рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Изобретательство
- /
- Определение коэффициентов ряда
Реферат Курсовая Конспект
Определение коэффициентов ряда
Определение коэффициентов ряда - раздел Изобретательство, ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ Значение Коэффициентов Ck ...
Значение коэффициентов Ck
определим, пользуясь формулой
Ck =
∞
Gk (t ) 2
∞
∫s(t )Gk (t )dt .
−∞
Для вычисления ∫s(t )Gk (t )dt
−∞
воспользуемся методикой, которая приме-
нялась для вычисления интеграла от произведения Gk (t )Gn(t )
при
k ≠ n:
∞ 1
∫s(t)Gk (t)dt = 2π
−∞
∞ 1
∫S( jω)Sgk ( jω)dω = 2π
−∞
|
ωm
∫
−ωm
S( jω)∆te jωk∆t dω =
= ∆t 1
2π
∫
−ωm
S( jω)e jωk∆t dω = ∆ts(k∆t).
Пределы интегрирования приведены в соответствие с тем, что спектры
сигнала и функции Gk (t )
имеют граничную частоту ωm .
Таким образом, коэффициенты C k
∞
равны
Ck = 1
∫s(t )Gk (t )dt =
1 ∆ts(k∆t ) = s(k∆t ).
Gk (t ) 2 −∞ ∆t
Получены все данные, чтобы записать ряд
∞ ∞ sin ω
(t − k∆t )
s(t ) =
∑ Ck Gk (t ) =
k =−∞
∑
k =−∞
s(k∆t )
m
ωm(t − k∆t )
. (3.27)
Это и есть ряд Котельникова.
Ограничение спектра сигнала наивысшей частотой ωm
свидетельствует о
непрерывности сигнала. Это значит, что ряд сходится к функции
бом значении t .
s(t )
при лю-
Ширина спектра сигнала
s(t )
и ширина спектра базисных функций
Gk (t ),
используемых для представления этого сигнала рядом Котельникова, одинако-
вы и равны
∆ω = 2ωm
(рис. 3.20). Это соотношение определяется предельным
случаем основного условия, фигурирующего в теореме Котельникова, а именно
∆t =1 2 f m .
Интервал ∆t
между выборками при дискретизации сигнала можно взять
меньше, чем
1 2 f m . Тогда ширина спектра
Sgk (jω)
базисной функции будет
больше, чем ширина спектра
S( jω)
сигнала. Это приведет к повышению точ-
ности воспроизведения сигнала, если граничная частота спектра сигнала опре-
делялась путем отсечения составляющих, выходящих за ее пределы. Заметим,
что для сигналов с конечной длительностью граничная частота определяется всегда приблизительно, так как их спектр занимает бесконечную полосу частот.
Если же интервал между выборками взять больше, чем 1 2 f m , то ширина
спектра
Sgk (jω)
будет меньше ширины спектра сигнала, что может привести к
искажению сигнала при его восстановлении по выборкам.
Таким образом, уменьшение интервала между выборками при дискретиза-
ции сигнала с ограниченным спектром по сравнению с
∆t = 1 2 f m
допустимо.
При практическом применении дискретизации сигнала выбирают интервал дискретизации в 2 – 5 раз меньше, чем 1 2 f m .
3.6.3. Дискретизация сигнала с конечной длительностью
Сигнал с конечной длительностью τс
имеет спектр с бесконечно большой
шириной. Однако на практике всегда можно определить частоту, вне которой составляющие спектра обладают малой энергией по сравнению с энергией сиг-
нала. Условно эту частоту можно считать граничной частотой
f m спектра. В
этом случае сигнал длительностью τс
приближенно можно представить неко-
торым числом N выборок с шагом
|
N ≥
∆t
∆t =1 2 f m , причем
+1= 2 f mτc +1.
Число
2 f mτc
называют иногда числом степеней свободы сигнала, или ба-
зой сигнала.
Таким образом, сигнал с конечной длительностью можно аппроксимиро-
вать рядом Котельникова с конечным числом членов, т.е.
s(t ) =
N
∑ s(k∆t )
sin ωm
(t − k∆t )
.
k =0
ωm (t − k∆t )
Сигнал
s(t ), представленный в виде такого ряда, воспроизводится точно
только в точках отсчетов
k∆t . В промежутках между отсчетами возникает
ошибка аппроксимации, которая возрастает у краев интервала τс . С увеличени-
ем граничной частоты
нее.
f m возрастает база сигнала и он аппроксимируется точ-
На рис. 3.21 показан пример аппроксимации прямоугольного импульса при
различных
f m.
В первом случае (рис. 3.21,а) граничную частоту приняли на уровне час-
тотного предела первого лепестка амплитудного спектра сигнала, т.е.
f m =1 τc . При этом
N = 2 f mτc +1 = 3 . Во втором случае (рис. 3.21,б) – на
уровне второго лепестка спектра, т.е.
f m = 2 τc . При этом
N = 2 f mτc +1 = 5.
Рис. 3.21. Дискретизация сигнала конечной длительности
Как видно из рисунка, точность аппроксимации сигнала возрастает с уве- личением граничной частоты спектра, которая учитывается при определении количества слагаемых ряда Котельникова.
3.6.4. Спектр дискретизированного сигнала
В процессе дискретизации аналогового сигнала
s(t )
формируется дискре-
тизированный сигнал
sд(t ), представляющий собой совокупность отсчетных
значений
s(k∆t )
в дискретные моменты времени. Определим связь спектра
S( jω)
аналогового сигнала со спектром
Sд(jω)
дискретизированного сигнала.
Дискретизированный сигнал можно представить в виде последовательно-
сти δ -функций, взвешенных значениями отсчетов
(рис. 3.22), т.е.
s(k∆t )
аналогового сигнала
sд(t ) =
∞
∑ s(n∆t )δ(t − n∆t ). (3.28)
n=−∞
Учитывая, что δ(t − n∆t ) ≠ 0
только при t = n∆t , можно записать
∞
sд(t ) = s(t )
∑ δ(t − n∆t ).
n=−∞
Сумма в данном выражении – это периодическая функция, которая может быть представлена в виде следующего ряда Фурье:
∞
∑δ(t − n∆t) =
n=−∞
∞
∑Cke jkωдt .
k=−∞
Коэффициенты ряда равны
∆t 2
Ck = 1
∫ δ(t)e− jkωдtdt = 1 ,
где
ωд = 2π
∆t
∆t −∆t 2 ∆t
– частота дискретизации.
При вычислении коэффициентов
Ck
учтено селектирующее свойство δ -
функции и тот факт, что в интервал интегрирования
(−∆t
2, ∆t 2)
попадает
только одна δ -функция при
n = 0.
Таким образом, периодическая последовательность δ -функций может
быть представлена в виде следующего комплексного ряда Фурье:
∞ 1
∑ δ(t − n∆t) =
∞
∑ e jkωдt .
Тогда
n=−∞
∞
∆t k =−∞
∞ ∞
sд(t) = s(t)
∑δ (t − n∆t ) = s(t)
∑ e jkω дt = 1
∑ s(t)e jkωдt .
n = −∞
∆t k = −∞
∆t k = −∞
Как следует из свойств преобразования Фурье, умножение сигнала на
e jkωдt
приводит к сдвигу спектра этого сигнала вправо на величину
kωд . По-
этому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим обра-
зом:
Sд( jω ) = 1
∆t
∞
∑ S[ j(ω − kωд)]. (3.29)
k =−∞
Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой
бесконечный ряд сдвинутых копий спектра аналогового сигнала
сдвига соседних копий спектра равна частоте дискретизации ωд
s(t ) . Величина
(рис. 3.22).
Рис. 3.22. Дискретизированный сигнал и его спектр
Характер спектра дискретизированного сигнала демонстрирует частотно- временную дуальность преобразования Фурье: периодический сигнал – дис- кретный спектр, периодический спектр – дискретный сигнал.
Способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам наглядно демонстрирует рис. 3.22. Для этого необходимо пропустить дискрет- ный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Амплитудно-частотная характеристика тако- го фильтра показана пунктиром.
Точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из рис. 3.22 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в 2 раза превышала верхнюю граничную частоту в
спектре сигнала, т.е.
тельникова).
ωд ≥ 2ωm ⇒ ∆t ≤ 1 2 f m
(см. формулировку теоремы Ко-
Заметим, что представление сигнала в форме (3.28) упрощает спектраль-
ный анализ дискретных сигналов. Спектральную плотность
S д( jω)
можно оп-
ределить непосредственно по совокупности временных отсчетов без обращения к спектру аналогового сигнала:
∞ ∞ ∞
Sд( jω) =
∫sд(t)e− jωt dt =
−∞
∫ ∑ δ(t − n∆t)s(n∆t)e−jωt dt =
−∞ n=−∞
∞
= ∑ s(n∆t)
n=−∞
∞
∫δ(t − n∆t )e− jωt dt =
−∞
∞
∑ s(n∆t)e−jω n∆t .
n=−∞
Следует отметить, что из-за наличия в формуле (3.29) множителя 1/∆t спектральная плотность дискретизированного сигнала имеет размерность, сов- падающую с размерностью сигнала.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ
Учреждение образования... Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники... Кафедра радиотехнических устройств...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение коэффициентов ряда
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.026 сек.
Новости и инфо для студентов