рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Методические рекомендации По проведению практических Занятий и выполнению контрольных работ дисцеплина Линейная алгебра

Методические рекомендации По проведению практических Занятий и выполнению контрольных работ дисцеплина Линейная алгебра - Контрольная Работа, раздел Математика, Методические Рекомендации ...

Методические рекомендации

По проведению практических

Занятий и выполнению контрольных работ

дисцеплина «Линейная алгебра»

 

 

Содержание

 

 

Введение………………………………………………………………………………….....3

Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости…………………..…4

Тема 1 Определители………………………………………………………………………4

Тема 2 Векторная алгебра……………………………………………………………….....7

 

Тема 3 Аналитическая геометрия на плоскости………………………………………...14

 

Аналитическая геометрия в пространстве…………………………………………..24

Тема 1 Плоскость в пространстве………………………………………………………..24

Тема2 Прямая в пространстве………………………………………………………… . 30

Тема 3 Поверхности второго порядка…………………………………………………...38

Системы линейных алгеброических уравнений………………………………...…..44

Тема2 Матрицы…………………………………………………………………………....44

Тема 3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса……..50

Тема 4 Обратная матрица………………………………………………………………...57

 

 

Введение

Практические занятия являются важной частью успешного освоения дисциплины «Линейная алгебра»

Студент должен успешно овладеть :

· основными понятиями аналитической геометрии и линейной алгебры;

· основными методами решения систем линейных уравнений;

· основными понятиями теории матриц и уметь применять их в конкретных ситуациях.

Настоящие рекомендации включают в себя достаточное количество примеров решения задач по темам рабочей программы курса «Линейная алгебра»,а также содержат конкретные рекомендации по решению задач и большое количество примеров для самостоятельной работы

 

 

Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости

Определителем матрицы , назовем число, соответствующее данной матрице и вычисляемое по определенному…

Решение

Способ 2. Вычислим теперь тот же определитель, используя свойства… К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой, умноженные на (-2), а к элементам 3-й строки…

Задание

 

Вычислить методом Гаусса определитель матрицы , где

.

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)

№ п/п Умение Алгоритм
Вычислить площадь треугольника, пост-роенного на векторах и 1. Изучить определение и свойства векторного произведения . 2. Найти координаты векторного произведения 3. Вычислить модуль векторного произведения : . 4. Выписать ответ: площадь треугольника S равна половине площади параллелограмма, т.е. S =
Проверить, будут ли векторы , , линейно зависимы (компланарны), и най-ти объем параллелепипеда, построенно-го на этих векторах в противном случае 1. Изучить определение смешанного произведения трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл. 2. Вычислить смешанное произведение . 3. Сделать вывод: если = 0, то вектора , , лежат в одной плоскости, т.е. линейно зависимы (любой вектор может быть линейно выражен через другие); если (векторы не компланарны), то объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, , причем тройка , , будет правой, если , и левой в противном случае

Тренинг по решению задач

Задание

 

Найти площадь треугольника , построенного на векторах и .

 

Решение

    Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

 

Даны векторы и . Найти векторное произведение векторов и , где , .

 

 

Задание 2

 

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , .

Задание 3

 

Найти векторы , , , где , , - базисная тройка.

 

 

Задание 4

 

Найти координаты вектора , если известно:

1) , ;

2) , ;

3) .

 

Задание.5

 

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах, если и - единичные векторы, угол между которыми равен 30о.

 

Задание

 

Проверить, будут ли векторы , и компланарны, и найти объем параллелепипеда, построенного на , , , в противном случае.

 

Решение

Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах , и как на сторонах, если , , .

 

 

Задание 2

 

Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , , .

 

Задание 3

 

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , если известно, что , , скалярные произведения , и вектор перпендикулярен оси ОХ.

 

Задание 4

 

Доказать, что четыре точки А(1, 2, -1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1), D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

 

 

Задание 5

 

Вектор ортогонален векторам и ; ; ; ; угол между векторами и равен , т.е. (^) = . Вычислить .

 

 

Задание 6

 

Определить, какой является тройка векторов , , (левой или правой), если , , .

 

Примеры решения задач

Пример 1. Даны два вектора и . Найти косинус угла между векторами и .

Решение. Найдем координаты векторов и .

; ; ;

; ; .

Итак: , .

Вычислим модули этих векторов и их скалярное произведение:

;

;

.

Теперь можно вычислить косинус угла j между этими векторами

.

