Механика – наука о движении и равновесии тел

МЕХАНИКА

Механика – наука о движении и равновесии тел.

Принципы (аксиомы) механики впервые были сформулированы Ньютоном. Механика Ньютона справедлива для медленных движений макроскопических тел. Под…

Основные понятия механики, модели

Материальная точка – геометрическая точка, снабжённая массой (имеющая массу).

Абсолютно твёрдое тело – тело, расстояния между любыми точками которого, в процессе движения остаётся неизменным.

- однородность (одинаковые свойства пространства в различных его областях); - безграничность; - изотропность (одинаковые свойства пространства при различных направлениях его рассмотрения).

Системой отсчета называют тело отсчета, жестко связанную с ним систему координат и часы.

Единицей измерения времени в СИ (система интернациональная) является секунда(с). Первоначально секунда была принята за интервал времени, равный 1/86400 средних солнечных суток. В настоящее время: 1 секунда – промежуток времени, в течении которого совершается 9 192 631 770 периодам электромагнитного излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствии внешних полей.

Единицей измерения длины в СИ является метр (м). Первоначально за метр была принята длина, равная одной десятимиллионной части четверти земного меридиана. В настоящее время: 1 метр – длина пути прохождения светом в вакууме в течение временного интервала 1/299792458 с.

Механика состоит из следующих разделов: кинематика и кинетика. Кинематика изучает механическое движение без исследования причин, которые это движение вызывают.

Кинетика состоит из динамики и статики. В динамике изучаются причины, которые вызывают механическое движение. Законы равновесия тел изучаются в статике.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Способы задания движения точки

Под точкой в кинематике понимают геометрическую точку. Движение точки можно задать тремя способами.

КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ

Рассмотрим движение точки М. Для определения положения точки М в декартовой системе координат достаточно задать ее координаты. Под координатами данной точки будем понимать координаты той точки пространства, с которой совпадает эта точка.

Если положение точки М с течением времени относительно системы координат XYZ меняется, то координаты являются функциями времени:

(1.1)

Уравнения (1.1) называются кинематическими уравнениями движения точки.

Траекторией точки называют геометрическое место точек пространства, через которое точка проходит в процессе движения. Чтобы получить уравнение траектории нужно из системы уравнений (1.1) исключить время.

ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ

При этом способе положение точки определяется радиусом-вектором , начало которого совпадает с точкой 0 – началом системы координат XYZ, а конец – с той точкой пространства, в которой располагается точка. Если точка движется с течением времени относительно системы координат, то – кинематическое уравнение движении точки.

Разложив радиус-вектор по ортам, получим:

, (1.2)

где– единичные вектора: .

ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ

Пусть известна траектория точки. В этом случае можно поступить так: на траектории выбирают начало отсчета 0 и задают направление увеличения естественной координаты S.

При движении точки вдоль траектории ее естественная координата зависит от времени:

–кинематическое уравнение движения(закон движения точки по траектории).В этом случае зависимость радиуса-вектора от времени можно записать в виде сложной функции: .

Скорость точки и ее нахождение при различных способах движения точки

. (1.3) Пусть в некоторый момент времени t положение точки М определяется… Составим отношение. Вычислим предел этого отношения в предположении, что промежуток временистремиться к нулю:

Ускорение точки и его нахождение при различных

Способах задания движения

При движении точки её скорость, вообще говоря, изменяется со временем. Поэтому необходимо ввести величину, которая полностью смогла бы охарактеризовать изменение скорости. Для этого рассмотрим движение точки М, заданное в виде:.

Наглядность поведения достигается тем, что радиус-векторы точки М имеют начало в одной точке 0. Изменения вектора так наглядно не изображается, т.к. эти векторы приложены к различным точкам траектории.

Выберем какую-либо точку 0’ и перенесём все векторы скорости параллельно самим себе, так чтобы их начала совпадали с точкой 0’. Тогда концы векторас течением времени определят непрерывную (т.к. векторизменяется непрерывно) кривую, называемую годографом вектора скорости. На рис б) непрерывной линией изображён годограф вектора скорости. Аналогично этому траекторию точки называют годографом радиуса-вектора. Вектор

– ускорение точки в момент времени t.(1.13)

Научимся вычислять скорость при трёх способах задания движения.

ПРИ ВЕКТОРНОМ СПОСОБЕ

Задано

Исходя из определения ускорения, при векторном способе оно определяется соотношением:.

