Раздел 1. Линейная алгебра

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1 Матрицы и определители

  Матрицы и действия над ними Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы,…

Тема 1.2 Системы линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Раздел 2. Математический анализ

Тема 2.2 Пределы и непрерывность

Предел последовательности Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для… Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к a, и пишут .

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

Тема 3.1 Производная функции

Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения…  

Тема 3.2 Приложение производной

Ключевые понятия: возрастание, убывание функции, экстремумы функции; выпуклость, вогнутость функции, точки перегибы; асимптоты; исследование функции с помощью производных высших порядков.

 

1. Возрастание и убывание функций

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

 

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

 

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

 

y y

 

j j j j

x x

 

 

2. Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

  Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой… Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна…

Раздел 4. Интегральное исчисление

Тема 4.1 Неопределенный интеграл

  Первообразная функция. Определение: Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого…

Тема 4.2 Определенный интеграл

  Введение понятия определённого интеграла. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

Раздел 5. Комплексные числа

Ключевые понятия: понятие комплексного числа, арифметические операции над комплексными числами, формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая), формула Муавра, переход от алгебраической формы в тригонометрическую и наоборот.

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.