Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа

Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа

Прямое и обратное преобразования Фурье. Совокупность операций, позволяющих по заданной функции находить ей соответствую­щую спектральную характеристику , называется преобразова­нием Фурье и описывается следующим выражением:

(1.3.1)

Интеграл в правой части равенства (1.3.1) понимается в смысле главного значения, т.е.

(1.3.2)

Равенство (1.3.1) устанавливает связь между функцией , аргументом которой служит время t, и ей соответствующей комплексной функ­цией , имеющей в качестве аргумента частоту ω.

Формула интеграла Фурье

(1.3.3)

позволяет по известной функции определить ей соответствую­щую функцию , и называется формулой обратного преобразования Фурье.

Интеграл в правой части равенства (1.3.3) также следует рассмат­ривать в смысле главного значения, т.е.

(1.3.4)

В ряде задач автоматического регулирования функция харак­теризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого вре­мени t, который можно принять за нулевой. В этом случае при и формула (1.3.1) принимает вид

(1.3.5)

Преобразование, определяемое формулой (1.3.5), называется прямым односторонним преобразованием Фурье.

Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одно­сто­рон­нему преобразованию, остается двусторонним по переменной ω и даётся равенством

(1.3.6)

где определяется формулой (1.3.5).

Одностороннему преобразованию Фурье могут быть подвергнуты те функции , которые в любом интервале, заключенном в пределах , удовлетворяют условиям Дирихле, и интеграл существует.

Прямое и обратное преобразование Лапласа. Рассмотрим функцию вещественной переменной t, при этом будем предпо­лагать выполненными следующие условия:

1) Функция непрерывна для всех значений . Непре­рывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, являю­щихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек должно быть конечным на любом интервале ограничен­ной длины.

2) Функция для значений .

3) Функция имеет ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие постоянные числа и , при кото­рых выполняется неравенство

Число является показателем роста функции . Функция , удовлетворяющая условиям 1–3, называется оригиналом. Многие функции, встречающиеся при описании процессов в автоматических системах, являются оригиналами. Например, оригиналами будут функции ; ; ; (); ; () и ряд других функций. Наличие в этих функциях множителя — единичной ступенчатой функции — обе­спечивает выполнение второго условия, т.е. обращение функции в ноль при . С физической точки зрения это условие является вполне естественным. Действительно, в автоматических сис­темах обычно представляют интерес процессы, начинающиеся с не­которого момента времени. Например, если функция характери­зует отклонение регулируемой величины, происходящее при прило­жении к системе в момент возмущающего воздействия, то очевидно, что при , так как реакция на возмущение не может возникнуть ранее момента времени приложения, к системе самого возмущения. Этот момент времени может быть принят за нулевой момент, т.е. можно полагать, что ; тогда при получим . Условие 2 поэтому, естественно, учитывает началь­ные условия, в которых находится автоматическая система. Как правило, условия 1 и 3 также выполняются для большинства функ­ций , характеризующих процессы в автоматических системах. Если хотя бы одно из условий 1–3 не выполняется, то функция не будет являться оригиналом. Согласно условию 1 ори­гинал не может обращаться в бесконечность при , поэтому не является оригиналами функция , . Не является оригиналом также функция , поскольку для этой функции не выполнено условие 3: функция при возрастает быстрее, чем возрастает функция .

Функция комплексного переменного , определяе­мая равенством

(1.3.7)

называется изображением функции по Лапласу. Интеграл в правой части равенства (1.3.7) называется интегралом Лапласа. Этот несобственный интеграл по определению равен

(1.3.8)

причем означает правый предельный переход.

С помощью интеграла Лапласа устанавливается соответствие между функцией и её изображением . Символически преобразование Лапласа записывается в виде

(1.3.9)

Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует предел в правой части равенства (1.3.8).

Для перехода от изображения к ему соответствующему оригиналу необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. Оригинал в точках непрерывности опреде­ляется равенством

(1.3.10)

где — изображение по Лапласу оригинала , а интеграл в пра­вой части этого равенства понимается в смысле главного значения, т.е.

(1.3.11)

Формула (1.3.10) называется формулой обращения. С её помощью устанавливается связь между изображением и ему соответст­вующим оригиналом . Процесс получения оригинала по задан­ному изображению представляет собой обратное преобразование Лапласа. Символи­чески обратное преобразование Лапласа записывают в виде

(1.3.12)

Условие учитывает то обстоятельство, что оригинал при .

Наиболее часто встречающиеся оригиналы и соответствующие им приложения приведены в Приложении 1.

Связь преобразований Фурье и Лапласа

Преобразование Фурье может быть применено к функциям , для которых интеграл существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому условию не… был сходящимся. Значение для каждой функции является вполне определенным. Используя формулу прямого одностороннего…

Прохождение регулярных сигналов через линейное звено

Если преобразование сигнала может производиться звеном только в одном направлении, то звено называется звеном на­правленного действия. Как объект… Рассмотрим прохождение сигнала че­рез направленное звено (рисунок 1.4.1), в…

Регулярные сигналы

В качестве простейших сигналов будем пользоваться сле­дующими: а) гармонический сигнал или ; б) единичный скачок

Характеристики линейного звена

Рассмотрим определение каждой из перечисленных характе­ристик. Комплексным коэффициентом усиления звена называется отношение комплексной… Из уравнения (1.4.9) комплексный коэффициент линейного звена определяется как

Устойчивость линейных звеньев. Минимально-фазовые звенья. Преобразование произвольного сигнала линейным звеном

Для линейных систем определение устойчивости объекта или звена может быть сформулировано более жестко, чем для общего случая. Линейное звено является устойчивым, если после окон­чания внешнего воздействия… Единичный импульс может быть рассмотрен как кратковре­менное воздействие. В таком случае о линейном звене можно судить…

Типовые динамические звенья. Простейшие звенья. Звенья первого порядка

В теории автоматического управления вводится понятие типовых звеньев, передаточная функция которых только в определенном частотном диапазоне… Рассматривая характеристики звеньев вне зависимости от их назначения,… 1) простейшие: пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие звенья;

Простейшие звенья

(1.7.1) где k — коэффициент усиления звена. Примерами такого звена (рисунок 1.7.1) являются: делитель на­пряжения (а), усилитель постоянного тока (б), рычажная…

Звенья первого порядка

(1.7.19) где k и Т — соответственно коэффициент усиления и постоян­ная времени звена. … Примерами инерционного звена (рисунок 1.7.7) могут служить RC- и RL-цепочки.

Колебательные звенья. Особые звенья: неминимально-фазовые устойчивые звенья, неустойчивые звенья

(1.7.48) при степени затухания , что соответствует комплексным корням…

Устойчивые неминимально-фазовые звенья

Дифференциальное уравнение устойчивого неминимально-фазового зве­на первого порядка имеет вид (1.7.60) Комплексный коэффициент усиления такого звена

Неустойчивые звенья

(1.7.69) Передаточная функция (1.7.70)

Особые звенья: иррациональные и трансцендентные звенья

Иррациональные звенья

(1.7.79) где — величина, зависящая от пространственной координаты r и времени t, имеет… Рассматривая величину как синусоидально изменяющуюся с частотой ω, т.е. , фазор которой

Трансцендентные звенья

(1.7.106) где — величина, зависящая от пространственной координаты r и времени t, имеет… Рассматривая зависящий от пространственной координаты фазор

Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных схем

Соединения звеньев бывают трех видов: последовательное, параллельное согласное и парал­лельное встречное. Рассмотрим каждый из видов соединения звеньев и особенности характеристик этих соеди­нений.

Последовательное соединение звеньев

При последовательном соединении n звеньев (рисунок 1.8.1) с передаточными…

Параллельное согласное соединение звеньев

(1.8.3) а выходная величина (1.8.4)

Параллельное встречное соединение звеньев

Звено, в котором направление передачи сигнала совпадает с направлением передачи общего сигнала (первое звено), назы­вается звеном прямой связи, а… Рисунок 1.8.3 – Параллельное встречное соединение звеньев

Преобразование структурных схем

Для различных схем соединения введем понятие направле­ния ветвления, указывающее направление разделения сигнала на составляющие или направление его… Направление ветвления является понятием, применимым как при передаче сигналов,…

Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица

При рассмотрении объектов управления указывалось, что их состояние равновесия может быть устойчивым, неустойчи­вым и нейтральным. То же можно сказать и о системах автоматического регулирования.

Неустойчивый объект может входить в устойчивую систему автоматического регулирования. В этом случае речь идет о системах с искусственной устойчивостью. Однако неустой­чивые линейные системы автоматического регулирования сами по себе без дополнительных устройств искусственной устой­чивости не могут быть применены на практике. Поэтому пер­вым условием работоспособности линейной системы автомати­ческого регулирования является ее устойчивость.

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейного звена является отрицатель­ное значение вещественной части всех полюсов передаточной функции этого звена.

Для разомкнутой системы регулирования

(2.1.1)

где и — алгебраические полиномы от р. Усло­вием устойчивости разомкнутой системы является отрицатель­ный знак вещественной части корней характеристического уравнения

(2.1.2)

Рассмотрим в качестве передаточной функции замкнутой системы передаточную функцию по регулируемой величи­не

(2.1.3)

Подставив выражение из (2.1.1), получим

(2.1.4)

Вводя общее обозначение передаточной функции замкнутой системы

(2.1.5)

во всех случаях для знаменателя замкнутой системы получается

(2.1.6)

Условием устойчивости замкнутой системы является отри­цательный знак вещественной части всех корней характери­стического уравнения

(2.1.7)

Исследование устойчивости сводится, таким образом, к оп­ределению знаков вещественной части корней характеристиче­ского уравнения, т.е. к вопросу распределения корней относи­тельно мнимой оси в комплексной плоскости р.

Уравнения степени не выше 4-й могут быть решены, так как для них существуют аналитические выражения, определяющие их корни. Для уравнений более высокой степени (степени 5-й и выше) таких выражений нет. Но для суждения об устойчиво­сти нет необходимости знать значение корней, достаточно лишь иметь суждение о знаке их вещественной части.

Существенным является выяснение правил, которые позволили бы, минуя вычисление самих корней, ответить на вопрос: как распределены корни в комплексной плоскости от­носительно мнимой оси. Правила, позволяющие определить рас­положение корней относительно мнимой оси, называются крите­риями устойчивости.

Существует несколько критериев устойчивости. Все они ма­тематически эквивалентны, так как решают вопрос — лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полу­плоскости или нет. Практическое использование того или иного критерия для конкретной задачи решается характером самой задачи.

В настоящее время при решении вопроса об устойчивости используются следующие критерии: алгебраические — а) Рауса, б) Гурвица; частотные —а) Михайлова, б) Найквиста.

Алгебраические критерии устойчивости

Раус опубликовал свое решение в 1875 г. в виде получившей известность таблицы Рауса. Гурвицем был опубликован крите­рий устойчивости в 1895 г. в… Критерий Рауса. Пусть дано характеристическое урав­нение системы (2.1.8)

Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста

Пусть дано алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами (2.2.1) Многочлен можно представить в виде

Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод D-разбиения

Для исследования влияния различных параметров системы на ее устойчивость разработаны специальные методы, позволяю­щие облегчить исследование. Рассмотрение влияния параметров на устойчивость системы может производиться… Этот метод получил название метода D-разбиения пространства параметров.

Разбиение по одному (комплексному) параметру

(2.3.2) Границы D-разбиения согласно (2.3.1) определяются урав­нением (2.3.3)

D-разбиение по двум параметрам

(2.3.5) где , , — полиномы от p; τ и ν — варьируемые параметры. Граница D-разбиения в плоскости τ и ν согласно (2.3.1) определяется уравнением

Показатели качества процессов управления

Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходном процессах отработки заданного воздействия, объединяется понятием… Задача анализа (исследования) процессов управления — установить, какое влияние… Выбор структуры и параметров системы управления, в соот­ветствии с требованиями качества, относится к задаче…

Качество регулирования при стандартных воздействиях

Многообразие переходных функций автоматических систем можно разбить на три типа: колебательные с перерегулирова­нием, колебательные без… Рассмотрим применение показателей качества к оценке пе­реходной функции… Точность системы автоматического регулирования при отра­ботке ступенчатого сигнала оценивается статической ошибкой…

Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов

(2.6.1) за весь теоретический интервал ее существования . Естественно, что вычисление…