рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Геометрические методы в теории сигналов

Геометрические методы в теории сигналов - раздел Изобретательство, Теоретические основы радиотехники     В Теории Множеств Имеется Понятие Действит...

 

 

В теории множеств имеется понятие действительного векторного про- странства, под которым понимается непустое множество V , для элементов ко- торого определено сложение и умножение на действительные числа. Элементы этого множества называются векторами, если выполняются следующие усло- вия:


1. Если


aV


и bV , то


a + bV .


2. Для любых

ность.


a,b,cV


справедливо


a+ (b + c) = (a + b) + c


– ассоциатив-


3. Для любых


a,bV


справедливо


a+ b = b + a


– коммутативность.


4. Для любых


aV


и действительного числа α справедливо α aV .


Такими действительными векторными пространствами являются вектор-


ное пространство конечных последовательностей


(x1,x2,…, xn )

n


действитель-


ных чисел, векторное пространство многочленов ∑ai xi , векторное простран-

i =0

ство функций, непрерывных на замкнутом отрезке, векторное пространство

геометрических векторов на плоскости.


Если в действительное векторное пространство введено понятие метрики с


помощью скалярного произведения векторов


(X ,Y), то такое пространство на-


зывается евклидовым векторным пространством. В этом пространстве можно определить:


длину (норму, модуль) вектора


X =

(X,Y)


( X , Y ) ;


угол между векторами


cosϕ =

X


, 0 ≤ ϕ ≤ π .

Y


Тогда скалярное произведение двух векторов X и Y равно


(X ,Y) = X


Y cosϕ ,


а квадрат модуля суммы двух векторов равен


X + Y 2 =


X 2 + Y


2 + 2(X,Y). (2.1)


Возьмем множество Vs , элементами которого являются совокупности сиг-


налов


s1 (t ),s2 (t ),…,sn (t ), рассматриваемые в интервале

t 2


(t1 , t2 )


и обладающие


свойством интегрируемости в этом интервале вида

 

 

k
t 2


sk (t ) 2dt < ∞. Каждому

t1


сигналу сопоставим число


sk (t ) 2


= ∫s 2 (t )dt , которое по существу равно энер-

t1


гии сигнала. Величину


sk (t )


назовем нормой сигнала. Определим далее рас-


стояние между сигналами


si (t ) и


sk (t )


как норму разности сигналов:

 

t 2


ρ[si (t ),sk (t )]=


si (t ) − sk (t ) =


∫[si (t ) − sk (t )]2dt .

t1


Полагая в данном выражении


sk (t) = 0 , получим выражение для нормы


сигнала. Это значит, что норма сигнала – это по существу длина вектора, соот- ветствующего сигналу, а квадрат длины – это энергия сигнала. Следовательно, концы векторов, соответствующих сигналам с одинаковой энергией, лежат на

поверхности n-мерной сферы радиусом ρ = Э .

Пользуясь приведенными выше рассуждениями, можно убедиться, что


множество сигналов Vs


эквивалентно n -мерному евклидову пространству и с


функциями


s1 (t ),s2 (t ),…,sn (t )


можно обращаться, как с точками или вектора-


ми n -мерного евклидова пространства.

Определим энергию суммы двух сигналов


 

 

si (t ) и


 

 

sk (t ) :


∞ ∞ ∞ ∞


Э = [s(t)+ s


(t)]2dt =


s2 (t)dt +


s2 (t)dt + 2


s (t)s


(t)dt = Э + Э


+2Э


i k


i k


i k i k ik ,


−∞ −∞ −∞ −∞


где


Эi , Эk


– энергия сигналов


si (t ) и


sk (t ), а


Эik


– взаимная энергия двух сиг-


налов.


Сравнивая полученное выражение с формулой (2.1), можно записать вы- ражение для скалярного произведения двух сигналов и косинуса угла между ними:

 

 


(s1(t),s2(t))=


s1(t)s2(t)dt;


cosϕ =


(s1


 

(t ), s2


(t ))

.


−∞ s1 (t )


s2 (t )


 


Если угол


ϕ =π


2 , то


cosϕ


= 0. Это значит, что скалярное произведение


сигналов с таким углом между ними, а значит, и их взаимная энергия равны 0.

Такие сигналы называются ортогональными.

Таким образом, геометрические методы в теории сигналов основаны на представлении сигнала как вектора в пространстве векторов, удовлетворяющих определенным условиям (линейности, ортогональности). При этом возможно использование понятия линейного пространства действительных или ком- плексных сигналов со свойствами линейного пространства векторов.

Причиной объединения сигналов в множество, образующее пространство сигналов, является наличие общих свойств, удовлетворяющих принципам ли- нейности. При этом имеется возможность одни элементы множества выразить через другие. Исследование свойств сигналов в рамках векторного представле- ния оказывается полезным для синтеза устройств, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Для передачи сигналов по каналам связи с помехами, а также для разреше- ния сигналов основное значение имеет не положение их в пространстве сигна- лов, а расстояние между ними. Для этого можно воспользоваться свойствами скалярного произведения векторов.

 


(0 <α <1)

Дано:


исходного сигнала (рис. 3.3).

s(t ) ↔ S ( jω) .


Определить


S м ( jω)


такое, что

S м( jω) =


st ) ↔ S м ( jω) .

st)ejω t dt .

−∞


Замена переменных:


αt = x ;


t = x ;

α


dt =


1 dx .

α


 

α
Рис. 3.3. Сжатие и расширение сигнала при различных коэффициентах α

 

 


Тогда


( jω) = 1


α
s(x)ej(ω / α ) x dt =


1Sj ω= ⎞ .


Окончательно запишем


α − ∞

st) ↔ 1

α


S j ω ⎞.

⎝ ⎠


⎜ ⎟

α ⎝ ⎠


Вывод. При сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число раз во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.

 

 


 

г. Спектр производной


ds(t )

dt


 


Дано:


s(t ) ↔ S ( jω) .


 

Определить


S п ( jω)


 

такое, что


ds(t ) ↔ S п( jω) .

dt


Обратное преобразование Фурье

s(t) = 1


S( jω)e


jω t


dω .


−∞

Возьмем производную от левой и правой частей этого равенства:


ds(t ) = 1

dt


jωS ( jω)e

−∞


jω t


dω .


 

 

Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,


можно сделать вывод, что


S п ( jω) =


jωS ( jω) .


Окончательно запишем


ds(t ) ↔

dt


jωS ( jω) .


Вывод. Спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, ум-


ноженному на


jω . При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально


изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется


постоянная составляющая, равная π / 2


при ω > 0 и равная


−π / 2


при ω < 0 .


 

t

д. Спектр интеграла ∫s(t)dt

−∞

 


Дано:


s(t ) ↔ S ( jω) .

t


Определить


( jω)


такое, что


s(t)dt (jω).

−∞


 

 

рье:


Возьмем интеграл от левой и правой частей обратного преобразования Фу-


t t ⎡ 1 ∞


jωt ⎤ 1 ∞


t jωt


s(t )dt =

−∞


∫ ⎢

−∞ ⎢⎣2π

t


S( jω)e

−∞


dω⎥dt =

⎥⎦ 2π


S( jω)⎢ ∫e

−∞ ⎢⎣−∞


dt dω ,

⎥⎦


s(t )dt = ∫

−∞ − ∞


1 S ( jω )e

jω


jω t


dω.


Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,

можно сделать вывод, что


(jω) =

t


1 S( jω).

jω


Окончательно запишем


s(t )dt

−∞


1 S( jω).

jω


Вывод. Спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен


спектру исходного сигнала, деленному на


jω . При этом амплитудный спектр


изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовой характе-


ристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная


π / 2


при ω < 0


и равная


−π / 2


при ω > 0.


 

 

е. Спектр произведения двух сигналов

 


Дано:


s1 (t ) ↔ S1 (jω),


s2 (t ) ↔ S2 (jω).


Определить


Sпр ( jω)


такое, что


s1(t)s2(t) ↔ Sпр ( jω).


∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤


Sпр ( jω) =


s1(t )s2(t )e jωt dt = ∫ ⎢ 1


S1( jΩ)e jt dΩ⎥s2(t )e jωt dt .


−∞ − ∞


2π −∞


∞ ⎡ ∞ ⎤


S пр ( jω) = 1


S1 ( jΩ)⎢


s2 (t )e −(ω −Ω)t dt dΩ .


2π −∞ − ∞


Интеграл в квадратных скобках – это спектральная плотность


S 2 [ j(ω −Ω)]


сигнала


s2 (t ) .


Следовательно,


 

Sпр


( jω) = 1


S1 ( jΩ)S2

−∞


[ j(ω −Ω)]


dΩ = 1


S1 ( jω)⊗ S2


( jω).


 

Окончательно запишем


s1(t )s2(t ) ↔ 2π


S1( jω) ⊗ S 2( jω) .


Вывод. Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, ум-

ноженной на коэффициент 1/ 2π .

Аналогично можно показать, что

s1(t) ⊗ s2(t) ↔ S1( jω)S2( jω),


т.е. произведению двух спектров


S1 ( jω) и


S 2 ( jω)


соответствует сигнал, обра-


зованный сверткой двух таких сигналов, что


s1 (t ) ↔ S1 ( jω) ,


s2 (t ) ↔ S 2 ( jω) .


 

 

Следствия из полученных результатов.

1. Пусть ω = 0 . Тогда

 

 

∞ ∞


S (0) =


 

2 ∫
s (t)s


(t)dt = 1


S ( jΩ)S


(− jΩ)dΩ = Э


пр ∫ 1 2

−∞


π −ω


1 2 12 , (3.14)


где


Э12


– взаимная энергия двух сигналов.


2. Если в выражении (3.14) положить

ство Парсеваля


s1(t) = s2 (t) = s(t), то получим равен-


Э = 1


.
S ( jω

−∞


)2 dω


 

Т.е. величина


S( jω


)2 может рассматриваться как плотность распределе-


ния энергии сигнала по частотам.

ж. Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье

(свойство дуальности)

 


1. Сигналу


s(t)


соответствует спектральная плотность


S ( jω) , причем


s(t ) = 1


S ( jω)e

−∞


jω t


dω .


Выполним взаимную замену переменных ω и t . Получаем


s(ω) = 1


S ( jt )e jω t dt = 1


S (− jt )e jω t dt .


−∞

Получено выражение для спектра


s(ω)


2π −∞

функции


1 S(− jt ) .


Наличие мнимой единицы j в обозначении аргумента имеет только симво- лический смысл. Поэтому в функции, описывающей сигнал, можно убрать j, а в функции, описывающей спектр, поставить. Тогда можно записать окончатель- ный результат:


 

если


s(t ) ↔ S ( jω) , то


1 S (−t ) ↔ s( jω) . (3.15)


2. Спектральной плотности


S ( jω)


соответствует сигнал


s(t ) , причем


S ( jω) =


s(t )e jω t dt .

−∞


Выполним взаимную замену переменных ω и t . Получаем


S ( jt ) =


s(ω)e jω t dω = 1


∫2πs(−ω)e jω t dω .


−∞

Получено выражение для сигнала

чательно можно записать:


2π −∞

S ( jt ) , имеющего спектр


s(−ω) . Окон-


если


s(t ) ↔ S ( jω) , то


S (t ) ↔ 2π


s(−jω) . (3.16)


Физический смысл формул (3.15) и (3.16): если сигналу


s(t )


соответствует


амплитудный спектр


S (ω) , то сигналу, имеющему форму такую же, как форма


амплитудного спектра


S (ω) , соответствует спектр, имеющий форму сиг-


нала


s(t ) .

Если сигнал четный, т.е.


s(t) = s(−t), то спектральная плотность также чет-


ная и вещественная. В этом случае результаты (3.15) и (3.16) можно переписать следующим образом:


если


s(t ) ↔ S ( jω) , то


S (t ) ↔ 2π


s( jω) .


Таким образом, переменные ω и t в преобразованиях Фурье взаимно заме-

няемы.

Полученные результаты поясняются рис. 3.4.


 

 

Рис. 3.4. Взаимозаменяемость переменных ω и t в преобразованиях Фурье

з. Смещение спектра сигнала

 


Произведение двух сигналов


s1(t )


и s2(t) = cos(ω0t + ϕ)


образует гармо-


нический сигнал


s(t) = s1(t)cos(ω0t + ϕ), в котором


s1(t)


при соблюдении не-


которых условий (п. 4.5) может быть огибающей. Так, если


s1(t )


– импульсный


сигнал (видеоимпульс), то


s(t)


– это радиоимпульс с несущей частотой ω0.


Определим спектральную плотность сигнала


s(t) :


 


S( jω) =


∞ ∞

1 0
s(t)ejω tdt = ∫


s (t)cos(ω t +ϕ)ejω tdt =


−∞ −∞

∞ ∞


= 1 ∫s1(t)e j(ω 0 t +ϕ )ejω t dt + 1


s1(t)ej(ω 0 t +ϕ )ejω t dt =


2 − ∞


2 − ∞


= 1 e jϕ


s1(t)ej(ω−ω0 )tdt + 1 ejϕ


s1(t)ej(ω +ω 0 )t dt.


2 − ∞


2 − ∞


Таким образом, спектральная плотность сигнала


s(t )


равна


S( jω) = 1 e jϕ S


[j(ω −ω


)]+ 1 ejϕ S


[j(ω +ω


)].


2 1 0 2 1 0

Вывод. При умножении сигнала на гармоническую функцию образуется

сигнал, спектр которого представляет собой преобразованный спектр сигнала


s1(t ) . Суть преобразования заключается в переносе спектра на нием вдвое его величины.


±ω0


с уменьше-


Рассмотренные свойства преобразования Фурье значительно облегчают вычисление спектров различных сигналов.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретические основы радиотехники

Учреждение образования.. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники.. Кафедра радиотехнических устройств..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Геометрические методы в теории сигналов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Радиотехника и информатика
    Для современного общества важнейшей является проблема использования информационных технологий во всех сферах человеческой деятельности. По своей значимости и актуаль

Диоинформатика.
Информационный аспект работы любой системы предполагает использо- вание определенного материального носителя информации. Физический про- цесс, являющийся функцией некоторых параметров и используемы

Передающее устройство
Передающее устройство осуществляет преобразование передаваемого со- общения и приведение его к виду, пригодному для передачи в свободное про- странство с помощью антенн. С этой целью в состав устро

Приемное устройство
Высокочастотные радиосигналы, улавливаемые приемной антенной, по- ступают в приемное устройство. Приемное устройство осуществляет соответст- вующие преобразования принятого высокочастотного сигнала

Проблемы обнаружения и оптимальной обработки сигналов
Одной из основных задач радиолокационного приема является задача об- наружения. Суть этой задачи – определить, содержит ли принимаемое колеба- ние отраженный сигнал. Задача статистическая, то есть

Проблемы оптимизации и адаптации
Проблемы оптимизации и адаптации решаются при проектировании и экс- плуатации РТС. При оптимизации синтезируют наилучшую в определенном смысле функциональную и алгоритмическую структуру РТС, опирая

Математические модели сигналов
Для того чтобы сигналы являлись объектами теоретического изучения и анализа, необходимо иметь их математические модели. Математическая модель сигнала – это формализованное его представление в

Дельта-функция
Дельта-функция (δ -функция, функция Дирака) – это математическая мо- дель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по вели- чине амплитуду и нулевую д

Функция единичного скачка
τ → 0τ Функция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс рез- кого (мгновенного) перехода ф

Характеристики сигналов
    Для сигнала, существующего в интервале ∆t = t2 −t1 , наиболее важными являются следующие характерис

Определение спектров некоторых сигналов
    3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса       Сигнал, описываемый функцией вида

Корреляционный анализ сигналов
    3.5.1. Общие положения     При решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степе

Свойства взаимокорреляционной функции
1. Значения R12 (τ) и R 21(τ) не изменятся, если вместо задержки сигнала s2 (t ) или

Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов
(теореме Котельникова)     3.6.1. Теорема Котельникова     В настоящее время широко применяются циф

Рез равные промежутки времени
∆t ≤1 2 f m . Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал s(t), спектр ко- торог

Определение коэффициентов ряда
    Значение коэффициентов Ck   определим, пользуясь формулой Ck = ∞  

Радиосигналы с амплитудной модуляцией
    4.2.1. Амплитудно-модулированные сигналы     Амплитудная модуляция (АМ; английский термин – amplitude modulation) являетс

Радиосигналы с угловой модуляцией
    4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции     При угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происхо- дит изменен

Импульсная модуляция
    4.4.1. Виды импульсной модуляции     В рассмотренных выше видах модуляции (АМ, ФМ, ЧМ) носителем пере- даваемой информаци

Узкополосные сигналы
    4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах     В различных системах передачи информации широко применяются радио- сиг

Основные характеристики линейных цепей
    5.2.1. Характеристики в частотной области     Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в часто

Дифференцирующая и интегрирующая цепи
    На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде по- следовательной RC -цепи с постоянной времени τ = RC

Фильтр нижних частот
    В качестве фильтра нижних частот во многих радиотехнических устройст- вах (выпрямителях, детекторах и др.) применяется схема, изображенная на рис. 5.3,а. Ча

Параллельный колебательный контур
    Параллельный колебательный контур – это частотно-избирательная цепь, образованная параллельным соединением индуктивности L и емкости C . Ак-

Усилители
    Для увеличения мощности сигналов с сохранением их формы используют усилители. Принцип действия усилителей основан на преобразовании энергии источника питания в энерг

Область нижних частот
В области нижних частот сопротивление емкости xc =1 ωC     имеет боль- шое значение по сравнению со значения

Область верхних частот
В области верхних частот сопротивления емкостей уменьшаются по срав- нению с их значениями в области нижних и средних частот. Поэтому шунти- рующим действием емкостей

Положительная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ , где k – целое число, т.е. при поступлении на вход основной цепи сигнала

Отрицательная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω)+ϕβ (ω) = (2k +1)π , т.е. при поступле- нии на вход основной цепи сигнала обратной связи в проти

Реактивная и комплексная обратная связь
Реактивная обратная связь устанавливается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ +π

Постановка задачи
    Анализ любой радиотехнической цепи сводится к установлению зависимо- сти между входным сигналом и сигналом, формируемым на выходе. В общем случае радиотехническая це

Точные методы анализа линейных цепей
    6.2.1. Классический метод     Классический метод основан на составлении и решении линейного диффе- ренциального уравнения

Прохождение периодического сигнала через линейную цепь
Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид ∞     1 T 2

Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье ∞ S( jω) = ∫

Приближенные методы анализа линейных цепей
    6.3.1. Приближенный спектральный метод     Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффек-

Суть метода
Рассматриваем прохождение сигнала с частотной модуляцией через узко- полосную цепь. Выходной сигнал определяется для фиксированного значения частоты ω(t

Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через избирательную цепь
    Определим сигнал, формируемый резонансным усилителем, при поступле- нии на его вход АМ–сигнала с тональной модуляцией. Частотная характеристика рез

Свойства и характеристики нелинейных цепей
    При проектировании большинства радиотехнических устройств возникает необходимость преобразования спектра полезного сигнала. К их числу относят- ся устройства, которы

Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов
Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время д

Методы анализа нелинейных цепей
    Используются следующие методы анализа нелинейных цепей: 1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить ча-

Общее решение задачи анализа нелинейной цепи
    Рассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном уст- ройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2. На вход устройства поступает гармоничес

Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики
    7.5.1. Гармонический сигнал на входе     Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается

Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики
    При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целе- сообразно применить ме

Нелинейное резонансное усиление сигналов
    Усилитель – это устройство, преобразующее энергию источника питания в энергию сигнала. Управление преобразованием осуществляется входным сиг- налом

Умножение частоты
В передающих и приемных трактах систем связи, а также в некоторых из- мерительных устройствах широко применяется нелинейное преобразование гармонического колебания, в результате которого часто

Амплитудная модуляция
    8.3.1. Общие сведения об амплитудной модуляции     Амплитудная модуляция – это процесс формирования амплитудно-моду- лиро

Амплитудное детектирование
    8.4.1. Общие сведения о детектировании     Детектирование (демодуляция) – это процесс преобразования высокочас- тотного м

Выпрямление колебаний
    8.5.1. Общие сведения о выпрямителях     Радиотехнические устройства выполняют свои функции при наличии энер- гии, поступ

Угловая модуляция
    8.6.1. Общие принципы получения сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией имеют вид

Детектирование сигналов с угловой модуляцией
    8.7.1. Общие принципы детектирования сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией, имеющие вид

Преобразование частоты
    8.8.1. Принцип преобразования частоты Преобразование частоты сигнала – это процесс, который обеспечивает ли- нейный перенос спектра сигнала на о

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги