Интеграл Пуассона

Пусть ¦ ( x ) , g ( x ) , x &#206; R 1 –суммируемые на [ - p , p ] , 2 p - периодические, комплекснозначные функции.Через f * g(x) будем обозначать свертку f * g(x) = dt Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [ - p , p ] и c n ( f * g ) = c n ( f ) &#215; c n ( g ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ( 1 ) где { c n ( f ) } коэффициенты Фурье функции f ( x ) : c n = - i n t dt , n = 0, ± 1 , ± 2 , &#188; Пусть ¦ &#206; L 1 (- p , p ) . Рассмотрим при 0 &#163; r < 1 функцию ¦ r ( x ) = n ( f ) r | n | e i n x , x &#206; [ - p , p ] , ( 2 ) где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 &#163; r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦ r ( х ) равны c n ( f r ) = c n &#215; r | n | , n = 0 , ± 1 , ± 2 , &#188; , а это согласно (1) значит, что ¦ r ( x ) можно представить в виде свертки : ¦ r ( x ) = , ( 3 ) где , t &#206; [ - p , p ] . ( 4 ) Функция двух переменных Р r (t) , 0 &#163; r < 1 , t &#206; [ - p , p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) интегралом Пуассона . Следовательно, P r ( t ) = , 0 &#163; r < 1 , t &#206; [ - p , p ] . ( 5 ) Если ¦ &#206; L 1 ( - p , p ) - действительная функция , то , учитывая , что c -n ( f ) = ` c n ( f ) , n = 0 , ± 1 , ± 2 , &#188; , из соотношения (2) мы получим : f r ( x ) = = , ( 6 ) где F ( z ) = c 0 ( f ) + 2 ( z = re ix ) ( 7 ) • аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ &#206; L 1 ( - p , p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = ¦ r (e ix ) , z = re ix , 0 &#163; r < 1 , x &#206; [ - p , p ] . При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = . ( 8 ) Утверждение1. Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1 + e ( e > 0 ) функция и ¦ (x) = u (e ix ) , x &#206; [ - p , p ] . Тогда u (z) = ( z = re ix , | z | < 1 ) ( 10 ). Так как ядро Пуассона P r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция: = , | z | < 1 + e . Но тогда и равенство (10) сразу следует из (2) и (3). Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦ r ( x ) при r ® 1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) ; б) ; в) для любого d >0 Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ ( х ) &#186; 1 . Теорема 1. Для произвольной (комплекснозначной) функции ( - p , p ) , 1 &#163; p < &#165; , имеет место равенство ; если же ¦ (x) непрерывна на [ - p , p ] и ¦ (- p ) = ¦ ( p ) , то . Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона ( 12 ) Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим . Следовательно, . Для данного e > 0 найдем d = d ( e ) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку . Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства . Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1. Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х. Определение 2. Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0 . Теорема 2 (Фату). Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда для п.в. . Доказательство.

Покажем, что для и , ( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку ( К - абсолютная константа). Пусть - такое число, что . Тогда для . Неравенство (13) доказано.

Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что , ( 14 ) для п.в. . Согласно (13) при x &#206; (-2 p , 2 p ) Учитывая , что по теореме 1 для каждого x &#206; [- p , p ] и (14) Из последней оценки получим при n ® &#165; . Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x &#206; [- p , p ] , когда точка re it стремится к e ix по некасательному к окружности пути. Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [ - 2 p , 2 p ] (т.е. f (x) = f (y) , если x,y &#206; [-2 p ,2 p ] и x-y=2 p ) и f (x) = 0 , если | x | > 2 p.