Лінійна та векторна алгебра. Аналітична геометрія. Теорія границь, неперервність функції однієї змінної. Диференціювання функції однієї змінної

ВСТУП

Домашні індивідуальні завдання є однією з форм організації навчальної діяльності у вищій школі, яка має на меті формування вмінь. Ці вміння є цілями навчання певної дисципліни. Таке формування вмінь відбувається через засвоєння, поглиблення та узагальнення знань.

Викладачами кафедри вищої математики розроблено уніфіковане індивідуальне завдання, що призначене для самостійного виконання студентами всіх спеціальностей денної форми навчання. Для цього проведено аналіз навчальних планів всіх напрямів підготовки і виділено сталу компоненту дисципліни «Вища математика» з таких тем:

1. Лінійна та векторна алгебра;

2. Аналітична геометрія;

3. Теорія границь, неперервність функції однієї змінної;

4. Диференціювання функції однієї змінної;

5. Невизначений інтеграл;

6. Визначений інтеграл;

7. Функції багатьох змінних;

8. Диференційні рівняння;

9. Числові та функціональні ряди;

10. Кратні інтеграли;

11. Теорія ймовірностей;

12. Операційне числення;

13. Теорія функціх комплексної змінної;

В кожній темі визначені базові вміння, що є необхідними студенту для достатнього рівня засвоєння дисципліни. Цей рівень відповідає оцінці „задовільно” за національною шкалою, або оцінці „Е” за європейською шкалою. До індивідуального завдання включено задачі, що спрямовані на формування саме базових умінь.

Домашнє індивідуальне завдання видається студенту на весь семестр і виконується по мірі вивчення матеріалу. Виконане завдання перевіряється викладачем, що веде практичні заняття.

У разі, якщо індивідуальне завдання не є обов‘язковим для виконання, викладач може враховувати при формуванні підсумкової оцінки семестру результати його виконання.

При підготовці до складання модульних контрольних робіт студент має орієнтуватися на задачі індивідуального завдання, як на зразок завдань мінімального рівня складності.

В посібнику наведено домашні індивідуальні завдання за темами: лінійна алгебра; векторна алгебра; аналітична геометрія у просторі; аналітична геометрія на площині; теорія границь, неперервність функції; похідна функції та її застосування.

Посібник складається з трьох частин.

В першій частині посібника міститься загальне формулювання задач домашнього індивідуального завдання і 30 його варіантів. Крім того наведено варіант-шаблон №30+k, у якому до кожної задачі введено параметр k, що дозволяє генерувати нові варіанти завдання.

В другій частині посібника надано довідкові матеріали, необхідні для виконання домашнього індивідуального завдання. Для кожної задачі наведено ті поняття, формули і алгоритми, які необхідні для її розв‘язання .

У третій частині посібника наведено українсько-російсько-англійський термінологічний словник.

 

 

Загальне формулювання задач

 

І. Лінійна алгебра

1. Обчислити визначник четвертого порядку перетворенням таким чином, щоб три елементи деякого рядка або стовпчика дорівнювали нулю, а потім розвиненням за цим рядком або стовпчиком.

2. Для наданих матриць обчислити

а)

б) якщо Е – одинична матриця,

в) ,

3. Розв‘язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом Гауса;

в) методом оберненої матриці.

4. Розв‘язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Жордана-Гауса. Вказати, скільки розв‘язків має система.

 

ІІ. Векторна алгебра

 

5. Для наданих у просторі точок , , , :

а) знайти координати та модулі векторів ;

б) знайти одиничний вектор, що є ортом вектора ;

в) знайти внутрішні кути трикутника, що побудовано на векторах і ;

г) знайти площу трикутника, що побудовано на векторах і ;

д) знайти об‘єм піраміди, що побудовано на векторах , і ;

є) визначити, чи є вектори , и компланарними, а також попарно колінеарними, перпендикулярними.

ІІІ. Аналітична геометрія у просторі

а) скласти рівняння площини що проходить через точку та є перпендикулярною до вектора ; б) скласти рівняння площини , що проходить через точки ; в) визначити кут між площинами та .

VI. Аналітична геометрія на площині

а) скласти рівняння медіани трикутника , що проведена до сторони ; б) скласти рівняння висоти трикутника , що проведена з вершини , та визначити… 10. Для рівняння кривої другого порядку , де – координати точки , виконати:

V. Теорія границь, неперервність функції

11. Обчислити границі за допомогою властивостей нескінчено малих та нескінчено великих величин.

12. Обчислити границі за допомогою теорем про границі.

13. Обчислити границі за допомогою I стандартної границі.

14. Обчислити границі за допомогою II стандартної границі.

Дослідити функцію на неперервність в точках і . Побудувати графік функції.

 

VІ. Похідна функції та її застосування

17. Знайти першу похідну для наданих функцій. 18. Обчислити диференціал першого порядку для наданої функції. 19. Знайти другу похідну функції і обчислити її значення в наданій точці.

ВАРІАНТИ ДОМАШНІх індивідуальних завдань

 

ВАРІАНТ №1

1.. 2. .

3. 4.

5. – 8.

 

9., 10.

А) ; б) .

А) б) .

13. а); б) .

14. а) ; б) .

15. 16.

17. а)б)

в)

18. 19.

20.

ВАРІАНТ №2

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

А) ; б) .

A) ; б) .

A) ; б).

A) ; б) .

15. 16.

17. a) ; б) ;

в)

18. . 19. , .

20.

ВАРІАНТ №3

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

А); б) .

А); б).

А); б) .

А); б) .

15. 16.

17. a) ; б) ;

в)

18. . 19. .

20.

ВАРІАНТ №4

1.. 2.. 3. 4.  

А); б); в) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №5

1.. 2. . 3. 4.  

ВАРІАНТ №6

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а); б).

12. а) ; б) .

13. а); б) .

А) ; б) .

15. 16.

17. а) ; б) ; в)

18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №7

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б).

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. 16.

17. a) ; б);

В) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №8

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а); б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б).

А) ; б).

15. 16.

17. a) ; б) ; в)

18. .

19. ; .

20.

 

ВАРІАНТ №9

1.. 2.. 3. 4.  

18. . 19.; .

20.

ВАРІАНТ №10

1.. 2. . 3. 4.  

В) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №11

1.. 2. . 3. 4.  

18. . 19. ; .

20.

ВАРІАНТ №12

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. a) ; б).

А) ; б) .

15. 16.

17. a); б) ;

В) 18. .

19.; .

20.

ВАРІАНТ №13

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

 

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. 16.

17. а) ; б) ;

В) 18. .

19.; .

20.

ВАРІАНТ №14

1.. 2..

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15.

16.

17. a); б);

в)

18. . 19.; .

20.

ВАРІАНТ №15

 

 

1.. 2..

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А); б) .

15. 16.

17. a) ; б) ;

в)

18. . 19.; .

20.

ВАРІАНТ №16

 

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а); б) .

12. а) ; б).

13. а) ; б) .

А); б) .

15.

16.

17. a) ; б);

в)

18. . 19. ; .

20.

ВАРІАНТ №17

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. 16.

17. a) ; б) ; в)

18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №18

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б).

15. 16.

17. a) ; б);

В) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №19

1.. 2. . 3. 4.  

В) 18. .

19.; . 20.

ВАРІАНТ №20

1.. 2. . 3. 4.  

В) 18. .

19. ; . 20.

ВАРІАНТ № 21

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. 16.

A); б); в) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ № 22

 

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. 16.

17. a); б) ;

В) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №23

 

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б).

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. 16.

17. a) ; б) ; в)

18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №24

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б).

А) ; б) .

15. 16.

17. a) ; б) ;

В) 18. .

19. ; . 20.

ВАРІАНТ №25

 

1. . 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б).

А) ; б).

15.16.

17. a) ; б) ; в)

18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №26

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б).

15. 16.

17. a) ; б) ;

В) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №27

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. . 16.

17. a) ; б); в)

18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №28

 

1.. 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б).

13. а) ; б) .

А) ;б) .

15.16.

17. a) ; б) ;

В) 18. .

19. ; . 20.

ВАРІАНТ №29

1. . 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15.16.

17. a) ; б) ;

В) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ №30

 

1. . 2. .

3. 4.

 

5. – 8.

 

9., 10.

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

А) ; б) .

15. 16.

17. a) ; б) ;

В) 18. .

19. ; .

20.

ВАРІАНТ-шаблон №30+к

2. . 2. . 3. 4.  

В) 18. .

19. ; . 20.

Примітка: значення параметра k повинно бути визначено викладачем.

Довідкові МАТЕРІАЛИ

Задача 1

1.Обчислення визначника 2-го порядку:

;

2.Обчислення визначника 3-го порядку:

;

3.Мнемонічне правило обчислення визначника 3-го порядку:

4.Визначник 4-го порядку в символічному вигляді

.

5.Мінор елемента визначника 4-го порядку – це визначник 3-го порядку, що отримано вилученням з визначнику рядка та стовпчика, на перетині яких міститься елемент , наприклад, мінор елемента дорівнює

.

6.Алгебраїчне доповнення елемента визначника 4-го порядку дорівнює . Наприклад, алгебраїчне доповнення елемента визначника 4-го порядку, дорівнює

.

7.Властивість визначників: якщо до якого-небудь стовпчика, або до якого-небудь рядка визначника додати інший стовпчик, або інший рядок, помножений на ненульове число, то значення визначника не зміниться.

Наприклад, якщо в визначнику 4-го порядку до першого стовпчика додати другий стовпчик, помножений на число , то визначник не зміниться:

.

└─┘

8.Властивість визначників: якщо який-небудь стовпчик, або який-небудь рядок визначника помножити на число, то значення визначника теж помножиться на це число. Наприклад, для визначника 3-го порядку:

.

9.Обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за і-им рядком:

,

Наприклад, обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за 1-ою строчкою:

10.Обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за j-им стовпчиком:

11.

Наприклад, обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за 1-им стовпчиком:

 

Задача 2

1.Матриця – це множина чисел, що подана у вигляді таблиці. Матриці позначаються великими латинськими літерами. Числа, що складають матрицю, називаються її елементами.Яко элементи матриці містяться в рядках і стовпцях, то розмір матриці вказується у вигляді добутку кількості рядків на кількість стовпчиків: .

2.Елементи матриці позначаються маленькими латинськими літерами з двома індексами , де і – номер рядка, j – номер стовпчика, на перетині яких міститься елемент .

Наприклад, матриця А розміру в символічному вигляді:

3.Дві матриці однакових розмірів називаються рівними, якщо елементи цих матриць з одними і тими ж індексами дорівнюють одне одному.

Наприклад, матрицярозміру дорівнює матриці , якщо виконуються рівності :

, або

4.Транспонування матриці – це заміна рядків стовпчиками, а стовпчиків рядками з тими ж самими номерами. Якщо транспонувати матрицю А розміру , то отримаємо матрицю , розмір якої .

Наприклад, при транспонуванні матриці А розміру отримаємо матрицю, розмір якої .:

.

5.Добуток матриці на число – це матриця, кожний елемент якої дорівнює відповідному елементу наданої матриці, помноженому на теж саме число.

Наприклад: якщо

то

6.Додавати можна тільки матриці однакового розміру. Сума двох матриць – це матриця, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць доданків. Наприклад:

6. Різниця матриць – це сума першої матриці та другої, помноженої на число . Наприклад:

7. Множити можна тільки матриці, у яких кількість стовпчиків першого множника дорівнює кількості рядків другого множника. Якщо помножити матрицю розміру на матрицю розміру , то в результаті отримаємо матрицю розміру .

8. Добуток двох матриць – це матриця, кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів того рядка першої матриці на відповідні елементи того стовпчика другої матриці, на перетині яких міститься елемент матриці добутку, що відшукується. Наприклад:

де

9. Квадратна матриця – це матриця, що має однакову кількість рядків і стовпчиків.

10. Одинична матриця – це квадратна матриця, на головній діагоналі якої стоять одиниці, а всі решта елементи дорівнюють нулю:

.

11. Матриця , обернена до квадратної матриці С, це матриця того ж розміру, що і матриця С, для якої виконується умова:

,

де Е – одинична матриця того ж розміру, що і матриця С.

12. Для квадратної матриці С існує обернена матриця , якщо визначник матриці С не дорівнює нулю.

13. Якщо , то обернена матриця обчислюється за формулою:

,

де - це матриця, що складена з алгебраїчних доповнень до елементів транспонованої матриці .

14. Алгоритм знаходження оберненої матриці для квадратної матриці С розміру :

а) знайти визначник матриці С за формулою:

;

б) переконатися , що ;

в) знайти матрицю . Для цього в матриці С замінити рядки стовпчиками з тими ж самими номерами: .

г) знайти алгебраїчні доповнення до елементів матриці :

; ;

; ;

д) скласти матрицю , поставивши кожне алгебраїчне доповнення на місце того елемента матриці , до якого воно обчислювалося:

;

е) обчислити матрицю обернену матрицю за формулою

.

Задача 3

1.Система 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими у символічному вигляді:

2.Головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома

невідомими – це визначник , що складено з коефіцієнтів при невідомих. Він дорівнює:

3.Систему 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими можна розв‘язати методом Крамера, якщо головний визначник системи не дорівнює нулю:

4.Допоміжні визначники для розв‘язання системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера дорівнюють:

.

5.Якщо головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими не дорівнює нулю, то значення невідомих можна знайти за формулами Крамера:

,

6.Метод Гауса розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в еквівалентних перетвореннях системи, метою яких є послідовне виключення невідомих з рівнянь системи. Еквівалентними називаються такі перетворення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, при яких не змінюється розв‘язок системи.

7.Для зручності перетворення виконують над матрицею, що складена з коефіцієнтів при невідомих і правих частин рівнянь. Ця матриця носить назву розширена матриця системи. Розширена матриця системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими в символічному вигляді:

.

8.При розв’язанні системи методом Гауса з розширеною матрицею системи можна виконувати наступні дії:

а) помножати або ділити будь-який рядок на ненульове число;

б) додавати до будь-якого рядка інший рядок, помножений на ненульове число;

в) міняти рядки місцями.

9.Алгоритм метода Гауса складається з двох етапів: прямого хода і зворотного хода. Прямий хід полягає в перетворенні розширеної матриці системи к ступеневому вигляду, при якому на головній діагоналі тієї частини розширеної матриці, що відповідає головній матриці, стоять одиниці, а нижче – нулі:

.

Розширеній матриці, що перетворена, відповідає система:

10.Зворотний хід метода Гауса полягає в послідовному знаходженні невідомих, починаючи з останнього рівняння:

11.Якщо головний визначник системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими не дорівнює нулю, то значення невідомих можна знайти методом оберненої матриці.

12.У відповідність системі 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими ставляться матриці:

а) головна матриця ;

б) матриця-стовпчик невідомих ;

в) матриця-стовпчик вільних членів рівнянь .

13.Матрична форма запису системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими має вигляд:

, або .

14.Якщо визначник головної матриці системи , то для головної матриці системи А існує обернена матриця , що задовольняє умові , де і А – матриці розміру , Е – одинична матриця того ж розміру.

15.Обернена матриця системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими обчислюється за формулою

,

де - це матриця, що складена з алгебраїчних доповнень до елементів матриці , транспонованої до матриці А.

16.Формула розв’язання системи 3-х лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими матричним методом має вигляд :

,

де Х і В – матриці розміру , – матриця розміру .

Задача 4

1.Система 4-х лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими в символічному вигляді:

2.Система 4-х лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими має розширену матрицю:

.

3.Метод Жордана-Гауса розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в перетворенні розширеної матриці системи за допомогою таких жеж перетворень, що і в методі Гауса, к вигляду:

.

4.Розширеній матриці, що перетворена, відповідає система:

В цьому разі система має єдиний розв‘язок, який і знайдено.

5.Система лінійних алгебраїчних, що має єдиний розв’язок називається сумісною і визначеною.

6.Якщо при перетвореннях розширеної матриці один, або декілька рядків містять тільки нульові елементи, ці рядки викреслюються з матриці.

Наприклад, розширена матриця після перетворень може мати такий вигляд:

.

7.Розширеній матриці, що отримана, відповідає система:

8. В цьому випадку система рівнянь має безліч розв‘язків, які знаходяться з наступних рівностей:

9.Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що має безліч розв’язків називається сумісною невизначеною.

10. Змінна в отриманому рішенні може приймати будь-які числові значення і називається вільною змінною. Змінні і , які виражаються через вільну змінну , називаються базисними. Знайдене рішення є загальним розв‘язком системи.

11. Якщо вільній змінній присвоїти довільне числове значення і обчислити значення базисних змінних і , то отримане рішення буде частинним розв‘язком системи. Наприклад при , отримаємо:

12.Якщо при перетвореннях розширеної матриці один, або декілька рядків містять всі нульові елементи, крім останнього, то система не має розв‘язків.

Наприклад, розширена матриця після перетворень може мати такий вигляд:

13. Розширеній матриці, що отримана, відповідає система

Останнє рівняння цієї системи є протиріччям, тому система не має розв‘язків.

14. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що не має розв‘язків, називають несумісною.

Задача 5

1.Вектором називається напрямлений відрізок. Вектор, що має початок в точці А , а кінець в точці В, позначається Вектори також позначаються маленькими латинськими літерами, наприклад .

2.Координати вектора з початком в точці і кінцем в точці :

3.Два вектора є рівними, якщо дорівнюють їх відповідні координати, наприклад, якщо , а , то

4.Вектор, що отримано паралельним переносом вектора у просторі, є рівним вектору.

5.Модуль вектора дорівнює арифметичному кореню з суми квадратів координат вектора:

.

6.Сума векторів і – це вектор, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів доданків:

.

7.Добуток вектора на число – це вектор, координати якого дорівнюють координатам вектора , помноженим на це число:

8.Орт вектора - це одиничний вектор , що є однаково спрямованим з вектором Координати орта дорівнюють:

.

9.Скалярний добуток двух векторів і – це число, яке дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів :

.

10.Косинус кута між векторами і обчислюється за формулою: .

11.Векторний добуток двух векторів – це вектор, який є перпендикулярним до векторів і , утворює з ними праву трійку векторів, модуль якого дорівнює

.

12.Векторний добуток векторіві дорівнює:

,

де – вектора Декартового базису.

13.Площа трикутника, що побудовано на векторах і , дорівнює

.

14.Мішаний добуток 3-х векторів , і – це число, яке дорівнює : .

15.Модуль числа, що є мішаним добутком 3-х векторів, і , дорівнює об’єму паралелепіпеда, що побудовано на цих векторах:

16.Об‘єм піраміди, що побудовано на векторах , і , дорівнює одній шостій модуля мішаного добутку векторів , і .

.

17.Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, або паралельних прямих.

Ознака колінеарності векторів і :

18.Вектори називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

Ознака перпендикулярності векторів і :

.

19.Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині, або в паралельних площинах. Ознака компланарності векторів , і :

Задача 6

1.Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору : .

2.Рівняння площини, що проходить через три точки , і можна отримати з умови:

3.Загальне рівняння площини:

де – вектор нормалі, що є перпендикулярним площині.

4.Кут між площинами, що задаються рівняннями

і ,

дорівнює куту між векторами нормалі площин і . Косинус кута дорівнює: .

Задача 7

1.Рівняння прямої у просторі, що проходить через дві точки і :

2.Канонічні рівняння прямої у просторі, що проходить через точку паралельно вектору :

Вектор називається напрямним вектором прямої у просторі.

3.Кут між прямими у просторі, що задаються рівняннями

і ,

дорівнює куту між напрямними векторами цих прямих, а саме і . Косинус кута дорівнює:

.

 

Задача 8

1. Рівняння прямої у просторі, що проходить через точку перпендикулярно площині :

2. Параметричні рівняння прямої у просторі можна отримати з канонічних рівнянь Для цього кожне відношення канонічних рівнянь прирівнюють параметру :

Рівняння, що отримані, розв‘язують відносно змінних . В результаті отримають параметричні рівняння прямої у просторі: .

3. Щоб знайти точку перетину прямої, що має параметричні рівняння , і площини, що має загальне рівняння необхідно замість змінних в рівняння площини підставити параметричні рівняння прямої. В результаті буде отримане рівняння відносно однієї змінної : .

Розв‘язком цього рівняння є значення параметра , яке треба підставити в параметричні рівняння прямої. Таким чином будуть отримані координати точки перетину прямої і площини:

Задача 9

1. Рівняння прямої на площині, що проходить через дві точки і :

2. Рівняння прямої на площині у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

,

де – кутовий коефіцієнт прямої, – кут між прямою і додатним напрямком вісі ОХ , b – координата перетину прямої з віссю ОY.

