рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ 2206 Теоретическая механика: Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики

КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ 2206 Теоретическая механика: Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики - Конспект Лекций, раздел Механика,   Конспект Лекци...

 

КОНСПЕКТ лекций по дисциплине

ТМ 2206 «Теоретическая механика»

 

Астана

 

Лекция 1. Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики.

 

Цель лекции – показать место курса теоретической механики в учебном процессе и ее связь с другими дисциплинами, изучаемыми в ВУЗе; ознакомить с основными понятиями статики, изложить аксиомы, рассмотреть основные виды связей.

 

План лекции

1. История развития теоретической механики. Введение в статику. Основные понятия и определения

2. Аксиомы статики

3. Основные виды связей и их реакции

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Рассмотрим историю науки применительно к теоретической механике. Раскроем смысл самого понятия «теоретическая механика». Название это наука получила от греческого слова «машина». В связи с этим, вплоть до начала 19 века механика определялась как наука о машинах. В общем комплексе наук о машинах механика, которая называется теперь теоретической, занимает первое место. Она изучает общие свойства машин, которые характеризуют все действующие машины, независимо от их специального назначения. Общими свойствами машин являются движение и сила; теоретическую механику можно было бы определить как науку о движениях и силах. Теоретическая механика делится на СТАТИКУ (силы рассматриваются сами по себе, когда они не производят движения, т.е. находятся в равновесии), КИНЕМАТИКУ(движение изучается без учета сил) и ДИНАМИКУ (исследуются оба основных элемента работы – движение и сила в их взаимодействии).

Статика– это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы эквивалентных преобразований систем сил и определяются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

При изучении равновесия используют принцип неизменности геометрических форм и размеров твердых тел, поскольку их изменение под действием сил обычно мало по сравнению с первоначальными размерами. Поэтому в статике материальные тела считают абсолютно твердыми.

Понятие «сила» в механике является одним из важнейших. Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия одного материального тела на другое. Сила характеризуется численным значением, или модулем, и направлением действия. Единицей измерения силы является 1 ньютон (1Н). Прямая линия, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Системой сил называется совокупность сил, действующих на твердое тело. Если систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом механического состояния тела, то такие две системы сил называются эквивалентными. Система сил, под действием которой свободное тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей силой данной системы сил.

Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно разделить на внешние – силы, действующие на данную систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему, и внутренние– силы взаимодействия между телами, входящими в рассматриваемую систему.

Статика базируется на основных законах, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики.

Аксиома 1. Если на свободное твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой в противоположных направлениях.

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или изъять из нее уравновешенную систему сил.

Аксиома 3. Всякое действие одного материального тела на другое вызывает равное и противоположно ему направленное противодействие.

Аксиома 4. Две силы, приложенные к твердому телу в одной точке, всегда имеют равнодействующую силу, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Аксиома 5. Механическое состояние системы не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы реакций связей. Эту аксиому называют аксиомой о связях или принципом освобождаемости от связей.

Материальные тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве, называют связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи, или просто реакцией связи.

1. Гладкая поверхность (плоскость). Реакция в случае гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта. На рис.1 показаны некоторые примеры направления реакций.

 

 

2. Подвижный шарнир (каток) – ограничивает движение тела в направлении, перпендикулярном плоскости опоры (рис.2). Поэтому реакция будет всегда направлена перпендикулярно этой плоскости.

 
 

 


3. Невесомый стержень с шарнирами на концах (рис.3). Реакция прямолинейного невесомого стержня с шарнирами на концах направлена вдоль стержня.

В отличие от нити стержень может работать как на растяжение, так и на сжатие. Если связью является криволинейный стержень, то его реакция будет направлена по прямой АВ, соединяющей шарниры А и В.

 

 

 

4.Цилиндрический шарнир (подшипник). Цилиндрический шарнир представляет собой цилиндрическую втулку, в которой находится ось вращения (рис.4). Он не воспринимает осевой силы, его реакция находится в плоскости Axy, перпендикулярной оси шарнира. Реакция может быть направлена по любому радиусу шарнира в плоскости Axy.

 

 

5. Подпятник. Он отличается от цилиндрического шарнира тем, что кроме радиальных сил может воспринимать и осевую силу (рис.5). Реакция подпятника, как и реакция сферического шарнира, может иметь любое направление.

6. Гибкие связи. Под этим термином подразумевают нити, веревки, цепи, тросы, канаты, которые могут воспринимать только силы растяжения. Реакция гибкой связи всегда направлена вдоль связи.

7. Сферический шарнир. Он позволяет сочлененным телам пространственные взаимные относительные вращения. Реакция шарнира приложена к его центру и может быть направлена по любому радиусу шарнира (рис.5)

 

При решении задач статики реакции связей обычно являются неизвестными и подлежат определению, а, зная силы реакций связей, можно определить внутренние силы в телах, необходимые для расчета на прочность.

Аксиома 6.Равновесие механической системы не нарушается от наложения новых связей; в частности, оно не нарушится, если все части системы связать между собой неизменно, жестко. Эту аксиому называют аксиомой отвердевания.

 

ГЛОССАРИЙ

Статика Статика Static
Күш Сила Force
Күштiң әсер ету сызығы Линия действия силы Line of action
Күштер жүйесi Система сил System of forces
Сыртқы күш Внешняя сила External force
Iшкi күш Внутренняя сила Internal force
Тең әсер етушi күш Равнодействующая Resultant of system of forces
Теңдестiрiлген күштер жүйесi Уравновешенная система сил Balanced system of forces

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

Контрольные задания для СРС – 1) доказать самостоятельно простейшие теоремы статики; 2) указать отличие цилиндрического шарнира от сферического; 3) смысл принципа освобождаемости от связей; 4) может ли одна и та же сила в одном случае быть внешней, а в другом - внутренней? 5) три силы, действующие на тело, находятся в равновесии. Можно ли утверждать, что их линии действия пересекаются в одной точке?

