Определение спектров некоторых сигналов

 

 

3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса

 

 

 

Сигнал, описываемый функцией вида

s(t ) = 1 e −π(t τ )2 , представляет со-

τ

бой колоколообразный (гауссов) импульс, совпадающий по форме с графиком нормального закона распределения вероятностей (рис. 3.5,а). Некоторые харак-

теристики сигнала (площадь под графиком сигнала, значение параметра τ) рас-

смотрены ранее (п. 2.2.3). Убедимся в том, что амплитудный спектр этого сиг-

нала по форме совпадает с самим сигналом.

 

б а

Рис. 3.5. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектр (б)

 

 

Спектральную плотность сигнала будем определять, вычисляя прямое пре-

образование Фурье:

⎛ t ⎞2

∞ ω 1 ∞

−π⎜ ⎟

S ( jω) =

∫ s(t )e − j

−∞

t dt = ∫e

−∞

⎝τ ⎠

e − jω t dt .

Применим формулу Эйлера:

τ

⎛ t ⎞2

⎛ t ⎞2

∞ −π⎜ ⎟

∞ −π⎜ ⎟

S ( jω) = 1 ∫e

⎝τ ⎠

cosωt dt − j 1 ∫e

⎝τ ⎠

sin ωt dt .

τ −∞

τ −∞

Второй интеграл полученного выражения равен 0 как интеграл в симмет- ричных пределах от нечетной функции. Для вычисления первого интеграла воспользуемся справочником по математике [1]. В таблице неопределенных ин- тегралов справочника приведена формула

∞ 2 2

∫e−a x

cos bx dx =

π e−b2

2a

 

4a 2

 

 

при

a > 0 .

Применительно к рассматриваемой задаче

a = π ;

τ

b = ω. Следовательно,

2∞ −π(t τ )2 2

S(ω) = ∫e cosωt dt =

 

 

πτ −

e

 

 

ω2τ 2

4π

 

 

ω2τ 2

−

= e 4π .

τ 0 τ 2 π

ω2τ 2 ⎛ ⎞ 2

Обозначим

Ω = 2π . Тогда −

τ 4π

= −π ⎜ω ⎟

⎝ Ω ⎠

, что позволяет записать

S (ω ) = e −π(ω

Ω )2.

Таким образом, колоколообразный импульс и его спектр описываются по

существу одинаковыми функциями (отличаются только масштабом и, разуме-

ется, аргументами). Спектр сигнала изображен на рис. 3.5,б.

 

Полоса спектра на уровне

e −(π

4) от максимального значения равна

⎛ ⎞ 2

Ω 2π π 2π

−π⎜ω1 ⎟

⎝ Ω ⎠

= −π ,

ω1 =

= = ,

2 2τ τ

∆ω = 2ω1 = τ

= Ω .

По значению ∆ω

можно оценить эффективную полосу частот, занимае-

мую спектром сигнала. Полученное соотношение позволяет сделать вывод, что

чем меньше параметр τ колоколообразного сигнала, тем шире полоса частот,

занимаемая его спектром.

 

 

3.4.2. Спектральная плотность -функции

 

 

Спектральную плотность -функции определим с помощью прямого пре-

образования Фурье, используя ее селектирующее свойство:

∞

S( jω) = ∫

−∞

s(t)e−jωt dt =

∞

∫δ(t)e− jωt dt = e jω0 =1.

−∞

Таким образом, -функция имеет равномерный и сплошной амплитудный спектр, равный единице на всех частотах. Вещественность спектральной плот- ности обусловливает отсутствие фазового спектра (рис. 3.6,а).

Обратное преобразование Фурье от спектра -функции даст следующие формулы для ее представления:

δ(t)=1

2π

∞

∫e jωt dω ,

−∞

δ(t)=1

2π

∞

∫e− jωt dω .

−∞

Учитывая взаимозаменяемость частоты и времени в преобразовании Фу-

рье, можно записать:

δ(ω)=1

2π

∞

∫e jωt dt ,

−∞

δ(ω)=1

2π

∞

∫e− jωt dt .

−∞

Сдвиг δ -функции вдоль временной оси на интервал t0

нию спектра. Он будет равен

приведет к измене-

S( jω) =

∞

∫δ(t − t0)e− jωt dt = e−iωt0 .

−∞

При сдвиге δ -функции амплитудный спектр не изменяется. Появляется

фазовый спектр в виде линейной зависимости фазы от частоты (рис. 3.6,б).

 

а б

Рис. 3.6. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры δ -функции

3.4.3. Спектр функции единичного скачка

 

 

Определение спектра функции единичного скачка путем непосредственно- го вычисления преобразования Фурье сопровождается затруднениями, связан- ными с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой. Поэтому пользуются косвенным методом, предусматривающим предельный переход к данной функции от другой функции, спектр которой определяется без затруд- нений.

Функцию единичного скачка можно получить из экспоненциального им-

пульса путем предельного перехода, т.е.

lim e−α t

при

t ≥ 0

σ(t) = ⎨α →0

0 при

t < 0

Следовательно, спектральную характеристику функции единичного скачка можно определить, выполнив предельный переход от спектра экспоненциаль-

ного импульса при α → 0. Определим спектр экспоненциального импульса:

∞

Sэ( jω) = ∫e−αt e− jωt dt = −

 

Тогда искомый спектр равен

 

α + jω

e−(α+ jω)t

∞

= 1 .

α + jω

S( jω) =

 

lim S

( jω) =

 

lim

α + j

 

lim

−ω .

α →0 э

α →0 α2 +ω2

α →0 α2 +ω2

При

α = 0

первое слагаемое в правой части этой формулы равно нулю на

всех частотах, кроме

ω = 0. На частоте

ω = 0

это слагаемое обращается в бес-

 

конечность. Площадь под графиком функции

α

α2 +ω2

 

равна

∞

∫ 2

−∞ α

α

+ω2

∞

dω = 2α ∫ 2

0α

 

+ω2

dω = 2απ

2α

= π .

Таким образом, пределом первого слагаемого при α → 0

является взвешен-

ная δ -функция, т.е. πδ(ω). Пределом второго слагаемого – величина 1 ( jω). В

результате можно записать выражение для спектральной плотности функции

единичного скачка:

S ( jω) = πδ(ω) +1 ( jω) .

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис. 3.7.

 

 

Рис. 3.7. Амплитудный и фазовый спектры функции единичного скачка

 

 

3.4.4. Спектр постоянного во времени сигнала

∞

Поскольку мы знаем, что спектром δ -функции является константа, то бла-

годаря дуальности преобразования Фурье можно ожидать, что спектр постоян-

ного во времени сигнала (константы) будет иметь вид δ -функции.

Пусть

s(t ) = A . Спектр этого сигнала равен

S( jω) =

∫ Ae−jωt dt = 2πA 1

− ∞ 2π

∞

∫e− jωt dt = 2πAδ(ω).

−∞

Предположение подтвердилось (рис. 3.8,а). Здесь хорошо прослеживается обратная пропорциональность между длительностью сигнала и шириной его спектра: бесконечно протяженный сигнал имеет бесконечно узкий спектр.

 

 

3.4.5. Спектр комплексной экспоненты

 

Рассмотрим комплексный сигнал вида ла равен

s(t ) = Ee jω0t . Спектр такого сигна-

S( jω) =

∞

∫Ee jω0t e− jω t dt = E

−∞

∞

∫e− j(ω−ω0 )t dt = 2πEδ(ω −ω0 ).

−∞

Спектр комплексного сигнала представляет собой одиночную взвешенную

δ -функцию (рис. 3.8,б). Сигнал не является вещественным, поэтому амплитуд-

ный спектр теряет свойство четности.

 

а б

 

Рис. 3.8. Амплитудные спектры постоянного во времени сигнала (а)

и комплексной экспоненты (б)

 

 

Заметим, что модель комплексного сигнала является удобным средством анализа модулированных сигналов, особенно при сложных видах модуляции, предусматривающих одновременное изменение амплитуды и фазы. Такая мо- дель сигнала анализируется в следующем разделе 4.

 

 

3.4.6. Спектр гармонического сигнала

 

 

Определим спектральную плотность гармонического сигнала

 

 

∞

s(t) = E cos(ω0t + ϕ).

 

 

S( jω) =

∞

∫ Ecos(ω

−∞

0t +ϕ

∞

)e− jωtdt = E

∫[ej(ω0t+ϕ) + e− j(ω0t+ϕ)]e− jωtdt =

−∞

∞

= E e jϕ

∫e− j(ω−ω0 )t dt + E e− jϕ

∫e− j(ω +ω 0 )t dt.

2 − ∞

Окончательно

2 − ∞

S( jω) = Aπe jϕδ(ω −ω0 )+ Aπe − jϕδ(ω +ω0 ).

Спектральная плотность гармонического сигнала представляет собой пару

взвешенных δ -функций, расположенных на частотах

±ω0 . Веса δ -функций

отражают комплексную амплитуду гармонического сигнала.

 

 

3.4.7. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса (рис. 3.9) опре-

делим двумя способами:

1) непосредственным вычислением прямого преобразования Фурье;

2) использованием свойств преобразования Фурье.

 

 

Первый способ.

Вычисляем прямое преобразование Фурье, учитывая ограниченную дли-

тельность сигнала и постоянство амплитуды в пределах длительности:

S( jω) =

τи 2

∫

τи 2

Ee− jωtdt = E e− jωt

= E e

jωτи

2 − e

− jωτи 2

,

−τ и 2

− jω

−τ и 2 jω

S(ω) = Eτи

sin(ωτи 2).

ωτи 2

Рассматривался четный сигнал, поэтому его спектральная плотность со-

держит только действительную часть (см. рис. 3.9,б).

Амплитудный спектр представляет собой функцию типа

sin x

x. Он имеет

лепестковый характер, причем ширина лепестков равна

2π τ и , т.е. обратно

пропорциональна длительности импульса. Нули спектра определяются из урав-

нения sin (ωτи

2) = 0:

ωτи

2 = ±kπ ,

k =1, 2, 3,…,

ω = ±k 2π .

k τи

Значение спектральной плотности импульса при

ω = 0

равно произведе-

нию

Eτи , т.е.

S (0)

равно площади импульса.

При увеличении длительности импульса ширина лепестков спектра

уменьшается, при этом увеличивается значение

S(0). При уменьшении дли-

тельности импульса ширина лепестков увеличивается, значение

2π

S (0)

уменьша-

ется. При τи → 0

точки спектра ωk

= ±k

τи

удаляются в бесконечность и бес-

конечно малая спектральная плотность становится равномерной в бесконечной

полосе частот. При τи → ∞

точки спектра ωk

приближаются к нулю и беско-

нечно большая спектральная плотность приобретает вид δ -функции (с полосой

частот, равной нулю).

Фазовый спектр (см. рис. 3.9,б) принимает лишь два значения: 0 и π в за-

висимости от знака функции

sin x

x. Значения фазы π и −π

неразличимы,

разные знаки для фазового спектра при ω > 0

и ω < 0

использованы лишь с це-

лью представления его в виде нечетной функции.

 

а б

 

Рис. 3.9. Прямоугольный импульс и его производная (а),

спектр прямоугольного импульса (б)

 

 

При сдвиге импульса по оси времени на величину

∆t = ±t0

спектральная

плотность в соответствии со свойствами преобразования Фурье приобретает вид

sin(ωτ 2)

sin(ωτ 2)

S(ω) = Eτи и e jω ∆t

= Eτи

и e± jω t0 .

ωτи 2

ωτи 2

Как видно из этого выражения, амплитудный спектр не изменяется, а фа-

зовый спектр свидетельствует о линейной зависимости фазы от частоты со

скачками на π в точках ωk

(штриховая линия на рис. 3.9,б).

 

 

Второй способ.

Определяем сигнал

 

 

s1 (t ) , равный производной от рассматриваемого пря-

 

моугольного видеоимпульса, т.е.

ds(t )

s1(t ) = dt . Этот сигнал представляет собой

две взвешенные δ -функции (см. рис.3.9,а). Спектральная плотность сигнала

s1 (t )

будет равна сумме спектральных плотностей δ -функций, а именно:

∞

S ( jω ) = E

δ⎛t + τи ⎞

∞

− jω t dt − E

δ⎛t − τи ⎞

− jωtdt

1 ∫ ⎜ ⎟e

−∞ ⎝ 2 ⎠

∫ ⎜ ⎟e =

−∞ ⎝ 2 ⎠

= E (e jωτи

2 − e− jωτ и

2 ) .

Спектральная плотность прямоугольного импульса, являющегося интегра-

лом от сигнала

s1 (t ) , получается делением спектра

S1 ( jω ) на

jω (см. свойства

преобразования Фурье):

S( jω) =

S1( jω ) =

E (e jωτи

2 − e− jωτи

2)

= Eτи

sin(ωτ и

 

 

2) .

jω jω

ωτи 2

Второй способ вычисления спектральной плотности является более про-

стым.

 

 

3.4.8. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала

 

 

Периодический сигнал может быть представлен рядом Фурье в комплекс-

ной форме

s(t ) =

∞

∑ Ck e jkω1t ,

k =−∞

где ω1

= 2π

T

 

– частота первой гармоники, равная частоте сигнала.

Учитывая результаты, полученные при вычислении спектра комплексного

сигнала, можно сделать вывод, что спектральная плотность произвольного пе-

риодического сигнала представляет собой набор δ -функций, расположенных на частотах гармоник ряда Фурье. Веса δ -функций равны соответствующим

коэффициентам ряда Фурье, умноженным на

2π .

 

 

3.4.9. Спектральная плотность сигнала вида sin x x

 

 

При рассмотрении вопросов дискретизации непрерывных сигналов возни-

кает необходимость знать спектр сигнала, описываемого функцией

sin x

x. Вы-

числение спектра будем производить по формуле прямого преобразования Фу-

рье. Итак, пусть задан сигнал

s(t) = A sin ωmt ,

ωmt

2π

где ω m

= 2π f m = T

, T – период функции

sin ωmt .

Нули сигнала определяются так:

π

 

Тогда

ωmt = ±kπ

∞

при

k = 1,

2,…;

∞

t = ± k .

ωm

S( jω) = A ∫

sinωmt e− jωt dt = 2A∫sinωmtcosω t dt =

−∞ ωmt

0 ωmt

ω

∫

A ∞sin(ω +ωm )t

A ∞sin(ω −ωm )t

=

m 0 t

dt − ∫

ωm 0 t

dt .

Из таблицы определенных интегралов [10]:

∞ sin ax

∫

⎧ π

dx =⎪ 2

 

при

a >0,

⎨

0 x ⎪−π

 

при

a < 0.

 

 

Тогда при

ω > ωm

S( jω) = 0, а при

ω < ωm

S( jω) = Aπ

ωm . Таким об-

разом, спектральная плотность сигнала типа

sin x x

вещественная (сигнал чет-

ный), амплитудный спектр имеет форму прямоугольного импульса. Конкретно

sin ωmt

для рассматриваемого сигнала

s(t ) = A

ω mt

амплитудный спектр ограничен

полосой частот

(рис. 3.10)

2ωm , в пределах которой уровень спектра равномерен и равен

Aπ =

ωm

Aπ

2πf m

= A .

2f m

 

 

 

Рис. 3.10. Сигнал

s(t ) = A

sin ωmt

ωmt

 

и его спектр

 

 

Аналогичный результат может быть получен из свойства дуальности пре-

образования Фурье. В соответствии с этим свойством, если четному сигналу

s(t )

соответствует спектральная плотность

S( jω), то сигналу

S(t )

будет соот-

ветствовать спектральная плотность

2πs( jω).

Известно, что прямоугольному импульсу длительностью τи

и амплитудой

 

E соответствует спектральная плотность

Eτи

sin(ωτ и 2) (ωτ и 2)

 

. Это значит, что сиг-

налу типа

sin x x

соответствует амплитудный спектр, имеющий прямоуголь-

ную форму. Необходимо только определить длительность и уровень амплитуд-

ного спектра рассматриваемого сигнала

s(t ).

Заменив ω на t , а также ωm

на τи

2 и Eτи

на A , из формулы спектраль-

ной плотности получим сигнал

s(t) = A

sin ωmt .

ωmt

Заменив t на ω, а также τи

2 на ωm

и E на

A 2ωm , из формулы прямо-

угольного импульса получим спектральную плотность

s( jω)

в частотном диа-

пазоне

2ωm . Уровень амплитудного спектра равен

2πA

2ωm

= A 2 f m .

Итак, окончательно можно записать выражение для спектра рассматривае-

мого сигнала

⎪

⎧ A при

ω ≤ωm ,

S( jω) = ⎨2 fm

⎩

⎪ 0 при

ω >ωm .

Полученные результаты будут использованы при рассмотрении вопросов дискретизации непрерывных сигналов на основании теоремы Котельникова.