Узкополосные сигналы

 

 

4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах

 

 

В различных системах передачи информации широко применяются радио- сигналы с модуляцией, являющейся комбинацией рассмотренных ранее видов амплитудной, угловой и импульсной модуляций. Модулирующий сигнал может иметь достаточно сложный закон изменения. Однако ширина его спектра, как

правило, значительно меньше частоты ω0

несущего колебания. Это позволяет

отнести модулированные сигналы к классу узкополосных.

Узкополосный сигнал – это сигнал, эффективная ширина спектра которого

∆ωэф

значительно меньше центральной частоты

ω0 , вокруг которой группи-

руются спектральные составляющие сигнала. Физически такой сигнал относит-

ся к квазигармоническим сигналам, общее выражение для которых имеет вид

s(t) = A(t)cos[ω0t +ϕ(t)] = A(t)cosψ(t), (4.7)

В этом выражении

A(t)

– медленноменяющаяся функция времени, описывающая амплитуд-

ную огибающую данного сигнала;

ϕ(t )

ѓХ(t)

– фазовая функция сигнала;

– полная фаза сигнала.

Описание реального узкополосного сигнала в виде выражения (4.7) являет-

ся достаточно сложной задачей. Прямой путь решения задачи путем произволь-

ного задания одной из функций

A(t)

или

ѓХ(t)

и последующего определения

другой приводит, во-первых, к неоднозначности решения задачи, а во-вторых, –

к получению выражения, в котором

A(t)

не всегда является огибающей. В то

же время существует однозначный метод решения этой задачи.

Воспользуемся известным в теории методом комплексных амплитуд. Этот

метод предполагает представление гармонического сигнала

рической и комплексной формах, т.е.

s(t )

в тригономет-

s(t) = A0 cos(ω0t +ϕ)

и s(t ) = Re[ A0 e j(ω0t +ϕ)] = Re( Ae jω0t ) .

 

Здесь

A= A0e jϕ

 

– комплексная амплитуда сигнала, представляющая собой

комплексное число, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент –

начальной фазе.

Применительно к узкополосному сигналу комплексная амплитуда, кото- рую более правильно назвать комплексной огибающей, будет содержать всю информацию об основных параметрах (амплитуде и фазе), которые определя- ются модулирующим сигналом. Поэтому необходим метод, позволяющий од- нозначно представлять в комплексной форме любой узкополосный сигнал, что позволит обобщить понятие комплексной амплитуды и распространить его на узкополосные сигналы.

В основу такого метода положено представление вещественного (физиче-

ского) сигнала

s(t )

в виде аналитического сигнала с использованием преобра-

зования Гильберта (Д. Гильберт – немецкий математик).

 

 

4.5.2. Аналитический сигнал

 

 

Пусть сигнал описывается действительной функцией

можно поставить в соответствие комплексный сигнал вида

s(t) . Такому сигналу

 

 

z(t) = s(t) +

js1(t),

где

s1(t)

– сопряженный сигнал, полученный с помощью прямого преобразова-

ния Гильберта от сигнала

s(t) .

Прямое и обратное преобразования Гильберта имеют вид

 

 

∞ 1 ∞

s (τ)

s1(t) = ∫

s(τ)dτ ;

s(t) = −

∫ 1 dτ .

π −∞ t −τ

Определенный таким образом сигнал

 

 

z(t)

π −∞ t −τ

называется аналитическим.

Учитывая свойства комплексных функций, комплексный сигнал но представить следующим образом:

z(t)

мож-

z(t ) = s(t ) +

js1(t ) = A(t )e

jψ (t ),

 

где

A(t) =

s2(t) + s2(t)

и ѓХ(t) = arctg s1 (t)

s(t)

 

– огибающая и полная фазы анали-

тического сигнала.

Огибающая аналитического сигнала является по существу огибающей ис-

ходного сигнала

s(t )

(доказательство этого имеется в [1,2]).

 

Учитывая, что

ѓХ(t ) = ω0t + ϕ(t ) , можно записать

 

z(t) = A(t)e jψ(t ) = A(t)e jϕ(t )e jω0t

= A(t)e jω0t .

 

Выражение

A(t) = A(t)e jϕ(t)

 

определяет комплексную амплитудную оги-

бающую аналитического сигнала.

Следовательно, для сигнала, представленного в произвольном виде, можно

определить амплитудную огибающую

A(t)

и фазовую функцию

ϕ(t ) , сформи-

ровав аналитический сигнал. Для этого достаточно получить мнимую часть аналитического сигнала, определив преобразование Гильберта от заданного сигнала.

Рассмотрим некоторые свойства аналитического сигнала. Для этого опре-

делим спектры и корреляционные функции сигнала

s1(t ) , комплексной ампли-

тудной огибающей

A (t)

и аналитического сигнала

z(t) .

4.5.3. Свойства аналитического сигнала

 

 

а. Спектральная плотность и корреляционная функция сигнала

s1(t)

 

Спектральная плотность

S1( jω)

сигнала

s1(t)равна

∞

S1( jω) =

∫ s1(t)e−jωtdt = 1

∞ ⎛ ∞

∫ ⎜ ∫

s(τ) ⎞ − jωt

τ ⎟ .

⎠

d e dt

−∞ π

⎜ t −τ ⎟

⎝

−∞ − ∞

Замена переменной:

x = t − τ;

t = x + τ;

dt = dx .

∞ ⎛ ∞ ⎞

∞ ⎛ ∞

⎞ − jω x

π

S1( jω) = 1

∫ ⎜ ∫

s(τ) dτ ⎟e−jω x e− jωτ dx = 1

∫ ⎜ ∫s(τ)e− jωτ dτ ⎟ e

 

x

dx .

x

⎜ ⎟

−∞ ⎝−∞ ⎠

∞

⎜ ⎟

π

−∞ ⎝−∞ ⎠

Учитывая, что

 

 

записать

∫s(τ)e− jωτ dτ

−∞

= S( jω)

– это спектр сигнала

s(t ) , можно

1 ⎛ ∞

cos jωx

∞ sin

jωx ⎞

S1( jω) = π

S( jω)⎜

∫

⎜

dx − j

∫

x

dx⎟.

x ⎟

⎝−∞

−∞ ⎠

Интегралы в полученном выражении равны [10]:

 

∞ sin

∫

 

 

⎧

⎨

jωx dx = ⎪0 при

 

 

ω = 0

∞ cos jωx

∫ x

−∞

dx = 0,

−∞ x ⎪

⎩ -

Окончательно получаем

 

 

⎧− jS(jω) при

⎪

ω> 0 ,

⎩

S1 (jω) = ⎨

0 при

ω= 0 ,

 

 

Выводы.

⎪ jS(jω) при

ω< 0 .

1. Амплитудные спектры сигнала

s(t)

и сопряженного по Гильберту сиг-

нала

s1(t)

одинаковы. Следовательно, если сигнал

s(t)

– узкополосный, то сиг-

нал

s1(t)

также является узкополосным.

2. Фазовые спектры сигнала

s(t)

и сопряженного по Гильберту сигнала

s1(t)

отличаются на π

2 со знаком, противоположным знаку частоты. Следова-

тельно, сигналы

s(t) и

s1(t)

могут значительно отличаться по форме.

Корреляционная функция сигнала связана обратным преобразованием Фу-

рье с его амплитудным спектром. Выше было показано, что амплитудные спек-

тры сигнала

s(t)

и сопряженного по Гильберту сигнала

s1(t)

одинаковы. По-

этому можно сделать вывод, что корреляционная функция

R1(τ)

сигнала

s1(t)

равна корреляционной функции

∞

R(τ)

сигнала

s(t) , т.е.

∞

R1(τ) = 1

∫

2π

S2(ω)e− jωτ dω = 1

2π

−∞

∫S2(ω)e− jωτ dω =R(τ).

−∞

 

 

б. Спектральная плотность и корреляционная функция комплексной

 

огибающей

 

A(t)

 

аналитического сигнала

 

 

Спектральная плотность комплексной огибающей равна

SA( jω) =

∞

∫A(t)e− jωtdt =

−∞

∞

∫z(t)e− jω0te− jωtdt =

−∞

∞

∫z(t)e− j(ω+ω0 )tdt.

−∞

Таким образом,

 

 

SA( jω) = Sz[ j(ω + ω0 )]

или

Sz ( jω) = SA[ j(ω −ω0 )],

где

Sz ( jω)

– спектр аналитического сигнала

z(t) .

Определим связь между корреляционной функцией

RA (τ)

комплексной

огибающей и корреляционной функцией

Rz (τ)

аналитического сигнала.

 

 

R (τ) = 1

A 2π

∞

∫ RA( jω)2e

−∞

jωτ

dω = 1

2π

∞

∫ Sz[ j(ω +ω0 ) e

−∞

jωτ

dω .

Замена переменной:

x = ω +ω0 ;

ω = x −ω0 ;

dω = dx .

Окончательно получим:

 

 

 

RA (τ) =

∞

∫ Sz ( jx)

2e jxτ e− jω 0τ dx = e− jω 0τ 1

∞

∫ Sz ( jx)

2e jxτ dx;

 

Выводы.

2π −∞

RA(τ) = Rz (τ)e− jω0τ

 

или

2π −∞

Rz (τ) = RA(τ)e jω0τ .

1. Спектр

SA( jω)

комплексной огибающей аналитического сигнала пред-

ставляет собой сдвинутый на ω0

влево спектр аналитического сигнала. Други-

ми словами, комплексная огибающая аналитического сигнала – это низкочас- тотный его эквивалент, а метод замены сигналов их комплексными огибающи- ми при анализе прохождения сигналов через различные цепи называется мето- дом комплексных огибающих, или методом низкочастотных эквивалентов. В общем случае спектр комплексной огибающей не является симметричным от- носительно нулевой частоты (рис. 4.19, в).

2. Между корреляционной функцией комплексной огибающей и корреля- ционной функцией аналитического сигнала существует достаточно простая связь.

 

 

в. Спектральная плотность и корреляционная функция аналитического сигнала

 

 

Аналитический сигнал

z(t) = s(t) +

js1(t) . Учитывая свойства преобразо-

вания Фурье, можно записать

Sz ( jω) = S( jω) +

jS1( jω).

 

 

⎧− jS(jω) при

⎪

ω > 0 ,

Так как

S1 ( jω) = ⎨

0 при

ω = 0 ,

⎩

⎪ jS(jω) при

ω < 0 ,

 

 

⎧2S(jω)при

⎪

ω> 0 ,

то Sz (jω) = ⎨

S (0) при

ω= 0 ,

⎩

⎪ 0 при

ω< 0 .

 

 

Спектральная плотность аналитического сигнала существует только в об-

ласти положительных частот и равна удвоенной спектральной плотности ис-

ходного сигнала при

ω > 0

и спектральной плотности исходного сигнала при

ω = 0

(рис. 4.19,а,б).

 

Рис. 4.19. Амплитудные спектры физического сигнала (а), аналитического сигнала (б) и его комплексной огибающей (в)

 

 

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, можно получить следующую формулу для аналитического сигнала:

1 ∞ jωt 1 ∞

jωt

z(t) =

2π

∫Sz( jω)e

dω =

π

∫S( jω)e

dω . (4.8)

Связь спектральной плотности комплексной огибающей аналитического сигнала и спектральной плотности физического сигнала определяется выраже- нием

 

 

⎨ 0

⎧2S [ j(ω +ω0 )]

⎪

S A( jω) = ⎪ S (− jω )

⎩ 0

при при

при

ω > −ω0 ,

ω = −ω0 ,

ω < −ω0 .

Полученный результат иллюстрируется рис. 4.19,в.

 

 

Пример.

Задан физический сигнал

 

 

s(t), имеющий равномерную спектральную

плотность

S0 в полосе частот

−ωm ≤ω ≤ωm . Определить аналитический сиг-

нал, соответствующий сигналу

s(t).

Для определения аналитического сигнала воспользуемся формулой (4.8).

1 ∞ jωt S

z(t) = ∫S( jω)e dω = 0

ωm

∫ ejωtdω =

S0 (e jωmt

−1).

π π jπ t

0 0

Учитывая, что

ему сигналы:

z(t) = s(t) +

js1(t ) , выделим физический и сопряженный

z(t) =

S0

jπt

(cosωmt+

jsinωmt −1)= S0 (sinωmt +

πt

j2sin2 ωmt

 

2) .

Следовательно,

s(t) = S0ωm

sinωmt

и s (t) = S0ωm

 

 

sin2

ωmt 2 .

π ω mt

1 π ωmt 2

Графики спектра физического сигнала, а также графики физического и со-

пряженного сигналов для данного примера приведены на рис. 4.20.

 

Определим связь корреляционной функции

R(τ)

узкополосного сигнала с

корреляционными функциями комплексной огибающей.

Rz (τ) и

RA (τ)

аналитического сигнала и его

Так как

z(t) = s(t) + js1(t) , то

s(t) = Re[z(t)]. Следовательно,

 

 

R(τ) =

∞

∫ s(t)s(t −τ)dt =

−∞

∞

∫Re[z(t)]Re[z(t −τ)]dt .

−∞

 

Рис. 4.20. Спектр физического сигнала (а), физический и сопряженный по

Гильберту сигналы (б)

 

 

Для комплексных чисел

x = a + jb и

y = c + jd

справедливо следующее

 

соотношение:

Re( x)Re( y) = 1 2 Re( xy ) +1 2 Re( xy ∗) . Тогда можно записать

R(τ) = 1

∞ 1

∫Re[z(t) z(t −τ)]dt + 2

−∞

∞

∫Re[z(t) z∗(t −τ)]dt . (4.9)

−∞

Определим значение первого слагаемого.

∞

∫

1 Re[ z(t) z(t −τ)]dt = 1

2 2

−∞

∞

∞

∫Re{[s(t) +

−∞

∞

js1(t)][s(t −τ) +

js1(t −τ)]}dt =

= 1 ∫ s(t)s(t − τ )dt − 1

1 1

∫s1(t)s1(t −τ)dt = R(τ)− R1(τ) = 0.

2 2 2 2

−∞ − ∞

Итак, первое слагаемое выражения (4.9) равно 0 в силу равенства корреля-

ционных функций сигналов

Таким образом,

∞

s(t) и

s1(t) .

∞

R(τ) = 1

∫Re[z(t)z∗(t −τ)]dt = 1 Re ∫

z(t)z∗(t −τ)dt = 1 Re[Rz(τ)].

−∞

В свою очередь так как

−∞

Rz (τ) = R A (τ)e − jω0τ , то

R(τ) = 1 Re[R

2 A

(τ)e− jω0τ ].

Получены важные соотношения между корреляционной функцией

R(τ)

узкополосного сигнала, корреляционной функцией

Rz(τ)

аналитического сиг-

нала и корреляционной функцией

ского сигнала.

RA (τ)

комплексной огибающей аналитиче-

Получим соотношение между энергиями физического и аналитического сигналов.

В соответствии с равенством Парсеваля энергия физического сигнала рав-

на

∞

∫

Э = 1

2π

S ( jω) 2dω = 1

π

−∞

∞

∫ S ( jω) 2dω .

В свою очередь энергия аналитического сигнала определяется соотноше-

нием

1 ∞ 2 1 ∞

2 2 ∞ 2

Эz =

2π

∫ Sz( jω)

−∞

dω =

2π

∫ 2S( jω)

dω =

π

∫ S( jω)

dω = 2Э .

Сравнение приведенных соотношений показывает, что энергия аналитиче- ского сигнала в 2 раза больше энергии физического сигнала. Это понятно, если учесть, что преобразование Гильберта не изменяет амплитудных соотношений в спектре сигнала.