Лекция 2. Моменты силы относительно точки и оси. Пары сил

 

Цель лекции – изложить основные понятия и теоремы о моментах сил и парах сил.

 

План лекции

1. Моменты силы относительно точки и оси

2. Теория пар сил

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке, равный по величине произведению модуля силы на плечо силы относительно этой точки и направленный перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть силу стремящейся вращать тело против хода часовой стрелки.Точку, относительно которой определен момент силы, называют моментной точкой. Проведенный из моментной точки перпендикуляр к линии действия силы называется плечом силы.

Для плоской системы сил используется алгебраический момент силы относительно точки, равный алгебраической величине произведения модуля силы на плечо силы относительно этой точки. Знак момента силы определяется по следующему правилу: момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг точки против хода часовой стрелки, если по ходу часовой стрелки – отрицательным.

.

Отметим следующие свойства момента силы относительно точки:

1) момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия, так как при этом не меняется плечо силы;

2) момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку (плечо силы равно нулю).

Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо:

1) провести через произвольную точку О оси плоскость П, перпендикулярную оси;

2) найти проекцию силы на плоскость П;

3) определить плечо h силы относительно точки О;

4) вычислить произведение ;

5) определить знак момента: принимаем его со знаком плюс, если с положительного конца оси поворот, который стремится совершить сила , виден против хода часовой стрелки, и со знаком минус – если по ходу часовой стрелки (рис.3)

.

Момент силы относительно оси равен нулю: 1) если сила параллельна заданной оси; 2) если линия действия силы пересекает ось.

Теорема о зависимости между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно точки на оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Парой сил называется система двух равных по величине сил, направленных по параллельным прямым в противоположные стороны. Сумма сил пары равна нулю, но пара сил не уравновешена. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары сил. Плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары сил. Совокупность нескольких пар сил, действующих на тело, называется системой пар сил. Пара сил не приводится к равнодействующей силе. Действие пары на твердое тело сводится к вращательному эффекту, мерой которого является векторная величина, называемая моментом пары сил. Модуль этого вектора равен произведению модуля силы пары на ее плечо, т.е.

Основные свойства пары сил: 1) пару сил можно переносить в любое место в плоскости действия пары; 2) пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную данной; 3) можно произвольно менять величину силы и плечо пары сил, сохраняя неизменным ее момент.

Пары сил эквивалентны, если равны векторы-моменты этих пар. Если на тело действует несколько пар с моментами , то их можно привести к одной паре сил с моментом .

 

ГЛОССАРИЙ

Нүктеге қатысты күш моментi Момент силы относительно точки Moment of force about point
Өске қатысты күш моментi Момент силы относительно оси Moment of force about axis
Күш иiнi Плечо силы Moment arm
Қос күш Пара сил Couple
Қос күш иiнi Плечо пары Arm of couple
Қос күш моментi Момент пары Moment of couple

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания.

Контрольные задания для СРС - 1) Доказать самостоятельно теорему о переносе пары сил в параллельную плоскость. 2) Будут ли эквивалентны силы, если равны их моменты: а) относительно одного центра; б) относительно любого центра? 3) Могут ли быть равными моменты двух различных сил относительно одной и той же точки?

 

 

Лекция 3. Приведение произвольной системы сил к заданному центру.

Условия равновесия системы сил

Цель лекции – изложить метод приведения системы сил к простейшей системе (метод Пуансо) и рассмотреть условия равновесия системы сил.

 

План лекции

1.Теорема о параллельном переносе силы. Приведение системы сил к заданному центру

2. Условия равновесия системы сил

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Теорема. Силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя ее действия, перенести параллельно ее первоначальному направлению в любую точку тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно новой точки приложения силы.

Точку, к которой приводят систему сил, называют центром приведения данной системы сил.

Теорема. Произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру, заменив ее одной силой, равной главному вектору системы сил, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно этого центра.

Из теоремы о приведении системы сил к силе и паре сил можно вывести условия равновесия системы сил, действующих на твердое тело. Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил равнялся нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также равнялся нулю,т.е.

.

Эти условия являются векторными условиями равновесия любой системы сил.

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме имеют вид:

Условия равновесия плоской системы сил:

1) 2) точки А, В, С – не лежат на одной прямой

3) l не должна быть перпендикулярна АВ

ГЛОССАРИЙ

Күштер жүйесiнiң бас векторы Главный вектор системы сил Resultant of system of force
Күштер жүйесінiң бас моменті Главный момент системы сил Moment of system of force about point
Күштер жүйесiн берiлген центрге келтiру Приведение системы сил к заданному центру Reduction of system of force
Теңдестiрiлген күштер жүйесi Уравновешенная система сил Balanced system of force
Күштер жүйесiнiң тепе-теңдiгi Равновесие системы сил Equilibrium of system of force

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1 и 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

Контрольные задания для СРС – 1) получить условия равновесия плоской и пространственной систем параллельных сил; 2) в каком случае центр тяжести тела обязательно совпадает с центром тяжести его объема и когда эти центры могут не совпадать? 3) определите положение центра тяжести четверти круга и четверти окружности.

 

 

Лекция 4. Трение. Равновесие тел с учетом сил трения.

Цель лекции – изложить основные положения науки о трении, рассмотреть равновесие тел при наличии трения.

 

План лекции

1 Сцепление и трение скольжения

2 Трение качения

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

При стремлении двигать одно тело по поверхности другого, в касательной плоскости поверхностей возникает сила сцепления (сила трения покоя) , препятствующая движению тел друг относи­тельно друга.

При скольжении тела по поверхности другого также возника­ет сила, препятствующая этому движению, — сила трения скольжения .

Если же тело катить (или стремиться катить) по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей тел возникает пара сил, препятствующая качению.

Максимальное значение силы трения численно равно произведению стати­ческого коэффициента трения (коэффициента сцепления) на нор­мальное давление тела на поверхность или нормальную реакцию: .

Статический коэффициент трения — величина безразмер­ная, он определяется экспериментально и зависит от материала соприкасающихся тел, физического состояния поверхностей контакта - степени шероховатости, тем­пературы, влажности и т. п. В курсе теоретической механики рассматривается только сухое трение между поверхностями тел, т. е. трение, когда между твердыми телами нет слоя смазыва­ющего вещества.

Значение максимальной силы трения не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей. Величине сила трения будет равна лишь в состоянии предельного равновесия (т. е. в состоянии покоя, «граничащим» с началом движения); в этом случае и сдвигающая сила , так как имеет место равновесие.

При малейшем превышении модуля силы этого значения тело начинает двигаться (скользить). При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения. Направление этой силы противоположно направлению скорости тела, а модуль силы трения скольжения определяется произведением коэффициента трения на нормальное давление: .

Коэффициент трения скольжения (динамический коэффициент трения) также является величиной безразмерной и определяется опытным путем. Значение коэффициента зависит не только от материала трущихся тел, физического состояния поверхности (величины и характера шероховатости, влажности, температуры), но и в некоторой степени от скорости движения одного тела по отношению к другому. В большинстве случаев с увеличением относительной скорости взаимодействующих тел коэффициент сначала несколько убывает от значения , а затем сохраняет почти постоянное значение, т. е. . Реакция R шероховатой поверхности имеет две составляющие: нормальную реакцию N и перпендикулярную ей силу трения (при покое тела — это сила сцепления, при движении — это сила трения скольжения).

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Для большинства материалов преодолеть сопротивление качению значительно легче, чем преодолеть со­противление скольжению. Этим объясняется то, что в технике стремятся скольжение заменить качением (колеса, катки, шарико­вые и роликовые подшипники и т. п.).

Ведущее колесо от ведомого отличается тем, что к нему прикладывается пара сил с моментом М. Сила характеризует сопротивление транспортного средства, например автомобиля, которому ведущее колесо стремится сообщить движение вправо.

Из условий равновесия колеса получаем

Рис.4    
.

В предельном состоянии равновесия

.

Ведущее колесо может сообщить автомобилю силу только тогда, когда к колесу будет приложен момент . В этом случае полностью используется максимальная сила трения скольжения . При сила , при сила должна быть больше , что невозможно (колесо начинает буксовать); ведущее колесо может сообщить автомобилю силу, не превышающую силу трения скольжения. Такую силу называют силой тяги по сцеплению.

 

ГЛОССАРИЙ

Үйкелiс Трение Friction
Сырғанау үйкелiс Трение скольжения Sliding friction
Домалау үйкелiс Трение качения Rolling friction
Құрғақ үйкеліс Сухое трение Dry friction

 

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС – самостоятельно ответить на следующие вопросы: 1) Груз весом лежит на горизонтальной плоскости, статический коэффициент трения груза о плоскость . Какая сила трения будет дей­ствовать на груз, когда к нему приложат горизонтальную силу Q , если: a) , б)? 2) Чем принципиально коэффициент трения качения отличается от коэффици­ента трения скольжения?

Лекция 5. Кинематика точки

 

Цель лекции – изложить кинематику точки.

 

План лекции

1. Введение в кинематику

2. Основная задача кинематики. Кинематика точки

3. Способы задания движения точки

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Теоретическая механика определяется как наука о механическом движении. Тело движется, если оно с течением времени изменяет свое положение относительно некоторой системы отсчета. В этом определении подчеркивается, во-первых, относительность движения и, во-вторых, элемент времени; этим механическое движение отличается от простого перемещения, рассматриваемого в геометрии без учета времени.

Кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В кинематике время t принимается за независимую переменную, а все другие кинематические характеристики (перемещение, скорость, ускорение и т.п.) рассматриваются как функции времени.

Основной задачей кинематики является определение всех кинематических величин, характеризующих движение как отдельной точки, так и тела в целом. Эта задача может быть решена путем применения различных способов кинематического задания движения точки.

Векторный способ задания движения точки. Движение точки можно задать, если выразить ее радиус-вектор в некоторой системе отсчета в виде функции времени

.

Функция для определенности дальнейших рассуждений предполагается непрерывной, дважды дифференцируемой. Такое задание радиус-вектора точки предполагает наличие системы отсчета, но не конкретизирует ее. В данном случае траекторию точки можно определить как годограф ее радиус-вектора, т.е. геометрическое место концов радиус-вектора , изменяющегося во времени.

Скорость точки при векторном способе задания движения есть векторная величина, равная первой производной по времени от радиус-вектора точки; скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения точки, а ее численное значение определяется модулем . Единица измерения скорости в СИ – м/с.

Ускорение точки по своему физическому смыслу есть изменение скорости, и определяется как первая производная по времени от скорости точки или как вторая производная от радиус-вектора точки; численное значение ускорения определяется модулем .

Единица измерения ускорения в СИ – м/c2.

 

Координатный способ задания движения точки. Чтобы знать положение точки в пространстве в любой момент времени необходимо иметь уравнения движения точки в виде:

.

Эти выражения представляют собой уравнения движения точки в декартовой системе координат и одновременно являются уравнениями траектории точки, записанными в параметрической форме.

Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредственной зависимости между координатами x,y,z, из уравнений движения необходимо исключить время.

В рассматриваемом случае скорость точки представляет собой сумму следующих векторов, параллельных осям декартовой системе координат:

, где , а ее численное значение (модуль) определится по формуле

Формула для расчета ускорения примет вид

, где ,

а численное значение ускорения будет равно модулю вектора :

Естественный способ задания движения точки. Если траектория точки известна, только тогда можно применить естественный способ задания движения точки. Для этого необходимо: зафиксировать на траектории точку начало отсчета, выбрать положительное и отрицательное направления движения, задать закон движения точки по траектории в виде

, где S- дуговая координата.

Всего этого в совокупности достаточно для однозначного определения положения точки в пространстве в любой момент времени.

Согласно определению скорости точки, учитывая определение единичного вектора , получим:

.

Отсюда следует, что проекция скорости точки на ось, касательную к траектории точки, равна

.

Эту производную иногда называют алгебраическим значением скорости точки.

Для ускорения точки имеем:

.

Проекции ускорения на оси естественной системы координат (касательную, нормаль и бинормаль) равны:

Очевидно, что и модуль ускорения

Характер движения точки по траектории можно определить исходя из знака произведения скорости и ускорения: в случае - движение точки ускоренное, в случае - движение точки замедленное . При движение точки равномерное , в этом случае при движении по криволинейной траектории и .

ГЛОССАРИЙ

Рекомендуемая литература

1 Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

2. Лойцянский Л.Г и Лурье А.И. Курс теоретической механики. Том I. "Высшая школа", М.:2000 г.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС - рассмотреть самостоятельно естественный трехгранник (оси естественной системы координат).

Лекция 6. Кинематика простейших движений твердого тела

 

Цель лекции – рассмотреть простейшие движения твердого тела, установить кинематические характеристики всего тела, а затем изучить движение каждой из его точек в отдельности.

План лекции

1. Поступательное движение твердого тела. Теорема о скоростях и ускорениях точек тела при поступательном движении.

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела.

3. Скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Далеко не во всех задачах кинематики можно пренебрегать размерами движущегося тела и принимать его за точку. Для тех случаев, когда расстояния между частицами тела не изменяются, но по условиям задачи приходится учитывать движение его различных частиц, разработан раздел кинематики, называемый кинематикой твердого тела.

Если закрепить две точки твердого тела, то оно сможет поворачиваться вокруг прямой, проходящей через две эти точки. Если закрепить еще и третью точку, не лежащую на той же прямой, то тело окажется неподвижно закрепленным. Таким образом, положение твердого тела определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой, а движение тела – движением трех его точек.

Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, проходящая через какие либо две точки тела, остается параллельной своему первоначальному направлению.

Свойства поступательного движения:

1. траектории всех точек тела, совершающего поступательное движение, конгруэнтны, т.е. одинаковы;

2. скорости и ускорения всех точек тела в каждый момент времени геометрически равны.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение тела, при котором какие либо две точки тела будут оставаться неподвижными. Прямая, проведенная через эти точки называется осью вращения твердого тела.

Вращательное движение твердого тела определено, если задан как функция времени угол, измеряемый в радианах:

,

где - непрерывная дважды дифференцируемая функция времени.

Алгебраическая угловая скорость вращения тела

.

Единица измерения в СИ - рад/с.

Изменение угловой скорости тела во времени характеризуется угловым ускорением. Алгебраическое значение углового ускорения тела определяется как первая производная от алгебраического значения угловой скорости или вторая производная по времени от угла поворота тела вокруг неподвижной оси:

.

Единица измерения углового ускорения в СИ - рад/с2.

 

Вращательное движение называется ускоренным, если и замедленным, если , при тело вращается равномерно, в этом случае .

Скорость точки тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси, определяется векторной формулой Эйлера

.

Модуль скорости точки определятся как

Скорости точек при вращении вокруг неподвижной оси направлены по касательной к окружности радиусом в соответствии с направлением угловой скорости тела.

Ускорение точки тела

Слагаемые в правой части представляют собой касательную

и нормальную

составляющие ускорения точки.

Модуль касательного ускорения равен:

Вектор всегда направлен по нормали к траектории точки в сторону ее вогнутости (к оси вращения тела). Модуль нормального ускорения точки равен:

Полное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,равно:

.

Его численное значение (модуль) определяется по формуле:

 

Таким образом, модули скоростей и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорциональны кратчайшему расстоянию от них до оси вращения, причем, чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше ее скорость и ускорение.

 

ГЛОССАРИЙ

Қатты дененiң iлгерiлемелi қозғалысы Поступательное движение твердого тела Translator motion of rigid body
Қозғалмайтын өске қатысты қатты дененiң айналмалы қозғалысы Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси Motion of rigid body about fixed axis
Дененiң айналу бұрышы Угол поворота тела Angle of rotation
Бұрыштық жылдамдық Угловая скорость Angular velocity
Бұрыштық үдеу Угловое ускорение Angular acceleration

 

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1 и 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

2. М.И Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон Теоретическая механика в примерах и задачах, 1 часть, Москва,1975 – 286-300с.

Контрольные задания для СРС – рассмотреть самостоятельно преобразование простейших движений (передаточные механизмы).

 

 

Лекция 7. Плоское движение твердого тела

Цель лекции – изложить теорию плоского движения твердого тела

 

 

План лекции

1. Теорема о скоростях точек плоской фигуры.

2. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры.

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая его точка движется в одной и той же плоскости, параллельной данной неподвижной плоскости.

Плоское движение часто встречается в технике. Большинство современных механизмов имеет звенья, совершающие плоские движения. Такие механизмы называются плоскими.

Уравнения

,

 

определяющие положение и движение плоской фигуры в неподвижной плоскости Оxy, называются уравнениями плоского движения твердого тела.

