Методические указания и контрольные работы

Вологодский государственный технический университет

Кафедра высшей математики

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЛОГИКА

Методические указания и контрольные работы

для студентов заочной формы обучения

 

Вологда 2011

УДК:511.147:511.61/62

 

 

Математическая логика. Контрольная работа и методические указания для студентов заочной формы обучения. – Вологда: ВоГТУ, 2011.

 

В методических указаниях приведены правила выполнения и оформления контрольных работ, задания для контрольных работ, образцы решения и оформления контрольных работ.

 

Составитель: А.Б. Назимов – канд. физ.-мат. наук, доцент

 

 

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.

 

1. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра – номера его зачетной книжки.

2. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку (чернилами синего или черного цвета).

3. Образец оформления титульного листа (обложки) тетради приведен на доске объявлений деканата ФЗДО.

4. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.

5. Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контрольной работе.

6. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

7. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (рисунки).

8. Компьютерное оформление работы не рецензируется.

9. Выполненная контрольная работа сдается на кафедре в первый день зимней сессии.

 

 

 

Задания

для контрольных работ

Задание № 1. Даны множества и . Найти:

а) , б) , в) , г) , д) .

 

 

Вариант № 6

, .

 

Задание № 2. Доказать равенство множеств.

 

 

Вариант № 6

.

 

Задание № 3. Дано бинарное отношение на множестве . Найти: а) ; б) ; г) ; д) ; д) ; е) .

 

 

Вариант № 6

, .

 

Задание № 4. С помощью равносильных формул (элементарных тавтологий) доказать тождественно истинность данной формулы (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).

 

 

Вариант № 6

.

 

Задание № 5. Используя основные тавтологии, построить равносильные данной формуле ДНФ и КНФ. (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).

 

Вариант № 6

.

 

 

Задание № 6. Построив таблицу истинности данной формулы, построить равносильные ей СДНФ и СКНФ.

 

 

Вариант № 6

.

 

 

Задание № 7. Для данной формулы алгебры высказываний построить многочлен Жегалкина.

 

 

Вариант № 6

.

 

 

Задание № 8. Упростить данную релейно-контактную схему.

 

Вариант № 6

 

 

 

Образцы решения

и оформления заданий

Задание № 1.

Даны множества и . Найти:

а) , б) , в) , г) , д) .

 

, .

 

Решение.

Решим уравнение   .

Задание № 2.

Доказать равенство множеств.

 

.

 

Решение.

  а) Доказательство включения :  

Задание № 3.

Дано бинарное отношение на множестве . Найти:

а) ;

б) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

 

и делит , .

 

Решение.

   

Решение.

  ;  

Решение.

  ;  

Решение.

  Итог …   Для построения СДНФ обратимся к значениям «1» в столбце «Итог». Каждому значению «1» сопоставим одну ПЭК по следующему…

Решение.

Упростим данную формулу (естественно, если упрощение возвожно). Запишем данную формулу:   ;

Решение.

   

Краткий теоретический материал

Основные понятия теории множеств

Понятие множества относится к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Под понятием множества будем понимать любую определенную совокупность объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – прописными. Если объект является элементом множества , то используется обозначение: , если же объект не является элементом множества , то используется обозначение: .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Если множество состоит из элементов , то используется обозначение . В этом случае будем говорить, что множество задано перечислением его элементов.

Обозначения для некоторых, часто используемых, множеств:

 

 

– множество натуральных чисел;

 

 

– множество целых чисел;

– множество вещественных чисел.

Множество можно задавать и с помощью характеристического предиката. Например, множество рациональных чисел можно записать следующим образом:

 

.

 

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и обозначается .

Если каждый элемент множества является также элементом множества , то множество называется подмножеством множества и обозначается :

 

.

 

Приведем ещё одно определение равенства двух множеств и . Два множества и называются равными, если каждое из них являются подмножеством другого:

 

.

 

 

Операции над множествами

Объединением двух множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы множества и все элементы множества . Объединение множеств и обозначается :

 

.

 

Пересечениемдвух множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы, принадлежащие множествам и одновременно. Пересечение множеств и обозначается :

.

 

Разностьюдвух множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы множества (первого множества), не принадлежащие множеству (второму множеству):

 

.

 

 

Бинарное отношение

  :  

Действия над высказываниями

Отрицанием высказывания называется новое высказывание , которое истинно, если – ложно, и ложно, если – истинно. Таблица истинности отрицания имеет… Дизъюнкцией (логическим максимумом) двух высказываний и называется новое… Конъюнкцией (логическим минимумом) двух высказываний и называется новое высказывание , которое истинно в том и только…

Формулы алгебры высказываний

Формулой алгебры высказываний (формулой) называется 1) любое высказывание (высказывательное переменное); 2) если и – формулы, то , , , , – тоже формулы;

Основные тавтологии

1. – коммутативность дизъюнкции; 2. – коммутативность конъюнкции; 3. – ассоциативность дизъюнкции;

Нормальные формы

(*) – высказывательные переменные. Элементарной дизъюнкцией (ЭД)называется дизъюнкции любых переменных из (*) или их отрицания . Например, если и набор…

Функции алгебры логики

, где каждая переменная принимает два значения 0 и 1: , и при этом сама функция… Число различных булевых функций переменных равно . В частности, различных булевых функций одной переменной четыре, а…

Многочлен Жегалкина

. Таблица значений сложения по модулю 2 имеет вид               …