Класс. Программа коллоквиума Основы планиметрии

10 класс. Программа коллоквиума « Основы планиметрии»

1. Свойство смежных углов.

 

Определение. Два угла смежные, если одна сторона у них общая, в две другие образуют прямую линию.

Свойство: 1. Сумма смежных углов равна 180°.

 

2. Свойство вертикальных углов.

 

Определение. Углы вертикальные- если стороны одного угла, являются продолжениями сторон другого угла.

Свойство: 1. Вертикальные углы равны.

3. Углы, получаемые при пересечении двух параллельных прямых третьей.

 

∟3 и ∟5 , ∟2 и ∟8- внутренние накрест лежащие;

∟4 и ∟6, ∟1 и ∟7 - внешние накрест лежащие;

∟3 и ∟8 , ∟2 и ∟5- внутренние односторонние;

∟4 и ∟7, ∟1 и ∟6 – внешние односторонние;

∟3 и ∟7, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟1 и ∟5 – соответственные.

 

4. Признаки параллельности прямых.

Две прямые параллельные, когда

1) Равны внутренние(внешние) накрест лежащие.

2) Равны соответствующие углы.

3) Внутренние(внешние) односторонние, составляют в сумме 180 градусов.

 

5. Аксиома параллельных.

Аксиома.Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

 

6. Углы с соответственно параллельными сторонами.

 

Свойство. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам, другого угла, то углы равны или дополняют друг друга до развернутого.

 

7. Свойство. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам, другого угла, то углы равны или дополняют друг друга до развернутого.

 

8. Классификация треугольников. Определение свойства, признаки.

Определение. Треугольник- это фигура, состоящая из трех точек( не лежащих на одной прямой) и трех отрезков попарно их соединяющих.

Свойство: 1. Против большей стороны, лежит больший угол.

Свойство: 2. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Свойство: 3. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ними.

Свойство: 4. (неравенство треугольника) Любая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

Классификация.

По сторонам:

· Равносторонние

· Равнобедренные

· Разносторонние

По углам:

· Остроугольные

· Прямоугольные

· Тупоугольные

9. Внешний угол треугольника. Определение. Свойство.

 

Определение. Внешний угол – угол дополняющий внутренний угол до 180 градусов.

Свойство: 1. Величина внешнего угла равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

10. Теорема о сумме углов треугольника. Следствие из теоремы.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Следствие.1. У любого треугольника хотя бы 2 угла острых.

Следствие.2.Величина внешнего угла равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

Следствие.3.Сумма внешних углов равна 360 градусов.

11. Определение средней линии треугольника. Свойства средней линии треугольника.

Определение. Средняя линия треугольника- отрезок соединяющий середины двух его сторон.

Свойство: 1. Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

12. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Определение. Медиана треугольника - отрезок концы которого соединяют вершины треугольника и середину противоположной стороны.

Определение. Биссектриса треугольника– это отрезок биссектрисы угла, от вершины до точки пересечения с противоположной стороной.

Определение. Высота треугольника- это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону или ее продолжение.

13. Свойства биссектрисы угла треугольника. Формула для вычисления длины биссектрисы треугольника.

Свойство: 1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам .

Свойство: 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности)

Свойство: 3. Биссектриса равноудалена от сторон треугольника.

Формула для вычисления величины биссектрис:

, где а,b стороны «прилежащие» к биссектрисе

x, y отрезки на которые биссектриса разбивает третью сторону.

14. Свойства медианы треугольника. Формула для вычисления длины медианы треугольника.

Свойство: 1. Медианы пересекаются в одной точке. (центр тяжести)

Свойство: 2.Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Свойство: 3. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Свойство: 4. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольника.

Формула для вычисления величины медианы:

или , где а,b, с стороны треугольника.

15. Признаки равенства треугольников.

Определение. Треугольники равны - если их можно совместить при наложении.

Признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак. Если три сторона одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

16. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Определение. Треугольники равны- если их можно совместить при наложении.

Признак. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак. Если катет и любой острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Признак. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Признак. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Определение. Треугольники подобны, если их стороны пропорциональны, а углы равны. Признак. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам… Признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные…

Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу.

Свойство: 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему… Свойство: 3. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого… Свойство: 4. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Теорема 1. Теорема косинусов - Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

стороны треугольника и угол , противолежащий стороне .

 

Следствие 1. Следствие из теоремы косинусов (о связи диагоналей и сторон параллелограмма). Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

d₁² + d₂² = 2 a² + 2 b²

Следствие 2. Следствие из теоремы косинусов об определении вида треугольника.

Пусть с- наибольшая сторона треугольника.

Если с²=а²+b², то угол против с=90 градусов и треугольник прямоугольный.

Если с²<а²+b², то угол против с<90 градусов и треугольник остроугольный.

Если с²>а²+b², то угол против с>90 градусов и треугольник тупоугольный.

Формула 1. Формулы для вычисления длины медианы треугольника.

или

Формула 2., угол лежит на против стороны а.

45. Теорема синусов. Следствие теоремы синусов.

Теорема 1. Теорема синусов - стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы. Следствие 1. Следствие из теоремы синусов (о радиусе описанной окружности).…

Площадь правильного треугольника.

Площадь правильного шестиугольника.

Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) равна половине произведения сторон треугольника и на синус угла между ними.

Площадь треугольника (через высоту) равна половине произведения основания на высоту..

Площадь квадрата (через сторону; через диагональ). Площадь круга. Площадь кругового сектора.

Площадь треугольника (через радиус описанной окружности; через радиус вписанной окружности). .

 

51. Вектор. Координаты вектора. Длина вектора.

Определение. Вектор- это направленный отрезок имеющий начало и конец. Обозначается например или .

Пусть А- начало вектора и B - конец вектора

Тогда координатами вектора называются , где ,;

Длина вектора .

Равные вектора. Коллинеарные вектора. Их свойства.

Два вектора называются равными, если они коллиниарные и имеют одинаковую длину и направление.(равные вектора имеют равные координаты).

Вектора называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

Коллинеарные вектора - это вектора, у которых координаты пропорциональны.

Пусть вектор - вектор , тогда

.

53. Координаты середины отрезка.

Если необходимо найти т. С (,середину отрезка АВ,(т.А, т.B), тогда координата точки С , равна , .

55. Алгебраические операции над векторами. Сумма векторов иназывается вектор идущий из начала вектора , в конец вектора ,…

,.

Формула для нахождения величины угла правильного многоугольника. Величина угла правильного многоугольника равна .

Площадь правильного шестиугольника.