рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Изобретательство
- /
- Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Реферат Курсовая Конспект
Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь - раздел Изобретательство, ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ Спектр Непериодического Сигнала (Спектральная Плотность) Определяется Путем В...
Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье
∞
S( jω) =
∫s(t)e− jωtdt. (6.1)
−∞
В свою очередь обратное преобразование Фурье позволяет определить сигнал по его спектру, т.е.
s(t) = 1
2π
∞
∫S( jω)e
−∞
jωt
dω . (6.2)
Как видно из данного выражения, сигнал
s(t)
представляется в виде суммы
бесконечно большого числа незатухающих и бесконечно близких по частоте гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами,
равными
1 S( jω)dω . Это дает возможность использовать обычные методы
2π
расчета установившихся режимов.
Применительно к решаемой задаче каждая из таких гармонических состав- ляющих входного сигнала обусловит соответствующую гармоническую состав- ляющую выходного сигнала с комплексной амплитудой, равной
1 Sвых(jω)dω = 1
2π 2π
Sвх(jω)K ( jω)dω .
На основании этого можно записать выражение для спектральной плотно- сти выходного сигнала, которое является фундаментальным для рассматривае- мого метода анализа линейных цепей:
Sвых(jω) = Sвх(jω)K ( jω). (6.3)
Таким образом, спектральная плотность выходного сигнала равна произве-
дению спектральной плотности входного сигнала на частотную характеристику цепи.
Выходной сигнал находится с помощью обратного преобразования Фурье, реализующего суммирование бесконечно большого числа его гармонических составляющих:
|
sвых (t) = 2π
∫ Sвых ( jω)e jωtdt = 1
− ∞ 2π
∞
∫Sвх ( jω)K( jω)e jωtdt . (6.4)
−∞
Можно предложить следующую последовательность анализа линейных цепей спектральным методом.
1. Определение спектральной плотности
формуле (6.1).
Sвх(jω)
входного сигнала по
2. Определение частотной характеристики цепи одним из известных мето- дов (уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, наложения, из дифференциального уравнения цепи и др.).
3. Расчет спектральной плотности
ле (6.3).
Sвых ( jω)
выходного сигнала по форму-
4. Определение выходного сигнала по формуле (6.4).
В некоторых случаях целесообразно использовать операторный метод ана- лиза цепей, основанный на преобразованиях Лапласа. При этом функции дейст- вительной переменной t преобразуются в функции комплексной частоты, т.е.
переменной
p = σ +
jω . Для этого используются преобразования Лапласа:
F(p) =
∞
∫s(t)e−ptdt и
s(t) =
1 c+ jω
∫
F(p)eptdp.
0 2πj c− jω
Функцию
s(t)
называют оригиналом, а функцию
F(p)
– изображением
оригинала по Лапласу или просто изображением. Как видно из данных выраже-
ний, преобразования Фурье могут быть получены из преобразований Лапласа
простой заменой p на
jω с соответствующим изменением пределов интегри-
рования. Преобразования Лапласа являются обобщениями преобразований Фу- рье, поэтому они обладают всеми свойствами, которые характерны для преоб- разований Фурье.
Частотная характеристика цепи в операторной форме получается простой
заменой переменной
jω на комплексную переменную
K (p) = [K ( jω)]jω=σ + jω .
p = σ +
jω , т.е.
Выражение (6.3.) для спектра выходного сигнала цепи будет иметь вид
Fвых(p) = Fвх(p)K (p).
Операторный метод позволяет анализировать более широкий класс сигна-
лов. В частности, этому методу доступны сигналы, описываемые функциями, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. В литерату- ре [1,2] имеются таблицы изображений и оригиналов, облегчающие примене- ние операторного метода.
Спектральный и операторный методы анализа линейных цепей успешно применяются для решения многих вопросов теории связи и управления. При этом удается обойти серьезные трудности, связанные с вычислением корней характеристического уравнения систем высокого порядка. Частотный метод имеет важное значение особенно в тех случаях, когда уравнение системы вооб- ще неизвестно и когда можно ограничиться качественным исследованием ди- намических свойств систем.
6.2.3. Временной метод
Временной метод (метод интеграла наложения, метод интеграла Дюамеля)
основан на использовании импульсной
h(t )
характеристики цепи, т.е. характе-
ристики цепи во временной области. Импульсная характеристика – это реакция
цепи на δ -функцию. Такой функцией описывается модель сигнала, имеющего
бесконечно большую амплитуду, нулевую длительность и площадь, равную 1.
Представим входной сигнал
sвх(t )
сложной формы в виде совокупности
прямоугольных импульсов одинаковой и достаточно малой длительности ∆τ
(рис. 6.2).
Реакция цепи в моменты времени
k∆τ ,
k = 0,1, 2,…,n
на каждый из этих
импульсов (если бы площади их были равны единице) есть импульсная харак-
теристика
h(t − k∆τ). Но так как площади импульсов равны
sвх (k∆τ)∆τ , то
реакция цепи равна
sвх (k∆τ) ∆τ h(t − k∆t) . В свою очередь выходной сигнал в
некоторый момент времени
t = k∆τ
будет равен сумме реакций цепи на им-
пульсы в интервале
0…t , т.е.
sвых(t ) ≈
n
∑ sвх(k∆τ)∆τ h(t − k∆τ).
k =0
При
∆τ → 0
суммирование сводится к операции интегрирования по пере-
менной τ
= k∆τ :
t
sвых (t) = ∫sвх (τ)h(t −τ)dτ .
Рис. 6.2. Свертка сигнала с импульсной характеристикой
Таким образом, значения выходного сигнала линейной цепи в любой мо- мент времени являются результатом взвешенного суммирования мгновенных значений входного сигнала. Весовая функция – это импульсная характеристика цепи.
Учитывая, что для реальных цепей
∞
h(t ) = 0 при t < 0, можно записать
sвых (t ) = ∫sвх (τ)h(t −τ)dτ
−∞
= sвх (t ) ⊗ h(t ).
Полученное выражение для
sвых(t)
представляет собой интеграл наложе-
ния, или интеграл Дюамеля. В математике полученное выражение называют сверткой двух функций. Таким образом, выходной сигнал линейной цепи равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи.
Иногда используют другую форму записи интеграла Дюамеля, которую
можно получить путем замены переменной τ на t −τ :
sвых (t) =
∞
∫sвх (t −τ)h(τ)dτ .
−∞
Заметим, что интеграл Дюамеля можно получить из формулы
Sвых(jω) = Sвх (jω)K ( jω), на которой основан спектральный метод анализа
цепей. Для этого воспользуемся свойствами преобразования Фурье и связью
между частотной и импульсной характеристиками цепи, имея в виду, что час-
тотная характеристика
K( jω)
цепи является по существу спектральной плот-
ностью ее импульсной характеристики
h(t).
Из свойств преобразования Фурье известно, что произведению двух спек- тров соответствует свертка сигналов, соответствующих данным спектрам. Та- ким образом, можно записать
sвх (t )
h(t)
↔ Sвх (jω);
↔ K ( jω)
sвх (t ) ⊗ h(t ) ↔
Sвх (jω)K ( jω).
Следовательно, спектру
S вых( jω) = Sвх ( jω)K ( jω)
∞
соответствует сигнал
sвых (t ) =
что и требовалось доказать.
∫sвх (t −τ)h(τ)dτ ,
−∞
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ
Учреждение образования... Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники... Кафедра радиотехнических устройств...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.023 сек.
Новости и инфо для студентов