Элементы симметрии и основы теории групп. Решетки Бравэ

Элементы симметрии и основы теории групп.

Решетки Бравэ

ВВЕДЕНИЕ

Курс лекций называется «Кристаллофизика». Основным предметом изучения является кристалл и связь закономерностей строения кристалла с проявлением физических свойств. Кристаллофизика является теоретической основой таких областей техники, как полупроводниковая электроника, пьезотехника, квантовая электроника, нелинейная оптика, и как наука о связи физических свойств кристалла с их симметрией возникла в начале нашего века благодаря трудам П. Кюри, Дж. Наймана. Ими введено понятие симметрии физических явлений – фундаментальное понятие кристаллофизики. Отцом отечественной кристаллофизики является академик А.В. Шубников (1887-1970). Он ввел понятие о симметрии математических величин и тем самым открыл новый подход к формулированию многих основных законов, устанавливающих связь симметрии кристаллов и явлений. Математический аппарат кристаллофизики – тензорная алгебра. Приведенная на с. 4 схема иллюстрирует классификацию наук, изучающих кристаллы, и место кристаллофизики среди них, на ней отмечены: 1 – кристаллография; 2 – математика; 3 – физика; 4 – химия; 5 – математическая кристаллография; 6 – кристаллофизика; 7 – кристаллохимия; 8 – тензорная алгебра, теория групп; 9 – физика твердого тела; 10 – химия твердого состояния.

 

Каждому кристаллическому веществу присущи определенный порядок и симметрия в расположении частиц, четко установившееся расстояние между частицами, причем эти закономерности можно определить качественно и количественно.

Расположение частиц в кристалле упорядочено. Под упорядоченным расположением атомов в пространстве понимается свойство пространственной периодичности. Для описания кристаллических форм используются специфические термины.

Структура кристалла – это конкретное расположение частиц в пространстве.

Пространственная решетка – это способ представления периодичности повторения в пространстве отдельных материальных частиц или их групп. Это бесконечное трехмерное периодическое образование, или, точнее, это геометрическое построение, с помощью которого в кристаллическом пространстве выявляются одинаковые точки.

Узлы пространственной решетки – это вершины параллелепипедов, из которых состоит кристаллическая решетка.

Принципиальное различие между структурой кристалла и пространственной решеткой не всегда осознается четко, так как по большей части и ту и другую невольно отождествляют с теми моделями из шариков и проволочек, какими принято иллюстрировать законы расположения частиц в кристаллах.

Нельзя, однако, забывать, что кристаллическая структура – это физическая реальность, а пространственная решетка – лишь геометрическое построение, помогающее выявить законы симметрии или наборы симметричных преобразований кристаллической структуры.

Период решетки. Кратчайшее из возможных расстояний между одинаковыми точками в ряду называется элементарной трансляцией или периодом идентичности или постоянной решетки.

Элементарная ячейка. Это понятие может быть рассмотрено с различных позиций. Если рассматривать кристалл как бесконечную пространственную периодическую совокупность атомов, то в качестве элементарной ячейки может быть выбран параллелепипед, построенный на трех элементарных трансляциях. Объем примитивной элементарной ячейки не зависит от ее формы и является величиной, постоянной для данной решетки; он равен объему, приходящемуся на один узел. Эти параллелепипеды плотно совмещаются друг с другом и заполняют все пространство.

Если же ставить вопрос о возможности исследования закономерностей физических свойств на основе представления об элементарной ячейке, тогда в качестве элементарной ячейки выбирается минимальная совокупность атомов, которая несет информацию о структуре кристалла в целом.

В качестве примера рассмотрим структуру, называемую кубической

гранецентрированной (рис. 1).

Эта кристаллическая решетка может быть рассмотрена в тетраэдрическом редставлении (рис. 2).

 

Если в центр каждого тетраэдра поместить атом того же сорта, что и вся структура, получится решетка типа алмаза. Тетраэдр с атомом в центре называется «алмазным узлом» и может служить примером элементарной ячейки в кристаллографическом рассмотрении, а вся структура (рис. 3) – пример элементарной ячейки в кристаллофизическом плане: это минимальная совокупность атомов, которая несет информацию о физических свойствах и строении всего кристалла в целом.

Если в центр тетраэдров поместить атомы другого сорта, получим решетку типа цинковой обманки.

Структурой алмазного типа обладают: германий, кремний, серое олово, алмаз. Структуру типа цинковой обманки имеют почти все полупроводниковые соединения элементов третьей и пятой групп или элементов шестой и второй групп. Это записывается следующим образом: А³В⁵ и А²В⁶.

