Функції, їхні властивості і графіки. Тригонометричні функції. Показникова та логарифмічна функції

 

Міністерство освіти, науки, молоді і спорту України

Житомирський комерційний технікум

Склав викладач: Бредіхіна Н.І.

Р.

РОЗГЛЯНУТО І СХВАЛЕНО

на засідання циклової комісії

природничо-наукових дисциплін

Протокол №___від _________

Голова циклової комісії

____________Н.П.Герасимчук

Для успішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язання практичних задач.

Посібник містить основні теоретичні питання курсу алгебри і початків аналізу відповідно до нової програми. Даний матеріал згрупований у вигляді схем для кращого розуміння і опрацювання. Розглянуті розв’язання типових задач кожної теми. Наведені приклади самостійних і контрольних робіт які мають три рівні складності.

Посібник адресований студентам які навчаються на базі неповної середньої школи на всіх спеціальностях.

 

 

Процес засвоєння знань включає в себе такі основні компоненти як сприймання, розуміння, запам’ятовування, узагальнення і систематизацію. Він відбувається через засвоєння понять, тверджень, зв’язків між ними, що становлять основний зміст виучуваного матеріалу.

Реалізація принципу наочності в процесі навчання є актуальним питанням сьогодення. Він використовується на всіх навчальних дисциплінах, а також на уроках математики і займає важливе значення для організації ефективної роботи на уроках. Безсумнівно, підручник є основним засобом навчання, але в поєднанні з наочним матеріалом урок стає більш продуктивним та результативним.

Для підвищення ефективності засвоєння знань в навчальному процесі використовують різні методи, прийоми, засоби. Як показує досвід роботи, одним із таких засобів є опорні схеми.

Опорна схема — це схема, в якій певним чином структурований блок навчального матеріалу. Означення, твердження, рисунки, що розкривають його зміст, обмежені деякими контурами, які певним чином розміщені на папері і пов’язані між собою стрілками, що відображають існуючі логічні зв’язки між ними.

Опорні схеми можуть включати в себе і невеликі за обсягом тексти, і деякі символи як, наприклад, дужки з метою підкреслити важливість чи проблемність якогось твердження, висновку . Для кращого зорового сприймання окремі складові опорної схеми можна зображати різними кольорами.

Сучасний стан розвитку вищої освіти в Україні передбачає зміни у підходах до організації навчання студентів у ВНЗ. Одна із таких змін стосується підвищення ролі самостійної роботи студентів у засвоєнні ними знань.

Як відомо , вміння студентів виділяти головну думку у навчальному матеріалі, вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати є основою самостійного засвоєння ними знань.

Саме опорні схеми, в яких за допомогою стрілок, допоміжних слів тощо увага студентів спрямовується на основні поняття, логічні зв’язки між ними, сприяють глибокому засвоєнню змісту навчального матеріалу, формуванню навиків самостійної роботи. При опитуванні не слід вимагати відтворення опорної схеми та й студенти цього і не роблять. Опорна схема допомагає їм вловити суть виучуваного матеріалу та послідовність його викладу.

Як відомо , при опитуванні та оцінюванні знань викладач ВНЗ звертає увагу і на те, як студент вміє стисло і чітко висловити свою думку, вміє вказати ідею доведення, розкрити суть найважливіших посилок тощо. Робота з опорними схемами допомагає у цьому. Враховуючи це, виникає потреба у підготовці таких дидактичних матеріалів. З цією метою розроблені опорні схеми з курсу стереометрії та алгебри і початків аналізу.

Використання опорних схем дає можливість студентам самостійно побачити і проаналізувати структуру матеріалу, логічні зв’язки між основними поняттями теми чи розділу, що, в свою чергу, сприяє розвитку їх логічного мислення, математичного мовлення, синтезу, узагальнення, систематизації.

Мета даного посібника–допомогти вчителю математики наочно представити навчальний матеріал за допомогою опорних конспектів та інформаційних карток. При доцільному використанні опорних конспектів такий довідник дозволить викладачу звільнити час уроку для розв’язування задач.

 

 

Зміст

§ 1. Функції, їхні властивості і графіки………………………………..4

§ 2. Тригонометричні функції…………………………………...…….17

§ 3. Показникова та логарифмічна функції…………………………32

§ 4. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. ..41

§ 5. Похідна та її застосування…………………………………………48

§ 6.Інтеграл та його застосування…………………………………….58

Функції, їхні властивості і графіки.

· Обчислюють за формулами значення величин, використовуючи різні системи…  

З точним врахуванням похибки

                …  

Графіки деяких елементарних функцій

 

Як знайти область визначення функції

 

Приклади парних функцій Приклади непарних функцій

Зростаючі функції

Означення. Функція називається зростаючоюна деякій множині Р, якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції

- зростає, якщо для будь-яких

Властивості.

2. Сума кількох зростаючих на даній множині функцій є зростаючою функцією на… 3. Якщо функція зростає, то обернена до неї функція також зростає.

Властивість, корисна для розв’язування деяких рівнянь

6. Будь-яка зростаюча (або спадна) на заданій множині функцій набуває кожного свого значення лише в одній точці з цієї множини.

 

Приклад.Розв’яжіть рівняння

Розв’язання.- зростаюча функція (як сума двох зростаючих функцій), тому значення, що дорівнює 3, вона може набувати лише в одній точці. Ця точка – 1 (оскільки ). Отже, задане рівняння має єдиний корінь .

Ознака зростання функцій

Якщо в кожній точці інтервалу І, то функція зростає на цьому інтервалі

 

 

Приклади функцій, що зростають на всій області визначення

 

 

Спадні функції

 

Означення. Функція називається спадноюна деякій множині Р, якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає менше значення функції

- зростає, якщо для будь-яких

Властивості.

2. Сума кількох спадних на даній множині функцій є спадною функцією на цій… 3. Якщо функція спадає, то обернена до неї функція також спадає.

Властивість, корисна для розв’язування деяких рівнянь

6. Будь-яка зростаюча (або спадна) на заданій множині функцій набуває кожного свого значення лише в одній точці з цієї множини.

Приклад.Розв’яжіть рівняння

Розв’язання.- спадна функція (як сума двох спадних функцій), тому значення, що дорівнює 2, вона може набувати лише в одній точці. Ця точка – 0 (оскільки ). Отже, задане рівняння має єдиний корінь .

 

Ознака спадання функцій

Якщо в кожній точці інтервалу І, то функція спадає на цьому інтервалі

Приклади функцій, що зростають на всій області визначення

   

Властивості арифметичного кореня

Тренувальна самостійна робота

                …  

Самостійна робота.

   

Тригонометричні функції.

· Вміють переходити від радіанної міри кута до градусної і навпаки.   · Встановлюють відповідність між дійсними числами і точками на тригонометричному колі.

Існують такі тригонометричні функції.

- відношення протилежного - ордината точки Р на катета до гіпотенузи. одиничному колі.

Знаки тригонометричних функцій

Парність

-непарна - непарна Періодичність Тригонометричні функції періодичні з періодом Т.

Побудова графіків

крива-синусоїда крива-косинусоїда

Властивості

  ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; … .  

Тренувальна самостійна робота

                …  

Основні властивості логарифмів

; , . , . , ;

Властивості

Вираз, який логарифмується, - додатний. Графік не перетинає вісь . 2. Множина значень: . 3. При логарифмічна функція набуває значення, яке дорівнює 1. Графік перетинає вісь в точці .

Тренувальна самостійна робота

Тренувальна самостійна робота

    4. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики

Розміщення

У комбінаторних задачах необхідно вміти підрахувати число усіх розміщень із -… Використовуючи знак факторіал, записати:

Перестановки

Число перестановок із - елементів позначають через - перша буква французького слова «permutation» - «перестановки». Дійсно, формула дає: , Отже, число перестановок із - елементів дорівнює

Комбінації

У загальному випадку число комбінацій із - елементів визначається такою формулою: Наприклад: Скільки екзаменаційних комісій, що складаються із 7 членів,можна утворити із 14 викладачів?

Проста подія

  різноманітна сукупність однорідна подія  

Перший тип задач

  1) У грі спорт-лото на карточці відмічається 6 номерів із 49. Яка ймовірність… б) - 3

Другий тип задач

    1) 9 пасажирів сідають в три вагони, знайти ймовірність:

Події

Сумісні. Не сумісні. Повна група. Рівно можливі.

Р=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) протилежні

Простір елементарних подій

Незалежні Р=Р(А)Р(В) Залежні Р=Р(А)Р(В_А)

Протилежні Р=1-Р(А) Несумісні події Р=Р(А)+Р(В)

 

1) Ймовірність того що в бібліотеці можна відшукати довідник з алгебри 0,7, а з геометрії 0,8. Знайти ймовірність:

А) знайдеться тільки з алгебри;

Б) знайдуться обидва довідники;

В) знайдеться один довідник;

Г) знайдеться хоча б один довідник.

Характеристику даємо кожній складовій у всіх можливих проявах.

А – алгебра

Г – геометрія.

А)

Б)

В)

І спосіб

Г)

ІІ спосіб (протилежна подія не знайшли жоден)

Д)

ІІІ спосіб Подія А і Г – сумісні

2) Олександр купив три різні акції, які можуть зростати в ціні, ймовірність того що 1-ша зросте – 0,7, друга – 0, 8, третя – 0,9. Знайти ймовірність:

А) всі зростуть в ціні;

Б) одна зросте в ціні;

В) дві зростуть;

Г) хоча б одна зросте в ціні.

 

3) З літер слова «Трансформатор» послідовно вибрати 5ть літер. Знайти ймовірність того, що ці літери в порядку їх вибору утворять «траса».

 

І спосіб. Залежні події

Знаменники зменшуються, бо попередні події відбулися

Т Р А С А чисельники вказують кількість літер в початковому слові

 

ІІ спосіб. Сукупність.(можна скласти схему)

1

1 1 1

Т2	Р3	А2	Н1	С1	Ф1	О2	М1

 

 

5. Похідна та її застосування.

Основні вимоги до знань студентів.

· Розуміють значення поняття похідної для опису реальних процесів, зокрема механічного руху.

 

· Знаходять кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в даній точці.

 

· Знаходять швидкість змінення величини в точці;

 

· Наближено обчислюють значення і приріст функції в даній точці.

 

· Диференціюють функції, використовуючи таблицю похідних і правила диференціювання.

 

· Застосовуютьпохідну для знаходження проміжків монотонності і екстремумів функції.

 

· Знаходять найбільше і найменше значення функції.

 

• Розв’язуютьнескладні прикладні задачі на знаходження найбільших і найменших значень реальних величин.

Розглянемо таблицю значень функції в точках, які на числовій прямій розташовані досить близько до числа 2 (і в самій точці).

 

Чим ближче аргумент до числа 2 (пишуть ), тим ближче значення функцій до числа

Записують так:

	1,98	1,99	2,00	2,01	2,02
	3,92	3,96	4,00	4,04	4,08
	0,08	0,04		0,04	0,08

Розглянемо таблицю значень функції поблизу точки x = 3.

Якщо x→3 (x≠3), то ƒ(x) → 6:

	2,96	2,98		3,02	3,04
	5,96	5,98	не визначено	6,02	6,04
|ƒ(x) - 6|	0,04	0,02		0,02	0,04

 

В загальному випадку означає: якщо то

; ƒ

Число B називається границею функції f(x) при x, що прямує до a, якщо для будь-якого додатного числа ε знайдеться таке додатне число δ, що при всіх x ≠ a, які задовольняють нерівність |x-a|<δ, виконується нерівність: |ƒ(x)-B| <

Якщо то B – єдина.

 

 

Теорія Практика

1.

2.ƒ(x) = ƒ(x)

3.(ƒ(x)±ġ(x))=ƒ(x)±ġ(x)

 

4.(ƒ(x)·ġ(x))= ƒ(x)·ġ(x)

5.

6. якщо

якщо то

 

Функція називається неперервною в точці, якщо вона в ній визначена, границя функцій в точці існує і дорівнює значенню функцій в цій точці.

За цим означенням ставляться три вимоги:

1.функція повинна бути визначена в точці ;

2.функція має границю в точці ;

3.

Наприклад:

Дана функція не буде неперервною в точці , оскільки вона не визначена при . Ті точки, в яких ці умови не виконуються, називаються точками розриву - точка розриву.

Приклади функцій, які містять точки розриву

Точка розриву 0 – точка розриву точки розриву – всі

Цілочисленні точки

- приріст аргументу в точці ; - початкове значення аргументу

Правила диференціювання

  (u±v)'= u'± v', (u·v)'=u'v+v'u,

Контрольна робота

Тема.Границя. Похідна. Техніка диференціювання.

Тренувальна самостійна робота

                              …

Тренувальна самостійна робота

Контрольна робота В - l 7 балів В - ll 1. Знайти критичні точки функції. а) б) а) б) … 6. Інтеграл та його застосування.

Операція знаходження

Основна властивість первісної.

с – довільна стала   Таблиця інтегралів (первісних)

Три правила знаходження первісної

– первісна для     Сукупність всіх первісних функцій на… «інтеграл еф від

Функція =>Загальний вид первісних

=>

=>

=>

=>

=>

=>

=>

 

Обчислити інтеграл:

Розв’язання.

Представимо підінтегральний вираз у вигляді суми дробів, розділивши почленно чисельник на . Застосуємо формулу інтеграла суми:

Знайти інтеграл:

Розв’язання.

Представимо підінтегральний вираз у вигляді степеня з дробовим показником:

 

Знайти якщо при первісна функції дорівнює 9.

Розв’язання.

Обчислимо інтеграл:

Знайдемо сталу с:

Відповідь:

 

 

 

 

 

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: а)

б)

1. Будуємо задані лінії та штрихуванням відмічаємо фігуру, площу якої треба знайти. Встановимо, чи є ця фігура криволінійною трапецією:

2. Записуємо формулу для обчислення площі шуканої фігури:

3. Знаходимо межі інтегрування: а)

б)

 

4. Обчислюємо відповідні інтеграли.

 

Наприклад:

 

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: а)

 

Будуємо задані лінії та штрихуванням відмічаємо фігуру, площу якої треба знайти.

 

Записуємо формулу для обчислення площі шуканої фігури:

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: а)

 

Будуємо задані лінії та штрихуванням відмічаємо фігуру, площу якої треба знайти.

Записуємо формулу для обчислення площі шуканої фігури:

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: а)

 

Будуємо задані лінії та штрихуванням відмічаємо фігуру, площу якої треба знайти.

Записуємо формулу для обчислення площі шуканої фігури:

 

Тренувальна самостійна робота

  Варіант 1 1. Знайти первісну, графік якої проходить через точку

ЛІТЕРАТУРА

2. Алгебра та початки аналізу/За ред. Колмогорова A.M. Освіта, 1993 3. Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра і… 4. Є. П. НелінАлгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів : академ. рівень. — Х. :…

Развернуть

Открыть в широком формате