 | 2,46 | 2,75 | |
0,85 | 1,05 | 1,30 | 1,68 | 2,02 | 2,42 | 2,70 | |
0,85 | 1,05 | 1,30 | 1,67 | 2,00 | 2,39 | 2,66 | |
0,85 | 1,04 | 1,30 | 1,66 | 1,98 | 2,36 | 2,62 | |
∞ | 0,84 | 1,036 | 1,28 | 1,65 | 1,96 | 2,33 | 2,58 |
Приложение 3.
Шкала атрибутивных оценок тесноты корреляционной зависимости
Значения показателей корреляции () | Атрибутивная оценка тесноты выявленной зависимости | Значения показателей детерминации, % () |
До 0,3 | Слабая | До 10 |
0,3 – 0,5 | Умеренная | 10 – 25 |
0,5 – 0,7 | Заметная | 25 – 50 |
0,7 – 0,9 | Тесная | 50 – 80 |
0,9 и более | Весьма тесная | 80 и более |
Приложение 4.
Приложение 5.
Список рекомендуемой литературы
1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 1999.
2. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика, 2001.
3. Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордиенко Н.М. и др. Практикум по эконометрике. – М.: Финансы и статистика, 2001.
4. Бородич С.А. Эконометрика. – Минск: Новое знание, 2001.
5. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. / Учебник. – М.: ЮНИТИ, 1998.
6. Ланге О. Введение в эконометрику. / Пер. с польск. – М.: Прогресс, 1964.
7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. – М.: Статистика, 1971.
8. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. – М.: Статистика, 1976.
Никитин Сергей Ильич
Лаптев Виктор Иванович
Михайлов Борис Алексеевич
Эконометрика
Практикум
Подп. к печати 05.12.2005 г. | Формат 60´84 1/16 | |
Физ. п.л. 4,0 | Уч. изд. л. 2,0 | Доп. тираж 3200 экз. |
Изд. № 002 | Заказ № 0055 |
РИО СПбГУСЭ, лицензия ЛР № 040849
Член Издательско-полиграфической Ассоциации ВУЗов СПб
СПб государственный университет сервиса и экономики
193171, г. Санкт-Петербург, ул. Седова, 55/1
Отпечатано в ИИГ НОУ «АКТиБ», 193171, СПб., ул. Седова, 55/1
Лицензия ИД №05598 от 14.08.2001 г.
– Конец работы –
Используемые теги: готовые, Контрольные, ПО, математике, Эконометрика0.066
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ГОТОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Эконометрика
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов