рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Корреляционный анализ сигналов

Корреляционный анализ сигналов - раздел Изобретательство, Теоретические основы радиотехники     3.5.1. Общие Положения  ...

 

 

3.5.1. Общие положения

 

 

При решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степень подобия различных сигналов или сигнала и его копии, сдвинутой на определенное время. Такая проблема возникает, например, в радиолокации при решении задачи обнаружения полезных сигналов (сигна- лов, отраженных от цели) на фоне шумов. В результате решения этой задачи в рамках линейных систем синтезирован оптимальный обнаружитель сигналов, структура которого содержит согласованный фильтр или корреляционный при- емник. Алгоритм работы подобного обнаружителя предполагает вычисление функции [11]


 

где


q(T,τ) = 2

W0

W0 – энергетический спектр шума;


T

s(t)ε(t,τ)dt ,


T – интервал времени, в пределах которого осуществляется обработка сме-

си сигнала и шума;


s(t )


– полезный сигнал;


ε(t,τ)


– отраженный от цели сигнал, представляющий собой сумму задер-


жанного на τ полезного сигнала и шума


n(t ), т.е.


 

 

ε(t,τ) = Θ ∗ s(t −τ)+ n(t ).


Здесь Θ – случайная величина, причем


Θ = 0, если полезный сигнал от-


сутствует, и


Θ = 1, если сигнал присутствует.


Задача обнаружителя – определить значение Θ . Для этого результат вы-


числения функции


q(T,τ)


сравнивается с порогом h . Если


q(T,τ) > h, то


Θ = 1


(цель присутствует), если


q(T,τ) < h, то


Θ = 0


(цели нет).


Как видно из рассмотренного алгоритма, оптимальный обнаружитель сиг-


налов при


n(t ) = 0


предусматривает расчет функции

T

R(T,τ) = ∫s(t )s(t −τ)dt .


Эта функция в общем случае имеет вид


R(τ) =


s(t )s(t −τ)dt

−∞


(3.17)


и называется автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала


s(t ). Как видно из


формулы, АКФ – это свертка сигнала


s(t )


и его зеркального отображения


s(−t ),


т.е.


R(τ) = s(τ)⊗ s(−τ). Если сигнал – напряжение (размерность B ), то раз-


 

мерность АКФ –


B 2c .


Если в формуле (3.17) фигурируют различные сигналы


s1(t) и


s2 (t) , то та-


кая функция называется взаимокорреляционной. Она обозначается как


R12 (τ)


или


R21(τ)


и имеет вид

∞ ∞


R12(τ) =


s1(t )s2(t −τ)dt ;

−∞


R21(τ) =


s1(t −τ)s2(t )dt . (3.18)

−∞


Автокорреляционную и взаимокорреляционную функции иногда называют просто корреляционной функцией, различая их по содержанию рассматриваемо- го вопроса.

Для сигналов, представленных в комплексной форме, автокорреляционная и взаимокорреляционная функции определяются следующим образом:


R(τ) =


s(t)s∗(t −τ)dt ;

−∞


R12


(τ) =


s1


(t )s∗(t −τ)dt ;


R21


(τ) =


s ∗(t −τ)s2


(t )dt .


−∞ − ∞

 

 

3.5.2. Свойства автокорреляционной функции

 

 

Будем полагать, что исследуемый сигнал является импульсным с конечной длительностью, так что интеграл вида (3.17) существует.

Для фиксированного момента времени τ (фиксированного сдвига копии

относительно оригинала) АКФ равна площади функции, описывающей произ-


ведение


s(t )s(t −τ), то есть общей (совпадающей по оси t) площади двух сигна-


лов. При этом АКФ характеризует степень подобия сигнала


s(t )


и его смещен-


ной во времени копии


s(t −τ), а также положение сигналов на оси времени.


 
Кроме того, автокорреляционная функция обладает следующими свойст-

вами.


1. При τ


= 0 автокорреляционная функция равна энергии сигнала, т.е.

R(0) = ∫s 2(t )dt = Э .

−∞


2. Осуществив замену переменной x = t −τ

легко убедиться, что


в выражении для


R(τ), можно


R(τ) =


s(t )s(t −τ)dt =

−∞


s(t )s(t +τ)dt = R(−τ).

−∞


Таким образом, автокорреляционная функция относится к классу четных функций.

3. При любом значении τ модуль АКФ не превосходит энергии сигнала,


т.е.


R(τ)


R(0) = Э, что непосредственно следует из известного неравенства


Коши–Буняковского:


s(t )s(t −τ) ≤


s(t ) ⋅


s(t −τ ,


 

где


 

s(t )


 

– норма вектора, соответствующего сигналу


 

s(t ).