Введем понятия алгебраической угловой скорости и алгебраического углового ускорения твердого тела в плоскопараллельном движении:

Для произвольного момента времени скорость точки твердого тела будет определяться следующей формулой:

где - скорость точки А , выбранной за полюс; - скорость точки В тела при вращении ее вместе с фигурой вокруг полюса А. Вектор лежит в плоскости движущейся фигуры и . Вектор , его модуль: .

Окончательно имеем:

.

Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и скорости этой точки при ее вращении вместе с фигурой вокруг полюса.

Для определения ускорений точек плоской фигуры необходимо пользоваться следующей формулой:

Здесь - ускорения точек В и А относительно неподвижной системы координат; - ускорение точки В при ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг подвижной оси, проходящей через полюс А.

Таким образом, ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

Учитывая, чтонайдем:

,

где - угловое ускорение тела при плоском движении. Слагаемые вектора есть касательная и нормальная составляющие:

модули которых равны:

.

, вектор направлен от В к полюсу А..

Таким образом,

ГЛОССАРИЙ

Қатты денеiң жазық-параллель қозғалысы Плоско-параллельное движение твердого тела Two-dimensional motion of rigid body
Лездiк жылдамдықтар центрi Мгновенный центр скоростей Instantaneous centre of zero-velocity
Лездiк үдеулер центрi Мгновенный центр ускорений Instantaneous centre of zero-acceleration
Қозғалмалы центроида Подвижная центроида Body cent rode
қозғалмайтын центроида Неподвижная центроида Space cent rode

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС - самостоятельно изучить:

1) теорему о равенстве проекций скоростей;

2) теорему о существовании и единственности мгновенный центр скоростей (МЦС), рассмотреть различные случаи определения положения МЦС, скоростей точек плоской фигуры.

 

Лекция 8. Сложное движение точки

 

Цель лекции – изложить сложное движение точки с доказательством теоремы Кориолиса.

План лекции

Теорема о сложении скоростей. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

Свойства ускорения Кориолиса. Правило Н.Е. Жуковского

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Механическое движение выражается в изменении с течением времени взаимных положений тел. Такое изменение можно отметить только относительно других тел. В ряде задач механики оказывается целесообразным рассмотрение движения точки одновременно в нескольких системах координат.

Движение точки, исследуемое одновременно по отношению к нескольким системам отсчета, называют сложным.

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Кинематические характеристики этого движения называются соответственно относительной скоростью и относительным ускорением .

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета и всеми неизменно связанными с нею точками пространства по отношению к неподвижной системе, называется переносным, соответственно и характеристики движения будут называться переносной скоростью и переносным ускорением .

Зависимость между абсолютной , относительной и переносной скоростями точки в сложном ее движении устанавливает теорема о сложении скоростей.

Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. .

Зависимость между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки определяется кинематической теоремой Кориолиса:

или ,

где - ускорение Кориолиса.

Таким образом, абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.

Модуль ускорения Кориолиса, если угол между векторами и обозначить , будет равен:

Направление вектора определяется правилом векторного умножения либо правилом Жуковского, согласно которому следует спроецировать вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в этой же плоскости на 900 в сторону переносного вращения. Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

1) , 2) 3) т.е. .

ГЛОССАРИЙ

Нүктенiң күрделi қозғалысы Сложное движение точки Compound motion of particle
Нүктенiң абсолют қозғалысы Абсолютное движение точки Absolute motion of particle
Нүктенiң салыстырмалы қозғалысы Относительное движение точки Relative motion
Нүктенiң тасымал қозғалысы Переносное движение точки Bulk motion
Кориолис үдеуi Ускорение Кориолиса Carioles acceleration
Салыстырмалы жылдамдық (үдеу) Относительная скорость (ускорение) Relative velocity (acceleration)
Тасымал жылдамдық (үдеу ) Переносная скорость (ускорение) Bulk velocity (acceleration)

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1 и 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

Контрольные задания для СРС – показать применение правила Жуковского для определения ускорения Кориолиса на примере движущихся точек по поверхности Земли по меридианам и параллелям в разных направлениях.

 

 

Лекция 9. Динамика материальной точки

 

Цель лекции – изложить основные законы динамики, рассмотреть две основные задачи динамики точки

План лекции

1. Предмет динамики. Аксиомы динамики

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки.

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Динамика является основным и наиболее общим разделом теоретической механики. В динамике изучают зависимость между движением материальных объектов и действующими на них силами.

Соотношения между основными понятиями динамики определяются аксиомами или основными законами движения, данными Ньютоном.

1 аксиома (1 закон Ньютона). Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

2 аксиома (2 закон Ньютона). Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе точки.

Математически этот закон можно записать в виде

, (1)

где - ускорение точки, - характеризует инертные свойства точки и называется массой.

3 аксиома (3 закон Ньютона).Всякому действию всегда есть равное и противоположно ему направленное противодействие, иначе – силы взаимодействия двух тел равны между собой и направлены в противоположные стороны.

4 аксиома. Если на материальную точку действует система сил , то действие каждой из сил не зависит от действия остальных и каждая из сил сообщает точке такое ускорение, какое она ей сообщила бы, если бы действовала одна, а под действием системы сил точка получает ускорение

,

где . В этом заключается принцип независимости действия сил.

Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором , а сила в рамках классической механики может быть функцией времени, положения и скорости точки, из уравнения (1) получаем векторное дифференциальное уравнение движения точки:

. (2)

В проекциях на декартовы оси координат (базис дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:

(3)

Здесь - проекции ускорения точки на координатные оси, - проекции равнодействующей сил, действующих на точку.

На основе дифференциальных уравнений движения материальной точки решают две основные задачи динамики точки:1) по движению определить силы, производящие данное движение. Эту задачу называют первой (прямой) задачей динамики точки, 2) даны силы, действующие на материальную точку; требуется определить движение этой точки под действием данных сил. Эту задачу называют второй (обратной) задачей динамики точки.

ГЛОССАРИЙ

Динамика Динамика Dynamics
Инерттiлiк Инертность Inertia
Масса Масса Mass
Материялық нүкте Материальная точка Particle
Инерциялық санақ жүйе Инерциальная система отсчета Inertial reference frame
Күш Сила Force

Рекомендуемая литература

a. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС – рассмотреть и решить следующую задачу самостоятельно: груз массой движется по наклонной плоскости с углом наклона ; коэффициент трения груза о плоскость равен . Одинаковы ли дифференциальные уравнения движения груза по этой плоскости вниз и вверх?

 

Лекция 10. Введение в динамику системы. Геометрия масс.

 

Цель лекции – изложить основные понятия динамики механической системы, дать основные понятия геометрии масс.

План лекции

Механическая система. Внешние и внутренние силы

Масса системы. Центр масс механической системы

Моменты инерции. Теорема Штейнера-Гюйгенса

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Любая совокупность материальных точек называется механической системой.

Все силы, действующие на элементы данной механической системы, разделяют на внутренние и внешние. Силы () взаимодействия точек данной системы называют внутренними. Силы (), действующие на механическую систему со стороны точек (тел), не входящих в состав данной системы, называют внешними. Заметим, что к внешним силам будут относиться и реакции связей. В соответствии с первой аксиомой динамики любые две точки системы действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Отсюда следуют два свойства внутренних сил: 1) геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю, т.е. ; 2) сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра (оси) равняется нулю, т.е.

Под действием внутренних сил могут возникать взаимные перемещения точек (или тел) механической системы. Система, расстояния между любыми двумя точками которой остаются при движении постоянными, называется неизменяемой. Если расстояние между какими-либо двумя точками системы изменяется при движении, то систему называют изменяемой. Масса и взаиморасположение масс системы являются существенными факторами, влияющими на ее движение. Эти характеристики системы отражаются соответствующими величинами.

Механическая система – это система материальных точек, каждая из которых имеет определенную массу и занимает в данный момент времени определенное положение в пространстве. Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Распределение масс в системе можно определить значениями масс ее точек и их координатами . Масса системы М равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему. Если система представляет собой твердое тело, то его масса является мерой инертности тела при поступательном движении.

Центром масс механической системы называют геометрическую точку С, радиус- вектор которой определяется по формуле:

(*)

где - радиус-векторы точек, образующих систему.

При непрерывном распределении массы системы сумма, стоящая в правой части формулы, переходит в соответствующий интеграл. В однородном поле силы тяжести вес любой частицы тела пропорционален ее массе и центр масс любой системы совпадает с ее центром тяжести. В динамике следует говорить о центре масс механической системы, а не о центре тяжести. Векторная величина, стоящая в числителе выражения (*) называется статическим моментом массы системы относительно точки О.

При исследовании движения системы недостаточно знать ее массу и положение центра масс. Необходимо также определять и другие характеристики распределения масс, которые называются моментами инерции.

Моментом инерции механической системы относительно центра (полярным моментом) называется сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до центра

.

Моментом инерции относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до этой оси

.

Из определений следует, что момент инерции системы (тела) является величиной положительной, не равной нулю.

Осевой момент инерции тела является мерой инертности тела при его вращательном движении.

Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут иметь разные значения. Зависимость между моментами инерции системы относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс системы, определяется по теореме Штейнера-Гюйгенса. Согласно этой теореме, момент инерции системы относительно какой либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы системы на квадрат расстояния между этими осями, т.е.

.

Из этой формулы видно, что при удалении оси от оси величина момента инерции возрастает.

ГЛОССАРИЙ

Механикалық жүйе Механическая система System
Механикалық жүйенiң массалар центрi Центр масс механической системы Center of mass
Механикалық жүйенiң нүктеге, өске қатысты инерция моментi Момент инерции механической системы относительно точки (центра) Moment of inertia of system about point, axis

 

 

Рекомендуемая литература

a. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС - доказать самостоятельно теорему Штейнера-Гюйгенса. Применить ее к простейшим однородным телам.

 

 

Лекция 11. Дифференциальные уравнения движения механической

Системы. Теорема о движении центра масс системы

 

Цель лекции – рассмотреть дифференциальные уравнения движения механической системы и теорему о движении центра масс системы.

План лекции

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Теорема о движении центра масс механической системы

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из N точек. На точку Mk массой mk системы действует равнодействующая внутренних сил и равнодействующая внешних сил .

Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек в векторной форме имеют вид:

или ,

где скорость k – ой точки.

Начальные условия имеют следующий вид:

при

Проинтегрировать систему 3N уравнений в общем случае не удается даже для одной точки. Процесс интегрирования еще более усложняет то обстоятельство, что силы реакций связей, наложенных на систему, часто необходимо определять в процессе решения задачи о движении механической системы.

Для решения некоторых задач необходимо систему уравнений преобразовать так, чтобы в них содержались зависимости некоторых обобщенных мер движения (количества движения, кинетического момента, кинетической энергии) от характеристик приложенных сил (главного вектора и главного момента относительно центра). Получают эти уравнения из закономерностей, описываемых общими теоремами динамики для механической системы: о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении кинетического момента, об изменении кинетической энергии.

Запишем уравнения движения механической системы в виде

 

,

где - ускорение - ой точки; - равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на - ую точку. Просуммируем уравнения по всем точкам механической системы:

.

Здесь - главный вектор внутренних сил.

Продифференцировав дважды по времени выражение для определения радиус-вектора центра масс системы:

где - абсолютная скорость центра масс.

Тогда

,

где - главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему.

Теорема о движении центра масс механической системы формулируется так: центр масс механической системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действуют все внешние силы, действующие на точки системы.