Структурный тип. Этот термин также заимствован из кристаллографии. Вещества, сходные по своему строению, объединяются в одну совокупность, именуемую структурным типом, и ей присвоено название наиболее известного элемента из этой совокупности. Структурный тип также обозначается буквенно-цифровым символом, например, решетка типа алмаза К4. Буква означает принадлежность кристаллической системе (К – кубическая), а цифра – степень сложности структуры.

Третий способ выбора элементарной ячейки – это построение ячейки Вигнера-Зейтца. Чтобы построить такую ячейку, необходимо выделить какой-либо узел в качестве первоначального, нулевого. Затем к ближайшим узлам провести из нулевого узла векторы. Через середины этих векторов перпендикулярно к ним проводятся плоскости. Совокупность получившихся плоскостей выделяет вблизи выбранного узла некоторую область пространства, которая и называется ячейкой Вигнера-Зейтца. В трехмерном пространстве это многогранник. Как геометрическая фигура, он обладает всеми элементами симметрии решетки по отношению к поворотам и отражениям и содержит один узел в центре ячейки.

Элементарная ячейка – это, по существу, элементарный структурный блок, который, будучи распространенным в направлении декартовых осей многими сдвигами, кратными периоду решетки, образует идеальный трехмерный кристалл.

Выбор ячейки может быть весьма произволен, но наиболее полезен такой выбор ячейки, при котором монокристалл – ячейка содержит все симметрические характеристики кристалла в целом. Известный в кристаллофизике принцип Наймана утверждает, что элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии точечной группы кристалла. Так что элементарную ячейку следует выбирать с полезной для физических описаний полнотой симметрических свойств.

Базис решетки. Трехмерные кристаллические решетки обладают дополнительной характеристикой – базисом, т. е. числом атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку в пространственной решетке. Для гранецентрированной решетки Fm3m (ГЦК) атомы, находящиеся в вершинах, дают вклад в данную решетку по 1/8, т. е. всего 1/8×8=1 атом, атомы, находящиеся в центрах граней, принадлежат одновременно двум решеткам, т. е. дают вклад по 1/2. Всего таких атомов 6 (6 граней), значит, вклад от них в данную решетку 1/2×6=3. Базис ГЦК структуры равен четырем (рис.4).

Для решетки Jm3m (рис. 5) объемно центрированной (ОЦК) базис находится следующим образом. В решетке восемь атомов в вершинах куба принадлежат одновременно восьми таким же решеткам, так что на долю данной решетки приходится по 1/8 атома, т. е. восемь атомов в данную решетку дают вклад 1/8×8=1. Атом, находящийся в центре, целиком принадлежит данному кубу, так что базис ОЦК решетки равен 2.

Базис задается числом базисных атомов с указанием их координат. Например, для ОЦК . Базис ГЦК .

Элементы симметрии

Кристаллических структур

Симметричной фигурой называется фигура, которая может совместиться сама с собой в результате симметричных преобразований. Русский кристаллограф… Отражения и вращения, приводящие геометрическую фигуру в совмещение с самой… Воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых осуществляются эти отражения и вращения, называются…

Поворотная ось или ось симметрии

. При использовании интернациональной символики порядок оси обозначается «n» или… Преобразования пространственной симметрии, производимые над кристаллом любой структуры, относятся, в конечном счете, к…

Плоскость зеркального отражения

Матрица представления для плоскостей зеркального отражения не может быть записана в общем виде, для каждой плоскости отдельно она имеет свой вид.…  

Центр симметрии

Обозначение в интернациональной системе , по Шенфлису – Сi. Матрица представления центра симметрии

Составные элементы симметрии

Операция симметрии представляет последовательное применение операции поворота плюс операцию зеркального отражения. Матрица представления – это… 2. Инверсионная ось. Инверсионная ось симметрии – ; действие ее включает в… Все рассмотренные элементы симметрии: ось симметрии, зеркально-поворотная ось, плоскость зеркального отражения, центр…

Таблица 1

Обозначение элемента симметрии или сочетания	Расшифровка	Дополнительные сведения
Х, Сn	Поворотная ось
m, sn, sv	Плоскость симметрии	, m ^оси Z

 

Окончание табл. 1

Обозначение элемента симметрии или сочетания	Расшифровка	Дополнительные сведения
, Сi	Центр симметрии или инверсии
	Зеркально-поворотная ось
	Инверсионная ось
Хm	Ось симметрии и параллельная ей плоскость симметрии
	Ось симметрии и перпендикулярная ей плоскость симметрии
Х2	Ось симметрии второго порядка, перпендикулярная оси симметрии Х-го порядка
2Х	Присутствие осей симметрии Х и второго порядка

 

Рассмотрим такие сочетания элементов симметрии, как 23 и 32. В записи встречаем присутствие осей симметрии второго и третьего порядков, но во втором случае эти оси взаимно перпендикулярны. На рис. 12 показан характер расположения осей и соответственно различный вид многогранников, соответствующих каждому из этих сочетаний.

Рис. 12. Пример различных комбинаций осей 32 и 23

Определим симметрию гранецентрированной решетки Fm3m.

4С₃ – четыре оси симметрии третьего порядка;

6m – 6 плоскостей симметрии, параллельных этим осям;

6С₂ – 6 осей симметрии 2 порядка;

3С₄ – 3 оси симметрии 4 порядка;

3m – 3 плоскости симметрии, перпендикулярные этим осям;

J – центр симметрии.

Симметрия решетки типа ZnS-F3m: 4С₃, 6m, 3С₄, 6С₂.

Трансляционная симметрия

, n1, n2, n3 – целые числа. – вектор трансляции. Операцию перемещения кристалла как целого параллельно самому себе, описываемую вектором , называем трансляцией. Вектор…

Решетки и трансляционная симметрия

Решетка отображает симметрию структуры независимо, совпадает ли узел с атомом того или иного типа или с промежутком между атомами. Структура кристалла – это конкретное расположение частиц в пространстве,… Пространственная решетка характеризует периодичность повторения в пространстве отдельных материальных частиц.

Элементы теории групп

  Рис. 13. Совокупности точек, связанных различными операциями симметрии 1. Точечная группа не содержит элементов симметрии и обозначается –1.

Свойства операций симметрии

1. Если кристаллическая структура характеризуется определенным набором элементов симметрии, то результатом следующих одно за другим преобразований… Пусть S и R – операции симметрии. Подействовав на функцию сначала оператором , получим тождественное (симметричное) состояние, т. е.

Элементы симметрии пространственных групп

. Для каждой структуры характерен набор ее элементарных трансляций или… Пространственная группа кристалла включает в себя плоскости симметрии, простые и инверсионные оси 1, 2, 3, 4, 6…

Решетки Бравэ

Исходя из идеи о периодическом расположении центров сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, О. Бравэ в 1848 году показал, что…

Таблица 2

Кристаллическая система	Число ячеек	Симметрия ячеек	Характеристики элементарной ячейки
Триклинная		P	a¹b¹c a¹b¹g
Моноклинная		P,C	a¹b¹c a=b=900¹g
Ромбическая		P,C,J,F	a¹b¹c a=b=g=900
Тетрагональная		P,J	a=b¹c a=b=g=900
Кубическая		P,J,F	a=b=c a=b=g=900
Ромбоэдрическая		R	a=b=c 900¹a=b=g<1200
Гексагональная		P	a=b¹c a=b=900 g=1200

Каждая решетка Бравэ – это группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве.

Решетки Бравэ играют исключительно важную роль в кристаллографии. Любую кристаллическую структуру можно представить с помощью одной из 14 решеток Бравэ. Обозначение соответствующих осей и углов приведено на рис. 15.

Для выбора ячейки Бравэ используют три условия:

1. Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, точнее наиболее высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл. Ребра элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки.

2. Элементарная ячейка должна содержать максимальное число прямых углов и равных углов и равных ребер.

3. Элементарная ячейка должна иметь минимальный объем.

Типов решеток Бравэ

– примитивные (Р); – базоцентрированные (С); – объемно центрированные (J);

Индексы узлов

, , , где a, b, c – параметры решетки; u, v, w – целые числа. Если за единицу измерения длин вдоль осей решетки принять параметры самой решетки a, b, c, то координатами узла будут…

Индексы направления

Совокупность направлений, которые могут симметрично совместиться друг с другом с помощью преобразований симметрии, свойственных одному классу… Индексы направления представляют собой три наименьших целых числа,… Оси координат в кубической решетке имеют символы: Ох – [100], Оy- [010], Оz – [001]. Все параллельные направления в…

Символы плоскостей

Пусть какая-либо плоскость решетки пересекает все три оси координат, отсекая на них отрезки ma, nb, pc (m, n, p – целые числа). Отношение чисел… Серию отношений рациональных чисел m:n:p для всех параллельных плоскостей…

Таблица 4

Номер плоскости	Отрезки по осям	m:n:p
x	y	z
				2::1 = 4:1:2
				4:1:2
				6::3 = 4:1:2
				8:2:4 = 4:1:2

 

В кристаллографии и кристаллофизике принято характеризовать плоскости (или направления к ним) не параметрами, а индексами Миллера.

Индексы Миллера – это величины, обратные параметрам Вейсса, приведенные к целым числам. Если параметры плоскости p,q,r, то индексы Миллера определяются из соотношения

::= h:k:l.

Числа h, k, l, не имеющие общего множителя, носят название индексов Миллера плоскости. Индексы, написанные подряд, без запятых, и заключенные в круглые скобки – (hkl), называют символом плоскости. Символом (hkl) характеризуется весь набор параллельных плоскостей. Набор физически эквивалентных плоскостей представлен символом {hkl}. В этом символе в фигурных скобках заключена вся совокупность физически эквивалентных плоскостей, которая может быть получена путем перестановки индексов, смены знаков индексов.

Если плоскость параллельна какой-либо оси координат, т. е. пересекается с этой осью в бесконечности, то индекс этой плоскости по этой оси будет .

Символы координатных плоскостей независимо от углов между осями всегда будут XOY = (001), XOZ = (010), YOZ = (100).

Метод описания граней и ребер кристалла с помощью индексов и символов установили задолго до того, как на опыте была доказана решетчатая структура кристалла. Он основывался на замечательном эмпирическом законе кристаллографии - законе целых чисел или законе рациональных отношений.

Этот закон утверждает: для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению целых чисел. Плоскость может быть гранью кристалла, только в том случае, если отрезки, отсекаемые ею на осях координат, и «единичные» отрезки связаны между собой соотношением

::= p:q:r,

где p, q, r – целые, взаимно простые и для реальных кристаллов малые числа (рис. 20).

Именно поэтому на растущем кристалле появляются только грани определенного наклона, характерного для данного вещества.

Грани, для которых отношение p:q:r является иррациональным, невозможны в реальном кристалле, как правило, p, q, r – числа, не превышающие пяти. Если эти числа будут целые, но больше 5, то грань возможна, но ее появление маловероятно.

Итак, любую кристаллографическую плоскость и любую грань кристалла можно определить тремя целыми числами – индексами Миллера, которые обладают следующими свойствами:

1) это целые не имеющие общего множителя числа;

2) они обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым плоскостью от начала координат;

3) все параллельные плоскости обозначаются одним набором индексов Миллера;

4) если плоскость параллельна какой-либо оси, соответствующий индекс равен нулю;

5) в кристаллах кубической системы плоскость и нормаль к ней обозначаются одинаковым набором индексов Миллера.

Чтобы найти индексы Миллера любой кристаллографической плоскости, надо прежде всего выбрать начало координат (но не в данной плоскости); затем выразить отрезки, отсекаемые плоскостью на

оси координат, через осевые отрезки а, b, с, далее найти обратные значения этих величин, привести их к виду наименьших возможных рациональных дробей, имеющих общий знаменатель, и заключить

полученные числа в круглые скобки (рис. 21).

Рис. 21. Основные направления и плоскости куба:
а – индексы осей симметрии, диагоналей граней и пространственных диагоналей
кубической решетки; б – индексы основных плоскостей кубической решетки

Рассмотрим ряд примеров

Пример 1

Определить индексы плоскости, отсекающей на осях решетки отрезки А = 1, В = 2,С = 4.

Отношения ::= ::представляют рациональные числа. Общим знаменателем правой части является 4. Множителями являются 4 и 2. Поэтому h = 4, k = 2, l = 1 (421).

Пример 2

Определить индексы плоскости, отсекающей на осях решетки отрезки А = , В = 2 и С = . Отношения ::=::- тоже рациональные числа. Общим знаменателем является 2. , ,. Это и есть индексы плоскости (416).

Отрезки, отсекаемые плоскостью на осях решетки, следующим образом выражаются через индексы этой плоскости: они обратно пропорциональны индексам плоскостей.

Пример 3

Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки плоскость (123). Записываем величины, обратные индексам плоскости: . Общий знаменатель равен 6, поэтому отрезки, отсекаемые плоскостью от осей, будут равны 6, 3, 2.

Основные геометрические соотношения в кристаллах

Уравнение, связывающее индексы плоскости и прямой hu + kv + + lw = 0, называется уравнением закона зон. Если индексы (hkl) заданы, то подбором всех u, v, w, удовлетворяющих данному… 2. Если две прямые лежат в плоскости или параллельны ей, то, зная их индексы, можно определить индексы плоскости.

Гексагональных кристаллов

Плоскости с первой по шестую (на рисунке изображены проекции граней на ось XOY) являются физически эквивалентными плоскостями, плоскости с 7 по 9… Обозначим все плоскости с помощью индексов Миллера: 1. ()

Правила работы с сеткой Вульфа

1) Приготовить наклеенную на картон сетку Вульфа, кальку, карандаш.

2) Сетку располагают так, чтобы ее экватор был горизонтален. На сетку кладут кальку, отмечается центр проекции, и на правом конце экватора отмечают нулевую точку. По этим меткам всегда можно привести чертеж в исходное положение.

3) Вся работа проводится на кальке, никакие отметки на самой сетке не допускаются.

4) Все построения проводятся путем вращения кальки относительно сетки.

Примеры решения задач с помощью сетки Вульфа

Задача 1. Построить стереографическую проекцию точки с заданными координатами r и j.

Решение

2) Отсчитываем заданный угол от jо по основному кругу проекции по часовой стрелке и отмечаем точку на круге. 3) Поворачиваем кальку так, чтобы найденная точка попала на конец одного из… 4) По данному диаметру отсчитываем r, ведя отсчет от центра сетки (rо = 0). Для углов 0о £ r £ 90о…

Решение

2) Делаем отметку на конце диаметра сетки, по которому отсчитываем r. 3) Возвращаем кальку в прежнее положение и от этой отметки отсчитываем j по… Задача 3. Измерить угол между направлениями. Стереографическая проекция направления – есть точка. Угол между…

Решение

Вращая кальку, приводим обе точки на один меридиан. Этот меридиан и является стереографической проекцией искомой плоскости.

Задача 5. По полюсу построить плоскость (полюсом называется стереографическая проекция нормали к плоскости).

Решение

1) Вращая кальку, выводим полюс на экватор сетки.

2) Отсчитываем по экватору 90⁰ в направлении центра сетки и отмечаем меридиан, проходящий через точку отсчета. Этот меридиан и является искомым.

Задача 6. Найти полюс плоскости.

Решение

1) Стереографическая проекция плоскости – есть дуга. Вращением кальки добиваемся совмещения дуги с одним из меридианов.

2) Отсчитываем 90⁰ от точки пересечения дуги с экватором в сторону центра проекции. Найденная точка отсчета и есть полюс плоскости.

Задача 7. Найти индексы плоскости (h₁ h₂ h₃), если задана проекция его полюса.

Решение

Очевидно, что (суммирование по повторяющемуся индексу в правой части формулы не проводить); gi – углы между нормалью к плоскости и соответствующей… Рис. 28. Иллюстрация к задаче 7

Построение стереографической проекции

Точечного комплекса кристалла m3m

Необходимо отметить, что симметрия изображения точечного комплекса на стереографической проекции совпадает с порядком оси, которая перпендикулярна… 1. Строим ячейку Бравэ с выбранной плоскостью проекции, выписываем элементы… 1. 3С4 <100>

Плотнейшие упаковки частиц в структуре

Рис. 31. Плотнейшая однослойная упаковка Плотнейшими упаковками являются – двухслойная или гексагональная плотнейшая… Рассмотрим гексагональную плотнейшую упаковку (ГПУ) на примере модели,… Второй слой шаров укладывается таким образом, чтобы шары располагались в лунках, причем только половина лунок первого…

Основные типы структур

Структурный тип объединяет вещества, сходные по своему строению. У кристаллов, принадлежащих одному структурному типу, структуры одинаковы с… Сведения о материалах, наиболее часто используемых в микроэлектронике,… Вне таблицы рассмотрим структуру типа алмаза и структуру типа цинковой обманки.

Политипия, изоморфизм, полиморфизм

Рис. 36. Ориентация алмазного узла   ностью их чередования. Параметры решетки у политипов в плоскости слоя неизменны, а в направлении, перпендикулярном…

Обратная решетка

Чтобы можно было характеризовать симметрию физических свойств, вводят в рассмотрение представление об обратном пространстве и об обратной решетке.… Главнейшим свойством идеального кристалла является периодическое расположение…

Построение обратной решетки

; ; ;