Ранг матриці - раздел Философия, КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ Розглянемо Матрицю ...
Розглянемо матрицю розмірів :
.
Виділимо в ній рядків і стовпців . З елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, складемо визначник -го порядку. Всі такі визначники називаються мінорами даної матриці. (Відмітимо, що таких мінорів можна скласти штук, де – число сполучень з елементів по ).
Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називають рангом матриці і позначають .
Очевидно, що .
Мінор, порядок якого визначає ранг, називається базисним. Позначатимемо його . У ненульової матриці може бути декілька базисних мінорів.
Приклад 3.2.Використовуючи означення, знайти ранг матриці
і вказати базисні мінори.
Розв’язок. Серед мінорів 1-го порядку (елементів матриці ) є відмінні від нуля, отже, . Серед мінорів 2-го порядку є відмінні від нуля, наприклад:
.
Отже, . Всі мінори 3-го порядку рівні нулю. Таким чином, .
В якості базисного мінору можна взяти
=або =. t
Відмітимо властивості рангу матриці:
1. При транспонуванні матриці її ранг не змінюється.
2. Якщо викреслити з матриці нульовий рядок або стовпчик, то її ранг не зміниться.
3. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.
Неважко показати, що за допомогою елементарних перетворень будь-яку ненульову матрицю можна привести до трапецієвидного вигляду:
,
де …, відмінні від нуля.
Викреслимо в матриці В рядки, всі елементи яких рівні нулю. Ранг отриманої матриці, що складається з рядків, рівний , так як мінор порядку , що стоїть у верхньому лівому куті, відмінний від нуля. Отже, і ранг матриці В рівний – кількості ненульових рядків.
Так як матриця В отримана з матриці А шляхом елементарних перетворень, то ранг матриці А теж рівний .
Приклад 3.3.Знайти ранг матриці
.
Розв’язок. За допомогою елементарних перетворень зведемо дану матрицю до трапецієвидного вигляду:
.
Ранг отриманої матриці рівний трьом, а отже і ранг даної матриці рівний трьом. t
Теоретичні питання
3.1. Яка матриця називається невиродженою?
3.2. Яка матриця називається союзною?
3.3. Яка матриця називається оберненою?
3.4. Для якої матриці існує обернена?
3.5. Запишіть формулу, за якою знаходиться обернена матриця.
3.6. Які властивості оберненої матриці?
3.7. Що називається мінором матриці?
3.8. Що називається рангом матриці?
3.9. Що називається базисним мінором матриці?
3.10. Як знайти ранг матриці за допомогою елементарних перетворень?
Задачі та вправи
3.1. Знайти матриці, обернені до даних, якщо вони існують:
а) ; б); в) ; г) .
3.2. Знайти ранг матриці та вказати один із базисних мінорів:
КІРОВОГРАДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... ФАКУЛЬТЕТ ПРОЕКТУВАННЯ І ЕКСПЛУАТАЦІЇ МАШИН... КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ФІЗИКИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Ранг матриці
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основні поняття
Матрицею (числовою матрицею) називається прямокутна таблиця складена з чи
Дії над матрицями
Додавання. Дія додавання матриць вводиться тільки для матриць однакових розмірів.
Сумою двох матриць
Транспонування матриць
Матриця, отримана з даної заміною кожного її рядка (стовпчика) стовпчиком (рядком) з тим же номером, називається транспонованою до даної.
Матрицю, транспоновану до
Основні поняття
Квадратній матриці А порядку п можна поставити у відповідність число, яке називається її визначником або детермінантом і познача
Властивості визначників
Сформулюємо основні властивості визначників, які справедливі для визначників всіх порядків. Деякі з них пояснимо на визначниках 3-го порядку.
1.Визначник матриці, транс
Розв’язання лінійних систем методом Гауса
Універсальним методом розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод Гауса, який полягає в послідовному виключенні змінних.
Нехай дана система т лінійних рівнянь з п
Основні поняття
Вектор – це направлений відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і певний напрямок. Якщо А – початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначають
Лінійні операції над векторами
Лінійними операціями над векторами називають додавання і множення векторів на число.
Нехай
Властивості мішаного добутку.
1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його множників: .
Дійсно, в цьо
Рівняння лінії на площині
Лінія на площині часто задається як множина точок, що має деякі геометричні властивості, які характерні тільки для цієї множини.
Введення на площині системи координат дозволяє визначити по
розмірів 
:
.
рядків і 
. З елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, складемо визначник 
штук, де 
– число сполучень з 
елементів по 
.
.
. У ненульової матриці може бути декілька базисних мінорів.
. Серед мінорів 2-го порядку є відмінні від нуля, наприклад:
.
. Всі мінори 3-го порядку рівні нулю. Таким чином, 
.
або 
. t
,
…, 
відмінні від нуля.
рядків, рівний 
.
.
; б)
; в) 
; г) 
.
; б)
; в) 
.
Новости и инфо для студентов