Из теоремы о движении центра масс вытекает следующее следствие (закон сохранения движения центра масс):

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, т.е. , то , откуда после интегрирования получаем:

Таким образом, если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то центр масс механической системы движется прямолинейно и равномерно.

 

ГЛОССАРИЙ

Механикалық жүйе   Механическая система   System
Механикалық жүйесiнiң массалар центрi Центр масс механической системы Center of mass

 

 

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС - пользуясь теоремой о движении центра масс решить самостоятельно следующую задачу: сидящий в лодке охотник стреляет вперед в горизонтальном направлении. Пренебрегая сопротивлением воды, определить скорость лодки после выстрела, если до выстрела она была неподвижна; масса охотника 70 кг, масса лодки 30 кг, масса заряда 40 г и его начальная скорость 300 м/с.

 

 

Лекция 12. Работа силы. Мощность

 

Цель лекции – познакомить с мерой действия силы – работой и мощностью; рассмотреть примеры вычисления работы некоторых сил

 

План лекции

1. Элементарная и полная работа силы. Пример. Мощность силы

2. Работа силы в различных случаях движения твердого тела

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Элементарная работа силы. Элементарная работа силы на элементарном перемещении определяется формулой

, (1)

где , - скорость точки приложения силы.

Величина скалярная, ее знак определяется знаком функции . Если острый угол, - тупой угол, а для , . Так как , то формулу (1) можно представить в виде:

. (2)

Таким образом, элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

Поскольку , то, согласно (1)

, или (3)

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы и дифференциала радиус-вектора .

 

Так как , представим выражение (3) в виде:

(4)

Таким образом, элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки ее приложения.

В аналитической форме (4) будет иметь вид:

Полная работа силы. Полную работу силы на конечном перемещении определяют как предел суммы ее элементарных работ, т.е.

, (5)

где работа силы на элементарном перемещении. Так как эта сумма является интегральной суммой определения криволинейного интеграла, то

.

Используя различные формулы для определения элементарной работы, получаем:

или .

Если же сила является функцией времени, то, согласно (4), работа силы определяется выражением:

(6)

Работа силы зависит от характера движения точки приложения силы. Например, если скорость точки приложения силы равна нулю, то .

Пример. Рассмотрим материальную точку М, на которую действует сила тяжести . Точка перемещается из положения М0 в положение М1 , при этом координатные оси выбраны так, что ось z направлена вертикально вверх (рис.1). Проекции силы на координатные оси . Подставляя их в формулу для работы, будем иметь:

(7).

Обозначив через h=z-z0 вертикальное перемещение, получим:

; (8)

или .

Следовательно, работа силы тяжести материальной точки равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки (при опускании точки работа положительная, при подъеме – отрицательная). Из формулы (8) следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка ее приложения.

Единица измерения работы в системе СИ - 1 джоуль .

Мощность. Отношение приращения работы силы к элементарному промежутку времени, за которое оно произошло, называется мощностью:

.

Так как , то .

Таким образом, мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. Единица измерения мощности в системе СИ - 1 Ватт .

Работа силы при поступательном движении твердого тела. При поступательном движении твердого тела векторы скоростей, а также элементарные перемещения всех точек тела одинаковы. Тогда элементарная работа силы

.

Полная работа силы на каком-либо перемещении будет

Работа силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.Разложим силу , приложенную в произвольной точке М тела, по осям естественного… Работы составляющих силы по нормали и бинормали равны нулю, ибо они направлены… Поэтому .

Рекомендуемая литература

1 Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

Контрольные задания для СРС – рассмотреть самостоятельно работы силы упругости, силы трения скольжения, пары сил сопротивления качению.

 

 

Лекция 13. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии точки и механической системы

 

Цель лекции –изложить теорему об изменении кинетической энергии

 

План лекции

1. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Вычисление кинетической энергии при различных движениях твердого тела

2. Теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Кинетическая энергия материальной точки и системы.Кинетическую энергию материальной точки определяют по формуле:

,

где есть квадрат скорости точки.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек системы:

Кинетическая энергия – положительная скалярная величина. Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является джоуль (1Дж=1Н∙м) .

Кинетическая энергия твердого тела. При поступательном движении твердого тела скорости всех точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому кинетическая энергия

,

где - масса твердого тела.

 

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость его произвольной точки

.

Тогда

,

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

При плоском движении твердого тела, которое можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подвижной оси CZ с угловой скоростью , кинетическая энергия тела будет определяться формулой:

,

где момент инерции тела относительно оси OZ.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен… Разделив обе части уравнения на , получим еще одну запись теоремы в… .

Дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

. Таким образом, первая производная по времени от кинетической энергии системы… Проинтегрировав дифференциальные уравнения, будем иметь:

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

 

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

Контрольные задания для СРС – 1) Влияют ли внутренние силы системы на изменение ее кинетической энергии? 2) В каких механических системах сумма работ внутренних сил равна нулю?

 

Лекция 14. Теорема об изменении количества движения

 

Цель лекции - изложить теорему об изменении количества движения для материальной точки и механической системы

План лекции

Количество движения материальной точки и механической системы. Элементарный и полный импульс силы

Теорема об изменении количества движения

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

.

Количеством движения механической системыназывается вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы:

Вектор является свободным вектором. Единица измерения в системе СИ – 1кг ∙м/с. Используя понятие центра масс механической системы, количество движения системы представим в виде:

.

Элементарным импульсом силы за элементарный промежуток времени называется векторная величина, равная

.

Полный импульс силы за конечный промежуток времени равен:

.

Единица измерения импульса силы – Ньютон ∙ секунда (Н∙ с).

,

где - конечная и начальная скорости точки; - полный импульс силы за время . Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения точки: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на точку силы за этот же промежуток времени.

Для механической системы будем иметь:

.