4. С ростом абсолютного значения τ АКФ сигнала с конечной энергией за-


тухает, т.е.


lim

τ → ∞


R(τ) = 0.


В результате можно сделать вывод, что график АКФ – это симметричная относительно оси ординат кривая в верхней полуплоскости с центральным мак-


симумом при


τ = 0. Это также следует из физической интерпретации корреля-


ционной функции – сигнал и его копия при отсутствии временного сдвига, то


есть при τ


= 0, имеют наибольшую степень подобия.


 

 

Пример 1.

Определить математически и графически корреляционную функцию пря-

моугольного видеоимпульса.

На рис. 3.11,а,б показано взаимное расположение сигнала и его копии,


сдвинутой на время τ при τ < 0


и τ > 0. Заштрихованная область – это область,


используемая для определения произведения


s(t )s(t −τ). При этом значения


корреляционной функции при различных τ определяются выражениями:

τи


При


−τи


≤τ ≤ 0


R(τ) = ∫

τи


E2 dt = E2


и +τ).


При

 

 

При


0 ≤ τ ≤τи

τ >τи


R(τ) = ∫

τ

R(τ) = 0.


E 2 dt = E 2 (τи


−τ).


 

 

Полученные результаты можно объединить и записать


R(τ) = E2(τи


− τ )


 

при


−τи


≤τ ≤τи . (3.19)


 

в

 

 

а б

 

 


Рис. 3.11. Определение


R(τ)


прямоугольного видеоимпульса


 

Как видно из (3.19), корреляционная функция сигнала не зависит от поло-


жения


s(t )


на временной оси. График


R(τ)


представлен на рис. 3.11,в.


 

 

3.5.3. Автокорреляционная функция периодического сигнала

 

 

Периодические сигналы являются бесконечно протяженными во времени. Следовательно, эти сигналы, обладая конечной мощностью, имеют бесконечно большую энергию. Для таких сигналов АКФ, являющаяся энергетической ха- рактеристикой сигнала, должна определяться в пределах одного периода в еди- ницах средней мощности, то есть

1 T


 

где T – период сигнала.


R(τ) =

T


s(t )s(t −τ)dt ,


Так как периодический сигнал – это сигнал, удовлетворяющий условию

 

 


s(t ) = s(t + nT),


n = …,− 2,−1,0,1,2,… ,


 

 

то можно записать

T T


R(τ) =


1 1

s(t)s(t −τ)dt = ∫s(t)s(t + nT −τ)dt =R (τ − nT).


T 0 T 0

Таким образом, автокорреляционная функция периодического сигнала яв- ляется периодической функцией с периодом, равным периоду сигнала. Если сигнал-напряжение (размерность B ), то размерность АКФ периодического сиг-


нала –


B2 .


 

Пример 2.


Определить автокорреляционную функцию сигнала


s(t) = E cos(ωt +ϕ).


 

1 T 2


R(τ) = E

T

E2 T


cos(ω t +ϕ)cos[ω(t −τ) +ϕ]dt =

E2 T E2


= 2T ∫cos[ω(2t −τ) + 2ϕ]dt + 2T


∫cosωτdt =


cosωτ .


0 0

Автокорреляционная функция гармонического колебания с периодом


T = 2π ω


также является гармонической с таким же периодом. Заметим, что


АКФ гармонического колебания не зависит от его начальной фазы.

 

3.5.4. Автокорреляционная функция сигналов с дискретной структурой

 

 

Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсче- тов называется дискретизацией, а результат такого преобразования – дискрет- ным сигналом. При обработке сигналов в вычислительных устройствах его от- счеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множест- во значений. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню. Сигнал, дискретный во времени и квантованный по уровню, называется цифровым сигналом. Дискретные и цифровые сигналы – это сигналы с дискретной структурой. Такую структуру может иметь каждый импульс периодической последовательности.

Сигналы с дискретной структурой широко используются для кодирования информации при построении средств связи и средств вычислительной техники. Некоторые модели сложных сигналов при этом создаются следующим образом.

Интервал времени, соответствующий длительности сигнала, разбивается


на целое число


m > 1


промежутков, равных


t . На этих промежутках сигнал


принимает фиксированные значения, например U 0


и −U0 . Эти значения коди-


руются числами 1 и -1. Так, сигнал, изображенный на рис. 3.12, может быть за-


кодирован в виде


a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7 , где


a1 = a2


= a3


=1,


a4 = a5


= −1,


a6 =1, a7


= −1.


Автокорреляционная функция такого сигнала также определяется по фор- муле (3.17). Однако при этом необходимо иметь в виду, что операции интегри- рования соответствует в дискретном случае операция суммирования, а пере-

менная τ изменяется дискретно на величину интервала дискретизации сигнала.

При этом АКФ будет соответствовать формула


R(n) =


ak

k=−∞


ak n ,


где n – целочисленный аргумент, указывающий, на сколько позиций сдвинута копия сигнала относительно оригинала.


Автокорреляционная функция, являясь в данном случае функцией цело-

численного аргумента, обладает всеми свойствами обычной автокорреляцион-


ной функции. Так,


R(n)


– это четная функция, т.е.


R(n) =


R(−n). При нулевом


сдвиге дискретная АКФ равна энергии сигнала, т.е.


 

 

Пример 3.


R(0) =


a
2

k

k =−∞


= Э.


Для иллюстрации сказанного вычислим АКФ сигнала, соответствующего


коду Баркера при


m = 7.


 

 

Таблица 3.2


Расчет АКФ сигнала, соответствующего коду Баркера

 

 

Сигнал a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 R(τ)
s( t ) 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0 0 0  
s(t − 0) 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0 0 0 R(0) = 7
s(t − ∆t ) 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0 0 R(1) = 0
s(t − 2∆t ) 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0 R(2) = −1
s(t − 3∆t ) 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 R(3) = 0
s(t − 4∆t ) 0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 R(4) = −1
s(t − 5∆t ) 0 0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 R(5) = 0
s(t − 6∆t ) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 R(6) = −1
s(t − 7∆t ) 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 R(7) = 0

 

На рис. 3.12 приведен график АКФ этого сигнала с учетом ее четности.

Заметим, что сигналы (коды) Баркера обладают совершенными свойствами с позиций теоретической радиотехники и прикладной математики: значения их


АКФ при


n ≠ 0


не превышают 1, а при n = 0 энергия этих сигналов равна m.

 

 

3.5.5. Взаимокорреляционная функция сигналов


 

 

Для количественной оценки степени подобия двух различных сигналов


s1(t ) и


s2 (t )


служит взаимокорреляционная функция (ВКФ), которая определя-


 
ется выражениями:

R12(τ) =


s1(t )s2(t −τ)dt ;

−∞


R21(τ) =


s1(t −τ)s2(t )dt . (3.20)

−∞


 

 

а б

 

Рис. 3.12. Код Баркера (а) и его корреляционная функция (б)

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретические основы радиотехники

Учреждение образования.. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники.. Кафедра радиотехнических устройств..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Корреляционный анализ сигналов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Радиотехника и информатика
    Для современного общества важнейшей является проблема использования информационных технологий во всех сферах человеческой деятельности. По своей значимости и актуаль

Диоинформатика
Информационный аспект работы любой системы предполагает использо- вание определенного материального носителя информации. Физический про- цесс, являющийся функцией некоторых параметров и используемы

Передающее устройство
Передающее устройство осуществляет преобразование передаваемого со- общения и приведение его к виду, пригодному для передачи в свободное про- странство с помощью антенн. С этой целью в состав устро

Приемное устройство
Высокочастотные радиосигналы, улавливаемые приемной антенной, по- ступают в приемное устройство. Приемное устройство осуществляет соответст- вующие преобразования принятого высокочастотного сигнала

Проблемы обнаружения и оптимальной обработки сигналов
Одной из основных задач радиолокационного приема является задача об- наружения. Суть этой задачи – определить, содержит ли принимаемое колеба- ние отраженный сигнал. Задача статистическая, то есть

Проблемы оптимизации и адаптации
Проблемы оптимизации и адаптации решаются при проектировании и экс- плуатации РТС. При оптимизации синтезируют наилучшую в определенном смысле функциональную и алгоритмическую структуру РТС, опирая

Математические модели сигналов
Для того чтобы сигналы являлись объектами теоретического изучения и анализа, необходимо иметь их математические модели. Математическая модель сигнала – это формализованное его представление в

Дельта-функция
Дельта-функция (δ -функция, функция Дирака) – это математическая мо- дель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по вели- чине амплитуду и нулевую д

Функция единичного скачка
τ → 0τ Функция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс рез- кого (мгновенного) перехода ф

Характеристики сигналов
    Для сигнала, существующего в интервале ∆t = t2 −t1 , наиболее важными являются следующие характерис

Геометрические методы в теории сигналов
    В теории множеств имеется понятие действительного векторного про- странства, под которым понимается непустое множество V , для элементов ко- торого опр

Определение спектров некоторых сигналов
    3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса       Сигнал, описываемый функцией вида

Свойства взаимокорреляционной функции
1. Значения R12 (τ) и R 21(τ) не изменятся, если вместо задержки сигнала s2 (t ) или

Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов
(теореме Котельникова)     3.6.1. Теорема Котельникова     В настоящее время широко применяются циф

Рез равные промежутки времени
∆t ≤1 2 f m . Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал s(t), спектр ко- торог

Определение коэффициентов ряда
    Значение коэффициентов Ck   определим, пользуясь формулой Ck = ∞  

Радиосигналы с амплитудной модуляцией
    4.2.1. Амплитудно-модулированные сигналы     Амплитудная модуляция (АМ; английский термин – amplitude modulation) являетс

Радиосигналы с угловой модуляцией
    4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции     При угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происхо- дит изменен

Импульсная модуляция
    4.4.1. Виды импульсной модуляции     В рассмотренных выше видах модуляции (АМ, ФМ, ЧМ) носителем пере- даваемой информаци

Узкополосные сигналы
    4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах     В различных системах передачи информации широко применяются радио- сиг

Основные характеристики линейных цепей
    5.2.1. Характеристики в частотной области     Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в часто

Дифференцирующая и интегрирующая цепи
    На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде по- следовательной RC -цепи с постоянной времени τ = RC

Фильтр нижних частот
    В качестве фильтра нижних частот во многих радиотехнических устройст- вах (выпрямителях, детекторах и др.) применяется схема, изображенная на рис. 5.3,а. Ча

Параллельный колебательный контур
    Параллельный колебательный контур – это частотно-избирательная цепь, образованная параллельным соединением индуктивности L и емкости C . Ак-

Усилители
    Для увеличения мощности сигналов с сохранением их формы используют усилители. Принцип действия усилителей основан на преобразовании энергии источника питания в энерг

Область нижних частот
В области нижних частот сопротивление емкости xc =1 ωC     имеет боль- шое значение по сравнению со значения

Область верхних частот
В области верхних частот сопротивления емкостей уменьшаются по срав- нению с их значениями в области нижних и средних частот. Поэтому шунти- рующим действием емкостей

Положительная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ , где k – целое число, т.е. при поступлении на вход основной цепи сигнала

Отрицательная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω)+ϕβ (ω) = (2k +1)π , т.е. при поступле- нии на вход основной цепи сигнала обратной связи в проти

Реактивная и комплексная обратная связь
Реактивная обратная связь устанавливается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ +π

Постановка задачи
    Анализ любой радиотехнической цепи сводится к установлению зависимо- сти между входным сигналом и сигналом, формируемым на выходе. В общем случае радиотехническая це

Точные методы анализа линейных цепей
    6.2.1. Классический метод     Классический метод основан на составлении и решении линейного диффе- ренциального уравнения

Прохождение периодического сигнала через линейную цепь
Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид ∞     1 T 2

Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье ∞ S( jω) = ∫

Приближенные методы анализа линейных цепей
    6.3.1. Приближенный спектральный метод     Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффек-

Суть метода
Рассматриваем прохождение сигнала с частотной модуляцией через узко- полосную цепь. Выходной сигнал определяется для фиксированного значения частоты ω(t

Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через избирательную цепь
    Определим сигнал, формируемый резонансным усилителем, при поступле- нии на его вход АМ–сигнала с тональной модуляцией. Частотная характеристика рез

Свойства и характеристики нелинейных цепей
    При проектировании большинства радиотехнических устройств возникает необходимость преобразования спектра полезного сигнала. К их числу относят- ся устройства, которы

Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов
Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время д

Методы анализа нелинейных цепей
    Используются следующие методы анализа нелинейных цепей: 1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить ча-

Общее решение задачи анализа нелинейной цепи
    Рассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном уст- ройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2. На вход устройства поступает гармоничес

Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики
    7.5.1. Гармонический сигнал на входе     Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается

Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики
    При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целе- сообразно применить ме

Нелинейное резонансное усиление сигналов
    Усилитель – это устройство, преобразующее энергию источника питания в энергию сигнала. Управление преобразованием осуществляется входным сиг- налом

Умножение частоты
В передающих и приемных трактах систем связи, а также в некоторых из- мерительных устройствах широко применяется нелинейное преобразование гармонического колебания, в результате которого часто

Амплитудная модуляция
    8.3.1. Общие сведения об амплитудной модуляции     Амплитудная модуляция – это процесс формирования амплитудно-моду- лиро

Амплитудное детектирование
    8.4.1. Общие сведения о детектировании     Детектирование (демодуляция) – это процесс преобразования высокочас- тотного м

Выпрямление колебаний
    8.5.1. Общие сведения о выпрямителях     Радиотехнические устройства выполняют свои функции при наличии энер- гии, поступ

Угловая модуляция
    8.6.1. Общие принципы получения сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией имеют вид

Детектирование сигналов с угловой модуляцией
    8.7.1. Общие принципы детектирования сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией, имеющие вид

Преобразование частоты
    8.8.1. Принцип преобразования частоты Преобразование частоты сигнала – это процесс, который обеспечивает ли- нейный перенос спектра сигнала на о

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги