ЛЕКЦІЇ з дисциплін: Інформатика

 

ЛЕКЦІЇ

з дисциплін:

«Інформатика» - для груп: ЕП-12з, ОХП-12з, ХТ-12з, ОА-12з;

«Інформатика і системологія» - для групи ПЕО-12з;

«Комп’ютерні технології та програмування» - для групи АТП-12з;

«Комп’ютерно-програмні засоби в інженерії» для груп КІ-12з, РЕА-12з..

для студентів заочної форми навчання

Тема: «Інженерні розрахунки в MathCad».

 

2 семестр

Зміст

 

Лекція №1

Тема: Засіб автоматизації науково-дослідних робіт - система Mathcad.

Лекція №2

Тема: Ранжована змінна. Організація циклічних обчислень.

Лекція № 3

Тема: Побудова плоских і об'ємних графіків.

Лекція № 4

Тема: Розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.

Лекція № 5

Тема : Розв’язання нелінійних рівнянь і систем нелінійних рівнянь

Лекція №6

Тема: Розв’язання задач оптимізації

 

Лекція №1

Тема: Засіб автоматизації науково-дослідних робіт - система Mathcad.

План лекції:

1. Основний інструментарій системи Mathcad.

2. Панель Математика.

3. Засоби для роботи з матрицями і векторами.

 

Основний інструментарій Mathcad

Основні можливості

Вікно редагування

Після запуску пакету Mathcad на екрані з'являється вікно редагування Mathcad-документа (мал. 1). Це вікно отримує назва Безіменний: до (Untitled:k),… У вікні редагування при використанні смуг прокрутки виявляються тьмяні… Всі записи Mathcad-документа представляються у вигляді блоків. Якщо клацнути лівою кнопкою миші за даними усередині…

Головне меню системи

Використання інструментальних і набірних панелей

Mathcad має три панелі інструментів – Стандартну (Standard), Форматування (Formatting) і Математики (Math), зображені на мал. 2.  

Панель інструментів Математика

Мал. 3. Підпанель Калькулятор Кнопка викликає підпанель Графіки (Graph) (рис.4) для побудови двомірних і тривимірних графіків.

Прийоми роботи з системою MathCad

G Але користувачеві потрібно знати точний опис алгоритму рішення задачі. Документи програми MathCad називають Робочим Листом. Документи об'єднують: ü опис математичного алгоритму рішення задачі, включаючи результати обчислень;

Введення тексту

Створити текстовий блок дозволяє команда Insert ® Text Region ( Вставка ®vТекстовий блок ) або натиснення символу ”(лапки). Після чого обовязково… У текстовому блоці курсор має вид червоної вертикальної межі і відзначає місце…

Введення формул

Спілкування користувача з системою MathCad відбувається на математично орієнтованій вхідній мові, яка є типовою мовою візуального програмування. Ця мова настільки наближена до звичайної математичної мови опису обчислювальних завдань, що майже не вимагає програмування, що не звільняє користування від чіткого представлення опису алгоритму рішення поставленої задачі.

Формула-основний об'єкт Робочого Листа.Щоб почати введення формули, треба встановити курсор у потрібне місце і почати введення формул. При цьому створюється область формули, в якій з'являється кутовий курсор û або ë, вказуючий напрям і місце введення. Для розширення охопленої кутовим курсором області можна користуватися клавішею пробіл. Набір формул дуже нагадує роботу з Редактором Формул в Word.

 

Формульний вираз в MathCad може складатися з:

· констант

· змінних

· функцій

· операторів

· круглих дужок ( для управління порядком операцій).

Елементи формул можна вводити з клавіатури або за допомогою Математичної панелі.

Основні визначення

Оператори

Оператори – це спеціальні символи, вказуючі на виконання тих або інших операцій:+ ; - ; ´ ; / і так далі, тобто аналогічні знакам операцій в математиці. Окрім цього в MathCad прийняті:

 

Оператори	Призначення
:=	Символ привласнення
=	Символ виведення результату
	Знак рівності в логічних операціях порівняння.

Змінні

Змінні – пойменовані об'єкти, яким можна привласнювати різні значення. Імена змінних називають ідентифікаторами. Ідентифікатор в системі MathCad може мати будь-яку довжину. При їх заданні можна використовувати латинські і грецькі букви і цифри.

Обмеження:

ü починатися ідентифікатор винен з букви

ü пропуски і знаки арифметичних операцій в ідентифікаторі не допускаються

ü малі і великі букви в ідентифікаторі різні

ü ідентифікатори мають бути унікальні, тобто не можуть збігатися з іменами вбудованих функцій.

Задання змінним значень називається привласненням. Знак привласнення в MathCad має вигляд : =

Знак привласнення виводиться після натиснення символу двокрапка (:) або вибору з Панелі Арифметики.

GДо першого привласнення значення змінної не визначене (не має значення), тому = ( знак рівності спрацьовує як знак привласнення.)

Приклади:

1. x:=5 ( змінній x привласнено значення 5 )

2. Anna:=3 (змінній Anna привласнено значення 3 )

3. Щоб обрахувати значення виразу при х=2 і а = 1 необхідно виконати наступні оперції в такій послідовності:

 

Операція	Результат
Присвоїти змінним х і а їх значення.
На панелі Calculator вибрати функцію sin
Набрати на клавіатурі х а потім клацнути кнопку на панелі Calculator і клавішу Пробіл на клавіатурі для розширення курсору
Ще раз нажати клавішу Пробіл для розширення курсору
Набрати знак + і цифру 3
Нажати клавішу Пробіл
Нажати кнопку (операція ділення) на панелі Calculator
Нажати кнопку на панелі Calculator
Набратиа +2
3 рази нажати клавішу Пробіл
Клацнути кнопку на панелі Calculator
Набрати (х – 4 ) = і отримуємо результат

 

Масиви

Массив- набір однотипних змінних, що мають загальне ім'я і що розрізняються між собою своїми номерами ( індексами).

Ім'я масиву утворюється також як і ім'я змінної.

MathCad працює з масивами:

ü вектор – (одновимірний масив, місцеположення елементу задається одним індексом);

ü матриця – (двовимірний масив, місцеположення елементу задається двома індексами ).

Змінні, складові масиву називаються елементами масиву.

Для створення масиву та опрацювання елементів масиву викову ристовується панель інструментів Матриці.

Приклади.

1. Створити вектор з пяти елементів.

Для цього іменуємо вектор ідентифікатором А, вставляємо знак привласнення (:=) і клацаємо кнопку на панелі Матриці. В вікні Вставити Матрицю вказуємо кількість рядків (5) і кількість стовпців (1):

 

Далі отримаємо шаблон вектора :

 

, який заповнюємо значеннями елементів вектора:

 

 

.

 

Аналогічно створюється матриця.

Для того щоб провести розрахунки над елементами вектора або матриці необхідно звертатися до їх окремих елементів. Звернення до елементів вектора або матриці проводиться за допомогою індексованої змінної.

Індексована змінна складється з імені вектора (матриці) і індексу – одного для вектора і двох для матриці. Для того щоб добавити індекс необхідно скориставтися кнопкою на панелі Матриці. Якщо наприклад необхідно змінній d присвоїти деякий елемент вектора А, то необхідно:

.

Після чого вказуємо номер елемента:

 

 

Командою (=) виводимо значення змінної d і бачимо, що d присвоєно значення -1, тобто значення елементу, який знаходиться на третьому місці в векторі А. Все вірно. За замовчуванням нумерація елементів вектора розпочинається з нуля. Тому значення -1 має номер 2.

Для звернення до елементів матриці необхідно вказати два індекси, які відділяються комою (,). Наприклад:

 

Змінній с присвоєно значення елементу матриці В, який розташований в другому рядку і першому стовпці.

Причому знову ж таки нумераці номерів рядків і стовпців розпочинається з нуля. Якщо потрібно змінити початок нумерації, то, використовується так звана попередньо визначена змінна ORIGIN (її імя складається виключно з великих букв).

Якщо задати змінній ORIGIN значення 1, то отримаємо:

 

 

Окрім вибору окркмих елементів можна також міняти значення елементів вектора або матриці:

 

Як бачимо значення 0 замінено на значення 8.

 

Робота з векторами і матрицями.

Для роботи з векторами і матрицями Система MathCad містить ряд операторів і функцій.   Ділення всіх елементів вектора а на…

Вбудовані функції для роботи з векторами та матрицями.

Вибравши категорію Vector and Matrix, отримаємо перелік необхідних функцій: …  

Лекція № 2

Тема: Організація циклічних обчислень.

План лекції:

1. Поняття про ранжирувану змінну. Опис ранжованої змінної.

2. Циклічна обробка елементів вектора та матриці.

3. Стандартні функції та функція користувача.

Ранжовані змінні. Основні поняття.

Ранжована змінна – це змінна, яка приймає діапазон зміни значень. Кожне використання такої змінної сприймається, як необхідність провести обчислення… х:= а,a+h .. b, де

Приклад.

Протабулювати функцію, тобто обрахувати значенняфункції f(x) = х² + 2х -3 на відрізку [0 ; 1]в рівновіддалених точках на відстані 0,05.

Очевидно, що для обрахунку необхідно мати координати точок заданого відрізку, які відіграватимуть роль необхідних значень аргументу х функції f(x) .

Обчислення цих значень можна організувати, використавши ранжовану змінну:

Х:= 0, 0+0.05 .. 1

Реалізація обрахунку матиме вид:

 

 

Циклічна обробка елементів вектора та матриці.

Часто виникають задачі, які потребують виконання однотипних операцій над елементами вектора або матриці. В цьому випадку доцільно однотипні операції не повторювати а «зациклити», що забеспечить їх багатократне виконання. Для цього можна використати ранжирувану змінну. Прийоми розв’язання таких задач розглянемо на прикладах.

Приклади циклічного опрацювання елементів вектора та матриці

  Очевидно, що кожний елемент вектора В необхідно обчислити за формулою: bі =… Обчислення за цією формулою треба провести 5 разів, оскільки вектор А містить 5 елементів. Щоб не створювати 5…

.

4. Задана матриця . Створити матрицю D, переставивши в матриці С перший і останній рядки.

На перший погляд здається, що для цього необхідно провести обчислення за формулами:

C_1,j = C_5,j – першому рядку матриці присвоїти елементи п’ятого рядка (де j – номер стовпця),

C_5,j = C_1,j – пятому рядку матриці присвоїти елементи першого рядка.

Але першою дією C_1,j = C_5,j ми втратимо елементи першого рядка. Тому для цього необхідно скористатись деяким проміжним вектором, наприклад Р, в якому тимчасово зберегти ці елементи:

Рj = C_1,j ,

і тільки після цього замінити елементи першого рядка елементами останнього

C_1,j = C_5,j.

А елементи останнього рядка замінити елементами першого, взявши їх з вектора Р:

C_5,j = Р.

Обчислення матимуть вигляд:

 

Лекція № 3

План: 1. Побудова двомірних графіків в координатних осях X-Y. 2. Форматування плоских графіків.

Побудова двомірних графіків в координатних осях X-Y

Два способи побудови графіків

Для побудови графіків в декартовій системі координат MathCad передбачає два способи побудови графіків функцій однієї змінної f(x): 1. Спрощений спосіб без задання значень ранжируваній змінній X (межі X… Послідовність дій наступна:

Побудова декількох графіків в одній графічній області

Приклади побудови двомірних графіків 1-м способом: Як тільки буде набрана кома після виразу першої функції появиться новий заповнювач (квадратик)…   Після чого отримаємо графіки двох функцій.

Використання функції користувача

Щоб не перевантажувати графічну область виразами для функцій можна заздалегідь описати функції як функції користувача. Не дивлячись на досить широкий набір вбудованих функцій, часто виникає… Функція користувача – об'єкт вхідної мови, яка має ім'я і параметри, що указуються в круглих дужках. Ім'я функції…

Name(список формальних параметрів):= Вираз

список формальних параметрів –в дужках указується список аргументів функції, розділених комами. Вираз –будь-який вираз, що містить доступні системі оператори і функції з…  

Форматування графіка

Для того, щоб відформатувати графік, його потрібно виділити (клацнути по графічній області) і подати команду:

Format ® Graph ® X-Y Plot

1). Вкладка X-Y Axes (X-Y осі) задає характер відображення осей. Log Scale(Логарифмічна шкала) - установка логарифмічного масштабу. Crid Lines( Допоміжні лінії) –…

Побудова об'ємних графіків поверхонь

1. Описати функцію z(x,y) як функцію користувача двох змінних x і у. 2. Використовуючи палітру Графіки, відкрити шаблон тривимірної графіки кнопкою… 3. На єдине місце введення під шаблоном ( n ) ввести ім’я функції z.

Приклад форматування вище побудованого графіка.

Побудова графіка функції, заданої таблично.

то для побудови її графіка необхідно створити два вектори: вектор Х, заповнивши його значеннями аргумента х і вектор У, заповнивши його значеннями… А потім, вставивши графічну область, в заповнювач під віссю х вставити вектор…  

Лекція № 4

Тема 1: Розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.

Мета роботи: Освоїти спосіб реалізації матричного методу рішення системи лінійних рівнянь в середовищі MathCAD.

Постановка задачі.

Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD. Рішення системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою

Приклад.

7.5x - 3y +2z -t = 0, 3x - 9.1y +z +2t = 2.3, x + 3.1y + 7z -3t = - 5.5,

Лекція № 5

Тема : Розв’язання нелінійних рівнянь і систем нелінійних рівнянь.

План лекції:

1. Етапи розвязання нелінійних рівнянь..
2. Уточнення коріння рівняння.
3. Вирішення систем нелінійних рівнянь.

Вирішення нелінійних рівнянь.

f(x)= 0(2) Залежно від виду функції f(x) рівняння (2) буде: ü алгебрайчним

Знайти корінь нелінійного рівняння із заданою точністю e в програмі MathCAD.

Постановка задачі.

1 етап – відділення коренів – виділення відрізка, що належить області існування функції f(x) , на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коренів будують графік функції f(x). Абсциси точок перетину… 2 етап – уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю e .

Приклад.

1 етап. Графічне відділення коренів рівняння.   1). Побудуємо графік функції f(x) = x3 + sin(x – 3) +1.

Вирішення систем нелінійних рівнянь.

Дана система двох рівнянь з двома невідомими

, де F1 і F2 нелінійні функції.

 

Потрібно знайти дійсні корені (значення х0 і у0, які перетворюють обидва рівняння системи на тотожність)з заданим ступенем точностіe.

Для знаходження початкових значень х0 і у0 виконують настурні дії: ü Приводять систему до вигляду - еквівалентна система.

Приклад.

Постановка задачі.

Розв’язати систему нелінійних рівнянь: sin(x) + sin(y)-1.3 = 0, y2 –x2 +x = 0.

Лекція №6

Тема: Розв’язання задаx оптимізації.

План:

1. Задача одновимірної оптимізації і її рішення.
2. Задача багатовимірної оптимізації і її рішення.

Завдання оптимізації.

G - завдання одновимірної оптимізації G - завдання багатовимірної оптимізації. Одновимірна оптимізація розглядає функції, залежні від однієї змінної.

Задача одновимірної оптимізації.

Постановка завдання:

Дана функція y=f(x)

Потрібно визначити мінімальне значення функції min f(x)

Методи мінімізації дозволяють визначити точку мінімуму функції, тобто таке значення x*, при якому функція досягає min значення . f_min=((x*). При цьому задається точність, яка визначає наближене значення точки мінімуму функції.

Ця задача розвязується в два етапи:

Графічним методом проводиться пошук початкового значення точки мінімума.

Для цього необхідно побудувати графік функції f(x).

Проаналізувати чи має вона мінімум і, якщо так,

то з графіку наближено визначити при якому значенні аргументу х

цей мінімум досягається.

Потім початкове значення точки мінімума уточнюється до заданого ступена точності e.

У MathCad цю задачу можна вирішити за допомогою вирішального блоку. У тілі блоку записуємо необхідну умову екстремуму функції, що диференціюється.

Приклад.

Знайти мінімальне значення функції

Функція має мінімум на відрізку ( 0,5; 2)

Рішення задачі багатовимірної оптимізації.

Багато інженерних завдань зводяться до знаходження мінімуму або максимуму функції декілька змінних. Основною метою вирішення завдань управління… Розглянемо рішення даної задачі на прикладі функції два змінних. Постановка завдання.