Пример 2. При каком значении a векторы и ортогональны? (Координаты векторов и заданы в примере 1.)

Решение. Найдем координаты векторов и :

;

.

Запишем условие ортогональности полученных векторов:

, или .

После преобразования получим ; откуда .

Самостоятельно решите следующие задачи

1. Найти скалярное произведение .    

Примеры решения задач и комментарии

 

 

Пример 1. Даны координаты вершин треугольника А(0, -2), В(1, 1), С(3, 0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершины В.

Решение. Найдем координаты точки М, середины основания АС.

; .

Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точки В и М:

; ; .

После элементарных преобразований имеем

, или ,

отсюда .

Получили искомое уравнение медианы.

Пример 2. Даны три точки А(3, 1), В(1, -2), С(3, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

Решение. Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки А и В.

или ,

отсюда .

Разрешая это уравнение относительно переменной у, найдем уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом

.

Угловой коэффициент этой прямой равен .

Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент k1 прямой, перпендикулярной прямой АВ:

.

Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k1 и проходящей через точку С. Воспользуемся формулой

,

отсюда .

После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение

.

 

Пример 3. Дано уравнение второго порядка

9x2 - 4y2 - 36x - 8y - 4 = 0.

Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусов кривой.

Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:

или .

Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе - гиперболу с центром симметрии в точке О(х0, у0), полуосями a, b (для гиперболы a - вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координаты F1(x0 + c, y0) и F2(x0 - c, y0), где c2 = a2 - b2 (для эллипса, если a - большая полуось) и c2 = a2 + b2 (для гиперболы).

Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:

9x2 - 36x = 9(x2 - 4x + 4) - 36 = 9(x - 2)2 - 36;

- 4y2 - 8y = - 4(y2 + 2y + 1) + 4 = - 4(y + 1)2 + 4.

Подставим теперь полученные выражения в данное уравнение:

9(x - 2)2 - 36 - 4(y + 1)2 + 4 - 4 = 0, или 9(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 36.

Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы

.

Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О(2, -1), прямые х - 2 = 0,
у + 1 = 0 являются ее осями симметрии. Вещественная полуось гиперболы а = 2, мнимая полуось
b = 3,

.

Получим координаты фокусов , .

Самостоятельно решите следующие задачи

Вычислить длину найденной высоты. Координаты точек М0, М1, М2 заданы в таблице.   № п/п М0 М1 М2 (3,2) (-2,5) (6,-2) …

Тренинг по решению задач

Задание

Даны вершины треугольника А(1, -1), В(0, 2), С(3, 1). Составить уравнения: 10) высоты АD;
20) медианы АЕ; 30) средней линии, параллельной стороне АС.

Решение

    Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

 

Даны вершины треугольника А(2, -2), В(3, -5), С(5, 7). Составить уравнение высоты ВD
и средней линии, параллельной АВ.

 

Задание 2

 

Составить уравнение всех сторон треугольника АВС, где А(3, 2), В(5, -2), С(5, 2).

Задание 3

 

Составить уравнение всех высот треугольника АВС, где А(3, 2), В(5, -2), С(1, 0).

 

 

Задание 4

 

Даны параллельные прямые 3х - у +2 = 0 и 3х - у - 5 = 0. Написать уравнение прямой, им парал-лельной и проходящей на равном расстоянии от них.

 

Задание 5

 

Даны две смежные вершины А(-3, -1) и В(2, 2) параллелограмма АВСD и точка Q(3, 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнение сторон этого параллелограмма.

 

Задание

 

Стороны АВ, ВС и СА треугольника АВС, соответственно, даны уравнениями: х + 21у - 22 = 0, 5х - 12у + 7 = 0, 4х - 33у + 146 = 0. Найти высоту, опущенную на сторону ВС.

 

Решение

    Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

 

Даны уравнения двух прямых 2х + ау - 1 = 0 и ах + 8у + 3 = 0. Определить, при каком значении параметра а прямые пересекаются.

 

 

Задание 2

 

Найти точки пересечения прямой 3х - 2у + 4 = 0 с осями координат.

Задание 3

 

Вычислить расстояние между параллельными прямыми 5х - 12у + 26 = 0 и 5х - 12у - 13 = 0.

 

 

Задание 4

 

Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3х - 2у - 5 = 0 и 2х + 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А(-2, 1). Вычислить площадь прямоугольника.

 

 

Задание 5

 

Доказать, что прямая 2х - 3у + 6 = 0 не пересекает отрезок, ограниченный точками и .

 

Задание

Написать каноническое уравнение кривой . Определить тип кривой, выписать ее параметры.

 

Решение

Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

Привести к каноническому виду и определить тип кривой .

 

 

Задание 2

 

Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип и вычислить основные параметры.

 

 

Задание 3

 

Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

 

Задание 4

 

Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

 

 

Задание 5

 

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка . Определить тип кривой, вычислить основные параметры.

 

Аналитическая геометрия в пространстве

Тренинг порешению задач

Задание

 

Определите, лежит ли точка на плоскость .

 

Решение

  Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Проходит ли плоскость через точку ?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Убедитесь, что расстояние от точки до плоскости , равно нулю (точка лежит на плоскости).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Проходит ли плоскость через начало координат?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Принадлежит ли точка плоскости ?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Определить, какая из точек или лежит на плоскости .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

 

Найдите координаты какой-нибудь точки, лежащей на плоскости .

Решение

  Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 4

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

Найдите нормальный вектор к плоскости, в которой лежат векторы и .

 

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите вектор нормали к координатной плоскости XOZ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 2

Найдите вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки , и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 3

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной плоскости XOY.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной векторам и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Найти вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

Найти расстояние от точки до плоскости .

 

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите расстояние от точки до плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите расстояние от точкидо плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 3

Найдите расстояние от точки до плоскости XOZ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 4

Найти расстояние от начала координат до плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и . (Указание: использовать умение 3).

 

Тема 2 Прямая в пространстве(4 часа)

№ п/п Умение Алгоритм
Каноническое и параметрическое уравнение прямой а) Написать каноническое уравне-ние прямой по двум точкам и 1. Вычислить координаты вектора . 2. Взять направляющим вектором прямой вектор : = . 3. Написать каноническое уравнение прямой, прохо-дящей через точку (можно ) с направляющим вектором
б) Написать параметрическое урав-нение прямой, заданной канони-ческим уравнением 1. Обозначить коэффициент пропорциональности через t (параметр) ; ;. 2. Из полученных равенств выразить координаты :
Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей () 1. Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого надо найти какое-нибудь решение системы.(*) Одной из переменных следует присвоить произвольное значение (удобно брать значение равное нулю) и решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: если , то положить (z=0), если , то - (х=0), если же , то - (у=0). 2. Выписать координаты векторов нормали и . 3. Найти векторное произведение 4. Взять направляющим вектор прямой . 5. Написать каноническое уравнение прямой
Найти точку пересечения прямой с плоскостью 1. Записать параметрические уравнения заданной прямой (см. ум. 4). 2. Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости: . 3. Из последнего уравнения вычислить значение параметра t. 4. а) если найденное значение t единственно, то под-ставив его в параметрическое уравнение прямой, получим единственную точку пересечения ; б) если уравнение для t несовместно, точек Пересе-чения нет, прямая параллельна плоскости; в) если уравнение справедливо при любом t , то прямая лежит на плоскости – точек пересечения множества. Замечание. Фактически здесь описан один из способов решения совместного уравнения плоскости и прямой

Тренинг порешению задач

Задание

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение

Задание 1

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 2

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 3

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 4

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки - начало координат, .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Написать уравнение оси OY, выбрав на ней произвольные две точки.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Задание

Написать параметрические уравнения прямой .

 

Решение

Задание 1

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Задание

Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей .

Решение

  Замечание. В данной задаче направляющий вектор может быть получен так: 1. Найти две различные точки и на данной прямой.

Задание 1

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Напишите каноническое уравнение оси ОХ (как пересечение координатных плоскостей).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

 

Напишите каноническое уравнение прямой пересечения плоскости с координатной плоскостью XOY.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

Найдите точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и - ось ОХ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: - плоскость XOZ и .

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тема 3 Поверхности второго порядка(4часа)

Поверхности второго порядка

1. Эллипсоид . 2. Конус

Тренинг по решению задач

Задание

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

 

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

По каноническому уравнению цилиндра определить: а) уравнение направляющей;
б) какой координатной оси параллельны его образующие.

Решение

  Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

 

Системы линейных алгебраических уравнений

  Тренинг по решению задач  

Задание

Умножить матрицу на вектор : .

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

.

 

Задание 2

; .

 

Задание 3

; .

 

Задание

Найти произведение двух квадратных матриц одного порядка C = AB, где , .

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

, .

 

Задание 2

 

; .

 

Задание 3

 

; .

 

 

Задание 4

 

Вычислить , где .

 

Задание

 

Привести матрицу A к ступенчатому виду и определить ее ранг:

.

Решение

Решите самостоятельно следующие задания:   Определить ранг матрицы A.

Задание 1

 

.

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

 

Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)

№ п/п Умение Алгоритм
Решение систем линей-ных уравнений мето-дом Гаусса: а) нахождение общего решения однородной системы в коор-динатной и векторной форме 1.Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). 2.Выписать ступенчатую систему уравнений и определить ранг. 3.Сравнить с числом переменных и определить, сколько решений имеет система: если , то система имеет множество решений, следует перейти к п. 4 для отыскания общего решения; если , то система имеет един-ственное решение - тривиальное - . 4. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, для которых угловые элементы служат коэффициентами, считать зависимыми, остальные переменных - свободными
    б) исследование на сов-местность неоднород-ной системы , нахождение ее общего или единствен-ного решения 5.Выразить зависимые переменные через свободные из ступен-чатой системы уравнений (обратный ход метода Гаусса). 6.Выписать общее решение в координатной форме. Общее реше-ние определяется формулами, полученными в п. 5. Эти выражения описывают все множество решений однородной системы: давая свободным переменным (параметрам) любые значения и вычисляя несвободные переменные, получим все решения системы. 7.Выписать общее решение в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, будем придавать свободным пере-менным последовательно значения, соответствующие линейно независимым векторам . По формулам п. 5 вычислим соответствующие значения . Получим фундаментальную систему решений (ФСР) - базис в про-странстве решений однородной системы . Общее реше-ние в векторной форме имеет вид , где – произвольные постоянные.   1.Записать расширенную матрицу системы , приписав к основной матрице вектор свободных членов: . 2.Привести матрицу к ступенчатому виду и определить и . 3.Исследовать систему на совместность. Если , то система несовместна (не имеет решения). Если где – число переменных, то решение един-ственное, перейти к п. 7. Если перейти к п. 4. 4.Выписать ступенчатую систему уравнений, соответствующую ступенчатой форме матрицы . 5.Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, "соответствующие" угловым элементам, - зависимые, остальные - свободные. Выразить зависимые переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса). 6.Найти общее решение в координатной форме. Полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные и вектор пра-вых частей определяют параметрическую запись общего решения в координатной форме. Чтобы получить запись общего решения в векторном виде, следует перейти к п. 8. 7.Единственное решение получаем обратным ходом методу Гаусса, используя ступенчатую систему п. 4: из последнего уравнения находим , подставляем в предпоследнее уравнение, вычис-ляем и т.д., пока не найдем вектор-решение . 8.Записать общее решение неоднородной системы в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, найдем некоторое частное решение неоднородной системы . Выпишем общее решение соответствующей однородной системы в координатном виде. Для этого в формулах п. 5 следует свободные члены (константы) считать нулевыми. Найдем ФСР однородной системы и общее решение однородной системы . Общее решение неоднородной системы имеет вид

Тренинг по решению задач

Задание

 

Методом Гаусса найти решение системы

.

Решение

Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.   № п/п Алгоритм Конкретное соответствие…  

Задание 1

 

.

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

 

Задание

 

Исследовать неоднородную систему на совместность и найти общее или единственное решение в случае совместности системы:

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

.

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

 

Тема 4 Обратная матрица(2часа)

 

№ п/п Умение Алгоритм
Вычисление обратной матрицы а) методом Гаусса     б) с помощью алгебра-ических дополнений 1. Приписать к квадратной невырожденной матрице справа за вертикальной чертой единичную матрицу того же порядка. Полу-чим матрицу . 2. Привести матрицу к ступенчатому виду, используя изве-стные элементарные преобразования. 3. Полученную ступенчатую матрицу привести к виду, где слева будет единичная матрица . К элементарным преобразованиям первого и второго типов добавляется преобразование третьего типа - умножение (деление) строки на число. Преобразования следует начинать с последней строки. Окончательно матрица будет иметь вид . 4. Выписать обратную матрицу , где - матрица, стоящая справа от в последней преобразованной матрице.   1. Вычислить определитель матрицы , убедиться, что . 2. Для каждого элемента вычислить его алгебраическое допол-нение и составить матрицу 3. Транспонировать матрицу , получить "присоединенную" мат-рицу 4. Разделить все элементы матрицы на ; обратная матрица . Выписать обратную матрицу:
Решение невырожден-ной системы уравне-ний с помощью обратной матрицы 1. Найти и убедиться, что матрица - невырожденная. 2. Найти обратную к матрице матрицу . 3. Вектор-решение системы получить по формуле  

 

Тренинг по решению задач

 

Задание

 

Вычислить матрицу , обратную матрице , с помощью алгебраических допол-нений.

 

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

.

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

Задание 4

 

.

 

 

Задание 5

 

Найти матрицы, обратные к матрицам A и B:

, .

Убедиться, что матрицы A и B взаимно обратны, т.е. .

Указание: умножить матрицу A на B. Чему равно произведение AB?

 

 

2. Задачи для самостоятельного решения:

 

Номер варианта каждого студента совпадает с его номером в списке группы. Задание состоит из двух задач.

Задача 1. Дана матрица C и вектор .

Используя метод элементарных преобразований Гаусса, определить:

1) ранг матрицы C;

2) общее решение однородной системы уравнений , где

, – вектор неизвестных, – вектор правых частей однородной системы. Выписать решения в координатной и векторной формах;

3) совместна ли неоднородная система уравнений ?

Если совместна, найти ее общее (или единственное) решение в координатной и векторной формах.

Задача 2. Даны матрицы A и вектор . Считая вектор вектором неизвестных, выписать систему уравнений :

1) вычислить определитель матрицы A, убедиться, что матрица A невырожденна, ;

2) найти матрицу ;

3) решить неоднородную систему , найти вектор-решение;

4) найти произведение матрицы на вектор .

 

№ варианта Задача 1 Задача 2
№ варианта Задача 1 Задача 2
№ варианта Задача 1 Задача 2
№ варианта Задача 1 Задача 2

 

– Конец работы –

Используемые теги: методические, рекомендации, проведению, практических, занятий, выполнению, контрольных, работ, Дисцеплина, ная, Алгебра0.143

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Методические рекомендации По проведению практических Занятий и выполнению контрольных работ дисцеплина Линейная алгебра

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Методические указания по выполнению контрольной работы Страхование: Методические указания по выполнению контрольной работы / Новосиб
ФГОУ ВПО Новосибирский государственный аграрный университет... Экономический институт Страхование...

Контрольная работа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Для самостоятельной работы и к выполнению контрольной работы для студентов заочного обучения всех специальностей
Информатика... Контрольная работа... Для направлений бакалавриата Землеустройство и кадастры...

БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И ФИНАНСОВО-КРЕДИТНАЯ СИСТЕМА Методические рекомендации по изучению предмета. Задания для контрольных работ и рекомендации по их выполнению для учащихся заочной формы обучения
УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БРЕСТСКОГО ОБЛИСПОЛКОМА... УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ...

Пример выполнения контрольной работы В данном документе показаны способы выполнения заданий в Excel, типичных для всех вариантов контрольной работы №2
В данном документе показаны способы выполнения заданий в Excel типичных для всех вариантов контрольной работы В отчет по работе который... Имеется таблица с наименованиями работ В таблице приведены данные по учету выполнения этих работ бригадами...

Учебное пособие Для выполнения практических и контрольных работ "Линейная алгебра” Пермь 2010
высшего профессионального образования... Пермский государственный технический университет... Учебное пособие Для выполнения практических и контрольных работ...

Методические указания для проведения практических занятий и выполнения самостоятельной работы Б1.В.4 Основы бухгалтерского учета и финансЫ в АПК
Кафедра бухгалтерского учета и анализа...

Контрольная работа № 1 Для правильного выполнения заданий контрольной работы №1 необходимо изучить следующие разделы курса английского языка
Для правильного выполнения заданий контрольной работы необходимо изучить следующие разделы курса английского языка... видовременные формы глагола в действительном залоге... а Present Past Future Indefinite tense...

Приобрести студентам основные навыки практической работы с клавиатурой ПК при выполнении практических работ в Microsoft Office
Современные сервисные пакеты прикладных программ ППП Microsoft Office... Такое положение привело к мысли разработать и составить практическое руководство в котором процесс освоения...

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ по дисциплине Электротехника и электроника
Учреждение образования Брестский государственный технический университет...

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по дисциплине «ВВЕДЕНИЕ В ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКУЮ СПЕЦИАЛЬНОСТЬ» И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для ЕЕ выполнения
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Российский государственный профессионально педагогический университет...

0.059
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам