Определители

Определители

Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядка с действительными элементами называется действительное число, обозначаемое: или или , и равное

Примеры.

1. .

3.

4.

5.

6.

7.

 

Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.

2⁰. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Пусть Î R.

Определение 2. Матрица =Î Rназывается транспонированной к матрице , если она получается следующим образом: –й столбец матрицы состоит из элементов –ой строки матрицы , расположенных в том же порядке.

Операция называется транспонированием.

Пример. .

Свойства операции транспонирования матриц.

1.

2.

3.

Доказательство свойств 1−3 осуществляется прямыми вычислениями (самостоятельно).

4. RRсправедливо.

Доказательство: RRR R

Легко видеть, что RRR.

Пусть – элемент матрицы , стоящий в –й строке и –том столбце , где – элемент –ой строки и –того столбца матрицы

, где

Но , , где и – элементы и , соответственно =>, где последняя сумма – произведение элементов –ой строки на –ой столбец , т.е. – элемент , что и требовалось доказать.

5. ,

Определение 3. Если квадратная R т.е. , то называется симметричной, если ,т.е. , то называется кососимметричной (антисимметричной).

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. .

Доказательство: Пусть , , т.к. и имеют одинаковое количество членов , то достаточно показать, что член является членом и наоборот.

Все члены имеют вид: и составлены из членов, находящихся в разных строках и столбцах этот же член является членом . Верно и обратное члены определителя одни и те же. Осталось определить знаком этого слагаемого в detA и detA^T.

Знак равен . Этот член входит в как и имеет знак (см. свойство 2 перестановок) т.к. =определители и являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками , что и требовалось доказать.

Следствие.Всякая теорема об определителе матрицы остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот.

Свойство 2. Если одна из строк матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. На самом деле, пусть –я строка нулевая. Т.к. в каждый член определителя входит один её элемент все члены нулевые ,что и требовалось доказать.

Свойство 3. Если матрица Rполучена из Rперестановкой каких–либо двух строк, то

Доказательство: Пусть , ,

т.е. B получается из A перестановкой i-ой и j-ой строк.

Если входит в , то все его члены и в остаются в разных столбцах и строках он входит и в . Слагаемое имеет знак , а в надо считать знак перестановки , которая получается из транспозицией в верхней строке она имеет противоположную четность, т.е. все члены входят в с противоположным знаком , что и требовалось доказать.

Свойство 4. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю.

Доказательство. Пусть и –строки равны после их перестановки определитель равен , но т.к. переставлены одинаковые строки он тот же самый .

Свойство 5. Если получена из умножением некоторой строки на R, то .

Доказательство:

Свойство 6. Если содержит две пропорциональные строки, то .

Доказательство. Пусть –я строка равна -ой строке, умноженной на можно вынести из –й строки (свойство 5) ǁпо свойству 4ǁ , что и требовалось доказать.

Свойство 7.Если все элементы –ой строки матрицы представлены в виде двух слагаемых: , то , где , имеют все строки, кроме –ой, как в , а –ая строка состоит из , а – из , т.е.

.

Доказательство.

, что и требовалось доказать.

Следствие. То же самое, когда , т.е. все элементы i-ой строки являются суммой слагаемых.

Определение 4. Будем говорить, что строка , R является линейной комбинацией строк R, если для некоторых R справедливо

, (1)

Это равенство можно записать в матричном виде:

(1’)

Свойство 8. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация её других строк, то определитель матрицы равен нулю.

Доказательство. Если –ая строка есть линейная комбинация остальных строк , то элемент –ой строки – сумма элементов по следствию к свойству 7 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых –ая строка пропорциональна одной из строк они равны , что и требовалось доказать.

Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из строк матрицы прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Доказательство. Если к –ой строке прибавляется –ая строка, умноженная на , то в новой матрице –ая строка равна . Тогда на основании свойства 7 её определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен , а второй содержит две пропорциональные строки равен , что и требовалось доказать.

Следствие. Определитель матрицы не меняется, если к её одной строке добавляется линейная комбинация других строк.

3⁰.Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть R. Выберем номеров строк и номеров столбцов .

Определение 5.Минором порядка матрицы называется определитель матрицы порядка , образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Обозначение:

Пример. , , .

Определение 6. Если – квадратная порядка , то каждому минору порядка можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка , элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов. Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к .

Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на .

В частности, для алгебраического дополнения элемента справедлива формула .

 

В частности, для алгебраического дополнения элемента справедлива формула .

Пример.

Теорема 1(о разложении определителя по «своей» строке).

Если Rи , то равен сумме произведений элементов любой строки матрицы на их алгебраические дополнения, т.е. .

Доказательство. Пусть

. Тогда, выбрав –ую строку, определитель можно представить как сумму:

Обозначим i-я строка.

Покажем, что . Переставляя раз столбцы и раз строки, получаем :

Лемма 1. Справедливо равенство

.

Доказательство.

Рассмотрим . Очевидно, что , так что число инверсий в и одно и тоже; значит, , что и требовалось доказать. Вернемся к доказательству теоремы: , что и требовалось доказать. Следствие (разложение по «чужой» строке).

Теорема о базисном миноре матрицы

Определение 1.Строки R назовем линейно зависимыми, если такие R, одновременно не равные нулю, такие что Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, – линейно независимы, если…

Доказательство.

линейно зависимы

Доказательство.

Свойства определителей.