Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов - раздел Изобретательство, ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ Характеристики Реальных Нелинейных Элементов, Которые Определяют Обычно ...
Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и рас- чета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е. пред- ставление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналити- ческого выражения для характеристик, представленных графически или таб- лично, называется аппроксимацией.
При аппроксимации решаются следующие проблемы:
1. Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона из-
менения входных сигналов.
2. Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация да- ет приблизительное представление характеристики в виде какого-либо анали- тического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике. Чаще всего используются:
показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция
~(
t )
не должна отличаться от заданной функции
f (t )
более чем на некоторое
число ε , т.е.
~(t ) −
f (
t )
≤ ε ;
показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая
функция
~(t )
не должна отличаться от заданной функции
f (t)
в среднем квад-
ратическом приближении более чем на некоторое число ε , т.е.
1 ∆
t
∆t ∫
[~(t ) −
f (t )]2dt
≤ ε ;
узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция
~(
t )
ках.
должна совпадать с заданной функцией
f (t )
в некоторых выбранных точ-
Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для ап- проксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусоч- но-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием пока- зательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита и др.).
7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом
Нелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точки
U 0 представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:
i(u) = a0 + a1(u −U0 )+ a2 (u −U0 )2
+...+ an(u −U0 )n.
Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксима-
ции. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необхо-
димой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй и
третьей степени. Коэффициенты
a0 , a1, a2 ,..., an
– это числа, которые доста-
точно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.
Пример.
Аппроксимировать представленную на рис. 7.1,а ВАХ i =
f (u)
в окрестно-
сти рабочей точки U 0 = 0,4 В
номом вида
степенным полиномом второй степени, т.е. поли-
i = a0
+ a1
(u − 0,4) + a2
(u − 0,4)2 .
Выберем область аппроксимации ∆u
от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи
необходимо определить три коэффициента
a0 ,a1,a2 . Поэтому ограничимся
тремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), для которых составляем систему трех уравнений:
0,07 = a0 + a1 (0,2 − 0,4) + a2 (0,2 − 0,4) 2 ;
0,25 = a0 + a1(0,4 − 0,4) + a2 (0,4 − 0,4)2 ;
0,53 = a0 + a1 (0,6 − 0,4) + a2 (0,6 − 0,4)2 .
а б
Рис. 7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора:
а – степенным полиномом; б – тремя отрезками прямых
Решая систему уравнений, определяем
a0 = 0,25 мА ,
a1 =1,1 5 мА В ,
a2 =1,25 мА В
. Следовательно, аналитическое выражение, описывающее гра-
фик ВАХ, имеет вид
i = 0,25 +1,15(u − 0,4) +1,25(u − 0,4)2 .
Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основ- ном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных от- клонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации может значительно ухудшиться.
Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией и возникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффици-
енты a n
вычисляются по известной формуле [1,10]:
1 ⎡d n i(u)⎤
an =
⎢
n!⎢⎣
du n
⎥ .
⎦⎥u=U0
Нетрудно заметить, что
a1 =
⎡di(u)⎤
⎢⎣ du ⎥⎦
u=U0
представляет собой крутизну
ВАХ в рабочей точке. Значение крутизны существенно зависит от положения рабочей точки.
В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Макло-
рена
i(u) = a0 + a1u + a2 u 2
+... + an u n .
7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация
Если входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХ можно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремя отрезками прямых.
Математическая формула аппроксимированной ВАХ
⎧ 0 при
⎪
u < u1 ,
i = ⎨S (u −u1) при
u1 ≤ u ≤ u2 ,
⎪
i1
при
u > u2 .
Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нели-
нейного элемента: напряжением начала характеристики
u1 и ее крутизной S .
Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.
Все темы данного раздела:
Радиотехника и информатика
Для современного общества важнейшей является проблема использования информационных технологий во всех сферах человеческой деятельности. По своей значимости и актуаль
Диоинформатика.
Информационный аспект работы любой системы предполагает использо- вание определенного материального носителя информации. Физический про- цесс, являющийся функцией некоторых параметров и используемы
Передающее устройство
Передающее устройство осуществляет преобразование передаваемого со- общения и приведение его к виду, пригодному для передачи в свободное про- странство с помощью антенн. С этой целью в состав устро
Приемное устройство
Высокочастотные радиосигналы, улавливаемые приемной антенной, по- ступают в приемное устройство. Приемное устройство осуществляет соответст- вующие преобразования принятого высокочастотного сигнала
Проблемы обнаружения и оптимальной обработки сигналов
Одной из основных задач радиолокационного приема является задача об- наружения. Суть этой задачи – определить, содержит ли принимаемое колеба- ние отраженный сигнал. Задача статистическая, то есть
Проблемы оптимизации и адаптации
Проблемы оптимизации и адаптации решаются при проектировании и экс- плуатации РТС. При оптимизации синтезируют наилучшую в определенном смысле функциональную и алгоритмическую структуру РТС, опирая
Математические модели сигналов
Для того чтобы сигналы являлись объектами теоретического изучения и анализа, необходимо иметь их математические модели. Математическая модель сигнала – это формализованное его представление в
Дельта-функция
Дельта-функция (δ -функция, функция Дирака) – это математическая мо-
дель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по вели-
чине амплитуду и нулевую д
Функция единичного скачка
τ → 0τ
Функция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс рез- кого (мгновенного) перехода ф
Характеристики сигналов
Для сигнала, существующего в интервале
∆t = t2 −t1 , наиболее важными
являются следующие характерис
Геометрические методы в теории сигналов
В теории множеств имеется понятие действительного векторного про- странства, под которым понимается непустое множество V , для элементов ко- торого опр
Определение спектров некоторых сигналов
3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса
Сигнал, описываемый функцией вида
Корреляционный анализ сигналов
3.5.1. Общие положения
При решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степе
Свойства взаимокорреляционной функции
1. Значения
R12 (τ)
и R 21(τ)
не изменятся, если вместо задержки сигнала
s2 (t )
или
Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов
(теореме Котельникова)
3.6.1. Теорема Котельникова
В настоящее время широко применяются циф
Рез равные промежутки времени
∆t ≤1 2 f m .
Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал
s(t), спектр ко-
торог
Определение коэффициентов ряда
Значение коэффициентов Ck
определим, пользуясь формулой
Ck =
∞
Радиосигналы с амплитудной модуляцией
4.2.1. Амплитудно-модулированные сигналы
Амплитудная модуляция (АМ; английский термин – amplitude modulation) являетс
Радиосигналы с угловой модуляцией
4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции
При угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происхо- дит изменен
Импульсная модуляция
4.4.1. Виды импульсной модуляции
В рассмотренных выше видах модуляции (АМ, ФМ, ЧМ) носителем пере- даваемой информаци
Узкополосные сигналы
4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах
В различных системах передачи информации широко применяются радио- сиг
Основные характеристики линейных цепей
5.2.1. Характеристики в частотной области
Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в часто
Дифференцирующая и интегрирующая цепи
На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде по-
следовательной RC -цепи с постоянной времени τ
= RC
Фильтр нижних частот
В качестве фильтра нижних частот во многих радиотехнических устройст- вах (выпрямителях, детекторах и др.) применяется схема, изображенная на рис. 5.3,а.
Ча
Параллельный колебательный контур
Параллельный колебательный контур – это частотно-избирательная цепь,
образованная параллельным соединением индуктивности L и емкости C . Ак-
Усилители
Для увеличения мощности сигналов с сохранением их формы используют усилители. Принцип действия усилителей основан на преобразовании энергии источника питания в энерг
Область нижних частот
В области нижних частот сопротивление емкости
xc =1 ωC
имеет боль-
шое значение по сравнению со значения
Область верхних частот
В области верхних частот сопротивления емкостей уменьшаются по срав-
нению с их значениями в области нижних и средних частот. Поэтому шунти-
рующим действием емкостей
Положительная обратная связь
Обеспечивается при условии
ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ , где k – целое число, т.е.
при поступлении на вход основной цепи сигнала
Отрицательная обратная связь
Обеспечивается при условии
ϕ(ω)+ϕβ (ω) = (2k +1)π , т.е. при поступле-
нии на вход основной цепи сигнала обратной связи в проти
Реактивная и комплексная обратная связь
Реактивная обратная связь устанавливается при условии
ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ +π
Постановка задачи
Анализ любой радиотехнической цепи сводится к установлению зависимо- сти между входным сигналом и сигналом, формируемым на выходе. В общем случае радиотехническая це
Точные методы анализа линейных цепей
6.2.1. Классический метод
Классический метод основан на составлении и решении линейного диффе- ренциального уравнения
Прохождение периодического сигнала через линейную цепь
Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид
∞
1 T 2
Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье
∞
S( jω) =
∫
Приближенные методы анализа линейных цепей
6.3.1. Приближенный спектральный метод
Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффек-
Суть метода
Рассматриваем прохождение сигнала с частотной модуляцией через узко-
полосную цепь. Выходной сигнал определяется для фиксированного значения
частоты
ω(t
Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через избирательную цепь
Определим сигнал, формируемый резонансным усилителем, при поступле-
нии на его вход АМ–сигнала с тональной модуляцией.
Частотная характеристика рез
Свойства и характеристики нелинейных цепей
При проектировании большинства радиотехнических устройств возникает необходимость преобразования спектра полезного сигнала. К их числу относят- ся устройства, которы
Методы анализа нелинейных цепей
Используются следующие методы анализа нелинейных цепей:
1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить ча-
Общее решение задачи анализа нелинейной цепи
Рассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном уст- ройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2. На вход устройства поступает гармоничес
Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики
7.5.1. Гармонический сигнал на входе
Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается
Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики
При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целе- сообразно применить ме
Нелинейное резонансное усиление сигналов
Усилитель – это устройство, преобразующее энергию источника питания в энергию сигнала. Управление преобразованием осуществляется входным сиг-
налом
Умножение частоты
В передающих и приемных трактах систем связи, а также в некоторых из- мерительных устройствах широко применяется нелинейное преобразование гармонического колебания, в результате которого часто
Амплитудная модуляция
8.3.1. Общие сведения об амплитудной модуляции
Амплитудная модуляция – это процесс формирования амплитудно-моду- лиро
Амплитудное детектирование
8.4.1. Общие сведения о детектировании
Детектирование (демодуляция) – это процесс преобразования высокочас- тотного м
Выпрямление колебаний
8.5.1. Общие сведения о выпрямителях
Радиотехнические устройства выполняют свои функции при наличии энер- гии, поступ
Угловая модуляция
8.6.1. Общие принципы получения сигналов с угловой модуляцией
Радиосигналы с угловой модуляцией имеют вид
Детектирование сигналов с угловой модуляцией
8.7.1. Общие принципы детектирования сигналов с угловой модуляцией
Радиосигналы с угловой модуляцией, имеющие вид
Преобразование частоты
8.8.1. Принцип преобразования частоты
Преобразование частоты сигнала – это процесс, который обеспечивает ли- нейный перенос спектра сигнала на о
Новости и инфо для студентов