MATHCAD: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

 

 

 

 

 

Рязань 2004

УДК 681.3.06   MATHCAD: Учебное пособие / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост. В.В. Карасев. Рязань, 2004. 48 с.

Введение

Пакеты прикладных программ призваны предоставить пользователю средства решения задач в определенной предметной области. Круг пакетов постоянно расширяется, а разработчики существующих пакетов стремятся дополнить их все большими возможностями не только в рамках специализации, но и в пределах существующих тенденций компьютерных технологий. Среди всего обилия приложений выделяются прикладные программы офисного назначения: Word, Excel, Access компании Microsoft; редакторы векторной Corel Draw и растровой Adobe Photoshop графики; системы обработки данных Statistica, Matlab, Maple и др. В последние годы все большую популярность как у начинающих, так и опытных пользователей получает программный продукт фирмы MathSoft – MathCAD [1 - 3]. Об этом свидетельствует ширящийся список литературы на тему использования указанного пакета для проведения математических расчетов при решении инженерных задач, для вычислений в сфере экономики, финансов и статистики, для обработки результатов научных исследований и экспериментов. Система MathCAD привлекает своими возможностями, применимыми для решения широкого круга задач, а также относительной простотой использования ее средств. Основу решения задачи в системе составляет описание процесса получения результата на языке, максимально приближенном к общепринятому математическому языку. При этом используются известная пользователю математическая символика и традиционные методы вычислений. Создаваемый в системе документ может содержать не только блоки описания вычислительных действий, но и служащие комментарием к ним текстовые блоки, а также блоки вывода графической информации. Соответствующие инструментальные средства в сочетании с системой меню объединены в интегрированной среде пакета и предоставляют пользователю удобный интерфейс для решения задач. Интерфейс MathCAD – это привычный интерфейс приложений операционной системы Windows, многие действия в котором интуитивно понятны. Пакет предоставляет пользователю возможность решать отдельные задачи не только численно, но и аналитически.

 

Простейшие действия в системе

После загрузки можно формировать блоки для решения поставленной задачи.… Алфавит системы включает строчные и прописные (они различаются!) латинские и греческие буквы, арабские цифры и символы…

Предопределенные системные переменные.

Это объекты MathCAD, значения которых используются либо как математические константы, либо как системные переменные, значения которых можно переопределять в соответствии с условиями решаемой задачи.

π = 3.142 – число «пи», набирается нажатием Ctrl+Shift+p.

e = 2.718 – основание натурального логарифма.

% = 0.01– символ процента в вычислениях.

∞ = 10³⁰⁷ -наибольшее число в системе.

ORIGIN = 0 – номер первого элемента массива.

TOL = 0.001 – точность реализации численных методов решения уравнений, поиска экстремумов, интегрирования.

CTOL = 0.001 – аналогичен TOL, используется для блоков Given.

PRNCOLWIDTH = 8 – число символов в столбце при выводе в файл.

PRNPRECISION = 4 – ширина дробной части при выводе в файл.

 

Определение переменных и функций.

Численное значение определенного объекта можно получить, набрав его имя и… Для организации повторяющихся (циклических) вычислений в системе используют дискретные аргументы. Выражение,…

Ввод и редактирование документа.

Выбрав шрифт и его размер, вводят необходимые блоки. Место ввода в документе – красный крест - выбирают мышью или клавишами управления курсором. При построении математических выражений используют символы английского алфавита (En). Если шаблон содержит несколько позиций ввода, то их удобно заполнять, последовательно переходя от одной позиции к другой с помощью клавиши табуляции (Tab). При вводе простых дробей, показателей степени, индексов и т.п. необходимо следить за положением курсора синего цвета. Действие курсора можно расширять, например, с показателя степени на все выражение, нажатием клавиши <пробел>. При редактировании выражений используют те же приемы, что и при работе с текстом. От первых версий пакета остались некоторые полезные действия, например: выделенные мышью блоки можно копировать в буфер обмена – F2, удалять – F3, а вставлять – F4; сохранять изменения в документе – F6; открывать существующий документ F5; вставлять/удалять пустую строку – Ctrl+F9/Ctrl+F10.

Ввод текстовых блоков.

Представление результатов вычислений в графическом виде. В приведенной панели Graph представлены варианты реализованных в системе видов… Графику несложно придать требуемый вид, вызвав для этого окно диалога Formatting Currently Selected X-Y Plot двойным…

Форматирование результатов вычислений.

