Моделирование как метод научного познания

Задача линейного программирования будет иметь канонический вид, если в общей задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений с ограничениями в форме равенства^[4]:

Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств^[5].

Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты с обратным знаком.

Транспортная модель линейного программирования.

Многоотраслевая модель экономики Леонтьева.

Балансовые соотношения

Простые демографические модели.

Виды демографических моделей

Движение небесных тел.

Модель динамики численности биологических популяций.

Модель движения материальной точки.

http://www.ggpi.org/metod/kaf_d_ph/komp_model/kom-mod.html#3

Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.

Метод Рунге-Кутта решения дифференциальных уравнений.

http://www.codenet.ru/progr/alg/Runge-Kutt-Method/

http://www.delphiplus.org/articles/algorithm/rk_method/index.html

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Свободное падение тел с учетом сопротивления среды.

Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре

Движение тела с переменной массой.

Розыгрыш дискретной случайной величины (распределение случайной величины).

Модель процесса распространения эпидемий.

Модель колебательных процессов в физике.

Модели линейной оптимизации на примерах задач об ассортименте продукции.

Любая экономико-математическая модель лишь упрощенно, грубо отображает реальный экономический процесс, и это упрощение существенно сказывается на получаемых результатах. Исследователя вряд ли устроила бы заключительная симплекс-таблица, из которой можно было бы получить только список переменных и их значения. На самом же деле результирующая симплекс-таблица «насыщена» весьма важными данными, лишь небольшую часть которых составляют оптимальные значения переменных. Из симплекс-таблицы можно получить информацию относительно:
оптимального решения;
статуса ресурсов;
ценности каждого ресурса;
чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.
Сведения, относящиеся к первым трем пунктам, можно извлечь непосредственно из итоговой симплекс-таблицы. Получение информации, относящейся к четвертому пункту, требует дополнительных вычислений.
Для иллюстрации возможностей получения указанной выше информации из заключительной симплекс-таблицы воспользуемся опять задачей об ассортименте продукции (пример 7.2). Эта задача формулируется следующим образом:
максимизировать: Z = 3xj + 4x2
при следующих ограничениях: 2хх + Зх2 ^ 9
3*1 + 2Х2 < 13 Xj — х2 ^ 1 — 2
(доход); (сырье А), (сырье В), (спрос), (спрос).
Оптимальная симплекс-таблица имеет вид (табл. 7.18):
Таблица 7.18 Свободные неизвестные
Базисные неизвестные Свободный член У Уз 2,4 0,2 0,6 У2 3 -1 -1 У4 0,6 -0,2 0,4 1,4 0,2 -0,4 7
^т ах 12,8 1,4 0,2
В таблице ypj = 1,4 — выравнивающие переменные.
Оптимальное решение. С точки зрения практического использования результатов решения задач линейного программированияклассификация переменных на базисные и небазисные не имеет значения и при анализе оптимального решения может не учитываться. Переменные, отсутствующие в симплекс-таблице в столбце «базисные переменные», обязательно имеют нулевое значение. Значения остальных переменных приводятся в столбце «свободные члены».
При интерпретации результатов оптимизации в задаче об ассортименте продукции нас прежде всего интересуют объемы про-изводства продукции Пх и Я2, т. е. значения управляемых переменных хх и х2. Используя данные, содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты можно представить в следующем виде (табл. 7.19):
Управляемые Оптимальные Решение переменные значения 2,4 Объем производства продук ции Пі должен быть равен 2,4 ед. в сутки *2 1,4 Объем производства продук ции #2 должен быть равен 1,4 ед. в сутки 7
^тах 12,8 Доход от реализации продук ции будет равен 12,8 д. е. в сутки
Статус ресурсов. В подразд. 7.4 ресурсы относились либо к дефицитным, либо к недефицитным — в зависимости от того, полное или частичное их использование предусматривает оптимальное решение задачи. Сейчас цель состоит в том, чтобы получить соответствующую информацию непосредственно из оптимальной таблицы.
В модели, построенной для задачи об ассортименте продукции, фигурируют четыре ограничения со знаком «<». Первые два ограничения (определяющие допустимый расход исходного сырья) представляют собой истинные ограничения на ресурсы. Третье и четвертое ограничения относятся к спросу. Эти требования можно рассматривать как ограничения на соответствующие ресурсы, так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению представительства предприятия на рынке сбыта. В отношении финансовых средств такая ситуация имеет те же последствия, что и увеличение запасов ресурсов, требующее распределения дополнительных вложений.
Из вышеизложенного следует, что статус ресурсов (дефицитный или недефицитный) для любой модели линейного программированияможно установить непосредственно из результирующей симплекс-таблицы, обращая внимание на значения выравнивающих переменных. Применительно к нашей задаче можно привести следу-ющую сводную таблицу (табл. 7.20).
Положительное значение выравнивающей переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является недефицитным. Если же выравнивающая переменная равна 0, то это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса. Из сводной табл. 7.20 видно, что ресурсы 2 и 4 связаны с запасами сырья В и возможностями сбыта про-дукции Я2. Поэтому любое увеличение их запасов сверх установ- Ресурс Выравнивающая переменная Статус ресурса Сырье А Уі = 0 Дефицитный Сырье В ^2 = 3 Недефицитный Превышение объема производ Уз — 0 Дефицитный ства продукции Пх по отноше нию к объему производства продукции Пг Спрос на продукцию Пг У4 = 0,6 Недефицитный

