Властивості скалярного добутку. - раздел Философия, КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ 1. ...
1. .
Справедливість цієї властивості випливає з означення.
2. .
Доведення. .
3. .
Доведення.
.
4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини:
.
Доведення. .
Зокрема, .
Якщо добути корінь із скалярного квадрата вектора, то отримаємо не початковий вектор, а його модуль , тобто .
5. Якщо ненульові вектори іортогональні, то їх скалярний добуток рівний нулю і навпаки, якщо скалярний добуток двох ненульових векторів рівний нулю, то ці вектори ортогональні.
Доведення. Так як , то , а отже і .
Якщо і ,, то і .
Зокрема, .
Приклад 6.1.Знайти , якщо , , , ,
.
Розв’язок.
. t
Приклад 6.2.Знайти довжину вектора ,якщо ,,
.
Розв’язок.
t
Скалярний добуток в координатній формі.Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , .
Знайдемо скалярний добуток цих векторів, перемноживши їх як многочлени згідно властивостям 1 – 3:
.
Згідно властивостям 4, 5, отримаємо:
. (6.3)
Таким чином, скалярний добуток векторів рівний сумі добутків їх однойменних координат.
За формулою (6.3) маємо
, (6.4)
звідки
. (6.5)
Приклад 6.3.Знайти довжину вектора .
Розв’язок. t
Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані точки , .
Відстань між двома точками і рівна
. (6.6)
Так як , то кут між ненульовимивекторами і визначається за формулами:
,
тобто
. (6.7)
З останньої формули випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і :
. (6.8)
Нехай кути, які утворює вектор з осями координат , , , відповідно рівні . Тоді проекції вектора на осі координат рівні
, , . (6.9)
Звідси
, , . (6.10)
Числа , , називаються напрямними косинусами вектора .
Підставивши вирази (6.9) в рівність (6.4), отримаємо
.
Скоротивши на , отримаємо співвідношення
.
Приклад 6.4.Довести, що діагоналі чотирикутника, заданого координатами вершин , , , , взаємно перпендикулярні.
Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на діагоналях даного чотирикутника:
; .
Знайдемо скалярний добуток цих векторів:
.
Згідно властивості 5, вектори і перпендикулярні, що й треба було довести. t
Приклад 6.5.Дано трикутник з вершинами в точках , , . Знайти проекцію сторони на сторону .
Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на сторонах даного трикутника:
; .
З формули (6.2) знаходимо
. t
Приклад 6.6.Знайти кут між векторами і , якщо , .
Розв’язок. За формулою (6.7) знаходимо
,
. t
Приклад 6.7.Знайти напрямні косинуси вектора , якщо , .
Розв’язок. Знайдемо координати і довжину вектора :
КІРОВОГРАДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... ФАКУЛЬТЕТ ПРОЕКТУВАННЯ І ЕКСПЛУАТАЦІЇ МАШИН... КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ФІЗИКИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Властивості скалярного добутку.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основні поняття
Матрицею (числовою матрицею) називається прямокутна таблиця складена з чи
Дії над матрицями
Додавання. Дія додавання матриць вводиться тільки для матриць однакових розмірів.
Сумою двох матриць
Транспонування матриць
Матриця, отримана з даної заміною кожного її рядка (стовпчика) стовпчиком (рядком) з тим же номером, називається транспонованою до даної.
Матрицю, транспоновану до
Основні поняття
Квадратній матриці А порядку п можна поставити у відповідність число, яке називається її визначником або детермінантом і познача
Властивості визначників
Сформулюємо основні властивості визначників, які справедливі для визначників всіх порядків. Деякі з них пояснимо на визначниках 3-го порядку.
1.Визначник матриці, транс
Розв’язання лінійних систем методом Гауса
Універсальним методом розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод Гауса, який полягає в послідовному виключенні змінних.
Нехай дана система т лінійних рівнянь з п
Основні поняття
Вектор – це направлений відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і певний напрямок. Якщо А – початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначають
Лінійні операції над векторами
Лінійними операціями над векторами називають додавання і множення векторів на число.
Нехай
Властивості мішаного добутку.
1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його множників: .
Дійсно, в цьо
Рівняння лінії на площині
Лінія на площині часто задається як множина точок, що має деякі геометричні властивості, які характерні тільки для цієї множини.
Введення на площині системи координат дозволяє визначити по
Новости и инфо для студентов