3. Координати точки , що розподіляє відрізок навпіл ():

4. Рівняння прямої на площині, що проходить через точку , з відомим кутовим коефіцієнтом : .

5.Ознака перпендикулярності прямих і на площині, що задаються рівняннями і :

.

6. Відстань між точками і на площині:

.

 

Задача 10

1.Гіперболою називається множина точок на площині, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок , які називають фокусами, є сталою величиною 2а, що менша за відстань між фокусами.

2. На рис.1 зображено гіперболу, де позначено М - точку гіперболи; і - фокуси гіперболи; та – фокальні радіуси; – відстань між фокусами; – модуль різниці відстаней від точки гіперболи до фокусів ; а – дійсна піввісь гіперболи; і - дійсні вершини гіперболи; – відстань від точки М до директриси; – ексцентриситет гіперболи; – уявна піввісь гіперболи.

3. Канонічне рівняння гіперболи, що зображено на рис.1:

.

Гіпербола має дві асимптоти . Це прямі

4. Гіпербола є множиною точок площини, відношення відстаней від яких до фіксованої точки (фокуса) і деякої прямої (директриси) є величина стала, більша за одиницю. Це відношення є ексцентриситетом гіперболи.

Прямі називаються директрисами гіперболи..

5.

6. Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок , які називають фокусами, є сталою величиною 2а, більшою за відстань між фокусами.

7. На рис.3 зображено еліпс, де позначено М - точку еліпса; і - фокуси еліпса; та – фокальні радіуси; – відстань між фокусами; – сума відстаней від точки еліпса до фокусів ; , , , - вершини еліпса; – відстань від точки М до директриси; – ексцентриситет; , – піввісі еліпса.

 

Рис.3

8.Канонічне рівняння еліпса, що зображено на рис.3:

.

В цьому випадку еліпс витягнуто вздовж вісі ОХ. Фокуси еліпса в цьому разі мають координати , .

9. У разі, коли , еліпс витягнуто вздовж вісі ОY. В цьому випадку . В цьому разі фокуси еліпса лежать на вісі ОY і мають координати:

, .

10. Відношення називається ексцентриситетом еліпса.

11. Прямі називаються директрисами еліпса.

12. Справедливо наступна властивість директрис: відношення відстаней від фокусу і директриси для точок еліпса є величина стала, яка дорівнює ексцентриситету.

13. Коло – це геометричне місце точок на площині, відстань від яких до деякої фіксованої точки, що називається центом кола, є величиною сталою. Яка називається радіусом кола. Канонічне рівняння кола с центром в точці , радіус якої дорівнює , має вигляд:

.

14.Канонічне рівняння кола с центром в точці - початку координат, радіус якої дорівнює , має вигляд:

.

15. Для того, щоб привести до канонічного вигляду рівняння потрібно розділити обидві його частини на число, що стоїть в правій частині рівняння. В результаті буде отримано рівняння:

.

В залежності від знаків чисел і може бути один з випадків:

а) – отримано рівняння еліпса;

б) – отримано рівняння кола;

в) або – отримано рівняння гіперболи;

г) – лінія з таким рівнянням не існує.

Задача 11

1. Границя суми кінцевого числа функцій дорівнює сумі границь цих функцій, тобто

.

2. Границя добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій, тобто

.

3. Числовий сталий множник можна виносити з під знака границі, тобто

.

4. Границя від функції, що піднесено до кінцевого степеню, дорівнює границі цієї функції, піднесеній до того ж самого степеню:

.

5. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границя знаменника не дорівнює нулю, тобто

,.

6. Функція є нескінченно малою величиною при , якщо

.

7. Функція є нескінченно великою величиною при , якщо

.

8. Величина обернена до нескінченно малої величини при , є нескінченно великою величиною при , тобто

.

 

9. Величина обернена до нескінченно великої величини при , є нескінченно малою величиною при , тобто

.

10. Якщо при обчисленні границі отримано вирази вигляду або і , де 1 є границею деякої функції, то вони є невизначеностями. Щоб обчислити таку границю, необхідно виконати тотожні перетворення функції під знаком границі, які залежать від виду невизначеності і самої функції.

 

Задача 12

1.Многочленом n - го степеню відносно змінної х називається вираз:

,

де – числові коефіцієнти, .

2.Степінь многочлена визначається найбільшим степенем змінної х. Наприклад, многочлен має степінь ().

3.Коренем многочлена називається таке значення змінної х = х₀, при підстановці якого до многочлену, виконується умова:

.

4.Якщо х = х₀ є коренем многочлену , то цей многочлен можна представити у вигляді добутку різниці х – х₀ і многочлена (n–1) - го степеню відносно змінної х, тобто

.

 

Задача 13

1. Границя будь-якої елементарної функції при дорівнює значенню функції, що обчислено в точці , якщо ця точка належить області визначення функції: , де .

2. Границя функцій і при дорівнює 0, тобто

, .

3. Границя функції при дорівнює 1, тобто

.

4. Перша стандартна границя: границя функції при є невизначеністю вигляду , яка дорівнює 1, тобто

 

5. Перша стандартна границя для аргументу , що є нескінченно малою величиною при :

.

Задача 14

1. Число е – це ірраціональне число: .

2. Границя функції при дорівнює 1, тобто

.

3. Друга стандартна границя: границя функції при є невизначеністю вигляду, яка дорівнює числу е, тобто

.

4. Друга стандартна границя для аргументу , що є нескінченно великою величиною при :

.

5.Друга стандартна границя для аргументу , що є нескінченно малою величиною при :

.

 

Задача 15

1. Число А називається правосторонньою границею функції y =в точці x = а, якщо аргумент х прямує до точки x = а, але при цьому залишається більшим ніж а, тобто:

.

2. Число А називається лівосторонньою границею функції y =в точці x = а, якщо аргумент х прямує до точки x = а, але при цьому залишається меншим ніж а, тобто:

.

4. Функція y =є неперервною в точці x = а , якщо її границя дорівнює значенню функції в цій точці:

5. Якщо функція y =в точці x = а має границю, тобто

,

то ця границя дорівнює правосторонній і лівосторонній границі функції:

.

6.Умова неперервності функції y =в точці x = а: якщо лівостороння границя функції y =в точці x = а дорівнює її правосторонній границі і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто:

,

то функція є неперервною в точці x = а.

7. Якщо в точці x = а з будь-яких причин не виконується умова неперервності функції, то ця точка називається точкою розриву функції. Функція, що має точки розриву, називається розривною. Розрізняють точки розриву І роду і ІІ роду.

8. Схема дослідження функції y =на неперервність в точці x = а:

– знайти область визначення функції;

– з‘ясувати, чи належить точка x = а області визначення функції;

– знайти правосторонню границю функції y =в точці x = а, тобто ;

– знайти лівосторонню границю функції y =в точці x = а, тобто

;

– обчислити, якщо можливо, значення функції y =в точці x = а.

9.В таблиці 1 наведено ознаки неперервності функції і наявності точок розриву.

Таблиця 1

Ознаки	Належність точки x = а до області визначення функції	Існування односторонніх границь функції в точці x = а	Рівність між значенням функції в точці x = а і односторонніми границями
Функція неперервна в точці x = а	Функція визначена в точці :	Існує правостороння границя ; Існує лівостороння границя ; А, В – скінчені числа
Функція має в точці x = а розрив І роду	Функція визначена в точці :	Існує правостороння границя ; Існує лівостороння границя ; А, В – скінчені числа;	=А, або =, або
Функція не визначена в точці :	, не існує
Функція має в точці x= а розрив І роду, що усувається	Функція визначена, в точці :	Існує правостороння границя ; Існує лівостороння границя ; А, В – скінчені числа;
Функція не визначена в точці :	, не існує
Функція має в точці x = а розрив ІІ роду	Функція може бути визначена, а може бути не визначена в точці : , або	Хоча б одна з односторонніх границь дорівнює нескінченості, або не існує: , або , або не існують	Значення функції у=може існувати, а може і не існувати.

 

 

10. Рівняння – це рівняння прямої на площині, де – числові коефіцієнти. Для того, щоб побудувати пряму, потрібно:

а) для двох довільних значень аргументу обчислити відповідні значення функції ;

б) на координатній площині відмітити точки ;

в) провести пряму лінію через точки .

11. Рівняння – це рівняння параболи на площині, де – числові коефіцієнти. Для того, щоб побудувати параболу, потрібно:

а) обчислити координати вершини параболи – точки , де

б) знайти координати точок перетину параболи з віссю : точок і , де .

У разі, коли , парабола перетинає вісь ОХ в точці , а коли – парабола не перетинає вісь ОХ;

в) на координатній площині відмітити точки і точку – точку перетину з віссю OY.

г) провести плавну лінію через точки , В, і С, таким чином, щоб пряма була її віссю симетрії.

12. Рівняння – це рівняння логарифмічної функції, де – числовий коефіцієнт. Для того, щоб побудувати графік функції, потрібно:

а) провести пунктирною лінією пряму , яка є асимптотою графіка функції;

б) на координатній площині відмітити точку – точку перетину графіка функції з віссю OХ;

в) для декількох значень аргументу

обчислити відповідні значення функції ;

г) на координатній площині відмітити точки , і точку В;

д) провести плавну лінію, яка проходить через точки , B, яка при справа наближається до прямої .

 

Задача 16

1. Рівняння дотичної до графіка функціїв точці має вигляд:

де – похідна функції , обчислена в точці .

2. Рівняння нормалі до графіка функціїв точці має вигляд:

де – похідна функції , обчислена в точці .

 

Задача 17

1. Таблиця похідних основних елементарних функцій:

1. , де

а) при

б) при

в) при

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. ,

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

2. Правила диференціювання функцій і , що мають похідну у точці х:

1. ,.

2. .

3. .

4. .

5. , .

3. Похідна складеної функції

Якщо функція має похідну в точці x, а функція має похідну у точці и=и(х), то складена функція в точці х також має похідну, яка дорівнює: .

4.Похідна функції, що задана параметричними рівняннями

Якщо функції мають похідну в точці t, а функція має обернену функцію , то складена функція має похідну у точці , яка дорівнює: .

Задача 18

1.Диференціал функції , що має похідну в точці х, дорівнює:

,

де - диференціал незалежної змінної х.

2. Властивості диференціала для функцій і , що мають похідну у точці х:

1. ,.

2. .

3. .

4. .

5. , .

3. Якщо складена функція має похідну, яка дорівнює:

,

то диференціал складеної функції в точці х дорівнює:

,

де - диференціал проміжного аргументу .

Задача 19

1. Якщо функція є диференційованою, то функція , що є похідною першого порядку, також може бути диференційованою функцією. Похідна від цієї функції називається другою похідною від функції і позначається

.

2. Для того, щоб обчислити значення другої похідної функції в наданій точці , треба підставити координату точки в другу похідну функції:

Задача 20

1.Схема дослідження і побудови графіка функції:

а) знайти область визначення функції;

б) з’ясувати чи є функція парною, непарною, або функцією загального вигляду;

в) визначити точки перетину графіка функції з вісями координат;

г) знайти точки розриву функції і з’ясувати їх характер;

д) визначити інтервали зростання, спадання, точки екстремуму;

є) знайти інтервали опуклості, угнутості, точки перегину;

ж) знайти асимптоти функції;

з) побудувати графік функції.

2.Область визначення функції, що задана в аналітичному вигляді:

де Х – це множина значень аргументу х, при яких існує аналітичний вираз f(x), що задає функцію.

3. Область визначення функції знаходиться з умови:

.

4.Функція є парною, якщо виконується умова:

.

Графік парної функції є симетричним відносно вісі OY.

5.Функція є непарною, якщо виконується умова:

.

Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

6.Функція є функцією загального вигляду, якщо

.

7.Точки перетину графіка функції з віссю OY знаходяться з умови:

8. Точки перетину графіка функції з віссю OХ знаходяться з умови:

9.Алгоритм знаходження точок розриву функції описано у задачі 15.

10.Функція зростає на інтервалах, для яких виконується умова

.

11. Функція спадає на інтервалах, для яких виконується умова

.

12. Точка х=х₀ називається точкою максимуму функції , якщо в деякому околі цієї точки виконується нерівність. Максимумомфункції є значення функції в точці х₀ :

=max.

13.Точка х=х₀ називається точкою мінімуму функції , якщо в деякому околі цієї точки виконується нерівність . Мінімумом функції є значення функції в точці х₀ :

=min.

14. Точки максимуму і точки мінімуму називаються точками екстремуму функції, а значення функції в цих точках, тобто maxі min, називаються екстремальними значеннями функції, або екстремумами.

15. Необхідна умова екстремуму: якщо неперервна функція має в точці х₀ екстремум, то в цій точці або не існує.

16. Точки, в яких називаються стаціонарними. Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, називаються критичними.

17. Достатняумова мінімуму функції в точці х = х₀: якщо при переході через критичну точку, що належить області визначення функції, вздовж числової вісі зліва направо похідна функції змінює знак мінуса на плюс, то це точкамінімуму.

18. Достатня умова максимуму функції в точці х=х₀: при переході через критичну точку, що належить області визначення функції, вздовж числової вісі зліва направо похідна функції змінює знак з плюса на мінус, то це точка максимуму.

19. В таблиці 2 наведено достатню умову мінімуму, а в таблиці 3 - достатню умову максимуму функції в точці х = х₀ . В першому рядку таблиць наведено значення аргументу х, в другому – поведінку першої похідної, а в третьому – поведінку самої функції .В другому стовпчику наведено і поведінку функції та її першої похідної зліва від точки , в третьому стовпчику – в самій точці, а в четвертому стовпчику – справа від точки х = х₀ .

Таблиця 2

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка першої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція спадає	х=х0 - точка мінімуму функції, =min	Функція зростає

 

Таблиця 3

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка першої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція зростає	х = х0 - точка максимуму функції, = max	Функція спадає

 

20. Схема дослідження функції на екстремум:

а) знайти область визначення функції

б) знайти першу похідну функції ;

в) розв‘язати рівняння ;

г) визначити точки, в яких перша похідна функції не існує;

д) всі критичні точки, тобто точки в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, нанести на числову вісь у порядку зростання;

е) на інтервалах між критичними точками визначити знак першої похідної ;

є) на підставі достатньої умови екстремуму (табл. 1 і табл. 2) зробити висновки про наявність екстремумів;

ж) обчислити значення функції в точках екстремумів.

21. Лінія, що є графіком функції , називається опуклою на деякому інтервалі, якщо всі точки лінії лежать нижче за будь-яку її дотичну на цьому інтервалі, крім точки дотику. Для функції на цьому інтервалі виконується умова:

.

22. Лінія, що зображує функцію , називається угнутою на деякому інтервалі, якщо всі точки лінії лежать вище за будь-яку її дотичну на цьому інтервалі, крім точки дотику. Для функції на цьому інтервалі виконується умова: .

23. Точка, що відокремлює опуклу частину графіка функції від угнутої, називається точкою перегину.

24. Необхідна умова точки перегину: якщо х = х₀ - точка перегину графіка функції , то в цій точці або не існує.

Точки, в яких або не існує називаються критичними точками другого роду .

Достатня умова точки перегину: якщо друга похідна функції в точціх = х0 дорівнює нулю або не існує, і при переході через цю точку вздовж числової вісі друга похідна функції змінює свій знак, то точка х0 є точкою перегину графіка функції, якщо вона належить області визначення функції.

Варіанти зміни знаків другої похідної і поведінки функції при наявності точок перегину наведено у таблиці 4 і таблиці 5. В першому рядку таблиць наведено значення аргументу х, в другому – поведінку другої похідної, а в третьому – поведінку самої функції .В другому стовпчику наведено поведінку функції та її другої похідної зліва від точки х = х₀, в третьому – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від точки х = х₀.

Таблиця 4

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка Функції	Функція угнута	х = х0 - точка перегину графіка функції	Функція опукла

 

Таблиця 5

Значення аргументу	х < х0	х = х0	х > х0
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка Функції	Функція опукла	х = х0 - точка перегину графіка функції	Функція угнута

26. Схема дослідження функції на наявність точок перегину:

а) знайти область визначення функції

б) знайти другу похідну функції ;

в) розв‘язати рівняння ;

г) визначити точки, в яких друга похідна функції не існує;

д) всі критичні точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує, нанести на числову вісь у порядку зростання;

є) на інтервалах між точками визначити знак другої похідної;

ж) на підставі достатньої умови точки перегину (табл. 4 і табл. 5) зробити висновки про наявність точок перегину;

з) обчислити значення функції в точках перегину.

27. Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоч би одна з односторонніх границь в точці дорівнює ,тобто

або .

28.Пряма є похилою асимптотою графіка функції при , якщо існують кінцеві границі

.

29. Пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції при , якщо виконується умова

.

30. Таблиця поведінки функції – це таблиця до якої зведено всі результати дослідження функції. В першому рядку цієї таблиці наведено у порядку зростання значень аргументу х точки розриву, точки екстремуму і точки перегину графіка функції, а також інтервали, на які ці точки поділяють числову вісь. У другому рядку таблиці наведено знаки першої похідної функції на інтервалах між точками і значення в самих точках. В третьому рядку таблиці наведено знаки другої похідної функції на інтервалах між точками і значення в самих точках. В четвертому рядку таблиці поведінки функції наведено висновки про характер поведінки функції на інтервалах і в точках.

31. В таблиці 6 і таблиці 7 надано два варіанти фрагменту таблиці поведінки функції для випадку, коли точка х = х₁ є точкою розриву другого роду, а пряма х = х₁ є вертикальною асимптотою графіка функції.

В другому стовпчику наведено поведінку функції, її першої та другої похідної зліва від точки х = х₁, в третьому стовпчику – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від цієї точки.

 

Таблиця 6

Значення аргументу	х < х1	х = х1	х > х1
Поведінка першої похідної функції		не існує
Поведінка другої похідної функції		не існує
Поведінка функції	Функція зростає угнута	не існує	Функція зростає опукла

Таблиця 7

Значення аргументу	х < х1	х = х1	х > х1
Поведінка першої похідної функції		не існує
Поведінка другої похідної функції		не існує
Поведінка функції	Функція спадає опукла	не існує	Функція спадає угнута

 

32.В таблиці 8 надано приклад фрагменту таблиці поведінки функції для точки х = х₂, що є точкою максимуму функції . В другому стовпчику наведено поведінку функції, її першої та другої похідної зліва від точки , в третьому стовпчику – в самій точці, а в четвертому стовпчику – справа від точки

х = х₂ .

Таблиця 8

Значення аргументу	х < х2	х = х2	х > х2
Поведінка першої похідної функції		= 0
Поведінка другої похідної функції
Поведінка функції	Функція зростає опукла	= max	Функція спадає опукла

33.В таблиці 9 надано приклад фрагменту таблиці поведінки функції для точки х = х₃, що є точкою мінімуму функції . В другому стовпчику наведено поведінку функції, іі першої та другої похідної зліва від точки х = х₃, в третьому стовпчику – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від цієї точки.

Таблиця 9

Числова вісь	х < х3	х = х3	х > х3
Поведінка першої похідної функції		= 0
Поведінка другої похідної функції
Поведінка функції	Функція спадає угнута	= min	Функція зростає угнута

 

34. В таблиці 10 і таблиці 11 надано два варіанти фрагменту таблиці поведінки функції для точки х = х₄, що є точкою перегину графіка функції . В другому стовпчику таблиць наведено поведінку функції, іі першої та другої похідної зліва від точки х = х₄, в третьому стовпчику – в самій цій точці, а в четвертому стовпчику – справа від цієї точки.

Таблиця 10

Числова вісь	х < х4	х = х4	х > х4
Поведінка першої похідної функції
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція зростає угнута	– значення функції в точці перегину	Функція зростає опукла

 

Таблиця 11

Числова вісь	х < х4	х = х4	х > х4
Поведінка першої похідної функції
Поведінка другої похідної функції		, або не існує
Поведінка функції	Функція спадає опукла	– значення функції в точці перегину	Функція спадає угнута

 

35.Побудову графіка функції доцільно виконувати у наступному порядку:

а)на координатній площині побудувати графіки асимптот;

б) нанести на координатну площину точки перетину графіка функції з координатними вісями;

в) нанести на координатну площину екстремуми та значення функції в точках перегину;

г) зробити ескіз графіка функції відповідно до таблиці поведінки функції.

Термінологічний словник

І. Лінійна алгебра

 

Український	Російський	Англійський
Алгебраїчне доповнення елемента визначника	Алгебраическое дополнение элемента определителя	Cofactor [signed minor, algebraic(al) complement, algebraic(al) determinant, algebraic(al) supplement, algebraic(al) adjunct] of an element of a determinant
Визначена система рівнянь	Определённая система уравнений	Detérmined [detérminate, defíned] sýstem of equá-tions
Визначник (першого [другого, третього, n-го] порядку)	Определитель (первого [второго, третьего, n-го] порядка)	Determinant (of the first [second, third, n-th] órder); (first- [second-, third-, n-th] órder) deter-minant
Визначник квадратної матриці	Определитель квадратной матрицы	Detérminant of a square [quadrátic] mátrix
Вироджена/особлива ма-триця	Вырожденная матрица	Síngular mátrix
Вільний член рівняння	Свободный член урав-нения	Cónstant [free, ábsolute] member [term] of an equá-tion
Властивість визначника	Свойство определителя	Próperty of a detérminant
Головна діагональ виз-начника	Главная диагональ оп-ределителя	Principal [main, léading, pósitive] diágonal of a detérminant
Головна діагональ квад-ратної матриці	Главная диагональ квад-ратной матрицы	Príncipal [léading, máin, pósitive] diágonal of a square [quadrátic] mátrix
Головна матриця систе-ми	Главная матрица систе-мы	Príncipal [léading, sýs-tem] mátrix, mátrix of a sýstem
Головний визначник си-стеми n лінійних алге-бричних рівнянь з n не-відомими	Главный определитель системы n линейных алгебраических ура-внений с n неизвестны-ми	Príncipal [main, system] detérminant of a sýstem of n línear àlgebráic equá-tions in n ùnknówns
Добуток матриці (на чи-сло, на матрицю (зліва, справа))	Произведение матрицы (на число, на матрицу (слева, справа))	Próduct of a mátrix (by a númber, by a mátrix (from the left [right]))
Добуток матриць	Произведение матриц	Próduct of mátrices
Додавання матриць (од-ного й того ж розміру)	Сложение матриц (од-ного и того же размера)	Addítion of mátriсes (of the sáme dimension [order, extént])
Допоміжний визначник системи лінійних алгеб-ричних рівнянь	Вспомогательный опре-делитель системы ли-нейных алгебраических уравнений	Auxíliary detérminant of a sýstem of línear àlgebráic equátions
Елементарні перетворення	Элементарніе преобра-зования	Èleméntary trànsformá-tions
Квадратна матриця (пер-шого, другого, третього, n-го порядку)	Квадратная матрица (первого, второго, треть-его, n-го порядка)	Squáre [quadrátic] mátrix (of the first, second, third, n-th órder); (first-, second-, third-, n-th órder) square [quadrátic] mátrix; n-by-n mátrix
Коефіцієнт (при невідо-мому)	Коэффициент (при не-известном)	Còeffícient (of an ùn-knówn)
Лінійна операція над ма-трицями	Линейная операция над матрицами	Línear operátion on mátri-ces
Матрица системы	Матриця системи	Sýstem mátrix, mátrix of a sýstem
Матриця	Матрица	Mátrix (pl mátrices [mátri-xes])
Матриця з m рядками і n стовпчиками	Матрица с m рядокми и n столбцами	Mátrix with m róws and n cólumns
Матриця коэфіцієнтів (при невідомих)	Матрица коэффициен-тов (при неизвестных)	Còeffícient mátrix; mátrix of còeffícients (of ùn-knówns)
Матриця розміру m ´ n	Матрица размера m ´ n	Mátrix of dimension [ór-der, extént] m ´ n
Матриця-рядок (1 ´ n, з n елементами)	Матрица-рядок (1 ´ n, с n элементами)	Row matrix [one-by-n row mátrix, síngle-row mátrix] (with n élements)
Матриця-стовпчик (m´1, з m елементами)	Матрица-столбец (m´1, с m элементами)	Column matrix [one-by-m cólumn mátrix, single-cólumn mátrix] (with m élements)
Матриця-стовпчик віль-них членів	Матрица-столбец сво-бодных членов	Cólumn mátrix of áb-so-lute [free,cónstant] terms
Матриця-стовпчик неві-домих	Матрица-столбец неиз-вестных	Cólumn mátrix of ùn-knówns
Матричне рівняння	Матричное уравнение	Mátrix equátion
Метод (послідовного ви-ключення невідомих) Ґа-усса для розв’язання си-стеми лінійних алгебрaї-чних рівнянь	Метод (последовате-льного исключения не-известных) Гаусса для решения системы линей-ных алгебраических ура-внений	Gaussian (succéssive exc-lúsion of ùnknówns) mé-thod [méthod of Gauss] of solution [of sólving] a sýstem of línear àlgeb-ráic(al) equátions
Мінор елемента визнач-ника	Минор элемента опре-делителя	Mínor of an élement of a detérminant
Множення матриці (на число, на матрицю (злі-ва, справа))	Умножение матрицы (на число, на матрицу (сле-ва, справа))	Mùltiplicátion of a mátrix (by a númber, by a mátrix (from the left [right]))
Невизначена система рі-внянь	Неопределенная систе-ма уравнений	Undetermined [indeter-minate, undefíned] sýs-tem of equátions
Невироджена/неособли-ва матриця	Невырожденная [не особая] матрица	Régular [nónsíngular] mát-rix
Невідоме	Неизвестное	Ùnknówn
Несумісна система рів-нянь	Несовместная система уравнений	Nòn-compátible [inсon-sístent, nònsólvable, unde-cídable] sýstem of equá-tions
Нетривіальний [ненульо-вий] розв’язок	Нетривиальное [нену-левое] решение	Nòn-trívial [nòn-zéro] so-lútion
Обернена матриця	Обратная матрица	Ìnvérse mátrix
Одинична матриця	Единичная матрица	Únit [únity, idéntity] mát-rix
Однорідна система лі-нійних рівнянь	Однородная система ли-нейных уравнений	Hòmogéneous sýstem of línear equátions
Перетворювати (кожне) рівняння у вірну рівність	Обращать (каждое) урав-нение в верное равенст-во	Turn [convért, chánge, transfórm] (éach) equá-tion ínto exáct [correct, precíse] equálity
Побочная диагональ оп-ределителя	Побічна діагональ (ви-значника)	Sécondary [négative] diá-gonal (of a detérminant)
Помножити матрицю (на число, на матрицю (злі-ва, справа))	Умножить матрицу (на число, на матрицу (сле-ва, справа))	Múltiply a mátrix (by a númber, by a mátrix (from the left [right]))
Правило Крамера для розв’язання системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими	Правило Крамера для решения системы n ли-нейных алгебраических уравнений с n неизвест-ными	Cramer´s rúle, rúle of Cramer for solution [for sólving] a sýstem of n línear àlgebráic equátions in n ùnknówns
Розв’язання [розв’язу-вання] системи лінійних алгебраїчних рівнянь	Решение [разрешение] системы линейных алге-браических уравнений	Solútion [sólving] a sýs-tem of línear algebraic(-al) equátions (action)
Розв’язати систему лі-нійних алгебраїчних рів-нянь	Решить систему линей-ных алгебраических ура-внений	Solve a sýstem of línear algebraic(al) equátions
Розв’язок системи ліній-них алгебраїчних рів-нянь (результат)	Решение системы ли-нейных алгебраических уравнений (результат)	Solútion of a sýstem of línear algebraic equations (result)
Розвинення [розклад] визначника за елемен-тами першого [другого, третього, i-го] рядка та першого [другого, треть-ого, i-го] стовпчика	Разложение опреде-лителя по элементам первой [второй, третьей, i-й] рядка и первого [второго, третьего, i-го] столбца	Expánsion of a deter-mi-nant with respéct to the first [second, third, i-th] rów [column]; first [se-cond, third, i-th] rów [co-lumn] expánsion of a de-términant
Розвинути [розкласти] визначник за елемента-ми першого [другого, третього, i-го] рядка, першого [другого, треть-ого, i-го] стовпчика	Разложить определи-тель по элементам пер-вой [второй, третьей, i-й] рядка, первого [второ-го, третьего, i-го] столб-ца	Expánd a detérminant with respéct to the first [second, third, i-th] rów [cólumn]
Розширена матриця (системи лінійних рівнянь)	Расширенная матрица (системы линейных ура-внений)	Augménted [dilated, ex-ténded] mátrix (of a sýs-tem of línear equátions)
Система лінійних одно-рідних рівнянь	Система линейных одно-родных уравнений	Sýstem of línear homogé-neous equátions
Система m лінійних ал-гебраїчних рівнянь з n невідомими	Система m линейных алгебраических уравне-ний с n неизвестными	Sýstem of m línear àlge-bráic(al) equátions in n ùnknówns
Стовпчик визначника	Столбец определителя	Сólumn of a detérminant
Сумісна система	Совместная система	Compátible [consístent, sólvable, decídable] sýs-tem
Транспонована матриця	Транспонированная мат-рица	Transpósed mátrix [trans-póse of a mátrix]
Тривіальний [нульовий] розв’язок	Тривиальное [нулевое] решение	Trívial [null, zéro] solú-tion

ІІ. Векторна алгебра

ІІІ. Аналітична геометрія у просторі

 

VІ. Аналітична геометрія на площині

V. Теорія границь, неперервність функції

VІ. Похідна функції та її застосування

Перелік викотистованої літератури

Улітін Г.М., Гончаров А.М. Конспект лекцій з вищої математики. Частина 1: Навчальний посібник для студентів всіх спеціальностей. – Донецьк: ДонНТУ, 2008, 103 с.

Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. - Київ: Либідь, 1996. -440с.

3. Тю М.С. Лінійна алгебра і аналітична геометрія: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей вузів. – Донецьк: ДДТУ, 2001, 166 с.

4. Методические указания к организации самостоятельной работы при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии (для студентов всех специальностей) / Сост. Плаксина Н.Г., Мартынова С.Н. – Донецк: ДПИ, 1988. – 44с.

5. Задания к индивидуализированным практическим занятиям по разделу курса высшей математики «Дифференциальное исчисление» (для студентов всех специальностей) / Сост. Носенко Н.П., Шевченко Л.М. - Донецк: ДПИ, 1988. – 36с.

 

 

Оглавление

 

ВСТУП…….…………………………………………………………………………...3

Загальне формулювання задач…………………………………………..5

І. Лінійна алгебра……………………………………………………………………..5

ІІ. Векторна алгебра………………………………………………………………….5

ІІІ. Аналітична геометрія у просторі………………………………………………...6

VI. Аналітична геометрія на площині……………………………………………….6

V. Теорія границь, неперервність функції…………………………………………..7

VІ. Похідна функції та її застосування………………………………………………7

ВАРІАНТИ ДОМАШНІх індивідуальних завдань………………………8

ВАРІАНТ №1………………………………………………………………………….8

ВАРІАНТ №2………………………………………………………………………….9

ВАРІАНТ №3………………………………………………………………………...10

ВАРІАНТ №4………………………………………………………………………...11

ВАРІАНТ №5………………………………………………………………………. 12

ВАРІАНТ №6………………………………………………………………………. 13

ВАРІАНТ №7………………………………………………………………………. 14

ВАРІАНТ №8………………………………………………………………………. 15

ВАРІАНТ №9………………………………………………………………………. 16

ВАРІАНТ №10…………………………………………………………………….....17

ВАРІАНТ №11…………………………………………………………………….....18

ВАРІАНТ №12…………………………………………………………………….....19

ВАРІАНТ №13…………………………………………………………………….....20

ВАРІАНТ №14…………………………………………………………………….....21

ВАРІАНТ №15……………………………………………………………………….22

ВАРІАНТ №16…………………………………………………………………….....23

ВАРІАНТ №17…………………………………………………………………….....24

ВАРІАНТ №18…………………………………………………………………….....25

ВАРІАНТ №19…………………………………………………………………….....26

ВАРІАНТ №20…………………………………………………………………….....27

ВАРІАНТ №21…………………………………………………………………….....28

ВАРІАНТ №22…………………………………………………………………….....29

ВАРІАНТ №23…………………………………………………………………….....30

ВАРІАНТ №24…………………………………………………………………….....31

ВАРІАНТ №25…………………………………………………………………….....32

ВАРІАНТ №26…………………………………………………………………….....33

ВАРІАНТ №27…………………………………………………………………….....34

ВАРІАНТ №28…………………………………………………………………….....35

ВАРІАНТ №29…………………………………………………………………….....36

ВАРІАНТ №30…………………………………………………………………….....37

ВАРІАНТ-шаблон № 30+k………………………………..….………………......38

довідкові МАТЕРІАЛИ……………………………………………………….…39

Задача 1…………………………………………………………………………….....39

Задача 2…………………………………………………………………………….....41

Задача 3…………………………………………………………………………….....45

Задача 4…………………………………………………………………………….....48

Задача 5…………………………………………………………………………….....51

Задача 6…………………………………………………………………………….....54

Задача 7…………………………………………………………………………….....54

Задача 8…………………………………………………………………………….....55

Задача 9…………………………………………………………………………….....56

Задача 10………………………………………………………………………….......57

Задача 11……………………………………………………………………………...60

Задача 12………………………………………………………………………….......61

Задача 13……………………………………………………………………………...62

Задача 14………………………………………………………………………….…..62

Задача 15………………………………………………………………………….......63

Задача 16………………………………………………………………………..….....67

Задача 17………………………………………………………………………..….....67

Задача 18……………………………………………………………………………...69

Задача 19………………………………………………………………………….......69

Задача 20………………………………………………………………………….......69

Термінологічний словник……………………………………………….…81

І. Лінійна алгебра……………………………………………………………………81

ІІ. Векторна алгебра………………………………………………………………...85

ІІІ. Аналітична геометрія у просторі……………………………………………….89

VI. Аналітична геометрія на площині……………………………………………...91

V. Теорія границь, неперервність функції…………………………………………96

VІ. Похідна функції та її застосування……………………………………………100

Перелік викотистованої літератури………………………………….110