(1.14)

ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ

Задано:

Разложим по ортам:

(1.15)

С другой стороны, из (1.14) следует:

, (1.16)

поскольку .

Для равенства двух векторов необходимо и достаточно, чтобы были равны их проекции. Сравнивая (1.15) и (1.16):

(1.17)

Модуль ускорения находится по формуле:

или (1.18)

Направляющие косинусы:

;

 

; (1.19)

 

.

ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ

Задано S=S(t). Скорость при естественном способе задания движения . По определению ускорения:

. (1.20)

Направление вектора зависит от значения естественной координаты S. Поскольку , то: (1.21)

Подставляя (1.21) в (1.20): (1.22)

– определяется лишь характером кривой линии:. Угол между касательными называют углом смежности (– угол смежности).

Выясним направление вектора . Устремим ∆S→ 0. Вектор ┴направлен в сторону вогнутости кривой. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью. Найдем модуль :. Отсюда где– радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке М., где - единичный вектор главной нормали, направлен в сторону вогнутости траектории.

После подстановки в (1.22): (1.23)

Составляющие ускорения определяют как: – тангенциальное ускорение.

– данный результат получен с учетом (1.12).

Если =const, то = 0, следовательно – отвечает за изменение модуля скорости; = 0 – только при равномерном движении (движение при =const); – к форме траектории никакого отношения не имеет.

– нормальное ускорение.

Нормальное ускорение определяет форму траектории и направлено в сторону вогнутости кривой. При прямолинейном движении → ∞ и =0.

Частные случаи движения точки

Равномерное прямолинейное движение математически задается уравнениемНайдем кинематическое уравнение движения точки в этом случае. По… ; т.к. , то . (1.24) Перепишем полученное соотношение (уравнение движение точки в векторном виде) следующим образом:

Сложное движение точки

Абсолютное движение – движение точки в неподвижной системе координат. Относительное движение – движение точки в подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижного пространства относительно неподвижного.

Закон сложения скоростей

Закон сложения скоростей определяет связь между скоростями точки в неподвижной системе координат XYZ и подвижной системе координатX`Y`Z`.

– закон сложения скоростей.

 

КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Перейдём к рассмотрению движения абсолютно твёрдого тела (АТТ). Твёрдое тело состоит из бесконечного числа точек, однако, как будет показано позднее, для описания движения АТТ нет необходимости задавать движение каждой его точки.

Поступательное движение твёрдого тела

Простейшим видом движения твёрдого тела является такое движение, при котором векторы скорости трёх его точек, не лежащих на одной прямой, равны… Отсюда:

Вращение твердого тела

Вращением твёрдого тела называется такой вид движения, при котором, по крайней мере, одна точка твёрдого тела остаётся неподвижной. Рассмотрим, однако, более простой случай – вращение АТТ вокруг неподвижной оси.

Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Ясно, что точки не лежащие на оси вращения описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Плоскости, в которых лежат такие окружности,… При естественном способе задания движения точки: (1.32)

Вращение твёрдого тела с постоянным угловым ускорением

Так как , то Проинтегрируем полученное уравнение: (т.к. ) (1.45)

Общий случай движения твёрдого тела

Пусть тело движется произвольным образом. Выделим произвольную точку. Этой точкой может быть какая-либо точка твёрдого тела или точка пространства.… Рассматривая эти тождества мы видим, что движение твёрдого тела можно представить в виде суммы двух движений: В первом…

КИНЕТИКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕТИКИ Причиной, вызывающей или изменяющей движение тел является действие других тел.… Физическая природа силы часто бывает неизвестной. Механика констатирует только реальность силы как меры действия…

Аксиомы механики

Сформулируем основные законы механики, они были получены на основе обобщения наблюдений природы многими поколениями учёных. Они получили свою законченную формулировку в 1686 году И.Ньютоном. Аксиомы являются гениальной догадкой, а их проверка осуществляется по всей совокупности следствий, полученных из этих систем аксиом. Аксиомы Ньютона относятся к материальной точке.

АКСИОМА I. ЗАКОН ИНЕРЦИИ

Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока какая-нибудь сила не изменит этого состояния.

Рассматриваемый закон верен не во всех координатных системах. На аксиому 1 следует смотреть как на аксиому, определяющую ту систему координат, в… Система, в которой, несмотря на отсутствие сил, материальная точка изменяет… АКСИОМА II. ОСНОВНОЙ ЗАКОН МЕХАНИКИ

Механический принцип относительности

Пусть известно движение материальной точки в системе XYZ. Каким будет движение этой же точки в системе координат X’Y’Z’? Для простоты будем считать оси координат соответственно параллельными. При t = 0 начала совпадают систем координат совпадают. Скорость направлена в сторону возрастания осей X и X’. Из…

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Характеристика сил

Однако в ряде практических случаев сила оказывается функцией лишь одного из… 1. СИЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ТОЛЬКО ОТ ВРЕМЕНИ:

Общие теоремы динамики материальной точки

И законы сохранения

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Перепишем основной закон динамики материальной точки, используя определение… Интегрируя данное уравнение по промежутку времени ∆t = t2 – t1, получим интегральную формулировку теоремы об…

Теорема об изменении момента импульса материальной точки в дифференциальной форме: производная по времени от момента импульса материальной точки равна моменту силы, действующей на материальную точку.

Если действует несколько сил, то:

Из теоремы об изменении момента импульса материальной точки следует: если момент сил, действующих на материальную точку равен нулю , то момент импульса материальной точки сохраняется – закон сохранения момента импульса материальной точки.

Работа силы. Мощность

Элементарной работой силы называют скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение материальной точки: В обозначении элементарной работы использована буква δ, а не d, чтобы отметить, что в общем случае линейная…

Кинетическая и потенциальная энергии материальной точки.

Теорема об изменении кинетической энергии.

Соотношение показывает, что бесконечно малое изменение кинетической энергии материальной точки равно элементарной работе сил, действующих на… Проинтегрируем данное уравнение:

Теорема об изменении импульса системы.

Закон сохранения импульса системы.

Внешними называют силы, действующие на элементы системы со стороны элементов, не входящих в эту систему. Внутренними называют силы взаимодействие… Просуммируем полученные уравнения: . Ясно, что на основании III аксиомы… В случае материального тела мы мысленно разбиваем его на элементы, которые заменяем материальными точками при…

Теорема о движении центра масс

, где m – масса всей системы. Координаты центра масс Из определения радиус-вектора центра масс получим: .

Теорема об изменении момента импульса механической системы и

Закон сохранения момента импульса механической системы.

, k=1,2…, n. Умножим каждое уравнение векторно слева на радиус-вектор каждой материальной…

Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Закон сохранения полной механической энергии системы.

, . Здесь – элементарная работа внешних сил по перемещению k-ой материальной… Проинтегрируем записанное уравнение по времени: .

ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА.

Рассмотрим простейшие случаи движения – поступательное и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

Динамика поступательного движения твердого тела.

Не следует думать, что теорема о кинетическом моменте не играет в этом случае никакой роли: =0 (т.к. =0). Из этого уравнения можно найти точки…

Динамика вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вначале найдём выражение для кинетической энергии материальной точки, вращающейся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси OZ. , где m – масса… Величину называют моментом инерции материальной точки относительно данной оси.… Кинетическая энергия твердого тела:

Кинетическая энергия твёрдого тела при произвольном движении равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг мгновенной оси, проходящей вокруг центра масс.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

Момент инерции твёрдого тела есть характеристика самого тела вне зависимости от его вращения. Величины и R есть функции координат; интегрирование осуществляется по всему объёму. В общем случае неоднородного (≠ const) тела произвольной формы вычисление момента инерции является очень сложной задачей. В качестве примеров рассмотрим нахождение моментов инерции некоторых однородных (= const) тел правильной формы.

1) Момент инерции тонкостенного однородного цилиндра массы m и радиусом R относительно его оси симметрии:

, . С учетом ,

получаем

 

2) Момент инерции сплошного однородного цилиндра массы m радиусом R и высотой H относительно его оси симметрии: . Разобьем цилиндр на бесконечно тонкие слои:

.

С учётом , получаем:

3) Момент инерции тонкого однородного стержня массы m длиной ℓ относительно оси проходящей через его конец перпендикулярно его оси: . .

С учётом , получаем

4) Момент инерции однородного шара массы m радиусом R относительно оси, проходящей через его середину. Приведём конечный результат без вывода:

 

Теорема Штейнера

В случае, когда момент инерции необходимо найти относительно произвольной оси задача существенно упрощается, если для её решения воспользоваться теоремой Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями.

Пример: в соответствии с теоремой Штейнера найдем момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс, если известен момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня. Учтём, что : . Получим: .

Работа внутренних сил абсолютно твёрдого тела (АТТ)

Найдём элементарные работы внутренних сил, с которыми действуют друг на друга две точки АТТи : Для АТТ , , . