ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ковровская государственная технологическая академия имени

В.А. Дегтярева»

 

 

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Учебно-методическое пособие   Составители:

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.………………………………………………………………………
Раздел 1. Теория вероятностей………...………………………....................
Раздел 2. Математическая статистика.…....………………………………
Задания для самостоятельной работы студентов.………………………….
Пример выполнения заданий самостоятельной работы студентов ….……
Литература………………….…………………………………………………

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Настоящее учебно-методическое пособие включает в себя краткие теоретические сведения из основных разделов теории вероятностей и математической статистики, задания для самостоятельной работы студентов и пример выполнения одного варианта заданий. В конце пособия приведён список литературы.

Содержание пособия подчинено требованиям современного государственного образовательного стандарта по математике для технических специальностей, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику или их разделы. Краткие теоретические сведения разделов пособия даны в объёме достаточном для решения заданий самостоятельной работы студентов. Сами задания содержат условия 25 задач (по 30 вариантов каждой) для самостоятельных работ по темам: «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Методы математической статистики».

Материалы пособия предназначены для студентов, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику или их разделы, будут полезны преподавателям для составления заданий самостоятельной работы студентов.

 

 

РАЗДЕЛ 1. Теория вероятностей

 

Комбинаторные формулы

Декартовым произведением множеств и называют множество , состоящее из пар элементов этих множеств. Число элементов множестваназывают его мощностью и обозначают. Число элементов декартова произведения множеств и равно произведению мощностей этих множеств .

Теоремы алгебры событий

 

Суммой двух событий и (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в , либо в .

Произведением двух событий и (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих как в , так и в .

События и называются несовместными, если в результате опыта не могут наступить одновременно. События и называются независимыми, если вероятность появления одного из них не… Вероятность события при условии, что произошло событие , называется условной вероятностьюи обозначается .

Основные теоремы

2. ; 3. ; 4. , если ;

Формула полной вероятности и формула Байеса

Набор событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие: . Теорема 1 (формула полной вероятности). Пусть - полная группа. Тогда для любого события .

Дискретная случайная величина и её характеристики

Функция , заданная на пространстве элементарных событий , называется случайной величиной. Случайная величина называется дискретной, если пространство элементарных… Соответствие, которое каждому значению дискретной случайной величины сопоставляет его вероятность , называется законом…

Свойства функции распределения

1. ;

2. .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют число .

Свойства математического ожидания

2. , если - постоянна; 3. ; 4. , если и независимы.

Непрерывная случайная величина и её характеристики

Если функция распределения случайной величины представима для каждого в виде , то функция , , называется плотностью распределения вероятностей случайной… Свойства плотности распределения вероятности

Законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть - случайная величина, равная числу появлений события в серии из независимых повторных испытаний, где… Математическое ожидание и дисперсия определяются формулами: .

Предельные теоремы теории вероятностей

 

Закон больших чисел. Если проводится независимых одинаковых случайных экспериментов, в каждом из которых может наступить или не наступить событие , то частота появления этого события будет стремиться к вероятности этого события.

Предельные формулы для схемы Бернулли

. Формула применяется при больших и маленьких . Формулы Муавра-Лапласа: Локальная

РАЗДЕЛ 2. Математическая статистика

Обработка результатов опытов

Выборкой объёма , отвечающей случайной величине с функцией распределения , называется набор независимых случайных величин , каждая из которых имеет… Количество одинаковых значений величин в выборке называют частотой элемента… Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке , называется функция

Точечные оценки неизвестных параметров и методы их получения

Оценка математического ожидания по выборке . Оценка дисперсии

Интервальные оценки неизвестных параметров

Интервал называется доверительным интервалом для оценки параметра , отвечающим доверительной вероятности , если . Доверительный интервал для математического ожидания

Проверка статистических гипотез

Критерий Проверить гипотезу о том, что заданная функция является функцией распределения… Уровень значимости это вероятность отвергнуть правильную гипотезу.

Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов

Согласно метода наименьших квадратов значения неизвестных параметров будем искать, как решение задачи: , которая сводится к решению системы: .

Ошибки прямых и косвенных измерений

Под прямыми измерениями понимают измерения, полученные непосредственно с помощью прибора. Под косвенными измерениями понимают результаты, полученные на основе расчёта с… Если - точное значение измеряемой величины , то , где - ошибка измерения.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

 

Задача № 1

1.1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

1.2. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

1.3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?

1.4. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

1.5. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

1.6. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих пяти языков?

1.7. В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, …, 10. из нее вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?

1.8. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

1.9. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в каждой команде, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

1.10. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

1.11. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого?

1.12. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?

1.13. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

1.14. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется не менее двух тузов?

1.15. В местком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

1.16. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 28 букв русского алфавита.

1.17. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

1.18. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 8 открыток?

1.19. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

1.20. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых?

1.21. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

1.22. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы одной руки, исключая большой палец?

1.23. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется только один раз?

1.24. Сколько различных браслетов можно сделать из пяти одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

1.25. В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, …, 10. из нее вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9?

1.26. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти?

1.27. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три – нечетные?

1.28. Сколькими способами можно разложить 9 книг на 4 бандероли по 2 книги и 1 бандероль в 1 книгу?

1.29. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов?

1.30. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Задача № 2

Варианты 1 – 8. Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что

2.1. сумма числа выпавших очков равна 7 или 9.

2.2. сумма числа очков больше 5.

2.3. разность числа выпавших очков не меньше 2.

2.4. произведение числа выпавших очков не больше 8.

2.5. сумма числа выпавших очков больше 5, но меньше 10.

2.6. сумма числа выпавших очков больше 8, а разность меньше 4.

2.7. разность числа выпавших очков меньше 4, а произведение больше 6.

2.8. сумма числа выпавших очков больше 6, а частное от деления большего числа на меньшее является целым числом.

Варианты 9 – 16. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно , i=1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся изделий. Определить вероятность того, что среди них первосортных, , и второго, третьего и четвертого сорта соответственно ().

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

Варианты 17 – 23. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что все вышли на разных этажах.

2.17. k=6, n=4. 2.18. k=8, n=5. 2.19. k=10, n=6. 2.20. k=11, n=4.

2.21. k=12, n=4. 2.22. k=7, n=3. 2.23. k=13, n=3.

Варианты 24 – 30. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных.

2.24. n=10, k=6, m=4, l=2. 2.25. n=11, k=7, m=5, l=2.

2.26. n=12, k=5, m=8, l=3. 2.27. n=9, k=6, m=4, l=2.

2.28. n=8, k=5, m=4, l=2. 2.29. n=10, k=5, m=6, l=4.

2.30. n=9, k=6, m=3, l=2.

 

Задача № 3

Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке [0;1]. Найти вероятность того, что

3.1. координата первой точки меньше удвоенной координаты второй точки.

3.2. разность координат двух точек больше 0,5.

3.3. сумма координаты первой точки и удвоенной координаты второй меньше 1,5.

3.4. частное от деления координаты первой точки на координату второй больше 0,5.

3.5. разность координат двух точек меньше 1/3.

3.6. частное от деления координаты второй точки на квадрат разности координаты первой точки и 0,25 больше 1.

3.7. произведение координат точек больше 0,25.

3.8. сумма координат точек в 5 раз меньше произведения координат.

3.9. утроенное произведение координат точек меньше суммы квадратов координат этих точек.

3.10. разность между квадратом координаты первой точки и квадратом координаты второй больше 0,25.

3.11. частное от деления координаты первой точки на куб разности координаты второй точки и 0,5 больше 1.

3.12. разность координат двух точек больше 1/4.

3.13. частное от деления координаты первой точки на квадрат разности координаты второй точки и 0,5 больше 0,5.

3.14. произведение координат точек меньше 0,25.

3.15. сумма координат точек в 5 раз больше произведения координат.

3.16. утроенное произведение координат точек больше суммы квадратов координат этих точек.

3.17. частное от деления координаты второй точки на куб разности координаты первой точки и 0,25 больше 1.

3.18. разность между квадратом координаты второй точки и квадратом координаты первой больше 0,25.

3.19. сумма координаты первой точки и удвоенной координаты второй больше 1,5.

3.20. частное от деления координаты второй точки на квадрат разности координаты первой точки и 0,25 меньше 1.

3.21. разность между квадратом координаты первой точки и квадратом координаты второй меньше 0,25.

3.22. частное от деления координаты первой точки на квадрат разности координаты второй точки и 0,5 меньше 1,5.

3.23. сумма координат двух точек больше суммы квадратов координат этих точек.

3.24. частное от деления координаты первой точки на куб разности координаты второй точки и 0,5 меньше 0,75.

3.25. разность между квадратом координаты второй точки и квадратом координаты первой меньше 0,25.

3.26. сумма координат точек больше 0,5 и меньше 1.

3.27. сумма координат двух точек меньше суммы квадратов координат этих точек.

3.28. разность координат двух точек меньше удвоенной координаты первой точки.

3.29. координата второй точки меньше удвоенной разности координаты первой точки и 0,25.

3.30. координата одной точки более чем в двое меньше координаты другой точки.

 

Задача № 4

Варианты 1 – 16. В двух партиях и % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них только одно доброкачественное.

4.1. 4.2. 4.3.

4.4. 4.5. 4.6.

4.7. 4.8. 4.9.

4.10. 4.11. 4.12.

4.13. 4.14. 4.15.

4.16.

Варианты 17 – 30. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым – . Первый сделал , второй – выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4.25.4.26.

4.27. 4.28.

4.29. 4.30.

Задача № 5

Варианты 1 – 10. Из 1000 ламп принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа.

а) Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

б) Выбранная лампа оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа из j-й партии.

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

Варианты 11 – 20. В первой урне белых и черных шаров, во второй белых и черных. Из первой во вторую переложено шаров, затем из второй извлечен один шар.

а) Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

б) Извлеченный шар оказался белым. Найти вероятность того, что во вторую урну переложили белых шаров.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

Варианты 21 – 30. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет % изделий (i=1, 2, 3). Среди изделий i-го завода % первосортных. Куплено одно изделие.

а) Найти вероятность того, что купленное изделие – первосортное.

б) Купленное изделие оказалось первосортным. Определить вероятность того. Что это изделие выпущено j-м заводом.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

5.30.

Задача № 6

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Куплено билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.

6.1. 6.2. 6.3.

6.4. 6.5. 6.6.

6.7. 6.8. 6.9.

6.10. 6.11. 6.12.

6.13. 6.14. 6.15.

6.16. 6.17. 6.18.

6.19. 6.20. 6.21.

6.22. 6.23. 6.24.

6.25. 6.26. 6.27.

6.28. 6.29. 6.30.

Задача № 7

Варианты 1 – 16. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна . Какова вероятность того, что при выстрелах стрелок поразит мишень раз?

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.

7.7. 7.8.

7.9. 7.10.

7.11. 7.12.

7.13. 7.14.

7.15. 7.16.

Варианты 17 – 31. При вытачивании гаек наблюдается в среднем % брака. Найти вероятность того, что в партии из гаек ровно гаек окажутся не бракованными.

7.17. 7.18.

7.19. 7.20.

7.21. 7.22.

7.23. 7.24.

7.25. 7.26.

7.27. 7.28.

7.29. 7.30.

Задача № 8

Вероятность наступления некоторого события в каждом из независимых испытаний равна . Определить вероятность того, что число наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.

Варианты 1 – 10:

Варианты 11 – 20:

Варианты 21 – 30:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

8.11. 8.12.

8.13. 8.14.

8.15. 8.16.

8.17. 8.18.

8.19. 8.20.

8.21. 8.22.

8.23. 8.24.

8.25. 8.26.

8.27. 8.28.

8.29. 8.30.

Задача № 9

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна . Поступило вызовов. Определить вероятность «сбоев».

9.1. 9.2.

9.3. 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8.

9.9. 9.10.

9.11. 9.12.

9.13. 9.14.

9.15. 9.16.

9.17. 9.18.

9.19. 9.20.

9.21. 9.22.

9.23. 9.24.

9.25. 9.26.

9.27. 9.28.

9.29. 9.30.

Задача № 10

Найти функцию распределения ДСВ , математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины и вероятность попадания в интервал , если случайная величина задана законом распределения

10.1.

X
P	0,1	0,3	0,2	0,4

10.2.

X
P	0,2	0,1	0,3	0,4

10.3.

X
P	0,1	0,1	0,3	0,2

10.4.

X
P	0,1	0,3	0,4	0,2

10.5.

X
P	0,3	0,3	0,2	0,2

10.6.

X
P	0,2	0,5	0,2	0,1

10.7.

X
P	0,1	0,4	0,3	0,2

10.8.

X
P	0,5	0,2	0,2	0,1

10.9.

X
P	0,2	0,4	0,3	0,1

10.10.

X
P	0,3	0,2	0,2	0,3

10.11.

X
P	0,1	0,5	0,2	0,2

 

10.12.

X
P	0,1	0,2	0,3	0,4

10.13.

X
P	0,1	0,3	0,4	0,2

10.14.

X
P	0,3	0,1	0,3	0,3

10.15.

X
P	0,1	0,4	0,3	0,2

10.16.

X
P	0,5	0,2	0,2	0,1

10.17.

X
P	0,1	0,3	0,4	0,2

10.18.

X
P	0,1	0,2	0,2	0,5

10.19.

X
P	0,2	0,3	0,3	0,2

10.20.

X
P	0,3	0,1	0,2	0,4

10.21.

X
P	0,2	0,3	0,1	0,4

10.22.

X
P	0,2	0,2	0,3	0,3

 

10.23.

X
P	0,1	0,5	0,2	0,2

10.24.

X
P	0,1	0,3	0,4	0,2

10.25.

X
P	0,1	0,3	0,3	0,3

10.26.

X
P	0,2	0,5	0,2	0,1

10.27.

X
P	0,3	0,4	0,2	0,1

10.28.

X
P	0,5	0,2	0,2	0,1

10.29.

X
P	0,1	0,3	0,5	0,1

10.30.

X
P	0,4	0,3	0,2	0,1

 

Задача № 11

Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины , вероятность попадания в интервал .

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25.

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

 

Задача № 12

На отрезке случайным образом выбраны чисел, точнее, рассматриваются независимых случайных величин , равномерно распределенных на отрезке . Найти вероятность того, что их сумма заключена между и , т.е. .

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.

12.16.

12.17.

12.18.

12.19.

12.20.

12.21.

12.22.

12.23.

12.24.

12.25.

12.26.

12.27.

12.28.

12.29.

12.30.

Задача № 13

Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины .

13.1. , .

13.2. , .

13.3. , .

13.4. , .

13.5. , .

13.6. , .

13.7. , .

13.8. , .

13.9. , .

13.10. , .

13.11. , .

13.12. , .

13.13. , .

13.14. , .

13.15. , .

13.16. , .

13.17. , .

13.18. , .

13.19. , .

13.20. , .

13.21. , .

13.22. , .

13.23. , .

13.24. , .

13.25. , .

13.26. , .

13.27. , .

13.28. , .

13.29. , .

13.30. , .

Задача №14

Задание 1. По данному графику функции плотности распределения вероятности случайной величины Х (см. рис.1.):

а) определите математическое ожидание случайной величины Х а_х, среднее квадратическое отклонение , медиану М_е, моду М_о и вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) постройте график функции распределения случайной величины F(X).

Задание 2. По данному графику функции распределения случайной величины Х (см. рис.2.):

а) определите математическое ожидание случайной величины Х а_х, среднее квадратическое отклонение , медиану М_е, моду М_о и вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) постройте график функции плотности распределения случайной величины f(X).

Вариант 1

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 2

,

 

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 3

,

 

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 4

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 5

,

 

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 6

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 7

,

 

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 8

,

 

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 9

,

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 10

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 11

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 12

,

 

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 13

,

 

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 14

,

 

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 15

,

 

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 16

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 13

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 18

,

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 19

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 20

,

 

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 21

,

 

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 22

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 23

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 24

,

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 25

,

 

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 26

,

 

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 27

,

 

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 28

,

Рис.1.

Рис.2.

Вариант 29

,

Рис.1.

 

Рис.2.

Вариант 30

,

Рис.1.

 

Рис.2.

Задача № 15

Варианты 1 – 15. Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение , неизвестным является параметр . Используя метод максимального правдоподобия, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .

Варианты 16 – 30. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона , неизвестным является параметр . Используя метод максимального правдоподобия, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5.

15.6.

15.7.

15.8.

15.9.

15.10.

15.11.

15.12.

15.13.

15.14.

15.15.

15.16.

15.17.

15.18.

15.19.

15.20.

15.21.

15.22.

15.23.

15.24.

15.25.

15.26.

15.27.

15.28.

15.29.

15.30.

Задача № 16

Варианты 1 – 15. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона , неизвестным является параметр . Используя метод моментов, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .

Варианты 16 – 30. Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение , неизвестным является параметр . Используя метод моментов, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра . Условия взять из соответствующего варианта задачи №15.

 

Задача № 17

Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией . По выборке объема вычислено выборочное среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности .

17.1.

17.2.

17.3.

17.4.

17.5.

17.6.

17.7.

17.8.

17.9.

17.10.

17.11.

17.12.

17.13.

17.14.

17.15.

17.16.

17.17.

17.18.

17.19.

17.20.

17.21.

17.22.

17.23.

17.24.

17.25.

17.26.

17.27.

17.28.

17.29.

17.30.

 

Задача № 18

Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией. По данной выборке найти доверительный интервал для математического ожидания, отвечающий доверительной вероятности .

18.1.

18.2.

18.3.

18.4.

18.5.

18.6.

18.7.

18.8.

18.9.

18.10.

18.11.

 

 

18.12.

18.13.

18.14.

18.15.

18.16.

18.17.

18.18.

18.19.

18.20.

18.21.

18.22.

 

 

18.23.

18.24.

18.25.

18.26.

18.27.

18.28.

18.29.

18.30.

 

Задача № 19

В результате опытов получена несмещенная оценка для дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности .

19.1. 19.2.

19.3. 19.4.

19.5. 19.6.

19.7. 19.8.

19.9. 19.10.

19.11. 19.12.

19.13. 19.14.

19.15. 19.16.

19.17. 19.18.

19.19. 19.20.

19.21. 19.22.

19.23. 19.24.

19.25. 19.26.

19.27. 19.28.

19.29. 19.30.

Задача № 20

По данной выборке признака найти выборочную среднюю, исправленную дисперсию и моду. Построить полигон (гистограмму) частот.

20.1.

20.2.

	2-5	5-8	8-11	11-14	14-17	17-20	20-23

20.3.

20.4.

	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40

20.5.

20.6.

	1-5	5-9	9-13	13-17	17-21	21-25	25-29

20.7.

20.8.

	2-5	5-8	8-11	11-14	14-17	17-20	20-23

20.9.

20.10.

	9-15	15-21	21-27	27-33	33-39	39-45	45-51

20.11.

20.12.

	1-8	8-15	15-22	22-29	29-36	36-43	43-50

20.13.

20.14.

	6-9	9-12	12-15	15-18	18-21	21-24	24-27

 

20.15.

20.16.

	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16

20.17.

20.18.

	1-5	5-9	9-13	13-17	17-21	21-25	25-29

20.19.

20.20.

	3-10	10-17	17-24	24-31	31-38	38-45	45-52

20.21.

20.22.

	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19	19-22

20.23.

20.24.

	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17	17-19

20.25.

20.26.

	2-6	6-10	10-14	14-18	18-22	22-26	26-30

20.27.

 

20.28.

	1-6	6-11	11-16	16-21	21-26	26-31	31-36

20.29.

20.30.

	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19	19-22

Задача № 21

На плоскости даны 6 точек, координаты которых занесены в таблицу. Пусть случайная величина – абсцисса точек, а случайная величина – ордината. Найти коэффициент линейной корреляции. Написать уравнения линейной регрессии на и на .

21.1.

	-1,1	-0,8	-0,4	0,1	0,8	1,3
	-5,7	-5,1	-4,1	-2,9	-1,4	-0,2

21.2.

	-1,2	-0,9	-0,5	0,2	0,9	1,4
	5,1	4,8	4,6	4,1	3,6	3,2

21.3.

	-1,1	-0,8	-0,4	0,1	0,8	1,3
	-1,7	-1,1	-0,4	0,5	1,7	2,6

21.4.

	1,1	2,2	2,9	3,1	3,5	3,8
	-4,7	-8,2	-10,5	-11,1	-12,4	-13,2

21.5.

	-1,2	-0,9	-0,5	0,2	0,9	1,4
	0,7	0,9	1,1	1,9	2,4	2,8

21.6.

	-2,3	-2,1	-1,9	-1,5	-0,1	0,7
	-8,7	-8,1	-7,6	-6,9	-3,4	-1,6

21.7.

	-2,1	-2,1	-1,7	-1,3	0,1	0,9
	5,7	5,1	5,4	5,1	4,1	3,6

21.8.

	-2,3	-2,1	-1,9	-1,5	-0,1	0,7
	-3,8	-3,5	-3,1	-2,4	0,4	1,6

21.9.

	-3,1	-2,9	-1,7	-0,5	0,1	0,9
	8,7	8,1	4,1	0,4	-1,5	-4,2

21.10.

	1,1	2,2	2,9	3,1	3,5	3,8
	2,6	3,5	4,1	4,2	4,4	4,7

21.11.

	0,1	0,4	0,9	1,3	1,7	2,1
	-2,7	-2,3	-1,1	-0,2	0,4	1,6

21.12.

	0,2	0,5	1,1	1,5	1,9	2,3
	4,1	3,9	3,1	3,2	2,9	2,6

21.13.

	0,1	0,4	0,9	1,3	1,7	2,1
	0,7	1,1	1,9	2,6	3,4	4,1

21.14.

	0,1	0,7	1,2	1,9	2,3	3,1
	-1,7	-3,4	-5,1	-7,3	-8,6	-11,1

21.15.

	0,2	0,5	1,1	1,5	1,9	2,3
	1,9	2,1	2,6	2,9	3,4	3,5

21.16.

	1,3	1,5	1,9	2,4	2,8	3,2
	-0,7	0,3	1,1	2,3	3,2	4,2

21.17.

	1,5	1,8	2,1	2,7	2,9	3,3
	3,2	2,9	2,7	2,3	2,4	1,9

21.18.

	1,3	1,5	1,9	2,4	2,8	3,2
	2,7	3,1	3,7	4,6	5,3	6,2

21.19.

	-1,1	-0,6	-0,1	0,1	0,9	1,1
	2,3	0,7	-0,9	-1,5	-4,4	-4,7

21.20.

	-3,1	-2,9	-1,7	-0,5	0,1	0,9
	-0,7	-0,6	0,3	1,3	1,8	2,4

21.21.

	-0,7	-0,1	0,3	0,7	1,2	1,9
	-4,8	-3,1	-2,5	-1,9	-0,4	1,2

21.22.

	-0,6	-0,1	0,5	0,7	1,4	2,1
	4,7	4,3	3,9	3,7	3,2	2,7

 

21.23.

	-0,7	-0,1	0,3	0,7	1,2	1,9
	-0,9	0,1	0,8	1,9	2,5	3,7

21.24.

	-3,1	-2,8	-2,1	-1,9	-0,7	0,5
	8,7	7,8	5,1	4,9	1,1	-2,8

21.25.

	1,5	1,8	2,1	2,7	2,9	3,3
	2,9	3,1	3,3	3,9	4,1	4,3

21.26.

	2,1	3,2	3,9	4,2	4,7	5,1
	1,7	4,1	5,8	6,5	7,6	8,2

21.27.

	2,3	3,1	3,7	3,9	4,1	4,8
	2,7	2,1	1,6	1,5	1,4	0,8

20.28.

	2,1	3,2	3,9	4,2	4,7	5,1
	4,1	6,1	7,1	7,9	8,8	9,5

21.29.

	1,2	1,9	2,3	2,7	3,2	3,8
	-5,1	-7,1	-8,6	-9,8	-11,4	-13,4

21.30.

	0,4	1,2	1,8	2,5	2,9	3,2
	-0,1	-1,1	-1,9	-2,9	-3,3	-3,7

 

Задача № 22.

На плоскости даны 5 точек, координаты которых занесены в таблицу. Найти функциональную зависимость , используя метод наименьших квадратов.

22.1.

	-1,5	-0,5		1,4	2,3
	-5,2	-2,9	-1,7	1,5	3,6

22.2.

		0,5	1,2	1,7	2,3
	2,1	1,8	0,1	-1,9	-5,3

22.3.

	-2	-1
	1,1	1,9	3,5	6,7	13,2

22.4.

	-1,1	-0,5	0,1	1,2	1,7
	1,9	0,6	0,2	1,4	2,9

22.5.

	-1,5	-0,5	0,5	1,5	2,3
	4,9	3,2	1,5	-0,3	-1,6

22.6.

	0,1	0,7	1,3	2,1	3,2
	-1,4	-0,4	2,1	7,9	20,1

22.7.

	-3	-2	-1
	-3,2	-3,3	-3,4	-3,5	-3,8

22.8.

	-1,1	-0,3	0,5	1,6	2,5
	-1,8	-0,6	0,2	0,9	1,2

22.9.

	-2,3	-1,7	-0,8	0,7	1,4
	1,5	1,9	2,5	3,6	4,1

22.10.

	0,3	0,9	1,4	1,9	2,7
	2,7	3,1	3,7	4,5	6,3

22.11.

	-2,1	-1,3	0,2	1,7	3,1
	-6,5	-4,7	-1,2	2,2	5,4

22.12.

	-0,2	0,2	0,9	1,3	1,7
	2,0	2,1	0,9	-0,3	-1,9

22.13.

	-3	-2
	0,7	1,1	3,5	13,2	26,1

22.14.

	0,1	1,3	2,5	2,9	3,1
	0,2	1,7	6,3	8,6	9,8

22.15.

	0,7	1,2	2,3	2,9	3,1
	1,1	0,3	-1,6	-2,6	-2,9

22.16.

	-0,5	-0,1	0,2	1,3	2,5
	-0,9	-1,4	-1,3	2,1	11,7

22.17.

	-2	-1
	-3,3	-3,4	-3,8	-4,4	-5,7

22.18.

	0,7	1,3	2,4	2,7	3,5
	0,4	0,8	1,2	1,2	1,1

22.19.

	0,2	1,3	1,5	2,4	3,1
	3,2	4,0	4,2	4,8	5,3

 

22.20.

	-0,7	0,3	1,2	2,1	2,8
	2,9	2,7	3,4	4,9	6,6

22.21.

	0,1	1,2	1,7	2,1	2,5
	-1,5	1,1	2,2	3,1	4,1

22.22.

	-4,1	-3,8	-3,2	-2,7	-2,1
	-21,4	-18,1	-12,2	-8,1	-4,1

22.23.

	-1
	1,9	6,7	13,2	26,1	51,8

22.24.

	-2,1	-1,9	-0,7	0,1	0,4
	5,7	4,7	0,9	0,2	0,3

22.25.

	-0,4	0,1	1,7	2,3	2,7
	2,9	2,1	-0,6	-1,6	-2,3

22.26.

	-2,1	-1,7	-1,2	-0,4	1,3
	7,9	4,7	1,6	-1,1	2,1

22.27.

	-1
	-3,4	-3,5	-3,8	-5,7	-8,2

22.28.

	-2,1	-1,8	-0,3	0,4	1,7
	-3,5	-2,9	-0,6	0,1	0,9

22.29.

	-3,5	-3,1	-2,4	-0,4	1,3
	0,7	0,9	1,4	2,8	4,1

22.30.

	-2,3	-1,7	-0,5	0,7	1,5
	5,8	3,9	0,3	-3,2	-6,0

 

Задача № 23

Варианты 1 – 15. В итоге проверки получено эмпирическое распределение. Случайная величина принимает значения в интервалах (0,1), (1,2), (2,3), (3,4) и (4,5) с соответствующими частотами . Требуется при уровне значимости проверить по критерию гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону.

Варианты 16 – 30. В итоге проверки получено эмпирическое распределение. Случайная величина принимает значения 0. 1, 2, 3 и 4 с соответствующими частотами . Требуется при уровне значимости проверить по критерию гипотезу о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

23.1.

23.2.

23.3.

23.4.

23.5.

23.6.

23.7.

23.8.

23.9.

23.10.

23.11.

23.12.

23.13.

23.14.

23.15.

23.16.

23.17.

23.18.

23.19.

23.20.

23.21.

23.22.

23.23.

23.24.

23.25.

23.26.

23.27.

23.28.

23.29.

23.30.

Задача №24

Задание №1. Найти точечные оценки ряда (выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное СКО, медиану, моду), построить полигон частот по выборке.

Задание №2. По имеющимся данным выполнить:

1. построить дискретный вариационный ряд;

2. построить интервальный вариационный ряд (количество интервалов равно k);

3. найти точечные оценки ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное СКО, медиану, моду;

4. построить гистограмму частот, полигон частот, полигон накопленных частот.

Задание №3. Смоделировать выборку объёма N, распределённую по нормальному закону с математическим ожиданием a и СКО σ. Построить гистограмму частот, полигон частот, полигон накопленных частот, сравнить с графиками плотности вероятностей и функции распределения соответственно.

Варианты

1.1.

xi
ni

1.2. ; .

1.3. .

2.1

xi
ni

2.2 ; .

2.3 .

3.1.

xi
ni

3.2. ; .

3.3. .

4.1.

xi
ni

4.2. ; .

4.3. .

5.1.

xi
ni

5.2. ; .

5.3. .

 

6.1.

xi
ni

6.2. ; .

6.3. .

7.1.

xi
ni

7.2. ; .

7.3. .

8.1.

xi
ni

8.2. ; .

8.3. .

9.1.

xi
ni

9.2. ; .

9.3. .

10.1.

xi
ni

10.2. ; .

10.3. .

11.1.

xi
ni

11.2. ; .

11.3. .

12.1.

xi
ni

12.2. ; .

12.3. .

13.1.

xi
ni

13.2. ; .

13.3. .

 

 

14.1.

xi
ni

14.2. ; .

14.3. .

15.1.

xi
ni

15.2. ; .

15.3. .

16.1.

xi
ni

16.2. ; .

16.3. .

17.1.

xi
ni

17.2. ; .

17.3. .

18.1.

xi
ni

18.2. ; .

18.3. .

19.1.

xi
ni

19.2. ; .

19.3. .

20.1.

xi
ni

20.2. ; .

20.3. .

21.1.

xi
ni

21.2. ; .

21.3. .

 

 

22.1.

xi
ni

22.2. ; .

22.3. .

23.1.

xi
ni

23.2. ; .

23.3. .

24.1.

xi
ni

24.2. ; .

24.3. .

25.1.

xi
ni

25.2. ; .

25.3. .

26.1.

xi
ni

26.2. ; .

26.3. .

27.1.

xi
ni

27.2. ; .

27.3. .

28.1.

xi
ni

28.2. ; .

28.3. .

29.1.

xi
ni

29.2. ; .

29.3. .

 

 

30.1.

xi
ni

30.2. ; .

30.3. .

 

Задача №25

Задание №1. Дана зависимость , где х и у измерены непосредственно. Известно, что . Найти и .

Задание №2. Изобразить прямоугольный треугольник и отметить на нём три параметра (две стороны и угол). Считая, что х и у доступны для измерения, выполнить косвенные измерения z. Сравнить с прямым измерением z.

25.1. .

25.2. .

25.3. .

25.4. .

25.5. .

25.6. .

25.7. .

25.8. .

25.9. .

25.10. .

25.11. .

25.12. .

25.13. .

25.14.

25.15. .

25.16. .

25.17. .

25.18. .

25.19. .

25.20. .

25.21. .

25.22.

25.23. .

25.24. .

25.25. .

25.26. .

25.27. .

25.28. .

25.29. .

25.30. .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

 

Пример выполнения задачи 1

Условие. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Группа из 6 человек может состоять из 2-х женщин и 4-х мужчин, или из 3-х женщин и 3-х мужчин, или из 4-х женщин и 2-х мужчин.

Пусть – число групп, состоящих из 2-х женщин и 4-х мужчин;

– число групп, состоящих из 3-х женщин и 3-х мужчин;

– число групп, состоящих из 4-х женщин и 2-х мужчин.

Тогда ,

,

.

Общее число групп равно: .

Ответ. 371.

 

Пример выполнения задачи 2

Условие. Среди 9 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 3 билетов. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

Решение. Событие А – среди 3-х взятых билетов 2 выигрышных. Вероятность этого события находим по формуле классической вероятности: , где

, .

Тогда .

Ответ. 0,54.

 

Пример выполнения задачи 3

Условие. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке [0;1]. Найти вероятность того, что координата одной точки более чем в двое меньше координаты другой точки.

Решение. При бесконечном числе равновозможных элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов.

Пусть и – координаты первой и второй точек, выбранных на [0;1]; – множество всех элементарных исходов; – множество элементарных исходов, благоприятствующих нашему событию. При этом ; .

Рис. 3

Тогда , где , а . На рисунке 3 изображены площади соответствующих фигур.

Получим .

Ответ. 0,5.

 

Пример выполнения задачи 4

Условие. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком, равна 0,28, вторым – 0,56. Первый сделал 3, второй – 2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение. Цель не поражена, если 1-й стрелок сделал 3 промаха, а 2-й – 2 промаха. Вероятность промаха при одном выстреле для 1-го стрелка равна , для 2-го – .

Тогда вероятность того, что цель не поражена равна .

Ответ. 0,072.

 

Пример выполнения задачи 5

Условие. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет % изделий (i=1, 2, 3). Среди изделий i-го завода % первосортных. Куплено одно изделие.

а) Найти вероятность того, что купленное изделие – первосортное.

б) Купленное изделие оказалось первосортным. Определить вероятность того, что это изделие выпущено j-м заводом.

Если

Решение. а) Событие А – куплено первосортное изделие может наступить только при выполнении одного из событий

– купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе,

– купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе,

– купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

Тогда искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:

, где

, , , а , , .

Получим: .

б) Событие А уже наступило. Выполним пересчет вероятности события , при условии наступления события А. По формуле Байеса имеем

.

Ответ. а) 0,85; б) 0,74.

 

Пример выполнения задачи 6

Условие. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 13 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.

Решение. Наивероятнейшее число выигрышных билетов определим из неравенств

, где .

Тогда .

Следовательно, наивероятнейшее число выигрышных билетов равно .

Вероятность того, что среди 13 купленных билетов ровно 4 выигрышных определим по формуле Бернулли

.

Ответ. 0,23.

 

Пример выполнения задачи 7

Условие. При вытачивании гаек наблюдается в среднем 5% брака. Найти вероятность того, что в партии из 250 гаек ровно 230 гаек окажутся не бракованными.

Решение. Вероятность брака равна , тогда вероятность того, что гайка окажется не бракованной, равна . По локальной теореме Лапласа имеем

, где и .

Таким образом, получаем , значение функции вычислим в системе MathCAD. То есть: .

Тогда искомая вероятность равна .

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 8

Условие. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,75. Определить вероятность того, что число наступлений события удовлетворяет следующему неравенству

Решение. По интегральной теореме Лапласа имеем

, где .

По условию задачи .

Тогда

, .

Используя MathCAD, получим:

.

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 9

Условие. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,0012. Поступило 2000 вызовов. Определить вероятность 3 «сбоев».

Решение. Так как число вызовов велико, а вероятность сбоя очень мало, то воспользуемся формулой Пуассона: , где .

По условию имеем . Тогда получим

.

Ответ. 0,21.

 

Пример выполнения задачи 10

Условие. Найти функцию распределения ДСВ , математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины и вероятность попадания в интервал , если случайная величина задана законом распределения

X
P	0,4	0,3	0,2	0,1

 

Решение. Функция распределения определяется формулой .

Если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Получим

Вычислим математическое ожидание

.

Дисперсия равна

.

Найдем среднее квадратическое отклонение

.

Вероятность попадания в заданный интервал определяется формулой

.

 

Пример выполнения задачи 11

Условие. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины , вероятность попадания в интервал , если

Решение. По свойству плотности распределения вероятностей, имеем

.

Тогда плотность распределения принимает вид

Функция распределения определяется формулой .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Получим

Вычислим математическое ожидание

.

Дисперсия случайной величины равна

.

Найдем вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

.

 

Пример выполнения задачи 12

Условие. На отрезке случайным образом выбраны 162 чисел, точнее, рассматриваются 162 независимых случайных величин , равномерно распределенных на отрезке . Найти вероятность того, что их сумма заключена между 132 и156, т.е. .

Решение. Так как случайные величины одинаково распределены, то их сумма стремится к нормальному распределению. Следовательно

и ,

где , .

Из того, что распределены одинаково, следует, что их числовые характеристики равны, т.е.

, .

Для равномерно распределенной случайной величины имеем

, .

Тогда

,

.

Получим

, .

Тогда

.

 

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 13

Условие. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей .

Найти плотность распределения вероятностей случайной величины .

Решение. Функция – монотонная на . Найдем обратную функцию и ее производную: и .

Плотность распределения определяем по формуле .

Тогда .

Определим интервал для . Т. к. , то .

Ответ. , при .

 

Пример выполнения задачи 14

Условие.

Задание 1. По данному графику функции плотности распределения вероятности случайной величины Х (см. рис.1.):

а) определите математическое ожидание случайной величины Х а_х, среднее квадратическое отклонение , медиану М_е, моду М_о и вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) постройте график функции распределения случайной величины F(X).

Задание 2. По данному графику функции распределения случайной величины Х (см. рис.2.):

а) определите математическое ожидание случайной величины Х а_х, среднее квадратическое отклонение , медиану М_е, моду М_о и вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) постройте график функции плотности распределения случайной величины f(X).

,

Рис.1.

 

Рис.2.

Решение задания 1. а) Математическое ожидание это среднее значение, которое принимает случайная величина. Поэтому, по рисунку 1 определяем центр масс функции под графиком. Абсцисса этой точки и есть математическое ожидание. .

По правилу трёх сигм имеем: . Значит .

Медиана случайной величины определяется условием: . Вертикальная прямая, делящая площадь фигуры под графиком проходит через точку с абсциссой 1, поэтому .

Мода это наивероятнейшее число. В данном примере имеем двухмодальный случай: .

, где - число клеток, определяющее площадь фигуры на интервале ; - число клеток, определяющее общую площадь фигуры. .

б) Для построения графика функции будем использовать таблицу 1 связи плотности и функции распределения случайной величины:

Таблица 1

возрастает	выпукла
убывает	вогнута
постоянна	аффинная

 

а также свойства этих функций. Функция непрерывна на всей числовой прямой и:

выпукла на ;

выпукла на ;

вогнута на ;

выпукла на ;

вогнута на .

График функции распределения случайной величины изображён на рисунке 4.

Решение задания 2. а) По рисунку 2 случайная величина принимает все свои значения на отрезке и чаще всего на отрезке , поэтому среднее значение равно 1. Значит .

.

, значит .

В точке 1 функция имеет перегиб, значит . В каждой точке отрезка тоже перегиб, значит .

.

 

б) Для построения графика функции будем использовать таблицу 1, а также свойства плотности и функции распределения случайной величины.

На возрастает, поэтому фигура под графиком будет иметь вид треугольника с высотой равной значению предела функции в точке 1слева. Площадь треугольника равна , поэтому .

На убывает, поэтому фигура под графиком будет иметь вид треугольника с высотой равной значению предела функции в точке 1справа. Площадь треугольника равна , поэтому , а .

На постоянна, поэтому фигура под графиком будет иметь вид прямоугольника с высотой равной значению функции на . Площадь прямоугольника равна , поэтому на .

График плотности распределения случайной величины изображён на рисунке 5.

 

Пример выполнения задачи 15

 

Условие. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона , неизвестным является параметр . Используя метод максимального правдоподобия, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра , если

Решение. Составим функцию правдоподобия в виде

.

Получим

или , где .

Найдем параметр , такой, что функция принимала бы наибольшее значение. Для этого решим уравнение .

.

, если .

Получим или .

Очевидно, что . Поэтому в качестве оценки неизвестного параметра примем .

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 16

 

Условие. Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение , неизвестным является параметр . Используя метод моментов, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .

Решение. Найдем значение оценки из уравнения .

Учитывая, что случайная величина имеет биномиальное распределение, получим . В качестве , возьмем среднее арифметическое значений выборки, т. е. .

Решим уравнение .

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 17

 

Условие. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией . По выборке объема вычислено выборочное среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности .

Решение. Так как известна дисперсия случайной величины, то доверительный интервал для неизвестного математического ожидания определяется неравенством , где значения и вычисляем с помощью MathCAD по формулам:

, .

Получим

, .

Таким образом, доверительный интервал имеет вид: .

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 18

 

Условие. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией. По данной выборке найти доверительный интервал для математического ожидания, отвечающий доверительной вероятности , если

Решение. По данной выборке вычислим объем выборки , выборочную среднюю и исправленную дисперсию . Получим

,

,

.

Так, как среднее квадратическое отклонение неизвестно, то доверительный интервал определяем из неравенства , где

, .

Параметр находим, используя систему MathCAD: .

Получим:

, .

Доверительный интервал принимает вид: .

Ответ. .

Пример выполнения задачи 19

 

Условие. В результате опытов получена несмещенная оценка для дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности .

Решение. Доверительный интервал для дисперсии случайной величины определяем из неравенства , где

, .

Значения и находим с помощью MathCAD по формулам:

, .

Получим , .

Тогда , .

Доверительный интервал имеет вид: .

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 20

 

Условие. По данной выборке признака найти выборочную среднюю, исправленную дисперсию и моду. Построить полигон (гистограмму) частот, если

	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19	19-22

Решение. Для расчета выборочной средней, исправленной дисперсии и моды преобразуем интервальный вариационный ряд в дискретный. Для этого заменим интервал на его среднее значение .

Получим

	2,5	5,5	8,5	11,5	14,5	17,5	20,5

Находим выборочную среднюю: ,

.

Исправленная дисперсия равна:

.

Мода равна значению варианты, имеющей наибольшую частоту, т. е. .

Построим гистограмму частот: .

Заполним таблицу

	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19	19-22
	4/3	8/3		35/3	14/3		8/3

 

Гистограмма изображена на рисунке 6.

Рис. 6

Ответ. , , , рисунок 6.

Пример выполнения задачи 21

 

Условие. На плоскости даны 6 точек, координаты которых занесены в таблицу. Пусть случайная величина – абсцисса точек, а случайная величина – ордината. Найти коэффициент линейной корреляции. Написать уравнения линейной регрессии на и на , если

 

	0,4	1,2	1,8	2,5	2,9	3,2
	-0,1	-1,1	-1,9	-2,9	-3,3	-3,7

 

Решение. Коэффициент линейной корреляции определяется формулой:

,

где , , ,

, .

Получим .

Напишем уравнения линейной регрессии

на : ,

получим или .

на : ,

получим или .

Ответ. , , .

 

Пример выполнения задачи 22

 

Условие. На плоскости даны 5 точек, координаты которых занесены в таблицу. Найти функциональную зависимость , используя метод наименьших квадратов, если

 

	-2,3	-1,7	-0,5	0,7	1,5
	5,8	3,9	0,3	-3,2	-6,0

 

Решение. Будем искать функциональную зависимость в виде , где параметры и находим из системы

Вычислим , , , , .

Решаем систему

Параметры равны: , .

Тогда функциональная зависимость имеет вид: .

Ответ. .

 

Пример выполнения задачи 23

 

Условие. В итоге проверки получено эмпирическое распределение. Случайная величина принимает значения 0, 1, 2, 3 и 4 с соответствующими частотами . Требуется при уровне значимости проверить по критерию гипотезу о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Решение. Критерий определяется по формуле

,

где , , а в качестве параметра возьмем выборочное среднее.

Получим: , .

Находим значения :

,

,

,

,

.

Полученные результаты занесем в таблицу

	128,304	107,811	45,114	12,771	2,673

 

Вычислим .

Найдем , используя систему MathCAD, где – число степеней свободы, определяемое по формуле: .

– число вариант; – число параметров, рассчитанных по выборке.

Получим: .

Тогда .

Сравним и . Т.к. 2,203 < 11,345, то < , и, следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Ответ. Гипотезу принимаем.

Пример выполнения задачи 24

Условие. Задание №1. Найти точечные оценки ряда (выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное СКО, медиану, моду), построить полигон частот по выборке:

xi
ni

Задание №2. По имеющимся данным: ;

выполнить:

1. построить дискретный вариационный ряд;

2. построить интервальный вариационный ряд (количество интервалов равно k);

3. найти точечные оценки ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное СКО, медиану, моду;

4. построить гистограмму частот, полигон частот, полигон накопленных частот.

Задание №3. Смоделировать выборку объёма N, распределённую по нормальному закону с математическим ожиданием a и СКО σ. Построить гистограмму частот, полигон частот, полигон накопленных частот, сравнить с графиками плотности вероятностей и функции распределения соответственно, если .

Решение задания 1. Преобразуем выборочную таблицу:

xi
ni

Используем формулы раздела 2.

- медиана, середина значений .

- мода, значение , которое имеет наибольшую частоту.

Полигон частот удобно изобразить в MathCAD. Далее приведён пример выполнения.

 

На рисунке 7 изображён график полигона частот.

 

 

Рис 7

 

Решение задания 2. Преобразуем выборочные данные в таблицу т.е. построим дискретный вариационный ряд:

ni
ki

k_i - накопленная частота.

Используем формулы раздела 2 для вычисления точечных оценок ряда.

- медиана, середина значений .

Мода - значение , которое имеет наибольшую частоту, в данном случае имеем три моды: .

Строим интервальную таблицу по данным выборки, разделив на пять одинаковых интервалов длины :

	0,083	0,104	0,125	0,063	0,042

- высоты гистограммы.

Изображать гистограмму частот, полигон частот, полигон накопленных частот удобно в MathCAD. Далее приведён пример выполнения.

 

На рисунке 8 изображены: полигон частот и полигон накопленных частот.

Рис 8

На рисунке 9 изображена: гистограмма частот.

Рис 9

 

Решение задания 3. Задача выполняется в MathCAD. Далее приведён пример выполнения:

Пример выполнения задачи 25

Условие. Задание №1. Дана зависимость , где х и у измерены непосредственно. Известно, что . Найти и .

Задание №2. Изобразить прямоугольный треугольник и отметить на нём три параметра (две стороны и угол). Считая, что х и у доступны для измерения, выполнить косвенные измерения z. Сравнить с прямым измерением z.

Решение задания1. Используя свойства математического ожидания (раздел 1) имеем: .

Используя формулы раздела 2 имеем:

.

 

Решение задания2. На рисунке 12 изображён прямоугольный треугольник с параметрами: - катеты, - угол напротив катета . Непосредственным измерением линейкой и транспортиром, определяем величины : , , или 0, 384 радиан. Ошибка такого измерения соответствует четверти деления, значит , , или 0,0044 радиан. Используя правило двух сигм, , где - точное значение угла , имеем: .

Очевидно , значит косвенное измерение равно: . Ошибку косвенного измерения величины определяем по формуле:

.

, , .

Используя правило двух сигм, , имеем:

. Интервалы для , полученные с помощью прямых и косвенных измерений пересекаются, значит прямые и косвенные измерения согласуются.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. – М.: Наука; 1969. – 576с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: Академия,2003. – 448 с.

3. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 3-е изд. испр. и доп. – СПб. Издательство «Лань», 2004. – 256 с.

4. Королев В.Ю. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2008. – 160 с.

5. Семенчин Е.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2007. – 352 с.

6. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами: Учеб. Пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 232 с.

7. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб.: Издательство «Лань», 2003. – 272 с.

8. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчёты): учебное пособие для ВТУЗов. М.: Высшая школа, 1983. 112 с.