Приближенные методы анализа линейных цепей

 

 

6.3.1. Приближенный спектральный метод

 

 

Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффек-

тивная ширина спектра сигнала

∆ωэф

значительно отличается от ширины по-

лосы пропускания цепи

∆ωпр . Другими словами, данный метод используется

при расчете прохождения узкополосного сигнала через широкополосную цепь

(∆ωэф << ∆ωпр) и при прохождении широкополосного сигнала через узкопо-

лосную цепь ( ∆ωэф >> ∆ωпр).

а. Прохождение узкополосного сигнала через широкополосную цепь

 

 

Данная проблема представляет практический интерес в связи с тем, что сигналы помех, воздействующие на реальную радиотехническую цепь, часто относятся к классу узкополосных.

Рассмотрим широкополосную цепь с частотной характеристикой

K ( jω) = K (ω)e jϕ(ω) . На вход цепи поступает узкополосный сигнал со спек-

 

тральной плотностью

Sвх(jω) = Sвх(ω)e jϕs (ω), амплитудный спектр которого

сосредоточен в небольшой области вокруг центральной частоты ω0

а б

(рис.6.3,а).

 

 

Рис. 6.3. Иллюстрации к приближенному спектральному методу

 

 

Выходной сигнал рассматриваемой цепи равен

∞

sвых (t) = 2π

∫Sвх ( jω)K( jω)e jωtdω .

−∞

В общем случае вычисление этого интеграла может вызвать определенные трудности. Однако если учесть условия задачи, то расчет можно упростить.

Как следует из рис.6.3,а, в пределах амплитудного спектра

Sвх(ω)

ампли-

тудно-частотная, а также фазочастотная характеристики цепи изменяются не-

значительно. Поэтому можно записать

 

 

где

K (ω0 )

Тогда

K ( jω) = K ( jω0 ) = K (ω0 )e

– значение АЧХ на частоте ω0 .

jϕ(ω0 ),

 

sвых(t) = 2π

∞

∫Sвх( jω)K(ω0 )e jϕ(ω0 )e jωt dω;

−∞

sвых(t) = K (ω0 )e

jϕ(ω0 ) 1

2π

∞

∫Sвх( jω)e

−∞

jωt

dω = K (ω0 )sвх(t)e

jϕ(ω0 ).

 

Окончательно получаем

sвых(t) = K ( jω0 )sвх(t).

Вывод.

Узкополосный сигнал на выходе широкополосной цепи не изменяется по форме. Изменяется только амплитуда сигнала и возможен сдвиг по фазе. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,а. Широкополосная цепь практически без искажения пропускает все спектральные составляющие, про- порционально изменяя их амплитуды и сдвигая на одинаковую величину по фа- зе.

 

б. Прохождение широкополосного сигнала через узкополосную цепь

 

Данная проблема также представляет практический интерес в связи с тем, что работа цепи часто происходит при наличии импульсных помех. Эффектив- ная ширина спектра таких помех может значительно превышать ширину поло- сы пропускания цепи.

Рассмотрим узкополосную цепь с частотной характеристикой

K( jω), на

вход которой поступает широкополосный сигнал со спектральной плотностью

S вх( jω) . Узкополосная цепь способна выделять спектральные составляющие

входного сигнала, сосредоточенные только в небольшой области вокруг цен-

тральной частоты ω0 .

Как видно из рис. 6.3, б, в пределах полосы пропускания цепи амплитуд-

ный спектр

сать

Sвх(ω)

сигнала изменяется незначительно. Поэтому можно запи-

 

Sвх( jω) = Sвх( jω0 ) = Sвх(ω0 )e

jϕs

(ω0 ) ,

 

где

Sвх(ω0 )

Тогда

– значение амплитудного спектра входного сигнала на частоте ω0 .

∞

sвых(t) = 2π

∫ Sвх(ω0

)e jϕs (ω0 )K ( jω )e jωt dω ;

− ∞

sвых(t) = S(ω0 )e

jϕs (ω0 ) 1

2π

∞

∫Kвх( jω)e

−∞

jωt

dω = S(ω0 )h(t)e

jϕs (ω0 ) .

 

Окончательно получаем

Вывод.

sвых(t) = S( jω0 )h(t) .

Реакция узкополосной цепи на широкополосный сигнал определяется только импульсной характеристикой цепи. Входной сигнал по существу не влияет на выходной сигнал. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,б. Узкополосная цепь пропускает спектральные составляющие входно- го сигнала только в пределах своей амплитудно-частотной характеристики, ко- торой во временной области соответствует импульсная характеристика.

6.3.2. Метод комплексной огибающей

 

 

В процессе обработки сигналов при передаче сообщений не обязательно полностью сохранять структуру сигнала, достаточно лишь сохранить закон из- менения того параметра (амплитуду, частоту, фазу), в котором заключена пере- даваемая информация. Этот факт создает условия для упрощения методов ана- лиза прохождения сигналов через линейные цепи.

Радиосигналы, используемые для передачи информации, относятся к клас- су узкополосных. Для анализа прохождения таких сигналов через узкополосные цепи можно использовать понятие аналитического сигнала, имеющего, как из- вестно, следующий вид:

z(t) = s(t) +

js1(t) = A(t)e jω0t .

Здесь

s1 (t)

– сигнал, полученный из исходного сигнала с помощью преобразо-

 

вания Гильберта;

A(t) =

A(t)e jϕ(t )

 

– комплексная огибающая, которая содер-

жит информацию о законах изменения амплитуды и фазы колебания.

Таким образом, решаемая задача сводится по существу к анализу результа- та преобразования комплексной огибающей входного сигнала при прохожде- нии его через линейную цепь. Задачу в такой постановке можно решить спек- тральным и временным методами.

 

 

a. Спектральный метод для комплексной огибающей

 

 

Задача решается с использованием обозначений для аналитических сигна-

лов и соответствующих спектральных плотностей, приведенных на рис. 6.4.

 

zвх(t) = Aвх(t)e

jω0t ,

zвых(t) = Aвых(t)e

jω0t ;

sвх(t) ↔ Sвх( jω);

zвх (t) ↔ Sz.вх ( jω) ;

вх

Aвх (t) ↔ SА. (jω);

sвых(t) ↔ Sвых( jω);

zвых (t ) ↔ Sz.вых (jω);

Aвых (t) ↔ S A.вых ( jω) .

 

 

Рис. 6.4. Обозначения сигналов и спектров

 

В общем случае центральная частота ωp

АЧХ цепи не совпадает с цен-

тральной частотой ω0

амплитудного спектра сигнала (рис. 6.5). Однако для

простоты рассуждений можно положить, что эти частоты равны. Полученный результат затем нетрудно будет скорректировать для более общего случая.

 

 

Рис. 6.5. Амплитудные спектры сигналов и АЧХ цепи

 

 

В соответствии со спектральным методом можно записать

 

zâûõ

(t ) = 1

2π

∞ 1

2π

∫S z.âûõ ( jω) e jω t dω =

−∞

∞

∫S z.âõ( jω)K ( jω) e jω t dω .

−∞

Известна связь между спектром аналитического сигнала и спектром ком-

плексной огибающей, которая устанавливается соотношением

Szвх (jω) = SA.вх [j(ω −ω0)].

Тогда

 

zвых

(t) = 1

2π

∞

∫SA.вх

−∞

[ j(ω −ω0

)]K( jω)ejωt dω .

Введем новую переменную

zвых(t ) примет вид

Ω = ω −ω0. В этом случае выражение для

⎡ 1 ∞

⎣

2π

z (t ) = S

( jΩ)K[ j(Ω + ω

⎤

)] e jΩt d Ω

ejω t

вых

⎢ ∫

−∞

A.вх

0 ⎥ .

⎦

Учитывая, что

можно записать

zвых (t) = Aвых (t)e jω0t

∞

и изменяя обозначение Ω на ω,

Aвых

(t ) = 1

2π

∫SA.вх

−∞

(jω)Kнч

(jω)e jωt dω ,

где

Kнч( jω) = K[ j(ω +ω0 )]

– частотная характеристика низкочастотного ана-

лога цепи.

Данное выражение является обратным преобразованием Фурье от спектра комплексной огибающей сигнала на входе цепи. Это позволяет записать сле- дующее выражение для этого спектра:

SA.вых (jω)= SA.вх (jω)Kнч (jω). (6.5)

Как видно из полученного выражения, определение спектральной плотно- сти комплексной огибающей выходного сигнала осуществляется путем умно- жения спектральной плотности комплексной огибающей входного сигнала на частотную характеристику низкочастотного аналога цепи (см. спектральный метод анализа).

Обобщая полученный результат, отметим, что таким же образом можно получить спектр (разложение в ряд Фурье) комплексной огибающей периоди- ческого сигнала. При этом необходимо иметь в виду, что спектр периодическо- го сигнала на выходе линейной цепи получается перемножением спектра вход- ного сигнала на значения частотной характеристики низкочастотного аналога цепи на соответствующих частотах.

Таким образом, можно предложить следующую последовательность опре-

деления выходного сигнала

sвых(t)

рассматриваемым методом:

 

1. Определение входного аналитического сигнала

zвх(t) = Aвх(t)e jω0t .

2. Вычисление спектра комплексной огибающей входного сигнала

S Aвх( jω)

по формуле прямого преобразования Фурье.

3. Определение частотной характеристики низкочастотного аналога цепи

Kнч( jω) = K[ j(ω +ω0 )].

4. Расчет спектра комплексной огибающей выходного сигнала по формуле (6.5).

5. Определение комплексной огибающей выходного сигнала

формуле обратного преобразования Фурье.

S Aвых( jω)

Aвых(t) по

6. Определение выходного аналитического сигнала по формуле

zвых(t) = Aвых(t)e

jω0t

 

, в результате чего определяется выходной сигнал

sвых (t) = Aвых (t)cosω0t.

Вычисления по данной методике для узкополосных сигналов и цепей зна-

чительно проще, чем при непосредственном определении

sвых(t) .

Заметим, при наличии расстройки центральных частот амплитудного спек-

тра сигнала и АЧХ цепи в пределах ее полосы пропускания, т.е. при

∆ω = ω0 −ωp ≠ 0

(рис. 6.5) частотная характеристика низкочастотного аналога

цепи будет иметь вид

Kнч[j(ω + ∆ω) = K[ j(ω +ω0 + ∆ω

)] .

 

 

б. Временной метод для комплексной огибающей

 

 

Импульсная характеристика реальной цепи связана с частотной характери-

стикой следующей зависимостью:

 

 

h(t) = 1

2π

∞

∫K( jω)e

jωt

dω .

Аналитическая функция импульсной характеристики – это комплексное

число вида

zh(t ) = h(t ) +

jh1(t) , в котором

h1(t)

– преобразование Гильберта от

h(t) . С другой стороны, учитывая связь между спектром сигнала и спектром

соответствующего аналитического сигнала, можно записать следующее выра-

жение для аналитической функции

zh(t)

импульсной характеристики:

zh(t ) = 1

2π

∞

∫2K( jω)e

jωt

dω.

⎡ 1 ∞

jωt ⎤

Следовательно,

h(t ) = 2Re⎢

⎢⎣2π

∫K ( jω)e

dω⎥ .

⎥⎦

Введем новую переменную

примет вид

Ω = ω −ω0 . В этом случае выражение для

h(t)

⎡ 1 ∞ ⎤

h(t) = 2Re⎢

⎢2π

∫K[ j(Ω + ω0 )]e j(Ω +ω0 )t dΩ⎥ .

⎥

⎣ −ω0 ⎦

При

Ω = −ω0

значение

K[ j(Ω + ω0 )] ≈ 0 , поэтому нижний предел интегри-

рования можно изменить на

− ∞ . Таким образом,

⎡ 1 ∞ ⎤

h(t) = 2 Re⎢

∫K [ j(Ω + ω0 )]e jΩt dΩ⎥e jω0t .

2π −∞

Учитывая, что

можно записать

K[ j(Ω + ω0 )] = Kнч( jΩ)

и изменяя обозначение Ω на ω,

⎡ ∞ ⎤

h(t) = 2 Re⎢ 1

∫Kнч( jω)e jωtdω⎥e jω0 t = 2 Re[hнч(t)]e jω0t ,

2π −∞

1 ∞ jωt

где

hнч (t) = 2π

∫Kнч(jω)e

−∞

dω – импульсная характеристика низкочастот-

ного аналога узкополосной цепи.

Для определения комплексной огибающей выходного сигнала цепи вос-

пользуемся полученным ранее соотношением

SA.вых (jω) = SA.вх (jω)Kнч (jω)

и свойствами преобразования Фурье.

Известно, что

SA.вых (jω)= SA.вх (jω)Kнч (jω)

777 .

вых

вх

A (t ) =

A(t ) ⊗

hнч (t )

Следовательно, можно записать окончательное выражение для комплекс-

ной огибающей выходного сигнала цепи

Aвых (t) =

∞

∫Aвх (τ)hнч(t −τ)dτ

−∞

∞

= ∫Aвх (t −τ)hнч(τ)dτ . (6.6)

−∞

Таким образом, комплексная огибающая выходного сигнала цепи равна свертке комплексной огибающей входного сигнала и импульсной характери- стики низкочастотного аналога узкополосной цепи.

Можно предложить следующую последовательность определения выход-

ного сигнала

sвых(t)

временным методом для огибающей:

 

1. Определение входного аналитического сигнала

zвх(t) = Aвх(t)e jω0t .

2. Определение импульсной характеристики

га цепи.

hнч (t)

низкочастотного анало-

3. Определение комплексной огибающей выходного сигнала формуле (6.6).

A вых(t) по

4. Определение выходного аналитического сигнала по формуле

zвых(t) = Aвых(t)e

jω0t

 

, в результате чего определяется выходной сигнал

sвых(t) = Aвых(t)cos ω0t .

Вычисления по данной методике эффективны в тех случаях, когда времен-

ные характеристики сигналов и цепей определить проще, чем частотные.

 

 

6.3.3. Метод мгновенной частоты

 

 

Метод мгновенной частоты используется для анализа прохождения сигна- лов с угловой модуляцией через избирательные цепи. Рассмотрим данный ме- тод в общих чертах. Более подробно с содержанием метода можно ознакомить- ся в [1,2].

Спектр сигналов с угловой модуляцией имеет достаточно сложную струк- туру даже при простом модулирующем сигнале (например при модуляции гар- моническим колебанием). Неравномерность АЧХ и ФЧХ цепи приводит к на- рушению амплитудных и фазовых соотношений между многими спектральны- ми составляющими, следствием чего может быть искажение закона модуляции.

Рассмотрим прохождение сигнала с угловой модуляцией

s(t) = U н cos(ω0t + β sinΩt +ϕ0 )

через узкополосную цепь с центральной частотой

 

теристикой

ωр = ω0

и частотной харак-

K ( jω) = K (ω)e jϕ(ω).

При малых β в спектре сигнала мало составляющих. Поэтому поставлен-

ную задачу можно решить спектральным методом для комплексной огибаю-

щей.

При больших β решение задачи усложняется. Используется приближен-

ный метод, в основу которого положено допущение о том, что частота сигнала

с угловой модуляцией изменяется в зависимости от времени медленно. Для это-

го необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Период модулирующего колебания

T = 2π

Ω должен быть значительно

больше постоянной времени цепи

τц. Известно, что τц

=1 ∆ωпр, где

∆ωпр –

 

полоса пропускания цепи на уровне 1

 

2 . Следовательно,

2π Ω >> τц ;

2π Ω >> 1 ∆ωпр ;

Ω (2π∆ωпр) << 1, т.е. частота модулирующего колебания

должна быть меньше полосы пропускания цепи.

2. При постоянной частоте Ω скорость изменения частоты модулирован-

ного колебания зависит от амплитуды модулирующего сигнала, т.е. от девиа-

ции частоты. Следовательно, девиация частоты модулированного колебания не

должна выходить за пределы полосы пропускания, т.е.

2ωд

∆ωпр

≤1.

При соблюдении этих условий стационарные колебания на выходе цепи устанавливаются почти одновременно с изменением частоты сигнала, т.е. мгно- венно (отсюда и название метода). При этом основные параметры колебания можно без большой погрешности определить по АЧХ и ФЧХ цепи.