Определители. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Определители

2. Вычислить определитель 1) непосредственно, 2) предварительно меняя первую и третью строки, 3) предварительно меняя вторую и третью строки.

Матрицы.

  7. Определить параметры из условий  

Системы линейных алгебраических уравнений

линейных уравнений 27.Проверить является ли множество чисел , зависящее от параметра

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

34.Для данных систем уравнений

 

написать расширенные матрицы.

35. По данным расширенным матрицам

 

написать задающие их системы уравнений.

36. Доказать, что данные системы уравнений равносильны

 

37. Решить данные системы уравнений методом Гаусса

 

38. Решить данные системы методом Гаусса

1) 2)

39.Решить данные системы методом Гаусса

 

 

 

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости.

41. Написать уравнение вертикальной прямой проходящей через точку . 42. Написать уравнения прямой линии: 1) проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент ;

Кривые второго порядка

Парабола.

62. Определить величину параметра и дать эскизы парабол   63. Определить величину параметра, фокус, директрису и дать эскиз.

Окружность

70.Написать уравнение окружности, зная

1) её центр О и радиус ; 2) её центр О и радиус ;

71. Найти точки пересечения окружности с осями координат.

Эллипс.

абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что 1) его полуоси равны ; 2) его большая полуось равна 5, а расстояние между фокусами ;

Гипербола.

1) её полуоси ; 2) её горизонтальная ось 8 , а расстояние между фокусами ; 3) расстояние между её фокусами , а эксцентриситет ;

Кривые в полярной системе координат.

89. Построить точки, если заданы их полярные координаты

 

90. Пусть точки заданы в полярной системе координат. Используя калькулятор вычислить, декартовы координаты этих точек

 

91. Пусть точки заданы в декартовой системе координат. Используя калькулятор вычислить, полярные координаты точек

 

92. Построить кривые в полярной системе координат

 

93. Записать уравнения кривых в полярной системе координат

 

94. Определить точки пересечения кривых

1) 2)

3) 4)

 

 

Элементы векторной алгебры

ОХУ и параллельны прямой линии: . 96. Написать координаты двух единичных векторов, которые лежат в плоскости ОХУ и перпендикулярны прямой линии: .

Скалярное произведение векторов

Контрольные вопросы

1)Что можно сказать о векторах, если ;

2) Что можно сказать о не нулевых векторах, если ;

3) Что можно сказать о не нулевых векторах, если

117. Вычислить скалярное произведение векторов . 3)

118. Среди векторов

 

определить взаимно перпендикулярные векторы.

119. При каком параметре , векторы

взаимно перпендикулярны.

120. Пусть даны два вектора ,

требуется вычислить .

121. Используя скалярное произведение, вычислить:

1) проекцию вектора на вектор ;

2) угол между векторами И ;

122. Пусть задан вектор силы . Определить величину усилия от действия

силы в заданных направлениях : 1) ; 2) ; 3)

123. Какие углы образует вектор с осями координат.

124. Постоянная сила приложена к телу и перемещает его вдоль отрезка

прямой из точки . Вычислить работу силы.

125. Вычислить работу постоянной вектор-силы действующей вдоль

отрезка от к , где 1) 2) .

Векторное произведение векторов

126.Вычислить определители:

 

127.Для векторов вычислить векторные произведения:

 

128. Найти вектор перпендикулярный двум векторам ;

129.Вычислить площадь , где:

1)

2)

130.Вычислить момент силы , приложенной в точке , относительно точки

 

131.Найти все единичные вектора перпендикулярные векторам , .

132.Найти все векторы перпендикулярные векторам , .

133. Для векторов:

проверить равенство .

 

 

134. Найти вектор перпендикулярный плоскости , где

 

135. Вычислить , где , ,

Смешанное произведение векторов.

136.Для векторов вычислить смешанное произведение

.

137. Вычислить объём пирамиды, если известны координаты её вершин

 

138. Проверить являются ли данные векторы компланарными:

 

139.Лежат ли точки в одной и той же плоскости ?

Плоскости и прямые в пространстве

Контрольные вопросы

Среди данных утверждений найти верные утверждения:

1) Прямая и плоскость только параллельны либо перпендикулярны;

2) Две прямые в пространстве либо параллельны, либо пересекаются;

3) Две плоскости перпендикулярные к данной прямой перпендикулярны;

4) Две плоскости перпендикулярные к данной прямой параллельны;

5) Две прямые параллельные к плоскости параллельны между собой;

6) Две прямые параллельные к плоскости перпендикулярны между собой;

7) Две плоскости параллельные к третьей параллельны между собой;

8) Две плоскости параллельные к третьей перпендикулярны между собой;

9) Существует прямая, пересекающая плоскость ровно в двух точках.

140. Написать уравнения плоскостей, удовлетворяющих условиям:

1) плоскость проходит через точку перпендикулярно нормальному вектору

;

2) плоскость проходит через точку параллельно плоскости ;

3) плоскость проходит через точку параллельно векторам

;

4) плоскость проходит через точки , ;

141. Написать уравнения плоскостей, удовлетворяющих условиям:

1) плоскость проходит через точку перпендикулярно нормальному

вектору ;

2) плоскость проходит через точку параллельно плоскости

 

3) плоскость проходит через точку параллельно векторам

 

4) плоскость проходит через точки , .

5) плоскость проходит через начало координат и точку параллельно

вектору .

142. Среди указанных плоскостей выделить:

1. параллельные плоскости:

 

2. перпендикулярные плоскости:

 

143. Определить углы между нормальным вектором к плоскости

и осями координат.

 

144. Определить углы между плоскостями

 

145. Найти расстояние от точки до плоскости

1) Найти расстояние от точки до плоскости ;

2) Найти расстояние от точки до плоскости ;

146. Определить точку симметричную точке относительно

плоскости .

147. Составить параметрические уравнения прямой линии, проходящей через точку

и

1) параллельно вектору , 2) параллельно прямой линии

, 3) параллельно оси ОУ, 4) перпендикулярно плоскости , 5) перпендикулярно плоскости ,6) точку

148. Среди указанных прямых выделить:

1. параллельные прямые:

1) 2)

3) 4)

2. перпендикулярные прямые:

 

149. Вычислить угол между прямыми

 

150. Составить параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением двух

плоскостей:

 

151. Вычислить угол между прямыми 1) и 2), 3) и 4) заданными общими уравнениями

 

152. Определить точку М симметричную точке относительно прямой линии

 

153. Определить взаимное расположение прямой и плоскости и если они

пересекаются найти координаты точки пересечения

 

 

154. Вычислить угол между прямой и плоскостью

 

155.Написать уравнение плоскости проходящей через точку

перпендикулярно прямой:

 

156. Написать параметрические уравнения прямых линий являющихся

пересечениями плоскости с координатными плоскостями.

Введение в математический анализ

157. Используя калькулятор, вычислить значения функции вточках:

158.Используя калькулятор, вычислить значения функции вточках:

.

159. Вычислить ,если :

 

160.Найти области задания функций

 

161. Найти области задания функций

 

162.Найти область значений функций

163. Найти область значений функций

 

164. Какое утверждение из двух следующих верно

1) каждой абсциссе графика соответствует одна ордината

2) каждой ординате графика соответствует одна абсцисса

165.

1. По данному графику найти ординаты точек, если их абсциссы равны

 

2. По данному графику найти абсциссы точек, если их ординаты равны

 

 

166.По таблицам построить графики функций

Х	-2	-1,5	-1	-0,5		0,5		1,5		2,5
У	0,2	0,31	0,5	0,8		0,8	0,5	0,31	0,2	0,16

 

Х	-2	-1,5	-1	-0,5		0,5		1,5		2,5
У	2,24	2,12	2,0	1,87	1,73	1.58	1,41	1,22		0,7

167.Используя калькулятор, заполнить таблицу и по ней построить график

функции

Ххх х	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7
у

168. Среди предложенных функций указать равные функции

 

 

169. Среди предложенных функций указать равные функции

 

170. Функции определены на множестве , симметричном относительно начала координат. Будет ли чётной функция:

171. Функции определены на множестве , симметричном относительно начала координат. Будет ли нечётной функция:

 

172. Среди заданных функций выделить чётные и нечётные функции

 

;

 

173. Вычислить нули данных функций

 

174.Доказать, что функция возрастает, а функция убывает.

175. Среди данных функций указать возрастающие и убывающие функции

 

176. Проверить по определению, что данная функция

 

177.Выделяя полный квадрат, вычислить экстремумы функций

 

178. Используя калькулятор вычислить значения функций

 

в точках

179. Используя графики функций (рис.1) и (рис.2), приближённо вычислить

рис.1 рис.2

.

180. Пусть .. Написать выражения для функций .

181. Пусть . Написать выражения для функций

.

182. Пусть . Написать выражения для функций

.

183. Проверить, является ли функция обратной относительно функции .

184. Проверить, является ли функция обратной относительно функции

.

185. Написать формулы для функций обратных к данным

; .

 

Предельные значения функции

  На числовой прямой укажите интервалы, которым принадлежит переменная . 187. Пусть

При вычисления следующих пределов используйте правило

Правило 1. Для любой элементарной функции справедлива формула если , то ;

200. Вычислить указанные пределы и значения функции в предельных точках

 

 

201. Вычислить указанные пределы

 

 

202. Вычислить указанные пределы

 

 

 

203.Вычислить указанные пределы

 

 

204. Дайте определение горизонтальной асимптоты графика и найдите уравнения горизонтальных асимптот графиков данных функций.

 

205. Дайте определение вертикальной асимптоты графика и найдите уравнения вертикальныхасимптот графиков данных функций

 

 

Непрерывность и разрывы функций

207. Указать интервалы на осиОХ, в которых данные функции непрерывны   208. При каком значении параметра данные функции непрерывны

Замечательные пределы

    ;

Дифференцирование функции от функции.

237. Применив цепное правило вычислить производные функций

 

;

;

 

23)

238. Используя калькулятор, вычислить производные функций в заданной точке

 

239. Вычислить угол между касательными к функции , проведёнными в

точках:

240. Используя равенства

 

доказать формулы

Логарифмическое дифференцирование

241. Вычислить производные заданных функций

 

Формулы неявного дифференцирования

242. Доказать, что данные формулы задают одну и туже кривую линию

 

243. Применяя правило неявного дифференцирования, вычислить

производные от функций заданных неявно (уравнениями)

 

244. Найти вторую производную функции заданной

неявно (уравнениями)

;

 

 

Формулы параметрического дифференцирования

245. Вычислить и записать в параметрическом виде производные от

функции заданной в параметрическом виде

246. Вычислить и записать в параметрическом виде первую и вторую производные

и от функций заданных в параметрическом виде

4)

247. Написать уравнение касательной и нормали к кривым заданным

неявно (уравнениями) в точке

 

 

 

248. Написать уравнение касательной и нормали к кривым заданным

параметрическими уравнениями

 

 

 

Дифференциал функции

  250. Вычислить дифференциал дуги графиков функций  

Правило Лопиталя

259. Написать формулу Лагранжа (о среднем в дифференцировании) для функций

 

260. Используя правило Лопиталя, вычислить указанные пределы

 

261.Используя правило Лопиталя, вычислить указанные пределы

 

262. Написать уравнения горизонтальных асимптот

 

263. Написать уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот и дать эскиз

графика функции

 

Приложение дифференцирования к задачам геометрии и механики

264. Найти острый угол между касательными прямыми к параболе проведёнными в точках графика .

265. Найти две касательных к параболе: , проходящих через начало координат.

266. Найти точку пересечения касательных прямых проведенных к параболе в точках .

267. Найти уравнение касательной прямой, проведённой к параболе ,

параллельной к прямой .

268. Найти уравнение касательной прямой, проведённой к параболе ,

перпендикулярной к прямой .

269. Найти расстояние от точки до касательной прямой, проведённой

к параболе в точке касания .

270. Найти угол между графиками функций

в точке их пересечения.

271. Под каким углом пересекают ось ОХ синусоиды:

в точках:

272. Под каким углом, и в какой точке касательная к кривой , проведённая в точке пересекает ось ОХ

273.

 

 

 

К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции. Функция представлена на графике.

 

274.

 

 

 

К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции. Функция представлена на графике.

 

 

275. Дать эскиз графика любой функции заданной на интервале , для

которой

 

276. Изобразить на графике любую пару дифференцируемых функций ,

для которых

Cколько таких пар функций существует?

277. Секущая графика параболы проходит через точку параллельно касательной, проведённой к параболе в точке . Найти

точку пересечения секущей и параболы.

278. Материальная точка движется по параболе так, что скорость изменения ординаты . Найти мгновенную скорость изменения абсциссы в точках .

279. Найти на гиперболе точку, в которой мгновенная скорость

1) ординаты в два раза больше скорости абсциссы ;

2) ординаты равна скорости абсциссы ;

3) ординаты в два раза меньше скорости абсциссы ;

280. Материальная точка движется по эллипсу так, что скорость изменения абсциссы .. Найти мгновенную скорость изменения ординаты в .

281. Материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону .

Найти моменты времени, в которые

1) скорость точки равна нулю;

2) сила действующая на точку равна нулю;

3) точка меняет направление движения;

определить направление движения в моменты времени , .

Исследование функций и построение её графиков

282. Определить интервалы возрастания и убывания функций

283. Определить интервалы возрастания и убывания функций

 

 

284. Определить локальные экстремумы функций

 

285. Доказать, что функция имеет локальный максимум в

точке и не имеет экстремума в точке .

286. Доказать, что функция имеет локальный минимум в

точке и не имеет экстремума в точке .

287. Определить локальные экстремумы функций

 

 

288. Доказать, что график функции лежит выше любой своей касательной

прямой.

289. Найти точки перегиба графиков и интервалы выпуклости данных функций

 

290. Найти точки перегиба графиков и интервалы выпуклости данных функций

 

291. Доказать, что для графика функции точка не является

точкой перегиба, а точка есть точка перегиба.

292. Найти асимптоты графиков данных функций

 

293. Исследовать данные функции и построить их графики

 

 

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций

наибольшим. 295. Найти на оси точку, для которой сумма квадратов расстояний от точек … была бы наименьшей.

Кривизна дуги кривой.

 

302. Найдите кривизну следующих линий в точке

 

303. Вычислите кривизну линий в точке

 

304. Найдите кривизну параболы в точке

305. Найдите кривизну равнобочной гиперболы

в точке

 

306. Найдите кривизну циклоиды при значении параметра

 

 

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

 

 

1.1171.20 1.312.1-1 2.21 2.31 3.19 3.2 -26 3.3 -21 4.0

4.1 4.2 5.так как в каждом определителе есть одинаковые строки.

6.1 ;

6.2

7.17.27.3

8. Нельзя. Матрицы разных размерностей.

 

9. 19.2 9.3 9.4

10. 11.

12. ; -не существует.

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5не существует.

13.6 13.7 14.1 14.2 14.3

15.1

15.2

15.3

16.1916.21 16.3 0

17.1

17.2

 

18. 19. 20.Не являются.

21.Матрицаимеет обратную матрицу.

22.1 22.2 22.3

23.1 23.2 23.3 23.4

23.5 24.1 24.2

25.1 25.2 26.Не являются. 27.Не являются.

28.1 29.1 29.2

30.1

30.2где

30.3где

31.1 31.2

31.3 31.4

31.5 32.1

32.2

32.3

32.4

33.1 33.2 33.3Система не совместна 33.4

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.

34.1 34.2

34.3 35.1 35.2 35.3

35.4 36 ;Решения одинаковы.

37.1 37.2 37.3

38.1 38.2 38.3Система не совместна.

39.1 39.2 39.3 39.4

39.5 39.6

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Прямая линия на плоскости.

40. 41. 42.1 42.2 42.3

42.4 42.5 42.6

42.7 43.1 43.2 43.3Обе точки принадлежат прямой.

44.1 44.2 44.3 44.4

44.5 44.6 44.7 44.8

45.1 45.2 45.3 45.4

46.1 46.2

46.3 46.4

46.5

47.1 47.2 47.3

47.4 48.

49.1 49.2(0.5; 1).

49.3(2; 2). 50.

51.

52.1

52.2

52.3

53.А₁–выше; А₂–на прямой;

А₃–ниже; А₄– выше; А₅–ниже;

А₆–на прямой.

54.

55. 56

57 58. 59.1 59.2

59.3 59.4 59.5 59.6

59.7 60. -точка пересечения перпендикуляра, проходящего через точку М, с заданной прямой.

Кривые второго порядка.

Парабола.

61.

62.1 62.2

 

62.3 62.4

63.1 63.2

63.3 63.4

64. 65. 66. . 67.1 67.2

68.1 68.2 69.1 69.2Точек нет.

Окружность.

70.1 70.2 71.

Эллипс.

72.1 72.2 72.3 72.4

73.1 73.2 73.3 73.4

74.

75.1 75.2

76.Эллипс. 77.Эллипс

 

78. 79.

Гипербола.

80.1 80.2 80.3 80.4

81.1 81.2 81.3 81.4

82.

83.Эллипс. 84.Гипербола. . асимптоты:

 

 

 

85.Парабола. директриса: 86.1 Гипербола.

 

86.2 Гипербола 86.3 Гипербола

86.4Гипербола.

87.1На оси Оу. 87.2На оси Ох.87.3На оси Ох. 87.4На оси Оу.87.5На оси Ох.87.6На оси Оу.

 

Кривые в полярной системе координат

 

89.

 

90.1х=2,у=0. 90.290.390.490.590.6

90.790.8

90.990.1091

92.1 92.2

 

 

92.3 92.4

 

92.5 92.6

 

92.7 92.8

92.9

93.1При замене ,уравнение

93.2 1При замене ,уравнение

93.3Парабола.Формулы перехода: полярная ось направлена вдоль оси Ох; полюс совпадает с фокусом. При подстановке в уравнение получаем или , или . Разрешая это уравнение относительно получаем каноническое уравнение параболы в полярной системе координат.

93.4Парабола. Формулы перехода: полярная ось направлена вдоль оси Оу в противоположную сторону. При подстановке в уравнение получаем или или . Решая это уравнение относительно получим каноническое уравнение параболы в полярной системе координат.

93.5Эллипс,вытянут вдоль оси Оу. Формулы перехода: полярная ось направлена вдоль оси Оу и совпадает по направлению. Полюс в фокусе . При подстановке в уравнение получаемПриводим к общему знаменателю и освобождаемся от , получаем или . Решая это уравнение относительно получим - каноническое уравнение эллипса в полярной системе координат. 93.6Гипербола.

Формулы перехода: полярная ось направлена вдоль оси Ох и совпадает с ней по направлению. При подстановке в уравнение получаем: Приводим к общемузнаменателюи освобождаемся от , получаем или .Решая это уравнение относительно получим-каноническое уравнение гиперболы в полярной системе координат.

94.1 94.2

94.3 94.4

Элементы векторной алгебры.

95.1 95.2 95.3

96.1 96.2 96.3 98.1 98.2 98.3 99. №1, №5, №6.100.1 100.2 101. 102.1 102.2 102.3 103.Да, так как

104.1 104.2 105.1 105.2 105.3 105.44; 105.53;105.62; 105.7 106.

107

108.

109. 110. 111. 112.

113.1 113.2

113.3 113.4 114.1114.2

114.3115.

116.1116.2116.3116.4117.1 0;

117.29; 117.3 20. 118. Вектор перпендикулярен векторам и . 119.

120.1120.2121.1 0; 121.2122.1122.2122.3

123.124. 0. 125.1 -4; 125.2 0.

 

Векторное произведение.

126.1-50;126.2 126.3 127.1

127.2 127.3 127.4

127.5 128. 129.1 129.2

130.1 130.2 131.

132.См. 131. Все вектора - где произвольное число. 134.

135.

Смешанное произведение.

 

136. . 137.1

137.2 138.Да, так как 139. Да.

Плоскости и прямые в пространстве.

140.1 140.2

140.3 140.4

 

141.1

141.2.1 141.2.2 141.2.3 141.2.4

141.3.1 141.3.2 141.3.3 141.4

141.5 142.1Первая пара.

142.2Первая и третья пары. 143. 144.1 144.2 145.1 145.2

146.Уравнения перпендикуляра, проходящего через точку М₀

Его параметрические уравнения: Находим точку пересечения перпендикуляра и плоскости: Тогда точка пересечения Р(-1;0;1). Она является серединой отрезка . Отсюда находим координаты симметричной точки

147.1или

147.2или

147.3или

147.4или

147.5или

147.6или 148.1Для параллельности прямых необходимо выполнение коллинеарности направляющих векторов. 3 и 4 параллельны. 148.2Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение направляющих векторов равно нулю. 3 и 4 прямые перпендикулярны.

149.1Направляющие вектора прямых:

149.2149.3150.1Необходимо найти точку, через которую проходит прямая и направляющий вектор. 150.2

150.3

150.4 151.1Направляющий вектор первой прямой второй прямой

151.2152.Составим уравнение плоскости проходящей через точку М₀

и перпендикулярно заданной прямой. В качестве нормального вектора к плоскости можно взять направляющий вектор прямой. Уравнение плоскости : или Найдем точку пересечения плоскости и заданной прямой: Из этого уравнения следует, что пересечение происходит при Координаты точки пересечения Точка пересечения является серединой отрезка . Из этого следует 153.Возможны три случая 1) прямая и плоскость параллельны (уравнение плоскости после подстановки параметрических уравнений прямой неразрешимо относительно параметра); 2) прямая и плоскость пересекаются ( уравнение плоскости после подстановки параметрических уравнений прямой разрешимо относительно параметра); 3) прямая принадлежит плоскости (уравнение плоскости после подстановки параметрических уравнений прямой выполняется при любом значении параметра). 153.1Плоскость и прямая пересекаются:153.2Плоскость и прямая параллельны;

153.3Прямая принадлежит плоскости; 153.4 Плоскость и прямая параллельны;

153.5Плоскость и прямая пересекаются:153.6Плоскость и прямая параллельны.154.Вычисляем угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости; затем вычисляем синус требуемого угла. 154.1 угол между прямой и плоскостью. 154.2

154.3 155. 156.С плоскостью х=0 : С плоскостью у=0: С плоскостью z=0 :

Bведение в математический анализ.

157.

158.

159. 1) ;2) ;

160.1 160.2 160.3 160.4

161.1 161.2 161.3 161.4. 161.5 161.6

162.1 161.2 161.3(0;1).

163.1 163.2163.3 163.4 163.5 163.6

164.1утверждение верно; 164.2неверно.

165.1.1 165.1.2 165.1.3

165.1.4 165.1.5 165.2.1

165.2.2

165.2.3 165.2.4

165.2.5

168.1) функции различны т.к. у них разные области определения;

2) функции совпадают на указанной области определения;

3) функции различны т.к. у них разные области определения;

4) функции совпадают на указанной области определения.

169.1) функции совпадают на указанной области определения;

2) функции различны;

3) функции совпадают на указанной области определения;

4) функции различны;

5) функции совпадают на указанной области определения;

6) функции различны;

7) функции совпадают на указанной области определения.

170.1) четная; 2) четная; 3) четная; 4) нечетная.

171.1) нечетная; 2) нечетная; 3) четная; 4) нечетная.

172.1) четная; 2) общего вида; 3) общего вида; 4) общего вида; 5) общего вида;

6) четная; 7) общего вида; 8) нечетная; 9) четная; 10) общего вида; 11) четная;

12) четная; 13) четная; 14) нечетная; 15) четная.

173.1 173.2 173.3173.4

174.1) Пусть > , составим разность

следовательно, т.е. функция возрастает.

2) Пусть > составим разность

следовательно, т.е. функция убывает.

175.1) убывает; 2) убывает; 3) убывает; 4) немонотонна; 5) убывает; 6) возрастает; 7) немонотонна; 8) возрастает; 9)немонотонна; 10) убывает.

176.1, следовательно, период.

176.2, следовательно, не является периодом.

176.3, следовательно, период.

177. 1минимум функции достигается при и равен 1.

177.2 Максимум функции равен 7 и достигается при

177.3т.к. функция монотонно возрастает, то

, значит экстремум исходной функции равен 0.

178.1

178.2

178.3

178.4

180.1180.2

180.3 180.4

181.1 181.2

181.3 181.4

182.1 182.2 182.3

182.4 . 183.Изисходной функции выразим х:

Следовательно, обратная функция имеет вид

184.Изисходной функции выразим x:

 

следовательно, обратная функция имеет вид

185.1 185.2

185.3 185.4

187.

 

188. - не существует.

189.1 189.2 189.3

190.1 190.2 190.3

191.1 предельного значения нет.

191.2 предельное значение .

191.3 -не определено;предельного значения нет.

192.1 192.2

192.3 192.4

193.1 -52; 193.214; 193.30.4; 193.41; 193.5 193.6

194.1 -1777/60; 194.2197/12; 194.3-4/3; 194.44.5; 194.5-3.4; 194.6-1.2.

195.1

195.2

195.3

196.

197.

198.

199.1следовательно, -горизонтальная асимптота.

следовательно, - вертикальная асимптота.

199.2следовательно, -горизонтальная асимптота.

следовательно, - вертикальная асимптота.

200.1 200.2

200.3 200.4

200.5 200.6

201.1) 2; 2) 0; 3) -2,5; 4) 3; 5) 0; 6) 1,5. 202.1) -0,5; 2) 0; 3) 1; 4) 2; 5) 0; 6)

203.15; 203.2 --5; 203.35/6; 203.40.25; 203.5-1.5; 203.64; 203.7-3; 203.80.8;

203.90.5; 203.100.25; 203.11-2/3; 203.12-0.75.