ленного максимального значения приведет лишь к тому, что они станут еще более недефицитными. Оптимальное решение задачи при этом останется неизменным.
Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить решение (увеличить доход), — это сырье А и возможности по сбыту продукции Пь поскольку из оптимальной симплекс-таблицы (табл. 7.18) видно, что они дефицитные. В связи с этим логично поставить вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем разделе этой главы, где рассматривается ценность различных ресурсов.
Ценность ресурса. Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса. Графическая интерпретация этого определения применительно к условиям задачи об ассортименте продукции была дана в подразд. 7.4 (вторая задача на чувствительность). Графический анализ показывает, что ценность ресурсов 1, 2, 3 и 4 равна:
U = 1,4 д. е. на единицу прироста запасов ресурса сырья А; и2 = о, U4 = 0;
Щ = 0,2 д. е. на единицу прироста превышения производства продукции П по отношению к объему производства продукции П2.
Эта информация представлена в оптимальной таблице (табл. 7.18). Обратим внимание на значения коэффициентов Z-уравне- ния, стоящих при переменных начального базиса уь у2, у$ и у4. Значения указанных коэффициентов (1,4; 0; 0,2; 0) в точности соответствуют значениям Ux U2 Щ.
Хотя в подразд. 7.4 были даны необходимые разъяснения, связанные с определением ценности ресурсов, покажем, каким образом аналогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы.
Рассмотрим Z-уравнение оптимальной симплекс-таблицы решения задачи об ассортименте продукции:
Z = 12,8 - (1,4 ¦ у{ + 0 • у2 + 0,2 • уъ + 0 ¦ у4).
Положительное приращение переменной у{ относительно ее текущего нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z, причем коэффициент пропорциональности равен 1,4 д. е. Однако из первого ограничения модели следует
2*1 + Зх2 +,i=9,
т. е. увеличение Уі эквивалентно снижению запаса ресурса 1 (сырья Л). Отсюда следует, что уменьшение запаса первого ресурса вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции Zc коэффициентом пропорциональности, равным 1,4 д. е. Аналогичные рассуждения справедливы и для ресурса 3.
В отношении ресурсов 2 и 4 было установлено, что их ценность равна 0 (U2 = U4 = 0). Этого и следовало ожидать, так как ресурсы 2 и 4 оказались недефицитными. Такой результат получается всякий раз, когда соответствующие выравнивающие переменные имеют положительное значение.
Несмотря на то что ценность различных ресурсов, определяемая значениями переменных Uh была представлена в стоимостном (д. е.) выражении, ее нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым возможна закупка соответствующих ресурсов. На самом деле речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу и количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения Z. При изменении ограничений модели соответствующие экономические оценки будут меняться даже тогда, когда оптимизируемый процесс предполагает применение тех же ресурсов. Поэтому при характеристике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать такие* термины, как теневая цена или двойственная оценка. Заметим, что теневая цена характеризует интенсивность улучшения оптимального решения Z. Однако при этом не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурсов, при которых интенсивность улучшения целевой функции остается постоянной. Для большинства практических ситуаций логично предположить наличие верхнего предела увеличения запасов, при превышении которого соответствующее ограничение становится избыточным, что в свою очередь приводит к новому ба- зисному решению и соответствующим ему новым теневым ценам. Ниже определяется интервал значений запасов ресурса, при которых соответствующее ограничение не становится избыточным.

Максимальное изменение запаса ресурса. При решении вопроса о том, запас какого из ресурсов следует увеличивать в первую очередь, обычно используются двойственные оценки (теневые цены). Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса, при которых двойственная оценка данного ресурса, фигурирующая в за-ключительной симплекс-таблице, остается неизменной, необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений. Положим, что в задаче об ассортименте продукции запас первого ресурса (сырья А) изменился на Aj, т. е. запас сырья А составит (9 + Aj) единиц. Введем это изменение в начальную симплекс-таблицу и затем выполним всю последовательность вычислений.
Поскольку элементы правых частей ограничений никогда не используются в качестве разрешающих, то очевидно, что на каждой итерации вычислений Aj будет оказывать влияние только на значения элементов столбца «свободные члены».
Результаты вычислений элементов столбца «свободные члены» сведены в табл. 7.21:
Таблица 7.21 Уравнение Значения элементов столбца «свободные члены» Начальная симплекс-таблица Оптимальная симплекс-таблица Z 0 12,8 + 1,4 • А, 1 9 + А, 2,4 + 0,2 • А, 2 13 3 - 1 • А, 3 1 0,6 - 0,2 • А, 4 2 1,4 + 0,2 • А,
Все изменения элементов столбца «свободные члены» определяются непосредственно по данным, содержащимся в симплекс- таблицах. Каждый элемент столбца «свободные члены» представляет собой сумму двух величин:
постоянной;
члена, линейно зависящего от Aj.
Постоянные соответствуют числам, которые фигурируют в оптимальной симплекс-таблице до введения Aj в столбце «свободные члены». Коэффициенты при Aj во вторых слагаемых равны коэффициентам при у{ в оптимальной симплекс-таблице.
Заметим, что при анализе изменений в правых частях второго, третьего и четвертого ограничений нужно пользоваться коэффици-ентами при переменных у2, Уз, У4 соответственно.
Так как введение Aj сказывается лишь на правой части ограничений (на элементах столбца «свободные члены»), изменение запаса ресурса может повлиять только на допустимость решения. Поэтому Aj не может принимать значений, при которых какая-либо из базисных переменных становится отрицательной. Из этого следует, что величина А{ должна быть ограничена таким интервалом значений, при котором выполняется условие неотрицательности правых частей ограничений в результирующей симплекс-таблице, т. е.:
х{ = 2,4 + 0,2 • Aj > 0; у2 = 3 - 1 • А! > 0;
у4 = 0,6 - 0,2 • А! > 0; х2 = 1,4 + 0,2 • А1 > 0.
Для определения допустимого интервала изменения А{ рассмотрим два случая.
Случай 7: А1 > 0.
Соотношения (7.51) и (7.54) всегда выполняются при Aj > 0. Соотношения (7.52) и (7.53) определяют следующие предельные значения Aj < 3; А{ < 3. Таким образом, все четыре соотношения выполняются при Aj < 3.
Случай 2: А{ < 0.
Соотношения (7.52) и (7.53) выполняются при А{ < 0. Соотношения (7.51) и (7.54) справедливы при А{ > — 12; А{ > —1 соответственно.
Таким образом, оба соотношения справедливы при А{ > —7.
Объединяя результаты, полученные для обоих случаев, можно сделать вывод, что при —7 < А{ < 3 решение рассматриваемой системы всегда будет допустимым. Любое значение А1? выходящее за предел указанного интервала (т.е. уменьшение запаса сырья А бо-лее чем на 7 единиц или увеличение более чем на 3 единицы), приведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных.
Анализ на чувствительность оптимального решения к вариации коэффициентов целевой функции. В подразд. 7.4 на основе графического представления модели было показано, что при определенных значениях изменения коэффициентов целевой функции оптимальные значения переменных остаются неизменными (хотя оптимальное значение Z при этом меняется). Возвращаясь к этому вопросу, покажем, каким образом интересующую нас информацию можно
получить из данных, содержащихся в оптимальной симплекс-таблице.
Следует отметить, что уравнение целевой функции также не используется в качестве ведущего уравнения. Поэтому любые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы. Это означает, что такие изменения могут сделать полученное решение неоптимальным. Наша цель заключается в том, чтобы найти интервалы изменений коэффициентов целевой функции, при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.
Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисления, положим, что доход, получаемый с единицы продукции Пь изменяется от 3 до 3 + 5j, где 8{ может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
^тах = (3 + 81)Х{ + 4Х2.
Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить все вычисления, необходимые для получения оптимальной симплекс-таблицы, то последнее Zmax-ypaBHeHHe будет выглядеть следующим образом: Свободные переменные Свободные члены У Уі 7 12,8 + 2,4 Ъх 1,4 + 0,2 8, 0,2 + 0,6 8,
Это уравнение (строка целевой функции) отличается от Z-уравнения до введения Sj только наличием членов, содержащих 6j. Коэффициенты при 5j равны коэффициентам при соответствующих переменных в jcj-уравнении (х{-строка) симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения: Свободные ^^переменные Базисные^Х^ переменные ^v. Свободные члены У Уз 2,4 0,2 0,6
Мы рассматриваем х{-уравнение, так как коэффициент именно при этой переменной в выражении для целевой функции в начальной симплекс-таблице изменился на Sj.
Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при значениях 5j, удовлетворяющих условию неотрицательности (задача на отыскание максимума) всех коэффициентов при свободных переменных в Z-уравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства:
1,4 + 0,2 5j > 0; 0,2 + 0,6 5! > 0.
Из первого неравенства получаем, что 8Х > -7, а из второго следует, что 8i>-j. Эти результаты определяют пределы изменения
коэффициента -j<8j<+°o.
/
/ «
Таким образом, при уменьшении коэффициента целевой функ-
= 2—, или 3
3 +
ции при переменной Хі до значения, равного
'JJ
при его увеличении до +°о оптимальные значения переменных остаются неизменными. Этот вывод совпадает с результатом, полу-ченным в подразд. 7.4.
Следует отметить, что оптимальное значение Z будет изменяться в соответствии с выражением (12,8 + 2,4 где <+°°-
Мы рассмотрели случай изменения коэффициента при базис-ной переменной хх. В случае изменения коэффициента при свободной переменной в целевой функции происходит изменение коэффициента только при данной переменной в оптимальной симплекс-таблице. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай, когда коэффициент при свободной переменной у{ (первая выравнивающая переменная) изменяется от 0 до 52. Выполнение преобразований, необходимых для получения заключительной симплекс-таблицы, приводит к следующему результирующему Z-уравнению: Свободные переменные Свободные члены У Уг z
^тах 12,8 1,4 - 52 0,2
Из приведенного фрагмента заключительной симплекс-таблицы видно, что единственное отличие от Z-уравнения до введения
S2 состоит в том, что коэффициент при уз уменьшился на 82. Таким образом, коэффициент при свободной переменной в результирую-щем Z-уравнении нужно уменьшить на ту же величину, на которую он увеличивался в исходном Z-уравнении.

22. Нелинейные системы: хаос и странные аттракторы.

Основная статья: Динамический хаос

Пример чувствительности системы к первоначальным условиям,где x → 4 × (1 – x) и y → x + y,если x + y < 1 (иначе x + y – 1). Здесь четко видно, что ряды значений x и yчерез какое-то время заметно отклоняются друг от друга хотя в первоначальных состояниях отличия микроскопические

В бытовом контексте слово «хаос» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательное хаотическийопределено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:

1. она должна быть чувствительна к начальным условиям

2. она должна иметь свойство топологического смешивания

3. её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

1. Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5 (то есть порядок дифференциального уравнения не менее 3-го).

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре-Бендиксона (Poincaré-Bendixson), непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Чувствительность к начальным условиям[править | править исходный текст]

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.

Топологическое смешивание[править | править исходный текст]

Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание», как пример хаотической системы, соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкости.

Тонкости определения[править | править исходный текст]

Пример топологического смешивания,где x → 4 × (1 – x) и y → x + y,если x + y < 1 (иначе x + y – 1). Здесь синий регион в процессе развития был преобразован сначала в фиолетовый, потом в розовый и красный регионы и в конечном итоге выглядит как облако точек, разбросанных поперек пространства

В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем, чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор (геометрическая фигура, поверхность вращения окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности — имеет форму бублика), заданный парой углов (x, y) со значениями от нуля до 2π. Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y+a), где значение a/2π является иррациональным. Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никакихпериодических орбит — следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.

Аттракторы[править | править исходный текст]

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства)динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальномуподпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению наорбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Странные аттракторы[править | править исходный текст]

Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющиеся ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трехмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца (Lorenz) — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является — отображение Рёслера (Rössler), которая имеет двойной период, подобно логистическому отображению. Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например отображения Хенона (Hénon)). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру. Теорема Пуанкаре-Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

Обезразмеривание системы уравнений.

Движение заряженных частиц в электростатическом поле точечных источников.

Системный подход в научных исследованиях (системный анализ).

Модель солнечной системы Птолемея, Коперника, Кеплера.

Первая гелиоцентрическая система

Современникам Аристотеля уже было известно, что планета Марс в противостоянии, а также Венера во время попятного движения значительно ярче, чем в другие моменты. По теории сфер они должны были бы оставаться всегда на одинаковом расстоянии от Земли. Именно поэтому тогда возникали и другие представления о строении мира.

Так, Гераклит Понтийский (388 - 315 гг. до н. э.) предполагал, что Земля движется «...вращательно, около своей оси, наподобие колеса, с запада на восток вокруг собственного центра». Он высказал также мысль, что орбиты Венеры и Меркурия являются окружностями, в центре которых находится Солнце. Вместе с Солнцем эти планеты будто бы и обращаются вокруг Земли.

Еще более смелых взглядов придерживался Аристарх Самосский (ок. 310 - 230 гг. до н. э.). Выдающийся древнегреческий ученый Архимед (ок. 287 - 212 гг. до н.э. ) в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), обращаясь к Гелону Сиракузскому, писал о взглядах Аристарха так:

«Ты знаешь, что по представлению некоторых астрономов мир имеет форму шара, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус равен длине прямой, соединяющей центры Земли и Солнца. Но Аристарх Самосский в своих «Предложениях», написанных им против астрономов, отвергая это представление, приходит к заключению, что мир гораздо больших размеров, чем только что указано. Он полагает, что неподвижные звезды и Солнце не меняют своего места в пространстве, что Земля движется по окружности вокруг Солнца, находящегося в его центре, и что центр сферы неподвижных звезд совпадает с центром Солнца, а размер этой сферы таков, что окружность, описываемая по его предположению, Землей, находится к расстоянию неподвижных звезд в таком же отношении, в каком центр шара находится к его поверхности».

Cистема Птолемея

Становление астраномии как точной науки началось благодаря работам выдающегося греческого ученого Гиппарха. Он первый начал систематические астрономические наблюдения и их всесторонний математический анализ, заложил основы сферической астраномии и тригонометрии, разработал теорию движения Солнца и Луны и на ее основе - методы предвычисления затмений.

Гиппарх обнаружил, что видимое движение Солнца и Луны на небе является неравномерным. Поэтому он стал на точку зрения, что эти светила движутся равномерно по круговым орбитам, однако центр круга смещен по отношению к центру Земли. Такие орбиты были названыэксцентрами. Гиппарх составил таблицы, по которым можно было определить положение Солнца и луны на небе на любой день года. Что же касается планет, то, по замечанию Птолемея, он «не сделал других попыток объяснения движения планет, а довольствовался приведением в порядок сделанных до него наблюдений, присоединив к ним еще гораздо большее количество своих собственных. Он ограничился указанием своим современникам на неудовлетворительность всех гипотез, при помощи которых некоторые астрономы думали объяснить движение небесных светил».

Благодаря работам Гиппарха астрономы отказались от мнимых хрустальных сфер, предположенных Евдоксом, и перешли к более сложным построениям с помощью эпициклов и деферентов, предложенных еще до Гиппарха Аполлоном Пергским. Классическую форму теории эпициклических движений придал Клавдий Птолемей.

Главное сочинение Птолемея «Математический синтаксис в 13 книгах» или, как его назвали позже арабы, «Альмагест»(«Величайшее») стал известным в средневековой Европе лишь в XII в. В 1515 г. он был напечатан на латинском языке в переводе с арабского, а в 1528 г. в переводе с греческого. Трижды «Альмагест» издавался на греческом языке, в 1912 г. он издан на немецком языке.

«Альмагест» - это настоящая энциклопедия античной астрономии. В этой книге Птолемей сделал то, что не удавалось сделать ни одному из его предшественников. Он разработал метод, пользуясь которым можно было рассчитать положение той или другой планеты на любой наперед заданный момент времени. Это ему далось нелегко, и в одном месте он заметил:

«Легче, кажется, двигать самые планеты, чем постичь их сложное движение...»

«Установив» Землю в центре мира, Птолемей представил видимое сложное и неравномерное движение каждой планеты как сумму несколькихпростых равномерных круговых движений.

Согласно Птолемею каждая планета движется равномерно по малому кругу - эпициклу. Центр эпицикла в свою очередь равномерно скользит по окружности большого круга, названого деферентом (рис.1.). Для лучшего совпадения теории с данными наблюдений пришлось предположить, что центр деферента смещен по отношению к центру Земли. Но этого было недостаточно. Птолемей был вынужден предположить, что движение центра эпицикла по деференту является равномерным ( т. е. его угловая скорость движения постоянна), если рассматривать это движение не из центра деферента О и не из центра Земли Т, а с некоторой «выравнивающей точки» Е, названной позжеэквантом.

Комбинируя наблюдения с расчетами, Птолемей методом последовательных приближений получил, что отношения - радиусов эпициклов к радиусам деферентов для Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна равны соответственно 0.376, 0.720, 0.658, 0.192 и 0.103. Любопытно, что для предвычисления положения планеты на небе не было необходимости знать расстояния до планеты, а лишь упомянутое отношение радиусов эпициклов и деферентов.

При построении своей геометрической модели мира Птолемей учитывал тот факт, что в процессе своего движения планеты несколько отклоняются от эклиптики. Поэтому для Марса, Юпитера и Сатурна он «наклонил» плоскости деферентов к эклиптике и плоскости эпициклов к плоскостям деферентов. Для Меркурия и Венеры он ввел колебания вверх и вниз с помощью небольших вертикальных кругов. В целом для объяснения всех замеченных в то время особенностей в движении планет Птолемей ввел 40 эпициклов. Система мира Птолемея, в центре которой находится Земля, называется геоцентрической.

Кроме отношения радиусов эпициклов и деферентов для сопоставления теории с наблюдениями необходимо было задать периоды обращения по этим кругам. По Птолемею, полный оборот по окружности эпициклов все верхние планеты совершают за тот же промежуток времени, что и Солнце по эклиптике, т. е. за год. Поэтому радиусы эпициклов этих планет, направленные к планетам, всегда параллельны направлению с Земли на Солнце. У нижних планет - Меркурия и Венеры - период обращения по эпициклу равен промежутку времени, а течении которого планета возвращается к исходной точке на небе. Для периодов обращений центра эпицикла по окружности деферента картина обратная. У Меркурия и Венеры они равны году. Поэтому центры их эпициклов всегда лежат на прямой, соединяющей солнце и Землю. Для внешних планет они определяются временем, в течении которого планета, описав полную окружность на небе, возвращается к тем же звездам.

Вслед за Аристотелем Птолемей попытался опровергнуть представление о возможном движении Земли. Он писал:

«Существуют люди, которые утверждают, будто бы ничто не мешает допустить, что небо неподвижно, а земля вращается около своей оси от запада к востоку, и что она делает такой оборот каждые сутки. Правда, говоря о светилах, ничто не мешает для большей простоты допустить это, если принимать в расчет только видимые движения. Но эти люди не сознают, до какой степени смешно такое мнение, если присмотреться ко всему, что совершается вокруг нас и в воздухе. Если мы согласимся с ними, - чего в действительности нет, - что самые легкие тела вовсе не движутся или движутся так же , как и тела тяжелые, между тем как, очевидно, воздушные тела движутся с большей скоростью, чем тела земные; если бы мы согласились с ними, что предметы самые плотные и самые тяжелые имеют собственное движение, быстрое и постоянное, тогда как на самом деле они с трудом движутся от сообщаемых им толчков, - все - таки эти люди должны были бы сознаться, что Земля вследствие своего вращения имела бы движение значительно быстрее всех тех, какие происходят вокруг нее, ибо она совершала бы такую большую, окружность в такой малый промежуток времени. Таким образом, тела, которые поддерживали бы Землю, казались бы всегда движущимися по противоположному с ней направлению, и никакое облако, ничто летящее или брошенное никогда не казалось бы направляющимся к востоку, ибо Земля опередила бы всякое движение в этом направлении».

С современной точки зрения можно сказать, что Птолемей слишком переоценил роль центробежной силы. Он также придерживался ошибочного утверждения Аристотеля, что в поле тяжести тела падают со скоростями, пропорциональными их массам...

В целом же, как заметил А. Паннекук, «Математическое сочинение» Птолемея «было карнавальным шествием геометрии, праздником глубочайшего создания человеческого ума в представлении Вселенной.. труд Птолемея предстает перед нами как великий памятник науки античной древности...».

После высокого расцвета античной культуры на европейском континенте наступил период застоя и регресса. Этот мрачный промежуток времени продолжительностью более тысячи лет был назван средневековьем. Ему предшествовало превращение христианства в господствующую религию, при которой не было места для высокоразвитой науки античной древности. В это время произошел возврат к наиболее примитивным представлениям о плоской Земле.

И лишь начиная с XI в. под влиянием роста торговых сношений, с усилием в городах нового класса - буржуазии. Духовная жизнь в Европе начала пробуждаться. В середине XIII в. философия Аристотеля была приспособлена к христианской теологии, отменены решения церковных соборов, запрещавших натурфилософские идеи великого древнегреческого философа. Взгляды Аристотеля на устройство мира вскоре стали неотъемлемыми элементами христианской веры. Теперь уже нельзя было сомневаться в том, что Земля имеет форму шара, установленного в центре мира, и что вокруг него обращаются все небесные светила. Система Птолемея стала как бы дополнением к Аристотелю, помогающим проводить конкретные расчеты положений планет.

Основные параметры своей модели мира Птолемей определил в высшей степени искусно и с высокой точностью. Со временем, однако, астрономы начали убеждаться в том, что между истинным положением планеты на небе и расчетным существуют расхождения. Так, в начале 12 века планета Марс оказалась на два градуса в стороне от того места, где ей надлежало быть по таблицам Птолемея.

Чтобы объяснить все особенности движения планет на небе, приходилось вводить для каждой из них до десяти и более эпициклов со всё уменьшающимися радиусами так, чтобы центр меньшего эпицикла обращался по кругу большего. К 16 веку движение Солнца, Луны и пяти планет объяснялось с помощью более чем 80 кругов! И всё же наблюдения, разделённые большими промежутками времени, было трудно «подогнать» под эту схему. Приходилось вводить новые эпициклы, несколько изменять их радиусы, смещать центры деферентов по отношению к центру Земли. В конечном итоге геоцентрическая система Птолемея, перегруженная эпициклами и эквантами, рухнула от собственной тяжести...

Мир Коперника

Книга Коперника, вышедшая в год его смерти, в 1543 году, носила скромное название: «О вращении небесных сфер». Но это было полное ниспровержение Аристотеля взгляда на мир. Сложная махина полых прозрачных хрустальных сфер отошла в прошлое. С этого времени началась новая эпоха в нашем понимании Вселенной. Продолжается она и по ныне.

Благодаря Копернику мы узнали, что Солнце занимает надлежащее ему положение в центре планетной системы. Земля же никакой не центр мира, а одна из рядовых планет, обращающихся вокруг Солнца. Так все стало на свои места. Строение Солнечной системы было наконец разгадано.

Дальнейшие открытия астрономов пополнили семью больших планет. Их девять: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон. В таком порядке они занимают свои орбиты вокруг Солнца. Открыто множество малых тел Солнечной системы - астероидов и комет. Но это не изменило новой Коперниковой картины мира. Напротив, все эти открытия только подтверждают и уточняют ее.

Теперь мы понимаем, что живем на небольшой планете, похожей на шар. Земля вращается вокруг Солнца по орбите, не слишком отличающейся от окружности. Радиус этой окружности близок к 150 миллионам километров.

Расстояние от Солнца до Сатурна - самой дальней из известных во времена Коперника планет - приблизительно в десять раз больше радиуса земной орбиты. Это расстояние совершенно правильно определил еще Коперник. Размеры Солнечной системы - расстояние от Солнца до орбиты девятой планеты, Плутона, еще почти в четыре раза больше и составляет приблизительно 6 миллиардов километров.

Такова картина Вселенной в нашем непосредственном окружении. Это и есть мир по Копернику.

Но Солнечная система еще не вся Вселенная. Можно сказать, что это только наш маленький мирок. А как же далекие звезды? О них Коперник не рисковал высказывать никакого определенного мнения. Он просто оставил их на прежнем месте, не дальней сфере, где были они у Аристотеля, и лишь говорил, и совершенно правильно, что расстояние до звезд во множество раз больше размеров планетных орбит. Как и античные ученые, он представлял Вселенную замкнутым пространством, ограниченным этой сферой.

Солнце и Звезды

Галактика

Сферическая составляющая; 2 - диск; 3 - ядро; 4 - слой газопылевых облаков; 5 - корона

Таковы сведения, полученные советским астрономом Я. Эйнасто и его сотрудниками в Тартуской обсерватории.

Легко представить себе, с каким нетерпением ожидают астрономы вестей из физических лабораторий, где ставятся сейчас специальные эксперименты, чтобы выяснить, есть ли у нейтрино масса покоя или нет. Возможно, именно физики и решат загадку невидимой короны.

Звездные миры

Приблизительно так же устроены и другие сверхскопления, лежащие далеко от нас, но довольно отчетливо различимые в современные крупные телескопы.

До недавнего времени астрономы полагали, что эти объекты - самые крупные образования во Вселенной и что какие-либо ещё большие системы отсутствуют. Но вот выяснилось, что это не так.

Несколько лет назад астрономы составили удивительную карту Вселенной. На ней каждая галактика представлена всего лишь точкой. На первый взгляд они рассеяны на карте хаотично. Если же приглядеться внимательно, то можно обнаружить группы, скопления и сверхскопления, которые выглядят здесь цепочками точек. Но что поразительнее всего, карта позволяет обнаружить, что некоторые такие цепочки соединяются и пересекаются, образуя какой-то сетчатый или ячеистый узор, напоминающий кружева или, может быть, пчелиные соты с размерами ячеек в 100-300 миллионов световых лет.

Покрывают ли такие «сетки» всю Вселенную, еще предстоит выяснить. Но несколько отдельных ячеек, очерченных сверхскоплениями, удалось подробно изучить. Внутри них галактик почти нет, все они собраны в «стенки».

Ячейка - это предварительное, рабочее название для самого крупного образования во Вселенной. Более крупных систем в природе нет. Это показывает карта Вселенной. Астрономия достигла наконец завершения одной из самых грандиозных своих задач: вся последовательность, или, как ещё говорят, иерархия, астрономических систем теперь целиком известна. И всё же...

Вселенная

Во все времена люди предпочитали считать Вселенную вечной и неизменной. Эта точка зрения господствовала вплоть до 20-х годов нашего века. В то время считалось, что она ограничена размерами нашей Галактики. Пути могут рождаться и умирать, Галактика все равно остается все той же, как неизменным остается лес, в котором поколение за поколением сменяются деревья.

Настоящий переворот в науке о Вселенной произвели в 1922 - 1924 годах работы ленинградского математика и физика А. Фридмана. Опираясь на только что созданную тогда А. Эйнштейном общую теорию относительности, он математически доказал, что мир - это не нечто застывшее и неизменное. Как единое целое он живет своей динамической жизнью, изменяется во времени, расширяясь или сжимаясь по строго определённым законам.

Фридман открыл подвижность звёздной Вселенной. Это было теоретическое предсказание, а выбор между расширением и сжатием нужно сделать на основании астрономических наблюдений. Такие наблюдения в 1928 - 1929 годах удалось проделать Хабблу, известному уже нам исследователю галактик.

Он обнаружил, что далёкие галактики и целые их коллективы движутся, удаляясь от нас во все стороны. Но так и должно выглядеть, в соответствии с предсказаниями Фридмана, общее расширение Вселенной.

Конечно, это не означает, что галактики разбегаются именно от нас. Иначе мы вернулись бы к старым воззрениям, к докоперниковой картине мира с Землёй в центре. В действительности общее расширение Вселенной происходит так, что все они удаляются друг от друга, и из любого места картина этого разбегания выглядит так, как мы видим её с нашей планеты.

Если Вселенная расширяется, то, значит, в далёком прошлом скопления были ближе друг к другу. Более того: из теории Фридмана следует, что пятнадцать - двадцать миллиардов лет назад ни звёзд, ни галактик ещё не было и всё вещество было перемешано и сжато до колоссальной плотности. Это вещество было тогда и немыслимо горячим. Из такого особого состояния и началось общее расширение, которое привело со временем к образованию Вселенной, какой мы видим и знаем её сейчас.

Общие представления о строении Вселенной складывались на протяжении всей истории астрономии. Однако только в нашем веке смогла появиться современная наука о строении и эволюции Вселенной - космология.

Заключение

Мы знаем строение Вселенной в огромном объеме пространства, для пересечения которого свету требуются миллиарды лет. Но пытливая мысль человека стремится проникнуть дальше. Что лежит за границами наблюдаемой области мира? Бесконечна ли Вселенная по объему? И её расширение - почему оно началось и будет ли оно всегда продолжаться в будущем ? А каково происхождение «скрытой» массы? И наконец, как зародилась разумная жизнь во Вселенной?

Есть ли она ещё где-нибудь кроме нашей планеты? Окончательные и полные ответы на эти вопросы пока отсутствуют.

Вселенная неисчерпаема. Неутомима и жажда знания, заставляющая людей задавать всё новые и новые вопросы о мире и настойчиво искать ответы на них.

Модель поведения динамической системы, описываемой разностным логическим уравнением.

Переход детерминированных систем к хаотическому поведению.

Моделирование поведения динамики многочастичных систем.