ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Цели работы: 1. Научится вводить арифметические выражения и находить их значения. 2. Научится задавать переменные и функции, использовать их.

Ввод арифметических выражений

В последней строке панели инструментов находятся кнопки вывода наборных панелей. Перемещаемые наборные панели (палитры) со знаками различных… « Calculator (Калькулятор) »; « Graph (Графики) »; « Matrix (Матрицы) »; «…  

Знаки арифметических операций

Таблица 1 Операция Обозначение Клавиша Вычитание X-Y - Сложение X+Y + …   Для получения значения введенного выражения необходимо набрать знак равенства.

Пример 1.

1) Наберите: 15, - , 8, / , 104.5 ,=. (При введении символов обратите внимание на их последовательность).

Получается выражение .

2) Наберите: 15, - , 8, пробел, / , 104.5 ,=.

Получается выражение .

3) Наберите: 2, ^ , e, + , 5, пробел, пробел, , 3, =.

Получается выражение .

4) Наберите: 2, ^ , e, пробел, + , 5, - , , 3, =.

Получается выражение .

 

Редактирование выражений

Выражение на экране можно редактировать. Для этого необходимо:

- установить в нужном месте маркер ввода (щелкнув мышью в соответствующем месте выражения или перемещаясь по выражению при помощи клавиш «вверх», «вниз», «вправо», «влево»);

- стереть ненужные символы;

- напечатать новые символы, цифры или операторы.

Пример 2.

1) Введем выражение и найдем его значение:

.

2) Заменим под корнем 20 на 40. Для этого щелкнем мышью по цифре 2, сотрем её, наберем 4. Щелкнув мышью вне выражения, получим его новое значение:

.

3) Аналогичным образом заменим в числителе знак плюс на минус:

.

 

 

Переменные и функции

Имена переменных и функций

Некоторые имена используются для обозначения встроенных констант: , , , (бесконечность), . Использование таких сочетаний символов в качестве имен…

Задание переменных

Прежде чем использовать переменную, необходимо задать одно или несколько значений, которые она может принимать. Для этого используется символ присваивания :═, который набирается либо двоеточием (на английской раскладке), либо с палитры «Преобразования».

Способы задания значений переменной:

1) - переменная х принимает единственное значение;

2) - переменная х принимает значения от 0 до 5 с шагом 1;

3) - переменная х принимает значения от 0 до 5 с шагом 0,5 (шаг определяется разностью между вторым и первым значениями).

Символ « . .» набирается либо точкой с запятой (на английской раскладке), либо с палитры «Матрицы».

Замечание. Переменная, которая принимает несколько отдельных значений с определенным шагом, называется дискретной переменной или дискретным аргументом.

Задав переменные, можно вводить выражения, содержащие эти переменные, и находить их значения.

Пример 3. Найдем значение выражения при .

Решение.

Вводим выражение и набираем знак равенства для получения его значения при…

Решение.

Сначала определяем п как дискретную переменную. Затем выводим значения п, набрав знак равенства; далее задаем выражение и выводим его значения, набрав знак равенства:

 

Задание функций

MathCAD имеет множество встроенных функций, которые обладают особым свойством: в ответ на обращение к ним по имени с указанием аргумента (или списка аргументов) они возвращают некоторое значение. В систему встроен ряд функций, например функция вычисления синусаsin (x) аргумента х, логарифмаlп (х) и т. д.

Список встроенных функций можно вызвать через главное меню (Insert - Function) или используя кнопку с надписью f(x) на панели инструментов. Имена часто используемых встроенных функций вынесены на палитру «Калькулятор». Кроме того, обратиться к встроенной функции можно, набрав ее имя.

Обратите внимание, что аргументы встроенных функций всегда указываются в скобках.

Наряду со встроенными функциями могут задаваться и функции пользователя. Функции задаются так же, как переменные с использованием символа присваивания. После имени функции в скобках необходимо указать имена переменных, от которых она зависит. Причем переменные, если это не требуется в дальнейших расчетах, можно раньше не определять.

Пример 5. Зададим функцию и найдем ее значения при , , .

Решение.

Пример 6. Найдем значения функции на отрезке с шагом .

Решение.

Сначала задаем х как дискретную переменную и определяем функцию. Затем выводим значения х и соответствующие значения функции:

 

 

Создание текстовых областей

1) щелкнуть мышью в свободном месте; 2) открыть текстовый редактор либо через главное меню (Insert – Text Region),… 3) в появившийся прямоугольник можно вводить текст.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти значения выражений:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

 

2. Найти значения функций в заданных точках:

1.	, х=-2, х=0,5	с шагом 0,5
2.	, х=0, х=	с шагом
3.	, х=5, х=0,1	с шагом 0,5
4.	, х=, х=	с шагом 0,8
5.	, х=5, х=5,6	с шагом 0,4
6.	, х=1, х=2	с шагом 0,1
7.	, х=5, х=0,5	с шагом 0,1
8.	, х=3, х=0,3	с шагом 0,1
9.	, х=0,5, х=3	с шагом 0,1
10.	, х=1, х=2,5	с шагом 0,5
11.	, , х=	с шагом
12.	, х=0, х=5	с шагом 0,1
13.	, х=-3, х=0	с шагом 1
14.	, х=1, х=-1	с шагом
15.	, х=0, х=	с шагом 0,5
16.	, х=-5, х=7	с шагом 0,5
17.	, х=0, х=3	с шагом 0,3
18.	, х=1, х=4	с шагом 0,1
19.	, х=0, х=	с шагом 0,5
20.	, х=0,1, х=1	с шагом 0,2

 

3. Создав текстовые области, оформить выполненную работу: указать номер и тему работы, фамилии исполнителей, номера и содержание заданий и т.д.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Тема: Работа с массивами данных

Цели работы:

1. Научиться создавать массивы и производить с ними вычисления.

2. Научиться использовать векторные и матричные операторы и функции.

 

 

Создание и изменение массива

А=, содержащая т строк и п столбцов. В этом случае говорят, что матрица А… аij - это элемент матрицы А, стоящий в строке с номером i и столбце с номером j.

Пример 1.

1) Создадим массив размерности и заполним его произвольными числами.

2) Встанем на элемент , в окне создания массива укажем 2 строки и 1 столбец и нажмем Insert. Получим

Заполним свободные места произвольными числами:

3) Встанем на элемент , в окне создания массива укажем 1 строку и 2 столбца и нажмем Delete. Получим

Массивам можно задавать имена: , и в дальнейшем использовать имя массива, а не вводить каждый раз массив заново.

Пример 2. Зададим три массива: А – размерности ; В и С – размерности .

 

Действия с массивами

Знаки операций с массивами можно набирать вручную, используя соответствующие клавиши или их сочетания на клавиатуре (см. таблицу 2), либо при помощи… В приведенной таблице: А, В – произвольные матрицы, V, U – п-мерные векторы. … Таблица 2 Операция Клавиши Описание A+B; V+U + Сумма двух матриц или …

Пример 3.

1) Выполним действия с заданными ранее массивами А, В, С.

2) Поскольку для матрицы С определитель отличен от нуля, найдем для нее обратную матрицу и сделаем проверку.

3) Извлечем из матрицы А столбец с номером 4:

Поскольку константа ORIGIN не была переопределена, то извлекся последний столбец. Присвоим ORIGIN значение 1 и снова извлечем из матрицы А столбец с номером 4:

4) Зададим два вектора: V- равный третьему столбцу матрицы А, U-равный второй строке матрицы В; и выполним с ними действия.

5) Извлечем из заданных матриц и векторов некоторые элементы.

 

Векторные и матричные функции

MathCAD содержит встроенные функции для обычных в линейной алгебре действий с матрицами и векторами. Все функции от векторного аргумента используют… Напомним, что список встроенных функций можно вызвать через главное меню… Рассмотрим основные матричные и векторные функции:

Задания для самостоятельного решения

1. Задайте три массива: А – размерности ; В и С – размерности .

2. Вычислите: , , , , , , , , .

3. Для тех матриц, для которых возможно, найдите обратные матрицы и сделайте проверку.

4. Задайте два вектора: V- равный второму столбцу матрицы А, U-равный третьей строки матрицы С.

5. Вычислите: , , , , , , , , .

6. Найдите значения выражений:

а) ; б) .

Сделайте проверку.

7. Найдите максимальные и минимальные элементы во всех массивах, вычислите ранги матриц А, В, С и длины векторов V и U.

8. Создайте новые массивы:

- объединив матрицы С и А, матрицы В и С, матрицу А с векторами V и U, векторы V , U и последние столбцы матриц А, В, С;

- расположив матрицу С над матрицей В;

- добавив к матрице В вектор U в качестве первой строки;

- выделив из матрицы С подматрицу, состоящую из второй и третей строк, и второго, третьего и четвертого столбцов;

- выделив из матрицы А произвольную подматрицу размерности .

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Тема: Решение систем алгебраических уравнений

 

Цели работы:

1. Рассмотреть способы решения систем уравнений.

2. Рассмотреть способы решения систем линейных уравнений.

 

Основные теоретические положения

Системой уравнений называется совокупность уравнений вида

Решением системы уравнений называется любой набор значений , при подстановке которых уравнения системы обращаются в верные равенства.

Системой линейных уравнений называется система вида

или в матричной форме , где , , . Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система,… Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой; в противном случае неопределённой.

Решение систем уравнений

1. Задать начальные приближения для всех переменных, входящих в систему уравнений, с учётом области определения всех функций входящих в систему. 2. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует… 3. Ввести уравнения системы ниже ключевого слова Given. Между левыми и правыми частями уравнений должен стоять…

Решение.

Решение систем линейных уравнений

Крамеровскую систему линейных уравнений можно решить четырьмя способами: 1. Используя блок решения уравнений Given – Find . 2. С помощью функции lsolve .

Задания для самостоятельного решения

1. Найти решение системы уравнений (1), задавая различные приближения (не менее трёх).

2. Получить решение линейной системы (2) четырьмя указанными способами. Если найти решение тем или иным способом не удается, указать причину.

	Система (1)	Система (2)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Цели работы: 1. Научиться строить графики явно заданных функций в декартовой системе… 2. Научиться строить графики параметрически заданных функций в декартовой системе координат.

Решение.

Замечание. Если функция имеет разрыв в некоторых точках, то чтобы построить график такой функции, необходимо построить на одном чертеже частичные графики этой функции на различных отрезках, исключая точки разрыва.

 

 

Построение графиков параметрически заданных функций

Чтобы построить график функции, заданной параметрически, необходимо: 1. Определить t как дискретную переменную. 2. Задать переменные х и у как функции переменной t.

Решение.

 

Выведем таблицу значений параметра t и таблицы соответствующих значений х(t) и y(t):

 

Пример 5. Построим график функции, заданной параметрически соотношениями x=а cos t, y=b sin t, придавая а и b различные значения.

Решение.

  2. Пусть а=5, b=3.

Задания для самостоятельного решения

1.Построить графики явно заданных функций (1) (на различных чертежах).

2.Построить графики параметрически заданных функций (2).

	(1)	(2)
1.	а) ; б) .
2.	а) ; б) .
3.	а) ; б).
4.	а) ; б) .
5.	а) ; б) .
6.	а) ; б)
7.	а) ; б) .
8.	а) ; б) .
9.	а) ; б) .
10.	а) ; б) .
11.	а); б)	,
12.	а) ; б)	,
13.	а) ; б)	,
14.	а) ; б)	,
15.	а) ; б)	,
16.	а) ; б)	,
17.	а); б)	,
18.	а) ; б)	,
19.	а) ; б)	,
20.	а) ; б)	,

 

3*. Построить: а) циклоиду , б) астроиду , придавая различные значения а.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Тема: Построение графиков в полярной

Системе координат

 

Цель работы: Научиться строить графики функций в полярной системе координат.

 

Основные теоретические положения

-некоторая точка О, называемая полюсом, -некоторый луч и, исходящий из точки О называемый полярной осью. Полярными координатами точки М называются два числа:

Построение графиков в полярной системе координат

При помощи MathCAD

Для того чтобы построить график в полярной системе координат при помощи MathCAD, необходимо: 1. Определить j как дискретную переменную (в пределах области определения). … 2. Задать функцию r(j) .

Решение.

  График в полярных координатах можно форматировать. Чтобы открыть окно форматирования графика поступают также как при форматировании декартово графика. Аналогично…

Задания для самостоятельного решения

 

1. Построить (в тетради) в полярной системе координат линию по точкам, придавая j значения от 0 до с шагом (для вычисления значений r можно использовать возможности MathCAD):

1.	,,	11.	, ,
2.	, ,	12.	, ,
3.	, ,	13.	, ,
4.	, ,	14.	, ,
5.	, ,	15.	,,
6.	, ,	16.	, ,
7.	, ,	17.	, ,
8.	, ,	18.	, ,
9.	, ,	19.	, ,
10.	, ,	20.	, ,

 

2. При помощи MathCAD построить кривые в полярной системе координат, придавая различные значения параметру а:

 

1.		11.
2.		12.
3.		13.
4.		14.
5.		15.
6.		16.
7.		17.
8.		18.
9.		19.
10.		20.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

  Цель работы: Научиться производить символьные вычисления: преобразовывать…  

Вычисление пределов

1. Щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа. 2. Вызвать шаблон для вычисления предела либо сочетанием клавиш [Ctrl] и [l],… 3. В поле справа от предела ввести функцию, для которой вычисляется предел. В левое поле под знаком предела ввести…

Решение.

 

 

Решение систем

1. Напечатать ключевое слово Given. 2. Ввести уравнения системы ниже ключевого слова Given. (Между левыми и… 4. Ввести выражение, включающее функцию Find и вычислить его символьно.

Преобразование выражений

Чтобы символьные операции выполнялись, необходимо указать, над каким объектом (выражением, переменной и т.д.) эти операции должны производиться, т е… Символьные операции в меню «Simbolics» разбиты на несколько разделов – в… Операции над выражениями:

Задания для самостоятельного решения

1.Вычислить пределы:

1.	а) ; б) ; в) .
2.	а) ; б); в) .
3.	а) ; б) ; в) .
4.	а) ; б) ; в) .
5.	а) ; б) ; в) .
6.	а) ; б) ; в) .
7.	а) ; б) ; в) .
8.	а) ; б) ; в) .
9.	а) ; б) ; в) .
10.	а) ; б) ; в) .
11.	а) ; б) ; в) .
12.	а) ; б) ; в) .
13.	а) ; б) ; в) .
14.	а) ; б) ; в) .
15.	а) ; б) ; в) .
16.	а) ; б) ; в) .
17.	а) ;б) ; в) .
18.	а) ; б) ; в) .
19.	а) ; б) ; в) .
20.	а) ; б) ; в) .

 

2. Решить системы линейных уравнений:

1.		7.
2.		8.
3.		9.
4.		10.
5.		11.
6.		12.
13.		17.
14.		18.
15.		19.
16.		20.

 

3. Преобразуйте выражение, применив к нему символьные операции Simplify, Factor, Expand, Collect :

1.		11.
2.		12.
3.		13.
4.		14.
5.		15.
6.		16.
7.		17.
8.		18.
9.		19.
10.		20.

 

4. Используя операцию Solve for variable: а) выразить каждую переменную через другие; б) решить уравнение; в) решить неравенство:

	а)	б)	в)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
17.
19.
20.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

Тема: Дифференцирование функций одной переменной

 

Цель работы: Научиться вычислять производные первого и высших порядков.

 

 

Производные в MathCAD можно вычислять символьно и численно. В первом случае ответом будет выражение, во втором – число, равное значению производной в некоторой, заранее заданной точке.

 

Производные первого порядка

1. Задать точку, в которой требуется вычислить производную. 2. Вызвать шаблон для вычисления производной либо клавишей [?] (на английской… 3. В поле справа от знака производной ввести функцию, от которой вычисляется производная, в свободное поле знака…

Решение.

  Пример 2. Вычислим значение производной от функции в точках , , . Решение. Задаем функцию

Решение.

 

Пример 5. Найдем производную от функции .

Решение.

 

 

Производные высших порядков

Производные высших порядков находятся так же, как и производные первого порядка, с тем лишь отличием, что теперь следует вызывать шаблон производной… Пример 6. Найдем значения второй, третьей и четвертой производных от функции в…

Решение.

Пример 7. Для функции найдем значения третьей производной в точках , , . Решение. Зададим предварительно функцию

Решение.

Пример 9. Найдем вторую, третью и четвертую производные от функции .

Решение.

 

 

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить производные в заданных точках:

	а)	б)
1.	, х=0, х=5	с шагом 0,1
2.	, х=-3, х=0	с шагом 1
3.	, х=1, х=-1	с шагом 0,5
4.	, х=0, х=	с шагом 0,4
5.	, х=-5, х=7	с шагом 0,5
6.	, х=0, х=3	с шагом 0,3
7.	, х=1, х=4	с шагом 0,1
8.	, х=0, х=	с шагом 0,5
9.	, х=0,1, х=1	с шагом 0,2
10.	, х=-2, х=0,5	с шагом 0,5
11.	, х=0, х=	с шагом
12.	, х=5, х=0,1	с шагом 0,5
13.	, х=, х=	с шагом 0,8
14.	, х=5, х=5,6	с шагом 0,4
15.	, х=1, х=2	с шагом 0,1
16.	, х=5, х=0,5	с шагом 0,1
17.	, х=3, х=0,3	с шагом 0,1
18.	, х=0,5, х=3	с шагом 0,1
19.	, х=1, х=2,5	с шагом 0,5
20.	, х=0, х=	с шагом

 

2. Найти производные от заданных функций:

	а)	б)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

 

3. Найти значения указанных производных в заданных точках:

	а)	б)
1.		с шагом 0,5
2.		с шагом 0,7
3.		с шагом 0,6
4.		с шагом 0,5
5.		с шагом 0,4
6.		с шагом 0,5
7.		с шагом 0,7
8.		с шагом 0,7
9.		с шагом 0,3
10.		с шагом 0,3
11.		с шагом 0,4
12.		с шагом 2
13.		с шагом 0,4
14.		с шагом 1
15.		с шагом 0,3
16.		с шагом 0,4
17.		с шагом 0,5
18.		с шагом 1
19.		с шагом 0,5
20.		с шагом 0,4

 

4. Найти указанные производные:

	а)	б)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

 

 

5*.Найти производные первого и второго порядков от функций, заданных параметрически.

Для нахождения производных использовать формулы: ,.

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8.;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1972.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Москва, 2002.

3. Гусак Г.М. Системы алгебраических уравнений. Минск, 1983.

4. Давыдов Н.А. Сборник задач по математическому анализу. М: «Просвещение», 1973.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.: «Высшая школа», 1986.

6. Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Ч.2. М.: «Наука», 1991.

7. Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 Pro. Москва, 2001.

8. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики. Москва, 1973.

9. Херкагер М., Партолль Х. MathCAD 2000. Полное руководство. Киев: «Ирина, BHV», 2000.