рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определение коэффициентов ряда

Определение коэффициентов ряда - раздел Изобретательство, Теоретические основы радиотехники     Значение Коэффициентов Ck ...

 


 

Значение коэффициентов Ck


 

определим, пользуясь формулой


Ck =


 

Gk (t ) 2


s(t )Gk (t )dt .

−∞


Для вычисления ∫s(t )Gk (t )dt

−∞


воспользуемся методикой, которая приме-


нялась для вычисления интеграла от произведения Gk (t )Gn(t )


при


k n:


∞ 1

s(t)Gk (t)dt = 2π

−∞


∞ 1

S( jω)Sgk ( jω)dω = 2π

−∞

*
ω m


ωm

−ωm


S( jω)∆te jωkt dω =


= ∆t 1


−ωm


S( jω)e jωkt dω = ∆ts(kt).


Пределы интегрирования приведены в соответствие с тем, что спектры


сигнала и функции Gk (t )


имеют граничную частоту ωm .


Таким образом, коэффициенты C k


равны


Ck = 1


s(t )Gk (t )dt =


1 ∆ts(kt ) = s(kt ).


Gk (t ) 2 −∞ ∆t

Получены все данные, чтобы записать ряд


∞ ∞ sin ω


(t kt )


s(t ) =


Ck Gk (t ) =

k =−∞


k =−∞


s(kt )


m

ωm(t kt )


. (3.27)


Это и есть ряд Котельникова.

Ограничение спектра сигнала наивысшей частотой ωm


 

 

свидетельствует о


непрерывности сигнала. Это значит, что ряд сходится к функции

бом значении t .


s(t )


при лю-


Ширина спектра сигнала


s(t )


и ширина спектра базисных функций


Gk (t ),


используемых для представления этого сигнала рядом Котельникова, одинако-


вы и равны


∆ω = 2ωm


(рис. 3.20). Это соотношение определяется предельным


случаем основного условия, фигурирующего в теореме Котельникова, а именно

t =1 2 f m .


Интервал ∆t


между выборками при дискретизации сигнала можно взять


меньше, чем


1 2 f m . Тогда ширина спектра


Sgk (jω)


базисной функции будет


больше, чем ширина спектра


S( jω)


сигнала. Это приведет к повышению точ-


ности воспроизведения сигнала, если граничная частота спектра сигнала опре-

делялась путем отсечения составляющих, выходящих за ее пределы. Заметим,


что для сигналов с конечной длительностью граничная частота определяется всегда приблизительно, так как их спектр занимает бесконечную полосу частот.

Если же интервал между выборками взять больше, чем 1 2 f m , то ширина


спектра


Sgk (jω)


будет меньше ширины спектра сигнала, что может привести к


искажению сигнала при его восстановлении по выборкам.

Таким образом, уменьшение интервала между выборками при дискретиза-


ции сигнала с ограниченным спектром по сравнению с


t = 1 2 f m


допустимо.


При практическом применении дискретизации сигнала выбирают интервал дискретизации в 2 – 5 раз меньше, чем 1 2 f m .

 

 

3.6.3. Дискретизация сигнала с конечной длительностью

 


Сигнал с конечной длительностью τс


имеет спектр с бесконечно большой


шириной. Однако на практике всегда можно определить частоту, вне которой составляющие спектра обладают малой энергией по сравнению с энергией сиг-


нала. Условно эту частоту можно считать граничной частотой


f m спектра. В


этом случае сигнал длительностью τс


приближенно можно представить неко-


торым числом N выборок с шагом

c
τ

N

t


t =1 2 f m , причем

+1= 2 f mτc +1.


Число


2 f mτc


называют иногда числом степеней свободы сигнала, или ба-


зой сигнала.

Таким образом, сигнал с конечной длительностью можно аппроксимиро-

вать рядом Котельникова с конечным числом членов, т.е.

 

 


s(t ) =


N

s(kt )


sin ωm


(t kt )

.


k =0


ωm (t kt )


 

 


Сигнал


s(t ), представленный в виде такого ряда, воспроизводится точно


только в точках отсчетов


kt . В промежутках между отсчетами возникает


ошибка аппроксимации, которая возрастает у краев интервала τс . С увеличени-


ем граничной частоты

нее.


f m возрастает база сигнала и он аппроксимируется точ-


На рис. 3.21 показан пример аппроксимации прямоугольного импульса при


различных


f m.


В первом случае (рис. 3.21,а) граничную частоту приняли на уровне час-

тотного предела первого лепестка амплитудного спектра сигнала, т.е.


f m =1 τc . При этом


N = 2 f mτc +1 = 3 . Во втором случае (рис. 3.21,б) – на


уровне второго лепестка спектра, т.е.


f m = 2 τc . При этом


N = 2 f mτc +1 = 5.


 

Рис. 3.21. Дискретизация сигнала конечной длительности

 

 

Как видно из рисунка, точность аппроксимации сигнала возрастает с уве- личением граничной частоты спектра, которая учитывается при определении количества слагаемых ряда Котельникова.

 

 

3.6.4. Спектр дискретизированного сигнала

 

 


В процессе дискретизации аналогового сигнала


s(t )


формируется дискре-


тизированный сигнал


(t ), представляющий собой совокупность отсчетных


значений


s(kt )


в дискретные моменты времени. Определим связь спектра


S( jω)


аналогового сигнала со спектром


(jω)


дискретизированного сигнала.


Дискретизированный сигнал можно представить в виде последовательно-


сти δ -функций, взвешенных значениями отсчетов

(рис. 3.22), т.е.


s(kt )


аналогового сигнала


(t ) =


s(nt )δ(t nt ). (3.28)

n=−∞


Учитывая, что δ(t nt ) ≠ 0


только при t = nt , можно записать


(t ) = s(t )


∑ δ(t nt ).

n=−∞


Сумма в данном выражении – это периодическая функция, которая может быть представлена в виде следующего ряда Фурье:


∑δ(t nt) =

n=−∞


Cke jkωдt .

k=−∞


Коэффициенты ряда равны


t 2


Ck = 1


∫ δ(t)ejkωдtdt = 1 ,


 

где


ωд = 2π

t


t −∆t 2 ∆t

– частота дискретизации.


При вычислении коэффициентов


Ck


учтено селектирующее свойство δ -


функции и тот факт, что в интервал интегрирования


(−∆t


2, ∆t 2)


попадает


только одна δ -функция при


n = 0.


Таким образом, периодическая последовательность δ -функций может

быть представлена в виде следующего комплексного ряда Фурье:


∞ 1

∑ δ(t nt) =


e jkωдt .


 

 

Тогда


n=−∞


t k =−∞

∞ ∞


(t) = s(t)


∑δ (t nt ) = s(t)


e jkω дt = 1


s(t)e jkωдt .


n = −∞


t k = −∞


t k = −∞


Как следует из свойств преобразования Фурье, умножение сигнала на


e jkωдt


приводит к сдвигу спектра этого сигнала вправо на величину


kωд . По-


этому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим обра-

зом:


( jω ) = 1

t


S[ j(ω − kωд)]. (3.29)

k =−∞


Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой


бесконечный ряд сдвинутых копий спектра аналогового сигнала

сдвига соседних копий спектра равна частоте дискретизации ωд


s(t ) . Величина

(рис. 3.22).


 

 

Рис. 3.22. Дискретизированный сигнал и его спектр


Характер спектра дискретизированного сигнала демонстрирует частотно- временную дуальность преобразования Фурье: периодический сигнал – дис- кретный спектр, периодический спектр – дискретный сигнал.

Способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам наглядно демонстрирует рис. 3.22. Для этого необходимо пропустить дискрет- ный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Амплитудно-частотная характеристика тако- го фильтра показана пунктиром.

Точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из рис. 3.22 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в 2 раза превышала верхнюю граничную частоту в


спектре сигнала, т.е.

тельникова).


ωд ≥ 2ωm ⇒ ∆t ≤ 1 2 f m


(см. формулировку теоремы Ко-


Заметим, что представление сигнала в форме (3.28) упрощает спектраль-


ный анализ дискретных сигналов. Спектральную плотность


S д( jω)


можно оп-


ределить непосредственно по совокупности временных отсчетов без обращения к спектру аналогового сигнала:

∞ ∞ ∞


( jω) =


(t)ejωt dt =

−∞


∫ ∑ δ(t nt)s(nt)ejωt dt =

−∞ n=−∞


= ∑ s(nt)

n=−∞


∫δ(t nt )ejωt dt =

−∞


s(nt)ejω nt .

n=−∞


Следует отметить, что из-за наличия в формуле (3.29) множителя 1/∆t спектральная плотность дискретизированного сигнала имеет размерность, сов- падающую с размерностью сигнала.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретические основы радиотехники

Учреждение образования.. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники.. Кафедра радиотехнических устройств..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение коэффициентов ряда

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Радиотехника и информатика
    Для современного общества важнейшей является проблема использования информационных технологий во всех сферах человеческой деятельности. По своей значимости и актуаль

Диоинформатика
Информационный аспект работы любой системы предполагает использо- вание определенного материального носителя информации. Физический про- цесс, являющийся функцией некоторых параметров и используемы

Передающее устройство
Передающее устройство осуществляет преобразование передаваемого со- общения и приведение его к виду, пригодному для передачи в свободное про- странство с помощью антенн. С этой целью в состав устро

Приемное устройство
Высокочастотные радиосигналы, улавливаемые приемной антенной, по- ступают в приемное устройство. Приемное устройство осуществляет соответст- вующие преобразования принятого высокочастотного сигнала

Проблемы обнаружения и оптимальной обработки сигналов
Одной из основных задач радиолокационного приема является задача об- наружения. Суть этой задачи – определить, содержит ли принимаемое колеба- ние отраженный сигнал. Задача статистическая, то есть

Проблемы оптимизации и адаптации
Проблемы оптимизации и адаптации решаются при проектировании и экс- плуатации РТС. При оптимизации синтезируют наилучшую в определенном смысле функциональную и алгоритмическую структуру РТС, опирая

Математические модели сигналов
Для того чтобы сигналы являлись объектами теоретического изучения и анализа, необходимо иметь их математические модели. Математическая модель сигнала – это формализованное его представление в

Дельта-функция
Дельта-функция (δ -функция, функция Дирака) – это математическая мо- дель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по вели- чине амплитуду и нулевую д

Функция единичного скачка
τ → 0τ Функция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс рез- кого (мгновенного) перехода ф

Характеристики сигналов
    Для сигнала, существующего в интервале ∆t = t2 −t1 , наиболее важными являются следующие характерис

Геометрические методы в теории сигналов
    В теории множеств имеется понятие действительного векторного про- странства, под которым понимается непустое множество V , для элементов ко- торого опр

Определение спектров некоторых сигналов
    3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса       Сигнал, описываемый функцией вида

Корреляционный анализ сигналов
    3.5.1. Общие положения     При решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степе

Свойства взаимокорреляционной функции
1. Значения R12 (τ) и R 21(τ) не изменятся, если вместо задержки сигнала s2 (t ) или

Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов
(теореме Котельникова)     3.6.1. Теорема Котельникова     В настоящее время широко применяются циф

Рез равные промежутки времени
∆t ≤1 2 f m . Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал s(t), спектр ко- торог

Радиосигналы с амплитудной модуляцией
    4.2.1. Амплитудно-модулированные сигналы     Амплитудная модуляция (АМ; английский термин – amplitude modulation) являетс

Радиосигналы с угловой модуляцией
    4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции     При угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происхо- дит изменен

Импульсная модуляция
    4.4.1. Виды импульсной модуляции     В рассмотренных выше видах модуляции (АМ, ФМ, ЧМ) носителем пере- даваемой информаци

Узкополосные сигналы
    4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах     В различных системах передачи информации широко применяются радио- сиг

Основные характеристики линейных цепей
    5.2.1. Характеристики в частотной области     Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в часто

Дифференцирующая и интегрирующая цепи
    На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде по- следовательной RC -цепи с постоянной времени τ = RC

Фильтр нижних частот
    В качестве фильтра нижних частот во многих радиотехнических устройст- вах (выпрямителях, детекторах и др.) применяется схема, изображенная на рис. 5.3,а. Ча

Параллельный колебательный контур
    Параллельный колебательный контур – это частотно-избирательная цепь, образованная параллельным соединением индуктивности L и емкости C . Ак-

Усилители
    Для увеличения мощности сигналов с сохранением их формы используют усилители. Принцип действия усилителей основан на преобразовании энергии источника питания в энерг

Область нижних частот
В области нижних частот сопротивление емкости xc =1 ωC     имеет боль- шое значение по сравнению со значения

Область верхних частот
В области верхних частот сопротивления емкостей уменьшаются по срав- нению с их значениями в области нижних и средних частот. Поэтому шунти- рующим действием емкостей

Положительная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ , где k – целое число, т.е. при поступлении на вход основной цепи сигнала

Отрицательная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω)+ϕβ (ω) = (2k +1)π , т.е. при поступле- нии на вход основной цепи сигнала обратной связи в проти

Реактивная и комплексная обратная связь
Реактивная обратная связь устанавливается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ +π

Постановка задачи
    Анализ любой радиотехнической цепи сводится к установлению зависимо- сти между входным сигналом и сигналом, формируемым на выходе. В общем случае радиотехническая це

Точные методы анализа линейных цепей
    6.2.1. Классический метод     Классический метод основан на составлении и решении линейного диффе- ренциального уравнения

Прохождение периодического сигнала через линейную цепь
Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид ∞     1 T 2

Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье ∞ S( jω) = ∫

Приближенные методы анализа линейных цепей
    6.3.1. Приближенный спектральный метод     Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффек-

Суть метода
Рассматриваем прохождение сигнала с частотной модуляцией через узко- полосную цепь. Выходной сигнал определяется для фиксированного значения частоты ω(t

Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через избирательную цепь
    Определим сигнал, формируемый резонансным усилителем, при поступле- нии на его вход АМ–сигнала с тональной модуляцией. Частотная характеристика рез

Свойства и характеристики нелинейных цепей
    При проектировании большинства радиотехнических устройств возникает необходимость преобразования спектра полезного сигнала. К их числу относят- ся устройства, которы

Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов
Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время д

Методы анализа нелинейных цепей
    Используются следующие методы анализа нелинейных цепей: 1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить ча-

Общее решение задачи анализа нелинейной цепи
    Рассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном уст- ройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2. На вход устройства поступает гармоничес

Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики
    7.5.1. Гармонический сигнал на входе     Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается

Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики
    При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целе- сообразно применить ме

Нелинейное резонансное усиление сигналов
    Усилитель – это устройство, преобразующее энергию источника питания в энергию сигнала. Управление преобразованием осуществляется входным сиг- налом

Умножение частоты
В передающих и приемных трактах систем связи, а также в некоторых из- мерительных устройствах широко применяется нелинейное преобразование гармонического колебания, в результате которого часто

Амплитудная модуляция
    8.3.1. Общие сведения об амплитудной модуляции     Амплитудная модуляция – это процесс формирования амплитудно-моду- лиро

Амплитудное детектирование
    8.4.1. Общие сведения о детектировании     Детектирование (демодуляция) – это процесс преобразования высокочас- тотного м

Выпрямление колебаний
    8.5.1. Общие сведения о выпрямителях     Радиотехнические устройства выполняют свои функции при наличии энер- гии, поступ

Угловая модуляция
    8.6.1. Общие принципы получения сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией имеют вид

Детектирование сигналов с угловой модуляцией
    8.7.1. Общие принципы детектирования сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией, имеющие вид

Преобразование частоты
    8.8.1. Принцип преобразования частоты Преобразование частоты сигнала – это процесс, который обеспечивает ли- нейный перенос спектра сигнала на о

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги