Геометрические методы в теории сигналов

 

 

В теории множеств имеется понятие действительного векторного про- странства, под которым понимается непустое множество V , для элементов ко- торого определено сложение и умножение на действительные числа. Элементы этого множества называются векторами, если выполняются следующие усло- вия:

1. Если

a∈V

и b∈V , то

a + b∈V .

2. Для любых

ность.

a,b,c∈V

справедливо

a+ (b + c) = (a + b) + c

– ассоциатив-

3. Для любых

a,b∈V

справедливо

a+ b = b + a

– коммутативность.

4. Для любых

a∈V

и действительного числа α справедливо α a∈V .

Такими действительными векторными пространствами являются вектор-

ное пространство конечных последовательностей

(x1,x2,…, xn )

n

действитель-

ных чисел, векторное пространство многочленов ∑ai xi , векторное простран-

i =0

ство функций, непрерывных на замкнутом отрезке, векторное пространство

геометрических векторов на плоскости.

Если в действительное векторное пространство введено понятие метрики с

помощью скалярного произведения векторов

(X ,Y), то такое пространство на-

зывается евклидовым векторным пространством. В этом пространстве можно определить:

длину (норму, модуль) вектора

X =

(X,Y)

( X , Y ) ;

угол между векторами

cosϕ =

X

, 0 ≤ ϕ ≤ π .

Y

Тогда скалярное произведение двух векторов X и Y равно

(X ,Y) = X

Y cosϕ ,

а квадрат модуля суммы двух векторов равен

X + Y 2 =

X 2 + Y

2 + 2(X,Y). (2.1)

Возьмем множество Vs , элементами которого являются совокупности сиг-

налов

s1 (t ),s2 (t ),…,sn (t ), рассматриваемые в интервале

t 2

(t1 , t2 )

и обладающие

свойством интегрируемости в этом интервале вида

 

 

k

t 2

∫ sk (t ) 2dt < ∞. Каждому

t1

сигналу сопоставим число

sk (t ) 2

= ∫s 2 (t )dt , которое по существу равно энер-

t1

гии сигнала. Величину

sk (t )

назовем нормой сигнала. Определим далее рас-

стояние между сигналами

si (t ) и

sk (t )

как норму разности сигналов:

 

t 2

ρ[si (t ),sk (t )]=

si (t ) − sk (t ) =

∫[si (t ) − sk (t )]2dt .

t1

Полагая в данном выражении

sk (t) = 0 , получим выражение для нормы

сигнала. Это значит, что норма сигнала – это по существу длина вектора, соот- ветствующего сигналу, а квадрат длины – это энергия сигнала. Следовательно, концы векторов, соответствующих сигналам с одинаковой энергией, лежат на

поверхности n-мерной сферы радиусом ρ = Э .

Пользуясь приведенными выше рассуждениями, можно убедиться, что

множество сигналов Vs

эквивалентно n -мерному евклидову пространству и с

функциями

s1 (t ),s2 (t ),…,sn (t )

можно обращаться, как с точками или вектора-

ми n -мерного евклидова пространства.

Определим энергию суммы двух сигналов

 

 

si (t ) и

 

 

sk (t ) :

∞ ∞ ∞ ∞

Э = [s(t)+ s

(t)]2dt =

s2 (t)dt +

s2 (t)dt + 2

s (t)s

(t)dt = Э + Э

+2Э

∫ i k

∫ i ∫ k

∫ i k i k ik ,

−∞ −∞ −∞ −∞

где

Эi , Эk

– энергия сигналов

si (t ) и

sk (t ), а

Эik

– взаимная энергия двух сиг-

налов.

Сравнивая полученное выражение с формулой (2.1), можно записать вы- ражение для скалярного произведения двух сигналов и косинуса угла между ними:

 

 

(s1(t),s2(t))=

∞

∫s1(t)s2(t)dt;

cosϕ =

(s1

 

(t ), s2

(t ))

.

−∞ s1 (t )

s2 (t )

 

Если угол

ϕ =π

2 , то

cosϕ

= 0. Это значит, что скалярное произведение

сигналов с таким углом между ними, а значит, и их взаимная энергия равны 0.

Такие сигналы называются ортогональными.

Таким образом, геометрические методы в теории сигналов основаны на представлении сигнала как вектора в пространстве векторов, удовлетворяющих определенным условиям (линейности, ортогональности). При этом возможно использование понятия линейного пространства действительных или ком- плексных сигналов со свойствами линейного пространства векторов.

Причиной объединения сигналов в множество, образующее пространство сигналов, является наличие общих свойств, удовлетворяющих принципам ли- нейности. При этом имеется возможность одни элементы множества выразить через другие. Исследование свойств сигналов в рамках векторного представле- ния оказывается полезным для синтеза устройств, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Для передачи сигналов по каналам связи с помехами, а также для разреше- ния сигналов основное значение имеет не положение их в пространстве сигна- лов, а расстояние между ними. Для этого можно воспользоваться свойствами скалярного произведения векторов.

 

(0 <α <1)

Дано:

исходного сигнала (рис. 3.3).

s(t ) ↔ S ( jω) .

Определить

S м ( jω)

такое, что

S м( jω) =

s(αt ) ↔ S м ( jω) .

∞

∫s(αt)e−jω t dt .

−∞

Замена переменных:

αt = x ;

t = x ;

α

dt =

1 dx .

α

 

α

Рис. 3.3. Сжатие и расширение сигнала при различных коэффициентах α

 

 

Тогда

Sм( jω) = 1

∞

⎜

α

⎟

∫ s(x)e− j(ω / α ) x dt =

1S⎛ j ω= ⎞ .

Окончательно запишем

α − ∞

s(αt) ↔ 1

α

S ⎛ j ω ⎞.

⎝ ⎠

⎜ ⎟

α ⎝ ⎠

Вывод. При сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число раз во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.

 

 

 

г. Спектр производной

ds(t )

dt

 

Дано:

s(t ) ↔ S ( jω) .

 

Определить

S п ( jω)

 

такое, что

ds(t ) ↔ S п( jω) .

dt

Обратное преобразование Фурье

s(t) = 1

2π

∞

∫S( jω)e

jω t

dω .

−∞

Возьмем производную от левой и правой частей этого равенства:

∞

ds(t ) = 1

dt 2π

∫ jωS ( jω)e

−∞

jω t

dω .

 

 

Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,

можно сделать вывод, что

S п ( jω) =

jωS ( jω) .

Окончательно запишем

ds(t ) ↔

dt

jωS ( jω) .

Вывод. Спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, ум-

ноженному на

jω . При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально

изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется

постоянная составляющая, равная π / 2

при ω > 0 и равная

−π / 2

при ω < 0 .

 

t

д. Спектр интеграла ∫s(t)dt

−∞

 

Дано:

s(t ) ↔ S ( jω) .

t

Определить

Sи ( jω)

такое, что

∫s(t)dt ↔ Sи (jω).

−∞

 

 

рье:

Возьмем интеграл от левой и правой частей обратного преобразования Фу-

t t ⎡ 1 ∞

jωt ⎤ 1 ∞

⎡ t jωt ⎤

∫s(t )dt =

−∞

∫ ⎢

−∞ ⎢⎣2π

t

∫S( jω)e

−∞

dω⎥dt =

⎥⎦ 2π

2π

∞

∫ S( jω)⎢ ∫e

−∞ ⎢⎣−∞

dt ⎥dω ,

⎥⎦

∫s(t )dt = ∫

−∞ − ∞

1 S ( jω )e

jω

jω t

dω.

Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,

можно сделать вывод, что

Sи (jω) =

t

1 S( jω).

jω

Окончательно запишем

∫s(t )dt ↔

−∞

1 S( jω).

jω

Вывод. Спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен

спектру исходного сигнала, деленному на

jω . При этом амплитудный спектр

изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовой характе-

ристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная

π / 2

при ω < 0

и равная

−π / 2

при ω > 0.

 

 

е. Спектр произведения двух сигналов

 

Дано:

s1 (t ) ↔ S1 (jω),

s2 (t ) ↔ S2 (jω).

Определить

Sпр ( jω)

такое, что

s1(t)s2(t) ↔ Sпр ( jω).

∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤

Sпр ( jω) =

∫ s1(t )s2(t )e − jωt dt = ∫ ⎢ 1

∫S1( jΩ)e jΩt dΩ⎥s2(t )e − jωt dt .

−∞ − ∞

2π −∞

∞ ⎡ ∞ ⎤

S пр ( jω) = 1

∫ S1 ( jΩ)⎢

∫s2 (t )e −(ω −Ω)t dt ⎥dΩ .

2π −∞ − ∞

Интеграл в квадратных скобках – это спектральная плотность

S 2 [ j(ω −Ω)]

сигнала

s2 (t ) .

Следовательно,

∞

 

Sпр

( jω) = 1

2π

∫S1 ( jΩ)S2

−∞

[ j(ω −Ω)]

dΩ = 1

2π

S1 ( jω)⊗ S2

( jω).

 

Окончательно запишем

s1(t )s2(t ) ↔ 2π

S1( jω) ⊗ S 2( jω) .

Вывод. Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, ум-

ноженной на коэффициент 1/ 2π .

Аналогично можно показать, что

s1(t) ⊗ s2(t) ↔ S1( jω)S2( jω),

т.е. произведению двух спектров

S1 ( jω) и

S 2 ( jω)

соответствует сигнал, обра-

зованный сверткой двух таких сигналов, что

s1 (t ) ↔ S1 ( jω) ,

s2 (t ) ↔ S 2 ( jω) .

 

 

Следствия из полученных результатов.

1. Пусть ω = 0 . Тогда

 

 

∞ ∞

S (0) =

 

2 ∫

s (t)s

(t)dt = 1

S ( jΩ)S

(− jΩ)dΩ = Э

пр ∫ 1 2

−∞

π −ω

1 2 12 , (3.14)

где

Э12

– взаимная энергия двух сигналов.

2. Если в выражении (3.14) положить

ство Парсеваля

s1(t) = s2 (t) = s(t), то получим равен-

Э = 1

2π

∞

.

∫S ( jω

−∞

)2 dω

 

Т.е. величина

S( jω

)2 может рассматриваться как плотность распределе-

ния энергии сигнала по частотам.

ж. Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье

(свойство дуальности)

 

1. Сигналу

s(t)

соответствует спектральная плотность

S ( jω) , причем

s(t ) = 1

2π

∞

∫S ( jω)e

−∞

jω t

dω .

Выполним взаимную замену переменных ω и t . Получаем

∞

s(ω) = 1

∫ S ( jt )e jω t dt = 1

∞

∫S (− jt )e − jω t dt .

2π

−∞

Получено выражение для спектра

s(ω)

2π −∞

функции

1 S(− jt ) .

2π

Наличие мнимой единицы j в обозначении аргумента имеет только симво- лический смысл. Поэтому в функции, описывающей сигнал, можно убрать j, а в функции, описывающей спектр, поставить. Тогда можно записать окончатель- ный результат:

 

если

s(t ) ↔ S ( jω) , то

1 S (−t ) ↔ s( jω) . (3.15)

2π

2. Спектральной плотности

S ( jω)

соответствует сигнал

s(t ) , причем

S ( jω) =

∞

∫s(t )e − jω t dt .

−∞

Выполним взаимную замену переменных ω и t . Получаем

∞

S ( jt ) =

∫s(ω)e − jω t dω = 1

∞

∫2πs(−ω)e jω t dω .

−∞

Получено выражение для сигнала

чательно можно записать:

2π −∞

S ( jt ) , имеющего спектр

2π s(−ω) . Окон-

если

s(t ) ↔ S ( jω) , то

S (t ) ↔ 2π

s(−jω) . (3.16)

Физический смысл формул (3.15) и (3.16): если сигналу

s(t )

соответствует

амплитудный спектр

S (ω) , то сигналу, имеющему форму такую же, как форма

амплитудного спектра

S (ω) , соответствует спектр, имеющий форму сиг-

нала

s(t ) .

Если сигнал четный, т.е.

s(t) = s(−t), то спектральная плотность также чет-

ная и вещественная. В этом случае результаты (3.15) и (3.16) можно переписать следующим образом:

если

s(t ) ↔ S ( jω) , то

S (t ) ↔ 2π

s( jω) .

Таким образом, переменные ω и t в преобразованиях Фурье взаимно заме-

няемы.

Полученные результаты поясняются рис. 3.4.

 

 

Рис. 3.4. Взаимозаменяемость переменных ω и t в преобразованиях Фурье

з. Смещение спектра сигнала

 

Произведение двух сигналов

s1(t )

и s2(t) = cos(ω0t + ϕ)

образует гармо-

нический сигнал

s(t) = s1(t)cos(ω0t + ϕ), в котором

s1(t)

при соблюдении не-

которых условий (п. 4.5) может быть огибающей. Так, если

s1(t )

– импульсный

сигнал (видеоимпульс), то

s(t)

– это радиоимпульс с несущей частотой ω0.

Определим спектральную плотность сигнала

s(t) :

 

S( jω) =

∞ ∞

1 0

∫ s(t)e− jω tdt = ∫

s (t)cos(ω t +ϕ)e− jω tdt =

−∞ −∞

∞ ∞

= 1 ∫s1(t)e j(ω 0 t +ϕ )e− jω t dt + 1

∫s1(t)e− j(ω 0 t +ϕ )e− jω t dt =

2 − ∞

∞

2 − ∞

∞

= 1 e jϕ

∫s1(t)e−j(ω−ω0 )tdt + 1 e− jϕ

∫s1(t)e− j(ω +ω 0 )t dt.

2 − ∞

2 − ∞

Таким образом, спектральная плотность сигнала

s(t )

равна

S( jω) = 1 e jϕ S

[j(ω −ω

)]+ 1 e− jϕ S

[j(ω +ω

)].

2 1 0 2 1 0

Вывод. При умножении сигнала на гармоническую функцию образуется

сигнал, спектр которого представляет собой преобразованный спектр сигнала

s1(t ) . Суть преобразования заключается в переносе спектра на нием вдвое его величины.

±ω0

с уменьше-

Рассмотренные свойства преобразования Фурье значительно облегчают вычисление спектров различных сигналов.