   

Матричные операции

Со времени создания матричной алгебры английским математиком Артуром Кэли (середина XIX века) матричные вычисления превратились в мощный инструмент научных исследований. MathCAD предоставляет пользователю широкие возможности для работы с массивами. Массивы в системе представлены векторами и матрицами, которые могут содержать вложенные в них массивы – тензоры. Каждый элемент вектора определяется своим индексом – порядковым номером в массиве. Любой элемент матрицы характеризуется двумя индексами: номером строки и номером столбца. Отсчет индексов ведется от значения ORIGIN. Ниже приведены матричные операции и способ их ввода с клавиатуры (другой способ ввода – с помощью панели инструментов Matrix): A – массив, M – матрица, V – вектор, S - скаляр.

Операция	Клавиатура	Экран
Умножение или деление на скаляр	A*S или A/S	A·S или
Сложение/вычитание скаляра	A±S	A±S
Сложение/вычитание массивов	A1±A2	A1±A2
Умножение массивов	A1*A2	A1·A2
Скалярное произведение векторов	V1*V2	V1·V2
Векторное произведение векторов	V1, Ctrl+*, V2
Комплексно сопряженный массив	A”
Норма вектора	| V	|V|
Определитель квадратной матрицы	| M	|M|
Транспонирование	A, Ctrl+!
Сумма элементов вектора	Ctrl+$, V
Векторизация	A, Ctrl-
Степень квадратной матрицы	M^n
Обратная матрица	M^-1
i-й элемент вектора	V[i
n-й столбец матрицы	M, Ctrl+^, n
Элемент матрицы на пересечении i-й строки и j-го столбца	M[i,j

 

Для определения массива используют несколько способов. Назовем три основных. Первый способ основан на использовании шаблона массива. Вызов шаблона производят с помощью панели Matrix или набором Ctrl+M. В окне диалога «Вставить матрицу» задают число строк и столбцов массива с их общим числом не более 100 и нажимают Enter. Затем заполняют позиции ввода шаблона массива. Другой способ предполагает описание элементов матрицы с помощью индексного выражения, в котором индексы заранее определены как дискретные аргументы. В частном случае элементы массива могут описываться индивидуально (так задают вложенные массивы – тензоры). Ниже приведены примеры определения массивов по второму способу.

Наконец, третий способ определения массива - с помощью таблицы.

Третий способ определения удобно использовать для задания вектора сравнительно небольшого размера (не более 50 компонент). Метод применим и к матрицам, если их элементы вводить построчно (пример такого определения матрицы дан выше). Приведем примеры действий с массивами, чтобы пояснить особенности применения некоторых операций.

Третий столбец матрицы m в примере получен в результате применения одного и того же действия – возведения в квадрат – ко всем элементам вектора v2. В этом и заключается смысл операции векторизация.

Векторные и матричные функции.

Единичную матрицу возвращает функция identity(n), аргумент которой определяет ее размер. Диагональную матрицу – diag(v), где v – вектор элементов…

Файлы данных.

Содержимое файла считывается в документ с помощью функции READPRN(“file”), где file – полное имя файла с указанием пути к нему (если файл не… Форматом записи в файл управляют системные переменные PRNCOLWIDTH и PRNPRECISION.

Численное решение алгебраических уравнений и их систем

Численное решение алгебраических уравнений используется гораздо чаще аналитического способа получения результата в силу неприменимости последнего к большинству задач. MathCAD реализует разные методы при решении отдельно взятых уравнений, а также их систем.

Решение одного уравнения.

  Полученные значения корней необходимо проверить. Даже мощная система MathCAD… Поиск корней полиномов можно производить как с помощью названных функций (локализуя и уточняя с заданной погрешностью…

Решение дифференциальных уравнений

ОДУ в форме задачи Коши могут быть решены в системе двумя способами: с помощью вычислительного блока Given – Odesolve и с использованием встроенных… В первом случае для решения ОДУ необходимо произвести следующие действия.…

Краевые задачи для ОДУ.

Система содержит также средства решения жестких систем ОДУ и дифференциальных…  

Обработка данных

Интерполяция производится с целью получения промежуточных значений функции по ее значениям в узловых точках. Ее целесообразно применять к данным,… Функции lspline, pspline и cspline дают практически одинаковые результаты в… Экстраполяцию (предсказание) значений вектора y по его m ближайшим к правой границе выбранным точкам на n последующих…

Символьные вычисления

Решение уравнений производит оператор solve (решить). После его ввода необходимо заполнить места маркеров: справа вводится имя неизвестной или имена… Следует отметить, что символьное решение сложных уравнений, содержащих экспоненты и тригонометрические функции, часто…

Программирование

  Составление программы начинается с задания имени результата. В общем случае…

Графические возможности пакета

Следующим видом графиков являются графики поверхностей. Для их построения требуются матрицы значений. Они создаются на основе функций двух… MathCAD содержит средства для осуществления анимации. Управляет процессом… КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Тема 1. Основы работы с пакетом

Варианты задания

С относительной погрешностью 0,01:

1) определить графически параметры сигнала, представленного соответствующей функцией, – его амплитуду и длительность (считать сигнал закончившимся на уровне 0,01 от амплитудного значения);

2) убедиться, что производная в точке максимума равна 0;

3) вычислить интеграл от заданной функции на интервале от 0 до длительности сигнала, представив результат с пятью значащими цифрами.

Функцию, описывающую сигнал, и ее параметры взять в соответствии с вариантом задания из таблицы.

Используемые в таблице формулы:

 

1),

где ;

2) ;

3),

где ;

4),

где ;

5) , t = [0;2];

6) ,

где .

 

Вариант	Формула	k	d	Вариант	Формула	k	d
		0.5	3.0			0.45
		0.4				0.5	2.0
		0.65	2.0			0.6	1.5
		0.5	1.5			0.55
		0.45				0.25
		0.5				0.45	3.0
		0.4	3.1			0.65
		0.5				0.55	2.0
		0.6				0.55	1.4
		0.4	1.3			0.4
		0.65				0.35
		0.45				0.65	3.5
		0.6	3.2			0.6

 

 

Пример выполнения задания

Задание: Выполнить вариант № 26 задания к теме 1.

Решение:

Тема 2. Матричные операции

Пример выполнения задания

Задание: Выполнить вариант № 30 задания к теме 2.

Решение:

 

Варианты задания

1. Сформировать три трехэлементных вектора из данных, хранящихся в файле data2.prn каталога qsheets MathCAD: в первый из них скопировать элементы, начиная с номера варианта, во второй – начиная с удвоенного номера варианта и в третий – с утроенного номера варианта.

2. Создать матрицу m, сделав ее столбцами названные выше векторы.

3. Аналогично п.1 сформировать три вектора из файла data1.prn того же каталога, а затем из них матрицу mat, но с помощью функции augment.

4. Из столбцов матрицы m образовать матрицу M:первый столбец M – это первый столбец m, каждый элемент которого поделен на след матрицы m;

второй столбец M получен делением на след матрицы mat каждого элемента второго столбца m с последующим извлечением из него корня квадратного; элементы третьего столбца M получены делением элементов третьего столбца m на след единичной матрицы 3x3, умноженной на скаляр s=100000.

5. Сформировать вектор vd из диагональных элементов матрицы M и отсортировать его по убыванию.

6. Записать M в файл и дописать в него vd. Вывести файл на экран.

 

Тема 3. Решение алгебраических уравнений и их систем

Варианты задания

Для всех вариантов задания с погрешностью 0.0001: 1) определить с помощью функции root с 4 аргументами параметры сигнала из темы 1 – его активную длительность (на уровне 0,5 от максимума); и его длительность (как в теме 1); 2) найти корни полинома f(s) с помощью root с 2 аргументами

(параметры полинома взять из таблицы к теме 3);

Вари- ант	k	d	Вари- ант	k	d	Вари- ант	k	d
	0,5			0,6			0,6	1,5
	0,5			0,3			0,3	1,5
	0,4			0,6	2,5		0,7	2,5
	0,4			0,6			0,7
	0,5			0,3			0,7
	0,4			0,4			0,7
	0,4	1,5		0,5			0,7
	0,5			0,6			0,2
	0,3			0,3	2,5		0,2

 

3) найти хотя бы одно решение системы алгебраических уравнений.

1) x² + y² = 2 2) 4x₁ – x₂ + x₃ = 4 3) - 2x₁ + x₂ = 4

y² –4z = 3 2x₁ + 6x₂ – x₃ = 7 2x₂ + x₃ +x₁ = 8

x – y +xz = 0 2x₂ + x₁ –3x₃ = 0 x₂ + 2x₃ = 8

4) 1.17x₁ +0.53x₂ – 0.84x₃ = 1.15 5) x₁ + x₂ + x₃ = 12 x₁ + x₄ = 8

0.64x₁ – 0.72x₂ – 0.43x₃ = 0.15 x₁ + x₂ = 2 x₂ + x₅ = 9

0.32x₁ + 0.43x₂ – 0.93x₃ = - 0.48 x₄ + x₅ + x₆ = 15 x₃ + x₆ = 10

6) x² +y² = 0.5 7) - x₁ +2x₂ + 5x₃ = 4 8) x² +y² – 2 = 0

x – y + xz = 0 10x₁ – 7x₂ = 7 x – y + 2 = 0

y² – 4z = 4e^x 5x₁ – x₂ + 5x₃ = 6 y² – 4z = e^x

9) x³ –ze^z – 2 = 0 10) x + ze^z = 4 11) sin(x)/x + e^z = 4

z² –y/e^x = 0 y + z + 2 = 0 y + z = 3

x – yz = 0 z + 5 = y³/e^x z =y²/e^x

12) - x₁ + 2x₂ +6x₃ = 17 13) 2x₂ + 6x₃ = 7.5 14) sin(x)/x + e·ln(z) = 4

3x₂ + 2x₂cos(x₃) = 7 x₁ + 7x₃/cos(x₃) = 7 y + z – 3x = 3

x₁ – x₂ + x₃ = - 2 x₁ –x₂x₃ = -2exp(x₁) z = y²/x

15) 2x₁ + 2x₂ = 1 16) x₁ – x₂/2 + 6x₃ + 8x₄ = 17 17) ln(x₁) – exp(x₄) = - 5

- x₁ +x₂ – x₃/2 = 0 3x₂ + 4x₄ = 9 x₁x₂x₄ = - 2.5

x₂ –3x₃ – x₄ = 2 x₁sin(x₂) – 5x₄ = -3 x₁ + x₂ = 5

x₃ + 2x₄ = 2 x₁ –x₂x₃ = - 2exp(x₄) x₃ – log(x₂) = - 3

18) x₁ – arctg(x₂) +sh(x₃) = 1 19) arcsin(x₂) +sh(x₂) = 1 20) 1/x + ln²(z)·e = 3

3x₂ + x₄² = 2 x₂ + x₁x₄ = 2 3x + y + z =3

x₁sin(x₂) - x₄² = 0 x₁ - x₄² = - 3 z = y²/x

x₁ –x₂x₃ = 2/exp(x₄) x₁ – x₂x₃ = = 2/exp(x₄)

21) 3log(x₃) + sh(x₄) = 1 22) x₁ + x₂exp(x₄) – 2x₃ = 1 23) 3log(x₃) + th(x₄) =13

x₂ + x₁x₄x₃ = 1 x₁x₂ – x₄ = - 2.5 x₂ + x₁x₄/x₃ = 1

x₁ – x₄ = -1 x₁ - = 1 x₁ – log(x₂) = - 3

x₁ – x₂x₃ = 2 x₃ – log(x₂)x₂ = - 3 x₁ – x₄ = - 1

24) x + y + z = 1 25) x + 2y + 3z = 6 26) 5.6x + 2.7y – 1.7z = 1.9

x – 4y + z = 3 3x + 2y + z = 6 3.4x – 3.6y – 6.7z = - 2.4

5x – y + 3 = 10 2x + 3y + z = 6 0.8x + 1.3y + 3.7z = 1.2

27) 7.1x + 6.8y + 6.1z = 7, 5x + 4.8y + 5.3z = 6.1, 8.2x + 7.8y + 7.1z = 5.8

Пример выполнения задания

Задание: Выполнить вариант ?? задания к теме 3.

Примечание. При уточнении вида и значения корней несколько раз изменялся масштаб кривой f(s) за счет переопределения аргумента s. В примере оставлен окончательный вариант определения s.

Решение:

3. Решение системы алгебраических уравнений

Найти решение системы: x + y + z = 1, x – 4y + z = 3, 5x – y +3 = 10.

Решение:

Тема 4. Решение дифференциальных уравнений

Пример выполнения задания

Задание:Решить уравнение при начальных условиях , h = 0.2.