204.1) 2) 3)

205.1 ,следовательно, - вертикальная асимптота;

205.2 205.3 205.4

206.Так как функции и непрерывны по условию, то их сумма и разность также непрерывны, следовательно, и непрерывны и .

207.1 207.2 207.3 207.4

207.5 207.6 208. 1) 2; 2) 2.

209.1) точка разрыва 2-го рода; 2) точка разрыва 2-го рода;

3) функция определена и непрерывна на всей числовой прямой;

4) точка разрыва 2-го рода; 5) точка разрыва 2-го рода;

6) точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.

210.1)В точке функция терпит разрыв первого рода (скачок); в точке

функция непрерывна;

2) в точке функция терпит разрыв первого рода (скачок); в точке

функция непрерывна;

3) в точке функция терпит разрыв первого рода (скачок); в точке

функция непрерывна;

4) в точке функция терпит разрыв первого рода (скачок); в точке

функция непрерывна.

211.На интервалах функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

212.1 212.2

212.3 212.4

213.1) - точка разрыва второго рода;

2) функция непрерывна;

3) - точка разрыва второго рода;

4) функция не определена.

214.В общем виде многочлен третьего порядка имеет вид .

Поскольку функция определена на всей числовой прямой и ,

(будем считать, для определенности, что , а , то существует хотя бы одна точка такая, что

215.11; 215.2 3/7; 215.31; 215.41; 215.58; 215.66; 215.72; 215.81; 215.9

215.100; 215.111/3; 215.12е²; 215.133; 215.14 215.15 215.16

215.17 215.181; 215.19 215.20 215.215/6.

216.1) е 2) 3) 4) 1; 5) 1/7. 217.1) 218.1) 1; 2) 1; 3) 1; 4)

219.1)

2) 3)

220.1 220.2 220.3 220.4

221.1) уравнение касательной: уравнение нормали: точки пересечения касательной с осями координат:

2) уравнение касательной: уравнение нормали: точки пересечения касательной с осями координат:

3) уравнение касательной: уравнение нормали: точки пересечения касательной с осями координат:

222. В точке угловой коэффициент следовательно, касательная имеет вид:

В точке угловой коэффициент следовательно, уравнение касательной имеет вид:

223.1

223.2

223.3

224.1 224.2 224.3 224.4

225.1) Графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами и х=3.

Острый угол между графиками этих функций в точке равен в точке угол равен .

2) Графики функций и пересекаются в точке с абсциссой 0 под углом

3) Графики функций и пересекаются в точке с абсциссой 1 под углом

226.

226.1 226.2

227.1227.2

227.3 227.4

228. Скорости совпадают т.е. при

229.1 229.2 229.3 229.4

229.5 229.6 229.7

229.8 229.9 229.10

230.1 230.2

230.3 230.4

230.5 230.6 230.7

230.8. 230.9

230.10 230.11 230.12

230.13 230.14 230.15

231.1 231.2 231.3 231.4

231.5 231.6 231.7 231.8

232.

233. 1 233.2

233.3 233.4

233.5 233.6

233.7

233.8 233.9

234. Вычислим и вместе с подставим в данное уравнение.

234.1 ;

234.2

234.3

235.1 235.2 235.3

235.4 235.5

236.Вычислим и вместе с подставим в данное уравнение.

 

 

 

237.1 237.2 237.3 237.4

237.5 237.6

237.7 237.8 237.9

237.10 237.11

237.12 237.13 237.14 237.15

237.16 237.17 237.18

237.19 237.20 237.21

237.22 237.23

237.24 237.25 237.26

237.27 238.1 238.2 238.3

239.

240. 1) Рассмотрим функцию обратная к ней: . Пользуясь теоремой о производной обратной функции, имеем:

 

2) Рассмотрим функцию обратная к ней: . Пользуясь теоремой о производной обратной функции, имеем:

 

241.1

241.2

241.3

241.4

242.1) Преобразуем параметрическую форму записи, исключив Для этого возведем в квадрат и , разделим первое уравнение на 4, а второе на 9 и сложим их:

 

2)

3)

243.1 243.2 243.3

243.4 243.5 243.6 243.7

243.8 243.9

244.1

244.2

245.

246.1 246.2

246.3 246.4 .

247.1

Угловой коэффициент равен нулю, значит, уравнение касательной имеет вид: а нормали

247.2 247.3

247.4

248.1

248.2

249.1 249.2 249.3

249.4 249.5 249.6

249.7 249.8 249.9

249.10 249.11

249.12

250.С другой стороны Следовательно, равенство неверно.

251.1 251.2

251.3 251.4

252.1

252.2

252.3

252.4

252.5

253.

254.

255.1

255.2

255.3

255.4

256.1 256.2

257.

258.

259.1 Существует число такое что Найдем это число.

259.2

259.3

260. 1По правилу Лопиталя

260.2 260.3 260.4

260.5 260.6 260.70; 260.8 0.5; 260.91.

 

261. 1) 0;

262.1) Прямая является горизонтальной асимптотой, если .

горизонтальная асимптота.

263.1) Если предел , то прямая является вертикальной асимптотой. вертикальная асимптота.

горизонтальная асимптота.

вертикальная асимптота, горизонтальная асимптота.

вертикальная асимптота, горизонтальная асимптота.

264. 265.

266. 267. . 268.

269. . 270.271.1 в точке (0;0),

в точке 271.2в точке (0;0), в точке

272. 273.убывает.274.возрастает.

275.1 275.2 275.3

276.1 276.2 276.3

276.4 277

М(3;6).

278. 279.1 т.е.

279.2 279.3

280. 281.1 281.2

281.3 282.1возрастает на интервалах , убывает на 282.2убывает на интервалах возрастает на

282.3убывает на интервалах возрастает на

282.4возрастает на интервалах убывает на

282.5возрастает на интервалах убывает на

282.6возрастает на интервалах убывает на

283.1возрастает на интервале убывает на

283.2убывает на интервалах возрастает на

283.3убывает на интервалах возрастает на

283.4возрастает на интервале , убывает на

283.5возрастает на интервале , убывает на

283.6возрастает на интервале , убывает на

284.1min (2;-1); 284.2 max(1;-4); 284.3min (0;0); max(1;1); 284.4 min (-1;3);

min (4;-128); max(0;0); 284.5max (1;0); min (5/3;44/3); 284.6min(- -64);

min( -64); max (0;0).

285. ; на (- и на(5;

286. на ( и на (10; .

287.1 min (-1;-1/e); 287.2min (0;0), max (-2;4/e²);287.3min (0;0); 287.4max(0;1);

287.5min (-1;-1/2), max (1;1/2); 287.6min(1/e; -1/e); 287.7min(1/

287.8min (1;0), max (e^-2;4/e²). 288.Т.е доказать, что выпукла вниз, т.е.

ч.т.д.

289.1точка перегиба (1;0), выпукл вверх на (- выпукл вниз на (1; );

289.2точка перегиба (3;-648), выпукл вниз на (3; выпукл вверх на (- ;0),(0;3);

289.3точка перегиба (1/3;-119/27), выпукл вверх на (- выпукл вниз на (1/3; ).

290.1точки перегиба х₁=-1/ и х₂=1/ , выпукл вверх на ( выпукл вниз на (- ; ),( );

290.2 точки перегиба х₁=-- и х₂= , выпукл вверх на ( выпукл вниз на (- ),( );

290.3точки перегиба х₁=-1/ и х₂=1/ , выпукл вниз на ( выпукл вверх на (- ; ),( );

290.4всюду выпукл вниз; 290.5точки перегиба х₁=-1 и х₂=1, выпукл вверх на (-

(1;), выпукл вниз на(-1;1); 290.6точка перегиба х=2, выпукл вверх на (-

выпукл вниз на(2; ).

291. на интервале( ,на (1; .

292.1у=0 - горизонтальная асимптота.292.2у=0 - горизонтальная асимптота;

292.3вертикальные асимптоты, - горизонтальная асимптота;

292.4 -- горизонтальные асимптоты; 292.5- горизонтальная асимптота

в левой полуплоскости;

292.6- горизонтальная асимптота в правой полуплоскости;

293.1 293.2 293.3

293.4 293.5 293.6

293.7 293.8 293.9

293.10

294. мах достигается при

295. 296.квадрат со стороной 2.297. 298.ширина балки высота балки

299.300.301.

302. 303.

304. ; 305. 306. .