Скалярное поле

Лекция №18

Элементы теории поля

Скалярное поле.

Поле называется скалярным, если «И» скалярная величина. Если выбрана некоторая декартова система координат, то задание скалярного поля эквивалентно…  

Поверхности уровня, линии уровня

Замечание:дляплоского поля уравнение определяет линии уровня. Для построения линий уровня соответствующих поверхностей в среде Matlab… contour(X,Y,Z) – строит линии уровня для поверхности Z =Z(X,Y),

Производная по направлению.

Производная скалярного поля по направлению ℓ, заданному вектором , вычисляется по формуле , где Абсолютное значение производной о направлению определяет скорость изменения… Пример 2. Найти производную от функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .

Градиент.

Определение: Градиентом дифференцируемой функции) называется вектор , направленный по нормали к поверхности уровня поля в сторону возрастания поля,…

Вычисление градиента функции

FX = gradient(F) — возвращает градиент функции одной переменной, заданной вектором ее значений F. FX соответствует конечным разностям в направлении… [FX.FY] = gradient(F) — возвращает градиент функции F(X,Y) двух переменных,… [FX.FY.FZ,...] = gradient(F) — возвращает ряд компонентов градиента функции нескольких переменных, заданной в виде…

Графики поля градиентов quiver

· quiver(X.Y.U.V) — строит график поля градиентов в виде стрелок для каждой пары элементов массивов X и Y, причем элементы массивов U и V указывают… · qui ver(U, V) — строит векторы скорости в равнорасположенных точках на… · quiver(U,V,S) или quiver(X,Y.U,V,S) — автоматически масштабирует стрелки по сетке и затем вытягивает их по значению…

Векторное поле.

Конкретными физическими примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, силовые поля (поле тяготения, электрическое и…  

Векторные линии.

Определение. Векторной линией векторного поля называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором соответствующим этой точке.

Чтобы изучить определённое векторное поле, изучают расположение векторных линий.

- это система дифференциальных уравнений семейства векторных линий поля .

Дивергенция (расходимость) векторного поля

Основные свойства дивергенции: 1. , - произвольные постоянные. 2. .

Поток вектора.

Возьмём в этом поле некоторую двухстороннюю поверхность S и выберем на ней определённую сторону, указав направление нормали к поверхности. Определение. Потоком (К) вектора через поверхность S называется интеграл по… Т.к. , то формулу можно записать

Физическая интерпретация

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность S будет равна потоку векторного поля через поверхность S.

 

Ротор (вихрь) векторного поля.

. Основные свойстваротора: 1. , - произвольные постоянные.

Циркуляция

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена, жидкость по каналу будет двигаться с тангенциальной… где dl — элемент длины контура. Определение. Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному…

Свойства циркуляции

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру Γ есть сумма циркуляций по контурам Γ₁ и Γ₂, то есть C = C₁ + C₂

Формула Стокса

— Ротор (вихрь) вектора F. В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива… ,где int Г— плоскость, ограничиваемая контуром

Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.

Оператор Гамильтона (Оператор набла) - это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:

Сам векторне имеет реального значения, он приобретает определённый смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Представим grad, div и rot через оператор набла:

1. Произведение вектора на скалярную функцию даёт градиент этой функции

.

2. Скалярное произведение вектора на векторную функцию даёт дивергенцию этой функции

.

3. Векторное произведение вектора на векторную функциюдаёт ротор этой функции

.

Действия взятия градиента, дивергенции, ротора называются векторными дифференциальными операциями первого порядка, т.к. в них участвуют только первые производные.

В приложениях встречаются векторные дифференциальные операции второго порядка.

Операторназывается оператор Лапласа в декартовых координатах.

Дифференциальные операторы второго порядка:

 

Интегральные теоремы

Теорема о градиенте

Теорема о дивергенции

Теорема о роторе

 

Пример применения MATLAB

Задача.

Дано: В объёме тетраэдра скалярное и векторное поля изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы матрицей вида [x₁, y₁, z₁; x₂, y₂, z₂; x₃, y₃, z₃; x₄, y₄, z₄]. Значения скалярного поля в вершинах заданы матрицей [Ф₁; Ф₂; Ф₃; Ф₄]. Декартовы компоненты векторного поля в вершинах заданы матрицей [F_1x, F_1y, F_1z; F_2x, F_2y, F_2z; F_3x, F_3y, F_3z; F_4x, F_4y, F_4z].

Определить в объёме тетраэдра градиент скалярного поля, а также дивергенцию и ротор векторного поля. Составить для этого функцию MATLAB.

Решение. Ниже приведён текст m-функции.

% grad_div_rot - Вычисление градиента, дивергенции и ротора ... в объёме тетраэдра

% [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% nodes - матрица координат вершин тетраэдра:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - координаты;

% scalar - столбцовая матрица значений скалярного поля в вершинах;

% vector - матрица компонентов векторного поля в вершинах:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.

% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% grad - матрица-строка декартовых компонентов градиента скалярного поля;

% div - значение дивергенции векторного поля в объёме тетраэдра;

% rot - матрица-строка декартовых компонентов ротора векторного поля.

%

% При вычислениях предполагается, что в объёме тетраэдра

% векторное и скалярное поля изменяются в пространстве по линейному закону.

function [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector);

a=inv([ones(4,1) nodes]); % Матрица коэффициентов линейной интерполяции

grad=(a(2:end,:)*scalar).'; % Компоненты градиента скалярного поля

div=[a(2,:) a(3,:) a(4,:)]*vector(:); % Дивергенция векторного поля

rot=sum(cross(a(2:end,:),vector.'),2).';

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=10*rand(4,3)

nodes =3.5287 2.0277 1.9881 8.1317 1.9872 0.15274 0.098613 6.0379 7.4679 1.3889 2.7219 4.451

>> scalar=rand(4,1)

scalar = 0.93181 0.46599 0.41865 0.84622

>> vector=rand(4,3)

vector = 0.52515 0.01964 0.50281 0.20265 0.68128 0.70947 0.67214 0.37948 0.42889

0.83812 0.8318 0.30462

>> [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

grad = -0.16983 -0.03922 -0.17125

div = -1.0112

rot = -0.91808 0.20057 0.78844

Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, а векторное и скалярное поля - безразмерные, то в данном примере получилось:

grad Ф = (-0.16983*1_x - 0.03922*1_y - 0.17125*1_z) м^-1;

div F = -1.0112 м^-1;

rot F = (-0.91808*1_x + 0.20057*1_y + 0.78844*1_z) м^-1.