 

Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Умножая обе части уравнения на dt, получим:

,

т.е., дифференциал количества движения механической системы равен геометрической сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Интегрируя уравнение в заданных пределах, получим:

,

или

,

где - количества движения системы в начальный и конечный моменты времени.

Последнее уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за какое-либо время равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за это же время .

Теорема допускает первый интеграл (закон сохранения) в случае, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю:

.

Тогда вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и по направлению: .

ГЛОССАРИЙ

Нүктенiң (жүйенiң) қозғалыс мөлшерi Количество движения точки (системы) Momentum of particle (system)
Қандай да бiр уақыт аралығындағы күш импульсi Импульс силы за конечный промежуток времени Whole force

 

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС – ответить на следующие вопросы: 1). Влияют ли внутренние силы системы на ее количество движения? На движение ее центра масс? 2). При каких условиях центр масс системы находится в покое?

 

Лекция 15. Теорема об изменении кинетического момента.

Цель лекции - изложить теорему об изменении кинетического момента.

План лекции

1. Момент количества движения материальной точки и механической системы. Кинетический момент вращающегося тела

2. Теорема об изменении кинетического момента.

 

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Для характеристики движения материальной точки используют еще одну векторную меру движения – момент количества движения, или кинетический момент, относительно центра.

Моментом количества движения материальной точки массой m относительно центра О называют векторную величину, равную векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения точки:

Единица измерения в системе СИ – 1 кг ∙ м2/с.

Главным моментом количества движения, или кинетическим моментом механической системы относительно центра О называют геометрическую сумму векторов моментов количеств движения материальных точек системы относительно этого же центра:

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью .Определим кинетический момент вращающегося тела относительно оси Oz. Согласно определению,

.

Проекции скорости точки Ак тела на касательную к траектории движения , а момент количества движения точки относительно оси Oz

,

где .

Подставив , получим: .

 

Здесь момент инерции тела относительно оси вращения.

Окончательно имеем: . Знак определяется знаком проекции угловой скорости . Формула

выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки: первая производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна моменту равнодействующей силы относительно этого же центра О.

Для механической системы, состоящей из материальных точек, к каждой из которой приложены равнодействующие внешних и внутренних сил , запишем теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра О:

,

где - главный момент внешних сил,

а главный момент внутренних сил .

Последняя формула выражает теорему об изменении главного момента количеств движения (кинетического момента) механической системы: первая производная от главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О равен главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно этого же центра.

Теорема допускает первый интеграл (закон сохранения кинетического момента), если

.

После интегрирования получим: . Это уравнение выражает закон сохранения кинетического момента относительно центра О.

 

ГЛОССАРИЙ

Нүктенiң (жүйенiң) центрге қатысты қозғалыс мөлшерiнiң моментi (кинетикалық момент) Момент количества движения точки (системы) относительно центра (кинетический момент) Moment of momentum оf particle (system) about point; angular momentum of particle (system) about point

 

Продолжение глоссария (лекция 15)

Нүктенiң (жүйенiң) өске қатысты кинетикалық моментi Кинетический момент точки (системы) относительно оси Angular momentum of particle (system) about axis
Центрге (өске) қатысты күштер жүйесiнiң бас моментi Главный момент системы сил относительно центра (оси) Moment of system of forces about point (axis)

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч 2, «Высшая школа», С-Птб.: 2002 и предшествующие издания.

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

 

Контрольные задания для СРС- Невесомый круглый диск радиусом R, расположенный в горизонтальной плоскости, вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Определить кинетический момент относительно этой оси материальной точки массы m , двигающейся по отношению к диску со скоростью при ее движении:1) по ободу диска в направлении его вращения; 2) по ободу диска в направлении, противоположном его вращению; 3) по диаметру диска.

 

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: Конспект, лекций, дисциплине, ТМ, Теоретическая, Механика, Введение, механику, основные, понятия, Аксиомы, статики0.13

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ 2206 Теоретическая механика: Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА- краткий курс КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Введение. Элементы векторной алгебры. Основные понятия статики. Аксиомы статики. Связи и их реакции
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы Введение Элементы векторной алгебры Основные понятия статики Аксиомы статики Связи и их... Изучение этих вопросов необходимо в дальнейшем для изучения центра тяжести... Введение...

Конспект лекций по дисциплине Программно-аппаратные средства защиты информации Основные понятия и определения
Тема... Основные понятия и определения... За несколько последних десятилетий требования к информационной безопасности существенно изменились До начала широкого...

Конспект лекций по дисциплине Экономика недвижимости: конспект лекций
Государственное бюджетное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский государственный экономический университет...

Основные понятия статики. Аксиомы статики
Статика изучает методы преобразования сил приложенных к материальной точке или твердому телу а также условия их равновесия... Основные понятия статики... Сила мера механического взаимодействия материальных тел в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать...

Конспект Лекций по ТОЭ ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Кафедра ТОЭ... Конспект Лекций по ТОЭ... Уфа ОГЛАВЛЕНИЕ...

Конспект лекций По дисциплине Экономика . Введение в экономику. Экономические системы и общие проблемы экономического развития
Образования... Новосибирский государственный медицинский университет... Министерства здравоохранения Российской Федерации...

Психиатрия. Конспект лекций. ЛЕКЦИЯ № 1. Общая психопатология Психиатрия: конспект лекций
Психиатрия конспект лекций... Текст предоставлен литагентом http litres ru...

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по курсу Архитектурное материаловедение Конспект лекций по курсу Архитектурное материаловедение
ФГОУ ВПО ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... ИНСТИТУТ Архитектуры и искусств... КАФЕДРА ИНЖЕНЕРНО строительных ДИСЦИПЛИН...

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭКОНОМЕТРИКЕ
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ... ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ... Кафедра статистики и эконометрики...

0.055
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам