Радиосигналы с угловой модуляцией

 

 

4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции

 

 

При угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происхо- дит изменение фазового сдвига высокочастотного колебания под действием модулирующего сигнала. Амплитуда сигнала при этом виде модуляции остает- ся постоянной. Формула, описывающая модулированное колебание, имеет вид

s(t) = Uн cos[ω0t +ϕ(t)] = Uн cosψ(t) ,

где ω0t

ϕ(t)

– линейный набег фазы за время t ;

– фазовая функция, обусловленная модуляцией.

Ранее было сказано, что изменение фазового сдвига

ϕ(t)

может происхо-

дить как путем модуляции непосредственно фазового сдвига, так и путем моду- ляции частоты несущего колебания. Объясняется это известной зависимостью, существующей между угловой частотой и полной фазой гармонического коле- бания:

ω(t) = dψ(t) = ω

dt 0

+ dϕ(t)

dt

и ψ(t) =

t

∫ω(t)dt = ω

0t +ϕ(t).

Поэтому различают фазовую модуляцию (ФМ) и частотную модуляцию

(ЧМ).

При фазовой модуляции пропорционально модулирующему сигналу

изменяется фазовый сдвиг, т.е.

s м (t )

ϕ(t ) = ϕ0 + kфs м(t ) ,

при частотной модуляции – частота несущего колебания, т.е.

ω(t) =ω0 +kчsм(t).

Коэффициенты

kф и

kч – это масштабные (размерные) коэффициенты

пропорциональности между фазой и напряжением (размерность Рад/В), часто-

той и напряжением (размерность Рад/В с).

Полная фаза модулированного колебания равна

при ФМ

 

 

при ЧМ

ψ(t ) = ω0t + kфs м(t ) +ϕ0 ;

t

ψ(t) = ω0t + ∫kчsм(t)dt + ϕ0 .

Тот факт, что изменение фазы колебания во времени по закону ψ(t)

при-

водит к изменению мгновенной частоты по закону

dψ(t )

dt , а изменение мгно-

венной частоты по закону ω(t )

приводит к изменению фазы по закону ∫ω(t )dt ,

обусловливает общность между двумя разновидностями угловой модуляции –

фазовой и частотной.

Рассмотрим более подробно каждый из этих видов модуляции в предполо-

жении, что реализуется тональная модуляция, т.е. модулирующий сигнал явля-

ется гармоническим и равен

sм (t) = U мcos(Ωt + γ ) .

 

 

4.3.2. Фазовая модуляция

 

 

При фазовой модуляции гармоническим сигналом полная фаза модулиро-

ванного сигнала равна

ψ(t) =ω0t + kфUм cos(Ωt +γ)+ϕ0 . (4.2)

Тогда выражение для модулированного сигнала принимает вид

s(t ) = Uн cos[ω0t + kфUм cos(Ωt + γ)+ϕ0].

Угловая частота этого колебания будет равна

ω(t) = dψ(t) = ω

dt 0

− kфU

мΩ sin(Ωt +γ). (4.3)

Таким образом, изменение фазового сдвига по закону косинуса приводит к изменению частоты по закону синуса, т.е. при фазовой модуляции изменение частоты (по существу тоже модуляция) происходит по закону, отличному от за- кона изменения модулирующего сигнала.

Анализ выражений (4.2) и (4.3) для фазы и частоты модулированного ко- лебания позволяет сделать определенные выводы относительно некоторых его параметров.

Как следует из формулы для полной фазы, величина

β = kфUм

является

максимальным отклонением фазы несущего колебания от начальной фазы

ϕ0 ,

т.е. по существу это амплитуда изменения фазы. Эту величину называют индек- сом угловой модуляции. При ФМ она зависит только от амплитуды модули- рующего сигнала.

В свою очередь величина

ωд = kфUмΩ

является максимальным отклоне-

нием частоты несущего колебания от значения

ω0 , т.е. это амплитуда измене-

ния частоты. Эту величину называют девиацией частоты. При ФМ она зависит не только от амплитуды модулирующего сигнала, но и от его частоты.

Таким образом, общее выражение для фазомодулированного сигнала при

тональной модуляции сигналом

sм (t) = U м cos(Ωt + γ )

имеет вид

s(t) = Uн cos[ω0t + β cos(Ω t + γ ) + ϕ0 ].

4.3.3. Частотная модуляция

 

 

При частотной модуляции гармоническим сигналом частота модулирован-

ного колебания равна

ω(t) = ω0 + kчU м cos(Ωt + γ ) .

Полная фаза такого колебания определяется как интеграл от частоты (с

учетом начальной фазы)

t

ψ(t) = ∫ω(t)dt =ω0t +

 

kчU м

Ω

sin(Ωt +γ)+ϕ0 .

Тогда выражение для модулированного сигнала принимает вид

kчUм

s(t) =Uн cos[ω0t +

Ω sin(Ωt + γ)+ϕ0 ].

Таким образом, изменение частоты по закону косинуса приводит к изме-

нению фазового сдвига по закону синуса, т.е. при частотной модуляции изме- нение фазового сдвига происходит по закону, отличному от закона изменения модулирующего сигнала.

На рис. 4.11 показано, как изменяется фаза и частота модулированного ко- лебания при ФМ и ЧМ, если закон изменения модулирующего сигнала одина- ков.

Как следует из приведенных формул для полной фазы и частоты, частотно-

модулированное колебание имеет девиацию частоты

ωд = kчUм

и индекс угло-

вой модуляции

β = kчU м

Ω . В данном случае девиация частоты не зависит от

частоты модулирующего сигнала, а индекс угловой модуляции зависит.

 

Рис. 4.11. Сравнение функций ω(t ), ϕ(t )

и сигналов при ФМ и ЧМ

 

Таким образом, общее выражение для частотно-модулированного сигнала при тональной модуляции можно записать так:

s(t) = Uн cos[ω0t + β sin(Ωt + γ ) + ϕ0 ].

Характерно, что связь индекса угловой модуляции и девиации частоты для

фазовой и частотной модуляций определяется выражениями

β = ωд Ω

и ωд = β Ω .

По общему виду математического выражения для сигнала с угловой моду- ляцией нельзя сказать, какая модуляция реализована – фазовая или частотная, если не известен модулирующий сигнал. Ответить на этот вопрос можно, если

рассмотреть графики зависимостей

β(Ω)

и ωд(Ω)

(рис. 4.12).

При фазовой модуляции график

β(Ω)

– прямая, параллельная оси абсцисс,

график ωд(Ω)

– прямая, проходящая через начало координат с углом наклона к

оси абсцисс, зависящим от амплитуды U м

модулирующего сигнала. При час-

тотной модуляции график

β(Ω)

– равносторонняя гипербола с центром в нача-

ле координат, график ωд(Ω)

– прямая, параллельная оси абсцисс.

 

 

Рис. 4.12. Графики зависимостей

β(Ω)

и ωд(Ω)

при ФМ (а) и ЧМ (б)

 

 

4.3.4. Спектральный анализ сигналов с угловой модуляцией

 

 

 

 

виде

Определим спектр колебания с угловой модуляцией, представленного в

s(t) = Uн cos(ω0t + β sin Ωt).

Данное выражение описывает сигнал с фазовой модуляцией, если модули-

рующий сигнал

sм (t) = U м sinΩt , и сигнал с частотной модуляцией, если моду-

лирующий сигнал

sм (t) = U м cosΩt . Для упрощения математических выкладок

начальные фазы (ϕ0

и γ ) несущего и модулирующего сигналов опущены.

Выполним элементарные тригонометрические преобразования.

s(t ) = Uн cos(ω0t + β sin Ωt ) = Uн[cos ω0t cos( β sin Ωt ) − sin ω0t sin( β sin Ωt )].

Воспользуемся известными соотношениями [10]:

∞

cos(β sin Ωt ) = J 0 (β)+ 2 ∑ J 2k (β)cos 2kΩ t ;

k=1

 

 

где

 

J k ( β )

∞

sin( β sin Ωt ) = 2 ∑ J 2k +1(β)sin(2k +1)Ω t ,

k=0

– бесселева функция первого рода k -го порядка от аргумента β .

⎡ ∞ ⎤

Тогда

s(t) = Uн cosω0t ⎢J 0(β)+ 2 ∑ J 2k (β)cos 2kΩt⎥ −

⎣ k=1 ⎦

⎡ ∞ ⎤

−Uн sinω0t⎢2 ∑ J2k+1(β)sin(2k +1)Ωt⎥ .

⎣ k = 0 ⎦

Раскроем скобки и заменим произведения тригонометрических функций

cosω0tcos2kΩt

и sinω0tsin(2k +1)Ωt

 

полусуммами косинусов соответствую-

щих аргументов (с суммарными и разностными частотами). В результате полу-

чим выражение, которое определяет спектр сигнала с угловой модуляцией:

∞

s(t) = UнJ0(β)cosω0t +Uн ∑Jk (β)cos(ω0 +kΩ)t+

k=1

∞

+Uн ∑(−1)kJk (β)cos(ω0 − kΩ)t

k=1

 

. (4.4)

Анализ данного выражения позволяет сделать следующие выводы:

1. Спектр сигнала с угловой модуляцией состоит из составляющей на не-

сущей частоте и бесконечного числа боковых составляющих с частотами

ω0 ± kΩ , расположенных симметрично относительно несущей частоты

(рис.4.13). Составляющие с нечетными номерами и частотами ω0 − kΩ

 

находят-

ся в противофазе с составляющими, имеющими такие же номера и частоты

ω0 + kΩ .

 

Рис. 4.13. Спектры сигналов с угловой модуляцией при различных β

2. Амплитуды составляющих спектра зависят не только от амплитуды Uн

несущего колебания, но и от значений бесселевых функций при индексе угло-

вой модуляции β данного сигнала. Характер изменения бесселевых функций

таков (рис. 4.14), что при определенных значениях β возможно отсутствие в

спектре сигнала составляющей на несущей частоте ( β

≈ 2,4,

β ≈ 5,5), состав-

 

ляющих на частотах

ω0 ± Ω

(β ≈ 3,9,

β ≈ 7,1), составляющих на частотах

ω0 ± 2Ω (β

≈ 5,2,

β ≈ 8,4) и т.д.

3. В общем случае сигнал с угловой модуляцией занимает бесконечную по-

лосу частот (теоретически). Однако бесселевы функции характеризуются тем,

что с ростом индекса модуляции β абсолютное значение функции

J k ( β )

 

бы-

стро уменьшается с увеличением k . Наибольший номер составляющей, кото-

рую еще необходимо учитывать в составе спектра, равен приблизительно ин-

 

дексу модуляции, т.е.

k ≈ β . Поэтому считается, что при

β >>1 (это справедли-

 

во для так называемой медленной угловой модуляции, при которой ширина спектра сигнала равна

ωд >>Ω )

∆ωэф

≈ 2β Ω

 

 

или

∆ωэф

≈ 2 ωд

Ω

Ω = 2ωд

.

 

Рис. 4.14. Графики функций Бесселя

 

 

Таким образом, можно сказать, что эффективная полоса частот сигнала с угловой тональной модуляцией равна удвоенной величине девиации частоты и зависит от частоты модулирующего сигнала при ФМ и не зависит – при ЧМ.

Определенный интерес с познавательной точки зрения представляет слу-

 

чай, когда индекс угловой модуляции имеет малое значение, т.е.

случае имеют место приближенные равенства

β <<1. В этом

cos(β sinΩt) ≈1 и

Тогда спектр сигнала равен

sin(β sinΩt) ≈ β sinΩt .

s(t) ≈ Uн(cosω0t − β sin Ωt sin ω0t);

s(t) ≈Uн

cosω

t + Uнβ cos(ω

0 2 0

+ Ω)t − Uнβ cos(ω

2 0

− Ω)t .

Таким образом, амплитудный спектр сигнала с угловой модуляцией при

β <<1

 

такой же, как у сигнала с амплитудной модуляцией (при тональной мо-

дуляции). Причем индекс угловой модуляции β в данном случае играет такую

же роль, как и коэффициент амплитудной модуляции m .

Отличие имеет фазовый спектр. Нижняя боковая составляющая спектра,

т.е. составляющая разностной частоты, сдвинута по фазе на

относительно

ее фазы при амплитудной модуляции. Благодаря этому реализуется угловая мо- дуляция, что иллюстрируется спектром и векторной диаграммой, приведенной на рис. 4.15.

 

На векторной диаграмме направление вектора

CF1

 

при амплитудной моду-

ляции показано штриховой линией. Тот факт, что соответствующий вектор при угловой модуляции имеет противоположное направление, приводит к тому, что

вектор CD перпендикулярен к направлению вектора OC . При этом результи-

рующий вектор OD изменяется как по фазе, так и по амплитуде. Последнее из-

 

менение несущественно, так как при лы и ими можно пренебречь.

β <<1

 

амплитудные изменения очень ма-

 

 

Рис. 4.15. Спектр и векторная диаграмма сигнала

 

с угловой модуляцией при

β <<1

Заметим, что при тональной модуляции амплитудные спектры сигналов с ЧМ и ФМ одинаковы (разумеется, при одинаковых параметрах модулирующего и несущего колебаний), а фазовые спектры различаются.

 

 

4.3.5. Угловая модуляция полигармоническим сигналом

Модулирующий сигнал в общем случае имеет спектр, состоящий из боль- шого количества составляющих с различными частотами. Именно такой спек- тральный состав имеют реальные сигналы современных каналов связи. Поэтому определенный интерес представляет спектральный состав высокочастотных ко- лебаний с фазовой или частотной модуляцией такими сигналами.

Пусть модулирующий сигнал представлен суммой N гармонических со-

ставляющих

N

sм (t ) = ∑Uk sinΩkt .

k=1

Тогда сигнал с фазовой модуляцией будет иметь вид

N

s(t) = Uн cos(ω0t +

∑ βk sin Ωkt),

k=1

где βk

= kфU k

– парциальные индексы угловой модуляции.

Для упрощения дальнейших преобразований целесообразно воспользо-

ваться комплексным представлением фазомодулированного сигнала, т.е.

N

s(t ) = U н e

j (ω

0 t + ∑ βk

k =1

sin Ω k t )

=U н

e jω0 t

N jβk sin Ω k t

∏e .

 

Известно [10], что

k =1

∞

 

 

Тогда

e jβk sinΩ kt

= ∑Jn(βk )e jnΩ kt .

⎟

n=−∞

N ⎛ ∞ ⎞

⎜

s(t) = Uн ∏⎜

∑Jn (βk )e jnΩ k t ⎟ejω0t .

k =1⎝n = −∞ ⎠

Анализ полученного выражения (дальнейшие преобразования не выпол- няются из-за громоздкости и отсутствия необходимости) позволяет сделать следующие выводы.

1. В спектре высокочастотного колебания с угловой модуляцией полигар- моническим сигналом имеется бесконечное количество составляющих с несу- щей и боковыми частотами. Частоты составляющих равны:

ω0 ± (k1Ω1 ± k2Ω2 ±… ± k N ΩN ) ,

k1 , k2 ,…, k N

= 0, ∞.

Среди боковых составляющих имеются составляющие с комбинационны- ми частотами. Так, при модуляции бигармоническим сигналом спектр модули- рованного колебания будет содержать составляющие с частотами

ω0 , ω0 ± k1Ω1 , ω0 ± k2Ω2

и ω0 ± (k1Ω1 ± k2Ω2 ) .

2. Амплитуды составляющих спектра с комбинационными частотами оп- ределяются произведениями бесселевых функций разных порядков. Поэтому составляющие с комбинационными частотами, выходящими за пределы

∆ω = 2ωcд

(ωcд

– сумма девиаций частот, образуемых за счет составляющих

модулирующего сигнала), имеют малую амплитуду и могут не приниматься во внимание.

 

 

4.3.6. Сравнение амплитудной, фазовой и частотной модуляций

 

 

Рассмотренные виды модуляций сравним по двум основным характери- стикам: средней мощности за период несущей частоты и ширине спектра. Не- обходимые для такого сравнения результаты были получены ранее. Обобщим их.

Средняя мощность АМ-колебаний за период несущей частоты изменяется,

так как изменяется амплитуда этих колебаний. Эта мощность в максимальном

 

режиме в

(1+ m)2

 

раз больше мощности немодулированного колебания. Шири-

на полосы частот, занимаемой спектром амплитудно-модулированных колеба-

ний, зависит от величины максимальной частоты

Ω max

модулирующего сигна-

ла и равна

2Ω max .

Средняя мощность ФМ- и ЧМ-колебаний за период несущей частоты по-

стоянна, так как амплитуда колебаний неизменна. Ширина полосы частот, за-

нимаемой спектром ФМ-колебаний, равная

∆ω = 2ωд

= 2kфUмΩ , зависит как

от амплитуды модулирующего сигнала

U м , так и от его частоты Ω . Ширина

полосы частот, занимаемой спектром ЧМ-колебаний, равная

∆ω = 2ωд

= 2kчU м , зависит только от амплитуды модулирующего сигнала и не

зависит от его частоты.

Таким образом, ширина спектра сигналов с угловой модуляцией примерно

в β раз больше ширины спектра АМ-колебаний. Так, например, для радиове-

щания

β =15 , т.е. ширина спектра колебаний с угловой модуляцией при мак-

симальной частоте модуляции

Fmax = 5 кГц составляет величину

2fд

= 2βFmax

= 150 кГц. Для этой же частоты модуляции ширина спектра АМ-

колебаний равна 10 кГц. По этой причине фазовую и частотную модуляции применяют лишь в коротковолновом и УКВ диапазонах, где имеется возмож- ность размещения множества станций с достаточно широкой полосой частот, отводимой для каждой из них.