Решение:Так как уравнение одно, используем блок решения.

 

Решаем это же уравнение модифицированным методом Эйлера [3]:

Варианты задания

С погрешностью 0.001 и шагом h найти решение дифференциального уравнения (системы уравнений первого порядка) стандартными средствами системы и модифицированным методом Эйлера.

1) dy/dx = - z + y, dz/dx = exp(x) – z, y(0) = 1, z(0) = 3, h = 0.1.

2) dx/dt = - y – x³, dy/dt = - x – y³, x(0) = 1, y(0) = 1, h = 0.1.

 

3) , y(0) = 0.1, dy/dx (0) = 0, h = 0.1.

4), y(0) = 1, dy/dx (0) = 1, h = 0.2.

5) , y(0) = 0.1, dy/dt (0) = 0, h = 0.1.

6) , y(0) = 0.2, dy/dt (0) = 10, h = 0.1.

7) dy/dx = - y + z, dz/dx = 2y – z, y(0) = 0, z(0) = 1, h = 0.1.

8) dy/dx = 3y – 2z, dz/dx = 2y – z, y(0) = 1, z(0) = 2, h = 0.1.

9) dy/dx = y + z, dz/dx = x + y + z, y(0) = 1, z(0) = 1, h = 0.1.

10) dx/dt = x, dy/dt = 2y, x(0) = 1, y(0) = 1, h = 0.1.

11) , x(0) = 1, dx/dt = 0, h = 0.01.

12) dx/dt = 2x – ycos(y), dy/dt = 3x –2y – xy², x(0) = 1, y(0) = 1, h = 0.1.

13) dy/dx = z – 2y –xz², dz/dx = -7y –2z – 7zy², y(0) = 1, z(0) = 1, h = 0.1.

14) dx/dt = sin(y) – 2x, dy/dt = 5(e^x – 1) – y, x(0) = 1, y(0) = 1, h = 0.1.

15) dy/dx = y³ + z, dz/dx = y – z³, y(0) = 0, z(0) = 1, h = 0.1.

16) dy/dx – y²z³ + z = 0, dz/dx = y – y³z², y(0) = 0, z(0) = 1, h = 0.1.

17) dx/dt = x + 2y, dy/dt = - 5x – y, x(0) = 0, y(0) = 1, h = 0.1.

18) dx/dt = 2y – x, dy/dt = - 2x – y, x(0) = 0, y(0) = 1, h = 0.1.

19) dx/dt = x – 2y, dy/dt = 3x – 4y, x(0) = 0, y(0) = 1, h = 0.1.

20) dx/dt = x + 2y, dy/dt = 2x + y, x(0) = 0, y(0) = 1, h = 0.1.

21) dy/dx = 2y – zcos(z), dz/dx = 3y – 2z –yz², y(0) = 1, z(0) = 1, h = 0.1.

22), dy/dt (0) = 0, y(0) = 1, h = 0.1.

23) dx/dt = 2x – y, dy/dt = x + 2y, x(1) = 1, y(1) = 1, h = 0.1.

24) dx/dt = y, dy/dt = - x, x(0) = 1, y(0) = 1, h = 0.1.

25) , dy/dt (0) = 0, y(0) = 0, h = 0.1.

26) , h = 0.1.

Тема 5. Обработка данных

Для всех вариантов задания сформировать два вектора исходных данных на основе соответствующего варианта задания темы № 1. Вектор x состоит из 10… Пример выполнения задания Задание: Выполнить вариант № 26 задания к теме 5.

Библиографический список

1. Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD. Минск: Новое знание, 2003. 814 с.

2. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. Изд. 2-е, стереотипное. М.: Филинъ, 1997.

712 с.

3. Дьяконов В.П. MATHCAD 8/2000 : специальный справочник. СПб.: Питер, 2000. 592 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………….. 1

1. Простейшие действия в системе ………………………………….. 2

2. Матричные операции ……………………………………………… 10

3. Численное решение алгебраических уравнений и их систем …… 15

4. Решение дифференциальных уравнений ………………………… 19

5. Обработка данных …………………………………………………. 22

6. Символьные вычисления …………………………………………. 28

7. Программирование ……………………………………………… 33

8. Графические возможности пакета ……………………………… 35

Контрольные работы ………………………………………………….. 37

Библиографический список …………………………………………. 48