рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Рез равные промежутки времени

Рез равные промежутки времени - раздел Изобретательство, Теоретические основы радиотехники ∆T ≤1 2 F M . ...


t ≤1 2 f m .


Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал


s(t), спектр ко-


торого ограничен частотой ωm


= 2π


f m, представляется рядом


s(t ) =


s(kt )


sin ωm


(t kt )


 

, (3.24)


k=−∞


ωm (t kt )


где


t = 1 2 f m


– интервал между двумя отсчетными точками (узлами) на оси


времени,


s(kt )


– выборки функции


s(t )


в моменты времени t = kt . Функции


Gk (t ) =


sinωm(t kt )

ωm(t kt )


 

(3.25)


являются базисными функциями ряда Котельникова.


Представление сигнала рядом Котельникова показано на рис. 3.18.

 

 

Рис. 3.18. Представление непрерывного сигнала рядом Котельникова

 

 

3.6.2. Доказательство теоремы Котельникова

 

 

а. Свойства системы базисных функций

 


 

Базисные функции


sin

Gk (t) =


ωm(t


kt)


 

– это функции типа


sin x


 

, отли-


ωm(t kt)

чающиеся друг от друга сдвигом по времени на величину

ций


x

kt . Графики функ-


G (t) = sinωmt

0 ωmt


 

и G1


(t ) = sinωm(t − ∆t )

ωm(t − ∆t )


приведены на рис. 3.19. Функция Gk (t )


достигает максимума в момент времени


t = kt , тогда как другие функции

равны 0.


Gn(t )


(при


n k ) в этот момент времени


 


Рис. 3.19. Графики функций G0 (t )


и G1 (t )


Определим спектр сигнала, описываемого функцией


Gk (t)


(в дальнейшем


под


Gk (t)


будем понимать либо функцию, либо сигнал, описываемый этой


функцией).

 

В п. 3.4.9 определен спектр сигнала


s(t ) = A


sinωmt

ωmt


 

. Амплитудный спектр


этого сигнала имеет форму прямоугольного импульса и ограничен полосой час-


тот


m , в пределах которой он равен

Общее выражение для спектра


A 2 f m .


A при


ω ≤ωm


S( jω) = ⎨2 fm

⎪ 0 при


ω >ωm


 

sinωm(t kt )


Базисные функции

sinωmt


Gk (t ) =


ωm(t kt )


отличаются от функции


A

ωmt


амплитудой и наличием сдвига на временной интервал


kt . Это зна-


чит, что спектр станет комплексным, причем форма амплитудного спектра не


изменится, а появится фазовый спектр


ϕ(ω) = −kω∆t . Общее выражение для


спектральной плотности базового сигнала Gk (t)


будет иметь вид


⎧ 1 ejωkt


 

при


ω ≤ω


 

Sgk


( jω) = ⎪2 f m


m
⎪ 0 при


ω >ωm


Учитывая, что


t = 1 2 f m , можно записать


 

 

Sgk


( jω) =


⎪⎧∆tejω kt


при


ω ≤ωm


0 при


ω >ωm


На рис. 3.20 приведены графики спектров дискретизируемого сигнала и сигнала, описываемого функцией Gk (t ) .

 

а б

Рис. 3.20. Графики спектров дискретизируемого сигнала (а)


и функции Gk (t )


(б)


б. Доказательство теоремы

 

 


Покажем, что ряд Котельникова (3.24) определяет функцию


s(t )


в любой


момент времени. Этот факт будет свидетельствовать о правомерности теоремы

Котельникова.

Для получения ряда воспользуемся общим методом разложения заданной функции по ортогональным системам функций (см. п. 3.1.1).


1. Функция, заданная для разложения, –


s(t ).


2. Базисная система функций, по которым будет осуществляться разложе-

sinωm(t kt)


ние, – это функции вида


Gk (t) =


ω m(t kt)


. Ортогональность этой системы


функций в бесконечном интервале необходимо доказать.

3. Обобщенный ряд Фурье применительно к рассматриваемому случаю из-

вестен:


s(t ) =


Ck Gk (t ),


Ck = 1


s(t )Gk (t )dt .


k =−∞


Gk (t ) 2 −∞


Для нахождения ряда Котельникова требуется доказать ортогональность


 

системы функций


 

Gk (t), найти


Gk (t ) 2


 

– квадрат нормы функции


 

Gk (t) и


определить коэффициенты C k .

 

 

Доказательство ортогональности системы функций Gk (t)

 

 


Система функций Gk (t)


ортогональна, если

 


 

G (t)G


(t)dt = ⎪⎧Gk (t) при


k = n ,


k n

−∞


⎩⎪ 0 при


k n ,


где


Gk (t ) =


Gk (t )dt

−∞


– норма функции Gk (t) .


Вычислим значение интеграла от произведения Gk (t )⋅Gn(t )


при


k n.


 

 


Gk (t)Gn(t)dt =

−∞


∞ sinωm(t kt)

− ∞
∫ ωm(t kt)


⋅ sinωm(t nt)

ωm(t nt)


 

 

dt . (3.26)


 

 

Из свойств преобразования Фурье известно, что если

 


s1 (t ) ↔ S1 (jω) и

то


s2 (t ) ↔ S2 (jω),


 

 

Следовательно,


s1(t )s2(t ) ↔ 2π


S1(jω)⊗ S2(jω).


s1(t)s2 (t )ejωt dt = 1

−∞ 2π


S1( jΩ)S2[j(ω − Ω)]dΩ ,

−∞


s1


(t )s2


(t )dt = 1


S1


( jω )S *( jω )dω .


− ∞ − ∞

Применим полученное соотношение к выражению (3.26), учитывая, что


 

Тогда


sin ωm(t kt ) ↔

ωm(t kt)

sin ωm(t nt) ↔

ωm(t nt)


2 f m

2 f m


ejωkt

ejωnt

ωm


при

 

 

при


−ωm

−ωm


≤ ω ≤ ωm;

≤ ω ≤ ωm.


1

Gk (t)Gn(t)dt = ∫


1 ejωkt


1 e jωnt dt =


−∞ 2π

f
ω m


−ωm 2f m


2f m

f
ωm


= 1 ∫ ejω (k n)∆t dt = − 1


1 ejω (k n)∆t =


m


−ω m


m


j(k n)∆t


− ω m


f
= 1 1


(e jω m (k n)∆t ejω m (k n)∆t ) =


m


j(k n)∆t


= 1

f m


(k n)


sin ωm


(k n)∆t =


f m


(k n)


sin(k n


= 0.


Вычислим значение Gk (t ) 2:

∞ ∞ 2


G (t) 2 =


G2(t)dt =


sin


ωm(t kt)dt .


− ∞
k k

−∞


∫ ω2 (t kt)2


 

Замена переменной:

 

Тогда


ωm(t kt ) = x ;


t = x

m
ωm


+ kt ;


dt = 1

ωm


 

dx .


G (t) 2 = 1


∞ sin 2


xdx = π = π


= ∆t .


k

 

Таким образом,


∫ 2

ω
m −∞ x


ωm f m


G (t )G


⎧∆t

(t )dt = ⎨


при


k = n,


k n

−∞ ⎩


0 при


k n .


Ортогональность системы функций Gk (t)


доказана.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретические основы радиотехники

Учреждение образования.. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники.. Кафедра радиотехнических устройств..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Рез равные промежутки времени

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Радиотехника и информатика
    Для современного общества важнейшей является проблема использования информационных технологий во всех сферах человеческой деятельности. По своей значимости и актуаль

Диоинформатика.
Информационный аспект работы любой системы предполагает использо- вание определенного материального носителя информации. Физический про- цесс, являющийся функцией некоторых параметров и используемы

Передающее устройство
Передающее устройство осуществляет преобразование передаваемого со- общения и приведение его к виду, пригодному для передачи в свободное про- странство с помощью антенн. С этой целью в состав устро

Приемное устройство
Высокочастотные радиосигналы, улавливаемые приемной антенной, по- ступают в приемное устройство. Приемное устройство осуществляет соответст- вующие преобразования принятого высокочастотного сигнала

Проблемы обнаружения и оптимальной обработки сигналов
Одной из основных задач радиолокационного приема является задача об- наружения. Суть этой задачи – определить, содержит ли принимаемое колеба- ние отраженный сигнал. Задача статистическая, то есть

Проблемы оптимизации и адаптации
Проблемы оптимизации и адаптации решаются при проектировании и экс- плуатации РТС. При оптимизации синтезируют наилучшую в определенном смысле функциональную и алгоритмическую структуру РТС, опирая

Математические модели сигналов
Для того чтобы сигналы являлись объектами теоретического изучения и анализа, необходимо иметь их математические модели. Математическая модель сигнала – это формализованное его представление в

Дельта-функция
Дельта-функция (δ -функция, функция Дирака) – это математическая мо- дель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по вели- чине амплитуду и нулевую д

Функция единичного скачка
τ → 0τ Функция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс рез- кого (мгновенного) перехода ф

Характеристики сигналов
    Для сигнала, существующего в интервале ∆t = t2 −t1 , наиболее важными являются следующие характерис

Геометрические методы в теории сигналов
    В теории множеств имеется понятие действительного векторного про- странства, под которым понимается непустое множество V , для элементов ко- торого опр

Определение спектров некоторых сигналов
    3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса       Сигнал, описываемый функцией вида

Корреляционный анализ сигналов
    3.5.1. Общие положения     При решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степе

Свойства взаимокорреляционной функции
1. Значения R12 (τ) и R 21(τ) не изменятся, если вместо задержки сигнала s2 (t ) или

Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов
(теореме Котельникова)     3.6.1. Теорема Котельникова     В настоящее время широко применяются циф

Определение коэффициентов ряда
    Значение коэффициентов Ck   определим, пользуясь формулой Ck = ∞  

Радиосигналы с амплитудной модуляцией
    4.2.1. Амплитудно-модулированные сигналы     Амплитудная модуляция (АМ; английский термин – amplitude modulation) являетс

Радиосигналы с угловой модуляцией
    4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции     При угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происхо- дит изменен

Импульсная модуляция
    4.4.1. Виды импульсной модуляции     В рассмотренных выше видах модуляции (АМ, ФМ, ЧМ) носителем пере- даваемой информаци

Узкополосные сигналы
    4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах     В различных системах передачи информации широко применяются радио- сиг

Основные характеристики линейных цепей
    5.2.1. Характеристики в частотной области     Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в часто

Дифференцирующая и интегрирующая цепи
    На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде по- следовательной RC -цепи с постоянной времени τ = RC

Фильтр нижних частот
    В качестве фильтра нижних частот во многих радиотехнических устройст- вах (выпрямителях, детекторах и др.) применяется схема, изображенная на рис. 5.3,а. Ча

Параллельный колебательный контур
    Параллельный колебательный контур – это частотно-избирательная цепь, образованная параллельным соединением индуктивности L и емкости C . Ак-

Усилители
    Для увеличения мощности сигналов с сохранением их формы используют усилители. Принцип действия усилителей основан на преобразовании энергии источника питания в энерг

Область нижних частот
В области нижних частот сопротивление емкости xc =1 ωC     имеет боль- шое значение по сравнению со значения

Область верхних частот
В области верхних частот сопротивления емкостей уменьшаются по срав- нению с их значениями в области нижних и средних частот. Поэтому шунти- рующим действием емкостей

Положительная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ , где k – целое число, т.е. при поступлении на вход основной цепи сигнала

Отрицательная обратная связь
Обеспечивается при условии ϕ(ω)+ϕβ (ω) = (2k +1)π , т.е. при поступле- нии на вход основной цепи сигнала обратной связи в проти

Реактивная и комплексная обратная связь
Реактивная обратная связь устанавливается при условии ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ +π

Постановка задачи
    Анализ любой радиотехнической цепи сводится к установлению зависимо- сти между входным сигналом и сигналом, формируемым на выходе. В общем случае радиотехническая це

Точные методы анализа линейных цепей
    6.2.1. Классический метод     Классический метод основан на составлении и решении линейного диффе- ренциального уравнения

Прохождение периодического сигнала через линейную цепь
Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид ∞     1 T 2

Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье ∞ S( jω) = ∫

Приближенные методы анализа линейных цепей
    6.3.1. Приближенный спектральный метод     Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффек-

Суть метода
Рассматриваем прохождение сигнала с частотной модуляцией через узко- полосную цепь. Выходной сигнал определяется для фиксированного значения частоты ω(t

Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через избирательную цепь
    Определим сигнал, формируемый резонансным усилителем, при поступле- нии на его вход АМ–сигнала с тональной модуляцией. Частотная характеристика рез

Свойства и характеристики нелинейных цепей
    При проектировании большинства радиотехнических устройств возникает необходимость преобразования спектра полезного сигнала. К их числу относят- ся устройства, которы

Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов
Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время д

Методы анализа нелинейных цепей
    Используются следующие методы анализа нелинейных цепей: 1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить ча-

Общее решение задачи анализа нелинейной цепи
    Рассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном уст- ройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2. На вход устройства поступает гармоничес

Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики
    7.5.1. Гармонический сигнал на входе     Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается

Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики
    При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целе- сообразно применить ме

Нелинейное резонансное усиление сигналов
    Усилитель – это устройство, преобразующее энергию источника питания в энергию сигнала. Управление преобразованием осуществляется входным сиг- налом

Умножение частоты
В передающих и приемных трактах систем связи, а также в некоторых из- мерительных устройствах широко применяется нелинейное преобразование гармонического колебания, в результате которого часто

Амплитудная модуляция
    8.3.1. Общие сведения об амплитудной модуляции     Амплитудная модуляция – это процесс формирования амплитудно-моду- лиро

Амплитудное детектирование
    8.4.1. Общие сведения о детектировании     Детектирование (демодуляция) – это процесс преобразования высокочас- тотного м

Выпрямление колебаний
    8.5.1. Общие сведения о выпрямителях     Радиотехнические устройства выполняют свои функции при наличии энер- гии, поступ

Угловая модуляция
    8.6.1. Общие принципы получения сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией имеют вид

Детектирование сигналов с угловой модуляцией
    8.7.1. Общие принципы детектирования сигналов с угловой модуляцией     Радиосигналы с угловой модуляцией, имеющие вид

Преобразование частоты
    8.8.1. Принцип преобразования частоты Преобразование частоты сигнала – это процесс, который обеспечивает ли- нейный перенос спектра сигнала на о

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги