Тема 10. Индексы

Тема 10. Индексы

- сравнение уровней социально-экономических явлений во времени и пространстве; - выявление роли отдельных факторов, оказывающих влияние на изучаемое… Величина, изменение которой изучается в отдельном конкретном случае с помощью индекса, называется индексируемой…

При построении индексов объемных (количественных) показателей следует руководствоваться следующим правилом: в качестве соизмерителя принимаются те или иные качественные показатели, зафиксированные, как правило, на уровне базисного периода.

Пример 2. В первом квартале производство продукции характеризуется следующими данными:

 

Вид продукции	Количество выпущенной продукции, шт. (q)	Цена единицы продукции в базисном периоде, руб. (p0)
Базисный год	Отчетный год

Агрегатный индекс физического объема продукции рассчитывается следующим образом:

,

или 119%.

Объем произведенной продукции возрос в отчетном периоде на 19%. В этом показателе индексируемой величиной является количество произведенной продукции, а весами – цены базисного периода.

Если разделить стоимость продукции отчетного периода (åp₁q₁) на стоимость продукции базисного периода (åp₀q₀), то получим индекс стоимости продукции:

Этот индекс характеризует изменение стоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным под влиянием двух факторов: изменения уровня цен и объема произведенной продукции.

Пример 3. По предприятию имеются следующие данные о производстве продукции:

Вид продукции	Произведено, штук (q)	Цена за 1 шт., тыс. руб. (p)
первое полугодие	второе полугодие	первое полугодие	второе полугодие
			6,0	6,25
			4,5	4,00
			7,0	6,75

Рассчитаем индивидуальные и общий индексы стоимости продукции:

, или 117%,

, или 107%,

или 120%,

или 114%.

Общее изменение стоимости продукции в абсолютном выражении можно вычислить как разность между числителем и знаменателем индекса стоимости:

D pq = åp₁q₁ - å p₀q₀ = 47675 - 41875 = 5800 тыс. руб.

Исходя из того, что на общее изменение стоимости продукции влияют два основных фактора: количество произведенной продукции и цена за единицу продукции, построим индексную модель, отражающую связь этих показателей:

I_pq = I_q × I_p ,

.

Рассчитаем влияние этих факторов в абсолютном и относительном выражении.

1. Изменение стоимости продукции за счет изменения количества выпущенной продукции покажет индекс физического объема продукции

, или 120%.

D pq^q = åq₁p₀ - åq₀p₀ = 50350 - 41875 = 8475 тыс. руб.

2. Изменение стоимости продукции за счет изменения цен на произведенную продукцию покажет индекс цен:

, или 95%.

D pq^p = å p₁q₁ - å p₀q₁ = 47675 - 50350 = –2675 тыс. руб.

Проверим взаимосвязь исчисленных показателей:

I_pq = I_q × I_p = 1,2 × 0,95 = 1,14

Dpq = D q^q + Dpq^p = 8475 - 2675 = 5800 тыс. руб.

Во втором полугодии стоимость продукции возросла на 14% , что составило 5800 тыс. руб., в том числе за счет увеличения выпуска продукции на 20% или на 8475 тыс. руб. Снижение уровня цен повлекло за собой уменьшение стоимости продукции на 5% или 2675 тыс. руб.

Принципы построения индексов качественных показателей рассмотрим на примере расчета индексов себестоимости продукции.

Себестоимость единицы продукции (z) определяется как отношение суммы затрат на производство данного вида продукции (zq) к количеству выпущенной продукции (q).

Индивидуальный индекс себестоимости характеризует изменение уровня себестоимости единицы какого-либо вида продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным и вычисляется по формуле:

.

Сумму экономии (перерасхода) средств от снижения (увеличения) себестоимости данного вида продукции определяется по формуле:

Э (П) ^z = (z₁ - z₀) ×q₁.

Общий индекс себестоимости показывает изменение общего уровня себестоимости разнородной продукции и рассчитывается по следующей формуле:

.

Числитель индекса отражает затраты на производство продукции отчетного периода, а знаменатель – величину затрат на производство продукции отчетного периода при уровне себестоимости базисного уровня.

Разность между числителем и знаменателем общего индекса себестоимости покажет сумму экономии (перерасхода) средств от снижения (увеличения) себестоимости продукции.

Э (П)^z = å( z₁ - z₀) × q₁ .

При построении индексов качественных показателей следует руководствоваться следующим правилом: весами служат те или иные количественные показатели, зафиксированные, как правило, на уровне отчетного периода.

Взвешивание уровня себестоимости продукции по количеству продукции отчетного периода позволяет увязать индексы количественных и качественных показателей в систему. Произведение индексов физического объема продукции и себестоимости в результате даст индекс издержек производства, который характеризует изменение общего уровня затрат на производство продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным:

I_zq = I_z × I_q ,

.

Пример 4. Производство продукции характеризуется следующими данными:

Вид продукции	Себестоимость 1 шт., в руб. (z)	Произведено, шт. (q)
	сентябрь	октябрь	сентябрь	октябрь

Рассчитаем индивидуальные и общий индексы себестоимости продукции:

, или 97%,

, или 93%,

, или 93,7%.

В отчетном периоде себестоимость продукции первого вида снизилась на 3%, а второго вида – на 7%. В целом себестоимость продукции снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 6,3%.

Вычислим абсолютную величину экономии затрат от изменения себестоимости по каждому виду продукции и всей продукции в целом.

= (z₁ - z₀) × q₁ = (290 - 300) × 1660 = - 16600 руб.

= (296 - 320) × 3560 = - 85440 руб.

Э(П)_z = å ( z₁ - z₀) × q₁ = 1535160 - 1637200 = -102040 руб.

Экономия затрат от снижения себестоимости составила 102040 руб., в том числе по продукции первого вида – 16600 руб., а второго – 85440 руб.

Проанализируем изменение затрат на производство под воздействием двух факторов: изменение себестоимости продукции и объемов производства.

, или 88%,

, или 93,8%.

Взаимосвязь исчисленных показателей определяется уравнением:

I_zq = I_z × I_q ,

0,88 = 0,937 × 0,938.

Абсолютное изменение затрат на производство, в том числе за счет отдельных факторов, рассчитывается следующим образом:

Dzq = åz₁q₁ - åz₀q₀ = 1535160 - 1744000 = - 208840 руб.,

Dzq^z = åz₁q₁ - åz₀q₁ = 1535160 - 1637200 = - 102040 руб.,

Dzq^q = åq₁z₀ - åq₀z₀ = 1637200 - 1744000 = - 106800 руб.

Взаимосвязь абсолютных изменений определяется уравнением:

D zq = D zq^z + D zq^q ,

- 208840 = -102040 - 106800.

В отчетном периоде по сравнению с базисным затраты на производство продукции сократились на 12%, что составило 208840 руб., в том числе в результате снижения себестоимости продукции на 6,3% или на 102040 руб., а также уменьшения объемов производства на 6,2% или на 106800 руб.

Динамику среднего уровня качественного показателя для однородной совокупности статистика изучает с помощью системы индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Относительная величина, характеризующая динамику среднего показателя в однородной совокупности, называется индексом переменного состава. Он отражает влияние на изучаемый показатель двух факторов: изменение индексируемой величины у отдельных единиц совокупности и изменение структуры совокупности по изучаемому признаку. В связи с тем, что средние величины рассчитываются, как правило, по формуле средней арифметической взвешенной, то индекс переменного состава для любых качественных показателей может быть построен следующим образом:

,

где x – индексируемая величина, f – соизмеритель.

Индекс постоянного (фиксированного) состава характеризует динамику средних величин при одинаковой фиксированной структуре совокупности. В общем виде данный индекс можно записать следующим образом:

.

Индекс структурных сдвигов представляет собой отношение средних величин, рассчитанных при структуре совокупности отчетного и базисного периодов при постоянной величине индексируемого показателя. Формула индекса влияния структурных сдвигов выглядит следующим образом:

.

Взаимосвязь индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов выражается в уравнении:

Пример 5. Имеются данные по группе предприятий об объеме выпущенной продукции и затратах труда на ее производство:

Номер предприятия	Выработано продукции, шт.	Отработано человеко-дней, тыс.
базисный год	отчетный год	базисный год	отчетный год

Рассчитаем индексы производительности труда переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Общее изменение среднего уровня производительности труда по группе предприятий покажет индекс переменного состава:

.

Изменение среднего уровня производительности труда по группе предприятий за счет роста производительности труда на отдельных предприятиях отражает индекс постоянного состава:

.

Изменение среднего уровня производительности труда по группе предприятий за счет изменения в соотношении количества отработанных человеко-дней на отдельных предприятиях выявит индекс влияния структурных сдвигов:

Покажем взаимосвязь исчисленных индексов:

,

1,263 = 1,227 × 1,029.

В отчетном периоде производительность труда по группе предприятий возросла в среднем на 26,3%, в том числе за счет роста производительности труда на отдельных предприятиях – на 22,7% и за счет изменения структуры отработанного времени – на 2,9%.

Важнейшим вопросом при построении индексов с постоянными весами является выбор базы сравнения.

В теории статистики существует несколько подходов к решению этой проблемы и соответственно несколько формул расчета индексов, названных по имени авторов. В настоящее время широко распространены индекс Пааше, Ласпейреса и Фишера.

При расчете по формуле Пааше в качестве веса берется значение соответствующей величины в текущем периоде:

.

С помощью этого индекса определяется изменение цен на товары, реализованные в текущем периоде.

При расчете по формуле Ласпейреса в качестве веса используется значение соответствующей величины в базисном периоде:

.

Индекс характеризует изменение цен на товары, реализованные в базисном периоде.

Выбор той или иной формулы для оценки динамики качественного показателя зависит от принятой в стране методологии расчета и целей исследования.

Теоретически нет ответа на вопрос, какая из формул более точно характеризует изменение индексируемой величины.

Американский экономист И. Фишер предложил использовать среднюю геометрическую из индексов Пааше и Ласпейреса:

.

По форме построения различают сводные индексы агрегатные и средние.

Средний арифметический индекс представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов: . Средний гармонический индекс представляет собой среднюю гармоническую из индивидуальных индексов.

При построении средних индексов следует руководствоваться следующим правилом: для индекса количественного показателя используют формулу среднего арифметического индекса, а для индекса качественного показателя – формулу среднего гармонического индекса.

Пример 6. Имеются следующие данные о затратах завода на производство отдельных видов продукции:

Вид продукции	Издержки производства, тыс. руб.	Изменение себестоимости продукции, %	Изменение объема производства продукции, %
I квартал	II квартал
			+2	-1,5
			-4	+3,0

Рассчитаем средний арифметический индекс физического объема продукции и средний гармонический индекс себестоимости.

, или 101,5%,

, или 98%.

Во втором квартале объем производства продукции увеличился на 1,5% при среднем снижении себестоимости единицы продукции на 2%.

В зависимости от выбора базы сравнения возможно построение системы цепных и базисных индексов.

Индексы с постоянной базой сравнения (базисные) рассчитывают путем сравнения индексируемого показателя каждого периода с соответствующим показателем… Цепные и базисные агрегатные индексы могут быть исчислены с постоянными и… Пример 7. Имеются следующие данные о реализации товаров в магазине: Сорт товара Продано, шт. …