Тақырыбы:Кездейсоқ оқиғалар және олардың ықтималдықтары

Тақырыбы:Кездейсоқ оқиғалар және олардың ықтималдықтары

Ысқаша теория

1-мысал. Сынау – тиынды лақтыру. Оқиға – «Гербтіңң түсуі. Яғни, оқиға сынаудың нәтижесі ретінде қарастырылады.

Кездейсоқ оқиғалардың түрлері

2-мысал. Тиын лақтырылсын. «Гербң -тің пайда болуы санның пайда болуын жоққа шығарады. «Герб пайда… Егер сынау нәтижесінде бірнеше оқиғалардың ең… 3-мысал. Атқыш нысанаға атты. Міндетті түрде мына екі оқиғаның біреуі орындалады:…

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Ықтималдық – ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Бұл ұғымның бірнеше анықтамалары бар. Классикалық деп аталатын анықтаманы келтірейік.

4-мысал. Айталық, жәшікте 6 шар бар болсын. Олардың екеуі қызыл, үшеуі көк және біреуі ақ.. Жәшіктен сәтіне қарай түсті шар (қызыл немесе көк) алу мүмкіндігі ақ шар алу мүмкіндігінен жоғары екендігі айқын. Осы мүмкіндікті санмен сипаттауға бола ма?

Осы санды оқиғаның ықтималдығы деп атайды.

Яғни, ықтималдық – оқиғаның пайда болу мүмкіндігінің дәрежесін сипаттайтын сан.

Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп сынау нәтижесінде А оқиғасын тудыруға қолайлы оқиғалар санының толық топ құратын барлық тең мүмкіндікті үйлесімсіз элементар оқиғалардың жалпы қатынасын айтады.

Демек, А оқиғасының ықтималдығы , формуласымен анықталады. Мұндағы m – А оқиғасын тудыруға қолайлы элементар оқиғалар саны, n – сынау нәтижесінде пайда болуы мүмкін барлық элементар оқиғалар саны.

Ықтималдықтар анықтамасынан мынадай қасиеттері келіп шығады:

1-қасиет. Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бірге тең.

Расында да, егер оқиға ақиқат болса, онда әрбір элементар оқиға оқиғаның пайда болуына қолайлы. Бұл жағдайда

m=n, демек

.

2-қасиет. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең. Бұл жағдайда m=0, демек

.

3-қасиет. Кездейсоқ оқиғалардың ықтималдығы нөл мен бірдің арасындағы оң сан.

Расында да, кездейсоқ оқиға сынау нәтижесінде пайда болатын барлық элементар оқиғалардың тек бір бөлігі ғана қолайлы. Бұл жағдайда , демек яғни .

Сонымен, кез келген оқиғаның ықтималдығы теңсіздігін қанағаттандырады.

 

Салыстырмалы жиiлiк. Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы

Айталық, n рет тәжiрбие жүргiзгенде А оқиғасы m рет пайда болған болсын делiк. Анықтама.mсанын А оқиғасының абсолюттiк жиiлiгi…

Ықтималдықтарды қосу теоремасы. Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы.

Анықтама. А мен В оқиғаларының көбейтiндiсi деп, А оқиғасының және В… Оқиғаларға қолданылатын қосу мен көбейту… Теорема 1 (ықтималдықтарды қосу теоремасы). Егер А мен В оқиғалары қиылыспайтын…

Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тәуелсiз оқиғалар.

Теорема 3. А мен В оқиғаларының көбейтiндiсiнiң ықтималдығы тең болады: осы екi… Бұл теореманы ықтималдықтарды көбейту теоремасы деп… немесе

Сабақтың мазмұны.

Студенттердің өзіндік жұмысы.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша, негізгі формулалары (Байес, Бернулли, Лаплас) мен теоремаларын қолданып, оқиғалардың ықтималдықтарын есептеу .

 

1. Белгілі бір аймақта көп жылдар бойы жүргізілген зерттеулер бойынша он жастағы 100000 азаматтың орта есеппен 82300 –і 40 жасқа дейін, ал 70 жасқа дейін – 38000 азамат өмір сүреді. Он жастағы және қырық жастағы азаматтар үшін 70 жасқа дейін өмір сүру ықтималдығын табыңыз.

2. Сауығу коэффициенті 98 % құрайтын аурумен 6 адам ауырады.

а) алтауының да сауығып кету;

ә) тек бес адамның ғана сауығу

ықтималдықтары қандай?

 

3. Студент бағдарлама бойынша 25 сұрақтың 20-сына дайын. Оқытушы берген үш сұрақты да студент білетінінің ықтималдығын табыңыз.

4. 1000 шыны колбаны тасымалдау кезінде 1 колбаның шағылып қалу ықтималдығы 0,002. 4 колбаның сыну ықтималдығы неге тең?

5. Емтихан тапсыру кезінде студент 4 қосымша сұраққа жауап береді. Әр сұраққа дұрыс жауап беру ықтималдығы р=0,25. Жауаптардың барлығы тәуелсіз оқиғалар екенін жорамалдай отырып, ең болмағанда екі сұраққа дұрыс жауап беру ықтималдығын табыңыз.

6. Дәрігерге медициналық тексеруден өтуге 10 адам келді. Олардың 3-уі ауру. Дәрігер екі адамнан қабылдайды. Кабинетке кірген

а) екі адамның да сау; ә) екі адамның да ауру; б) бір адам сау, екіншісі-ауру; в) ең болмағанда біреуі ауру

болып шығу ықтималдығын табыңыз.

7. Семьяда 4 бала бар. Қыз бала мен ұл баланың дүниеге келу ықтималдығы бірдей. Оның ішінде үшеуінің ұл болу ықтималдығы неге тең?

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша, негiзгi формулалары мен теоремаларын қолданып, оқиғалардың ықтималдықтарын есептеу [5].

 

Дебиеттер.

Негiзгi әдебиеттер.

1. Сағынтаев С.С., Сағынтаева С.А. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтерi. –Қарағанды, 1999.

2. Бектаев К. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикаң. Алматы. «Рауан». 1991.

3. Морозов В.Ю. Основы высшей математики и статистики. Москва. Медицина. 2001.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа», 2001.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М., “Высшая школа”, 2001.

6. Ремизов А.Н., Исакова Н.Õ. Сборник задач по медицинской и биологической физике. Москва. “Высшая школа” 1987

Осымша әдебиеттер.

1. Қазешов А.Қ. және т.б. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша есептер шығару. –Алматы, 1996.

Тақырыбы: Толық ықтималдық және Байес формулалары

 

Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы

В1 +В2+…+Вn =Ej (4) Міне осындай шарт орындалғанда (5)

Муавр-Лапластың шектік теоремалары

(n үлкен болған сайын нақты) жуық түрде функцияның мәні: Мұндағы

Лапластың интегралдық теоремасы

Теорема: (Лапластың интегралдық теоремасы) Егер әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу р… (*) мұндағы және .

Бернулли формуласы

Тәжірибені бір-біріне тәуелсіз етіп n рет қайталап жүргізелік. Бұл жерде тәуелсіз тәжірибелерді… Бір тәжірибеден екінші тәжірибеге өткенде А… Міне осындай үш шарт орындалғанда қарастырылатын тәжірибені Бернулли есімімен атайды.

Пуассонның жуықтап есептеу формуласы

Формуласы бойынша есептеу үшін жуықтау формулаларын іздестіру… Теорема 5. Егер және болса, ал саны аз да, көп те болмаса, онда

Сабақтың мазмұны.

Студенттердің өзіндік жұмысы.

Толық ықтималдық формуласы мен негізгі теоремаларды (Байес, Бернулли, Лаплас) қолданып, оқиғалардың ықтималдықтарын есептеу .

 

 

1. Әрбір сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,25 тең. 300 сынаудың нәтижесінде А оқиғасы

а) 75; б) 85 рет пайда болуының ықтималдығын табыңыз

2. Әрбір 2100 тәуелсіз оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,7 тең. Оқиғаның 1470 –тен кем емес, 1500 –тен көп емес пайда болуының ықтималдығын табыңыз.

3. 100 тәуелсіз сынақтың әрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және p=0,8. Оқиғаның 75-тен кем емес және 90-нан артық емес пайда болуының ықтималдығын табыңыз.

4. 243 сынақта А оқиғасының 70 рет пайда болуының ықтималдығын табыңыз. Әр сынақта оқиғаның пайда болуының ықтималдығы 0,25-ке тең.

 

Дебиеттер

1. Сағынтаев С.С., Сағынтаева С.А. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтерi.… 2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая… 3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М., “Высшая школа”,…

Кездейсоқ шамалар

1-мысал : Жаңа туған 100 нәрестелердің арасындағы ұл балалар саны 0,1,2,...,100 дейінгі мүмкін болатын… Кездейсоқ шамаларды X,Y,Z, бас әріптермен, ал олардың… Мысалы, егер Х кездейсоқ шамасының қабылдай алатын үш мүмкін мәндері бар болса,…

Нормалдау шарты: .

2-Мысал: Ақшалы ұтысқа 100 билет шығарылды. 50 теңгеден 1 ұтыс билеті және 1 теңгеден 10 ұтыс билеттері бар. 1 билет иесі үшін мүмкін болатын ұтыстың құны –Х кездейсоқ шаманың таралу заңын табыңыз.

Шешуі: х-тің мүмкін мәндері: х₁=50, х₂ =1, х₃ =0. Осы мүмкін мәндердің ықтималдығы мынадай: р₁ =0,01; р₂ =0,1,р₃ =1-(р₁+р₂)=0,89.

Осыған сәйкес таралу заңдылығын жазамыз:

Х
Р	0,01	0,1	0,89

Тексеру: 0,01+0,1+0,89=1.

Таралу функциясы

 

Х кездейсоқ шамасының сан осінде х-тің сол жағында жататын мәндерді қабылдайтын ықтималдықты анықтайтын функциясын таралу функциясы деп атайды, яғни. (5)

Кейде “Таралу функциясы”(терминінің) орнына “Интегралдық функция” деген термин де қолданылады.

 

Таралу функциясының қасиеттері

(6) Мысал 10: Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы

Таралу функциясының графигі

      F(x)

Здіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының таралу тығыздығы

 

Анықтама: Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы F(x)-тің туындысы бар болса, онда F(x) туындысын Х шамасының ықтималдықтар таралу тығыздығы деп атайды және оны былай белгілейді: .

Таралу тығыздығы үшін таралу функциясы алғашқы функция болып табылады.

Теорема:Õ êåçäåéсîº øаìасûíû» (а,â) èíòåðâаëûíäа¹û ì¸íãå èå áîëó ûºòèìаëäû¹û øåêòåði а-äаí â-¹а äåéiíãi аëûí¹аí òаðаëó òû¹ûçäû¹ûíû» аíûºòаë¹аí èíòåãðаëûíа òå»:

12-мысалы: Х кездейсоқ шамасының тығыздығы берілген:

Ò¸жiðиáå í¸òèжåсiíäå Х шамасы (0,5;1) аралығында жататын мәндерді қабылдау ûºòèìаëäû¹ûí òаáû»ûç.

Шешуі: Ізделінді ықтималдық:

Саáаºòû» ìаçì½íû.

Сòóäåíòòåðäi» ¼çiíäiê ж½ìûсû.

Есеп №1.71 – 1.83. Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері х1=2, х2 =5, х3=8. Алғашқы екі мүмкін… берілген. Тәжірибе нәтижесінде Х кездейсоқ шамасының (2; 3) аралығында жататын…

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі.

Айталық, Х кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндерін қабылдай алатын болсын, олардың сәйкес… М(х)=х1р1+х2р2+...+хnрn. Егер Х дискретті кездейсоқ шамасы санаулы жиынның мүмкін мәндерін қабылдаса, онда (1) …

Математикалық күтімнің қасиеттері

М(Х+У)=М(Х)+М(У).   5-мысал: Тәуелсіз Х,У кездейсоқ шамалары мынадай таралу заңымен берілген: Х …

Кездейсоқ шаманың оның математикалық күтімінен ауытқуы

Анықтама:Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімінің айырымы ауытқу деп аталады. Ауытқу мынадай таралу заңымен беріледі: Х-М(Х) …  

Дисперсияның қасиеттері

1. С тұрақты шамасының дисперсиясы 0-ге тең: Д(С)=0.
2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады
3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда қосындының (айырманың) дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең:

 

Орта квадраттық ауытқу

Анықтама:Х кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбірін айтамыз: . Мысал 9. Х кездейсоқ шамасы мынадай таралу заңымен берілген:

Здіксіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары

Мүмкін мәндері [а,в] кесіндісінде жататын Х үздіксіз кездейсоқ шамасының математикалық күтімі деп: (8) анықталған интегралды айтамыз.

Биномиалдық таралу

Х шамасының таралу заңын табайық. Мұны шешу үшін Х-тің мүмкін мәндерін және сәйкес… (1) мұнда к=0, 1, 2,..., n.

Алыпты таралу заңы

  . (3) формуласымен анықталса, онда Х кездейсоқ шамасы қалыпты таралған деп аталады.

Гаусс қисығы

функциясының графигін дифференциалдық есептеу әдісі бойынша… .

Алыпты кездейсоқ шаманың берілген аралыққа түсу ықтималдығы

Егер Х кездейсоқ шамасы таралу тығыздығымен берілсе, онда Х-тіңаралығында жататын мәндерді қабылдау… Х кездейсоқ шамасы қалыпты таралу заңы бойынша берілсін.… .

Негізгі таралу заңдары және олардың сипаттамалары

Сабақтың мазмұны

Студенттердің өзіндік жұмысы.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын табу. Үздіксіз кездейсоқ шама мен дискретті кездейсоқ шамалар үшін математикалық күтімді, дисперсияны және орта квадраттық ауытқуды табу. Таралу функциясының графигін тұрғызу.

1. 1. Ойын сүйегі 3 рет лақтырылған. 6 санының түсуінің таралу заңын табыңыз.
2. Әр сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,6-ға тең, 3 тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығының таралу заңдылығын жазыңыз.
3. партияда 12 детальдің 8-і стандартты. Кездейсоқ алынған 5 детальдің 3-уі стандартты болуының ықтималдығын табыңыз.
4. Егер әрбір өнімнің жарамсыз болып қалу ықтималдығы 0,01- ге тең болса, онда 5000 өнімнен тұратын партиядағы жарамсыз өнімдердің санының математикалық күтімі мен дисперсиясын табу керек.
5. Х кездейсоқ шамасы қалыпты таралған. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтімі және орта квадраттық ауытқуы сәйкесінше 0 және 2 ге тең. Х кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәнінің (-2; 3) аралығында жату ықтималдығын табу керек.
6. 10 детальдан тұратын партияда 3 стандартты емес деталь бар. Кездйсоқ 2 деталь алынған. Х- 2 кездейсоқ алынған стандартты емес детальдың саны, дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табыңыз.

 

1. Ойын сүйегін лақтырғанда ұпай санының математикалық күтімі мен дисперсиясын табыңыз.
2. аралығында ықтималдықтардың таралу тығыздығымен берілген. Аралық сыртында таралу тығыздығы . таралу функциясын табыңыз.
3. аралықта Х теңөлшемді таралған кездейсоқ шамасы таралу тығыздығымен берілген. Аралық сыртында таралу тығыздығы . Х –математикалық күтімі мен дисперсиясын табыңыз.
4. Қалыпты таралған Х-кездейсоқ шамасы таралу тығыздығымен берілген. Математикалық күтімін, дисперсиясын және орта квадраттық ауытқуын табыңыз.
5. Қалыпты таралған -кездейсоқ шамасы таралу тығыздығымен берілген. Мода және мединасын табыңыз.
6. (2; 8) аралығында бірқалыпты таралған Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын және орта квадраттық ауытқуын табу керек.
7. Х кездейсоқ шамасы қалыпты таралу заңымен таралған. Математикалық күтімі 30 ға және дисперсияся 100 ге тең. Х кездейсоқ шамасының мәнінің (10; 50) аралығында бекітілгендігінің ықтималдығын табу керек. Гаусс қисығын тұрғызу керек.

10 сабақ

Тақырыбы: Математикалық статистика негіздері

Корреляциялық талдау.

Корреляциялық талдау Х және кездейсоқ шамаларының арасындағы байланыстың дәрежесін анықтаумен айналысады.

Екі кездейсоқ шамалар үшін тәжірибе нәтижесінде алынған деректердің корреляциялық талдауы мынадай негізгі тәсілдерді қарастырады:

1. Корреляциялық таңдама коэффициентін есептеу.

2. Корреляциялық кесте құру.

3. Байланыс мәнділігі жөніндегі статистикалық жорамалды тексеру.

Сызықтық корреляция.

Анықтама.Егер және регрессия функцияларының екеуі де сызықтық болса, онда Х және кездейсоқ шамаларының арасындағы корреляциялық тәуелділік сызықтық корреляциядеп аталады.

 

Корреляцияның таңдама коэффициенті.

    y Одной из важных задач медицинского исследования является…  

Сызықтық корреляцияның таңдама коэффициентінің негізгі қасиеттері

2. Сызықтық корреляциялық тәуелділікпен байланысқан екі шаманың корреляциялық коэффициенті 1-ге… 3. Сызықтық корреляциялық тәуелділікпен… 4. 1-ге неғұрлым жақын болса, шамаларының арасындағы түзу сызықты…

Параметрлер арасындағы байланыстың күші мен сипаты.

1-мысал.Ер кісілердің систолалық қан қысымы () мен жас мөлшерлері (Х) арасындағы тәуелділік зерттелген.… 1) Корреляция таңдама коэффициентін есептеу керек; 2) Корреляциялық тәуелділіктің сипаты мен күшін анықтау керек;

Орытынды.Х және шамаларының арасындағы корреляциялық тәуелділік – туражәне күшті.

1.3. Корреляцияның таңдама коэффициентінің

Мәнділігі туралы жорамалды тексеру.

Н0 және Н1 жорамалдарын тағайындайық: (яғни, корреляция жоқ), .

Осымша 2.

- Студенттердің өзіндік жұмысы. 1.Жүректің бір минут көлемінде соғуы (Y) мен… 1) Корреляцияның таңдама коэффициентін есептеу керек;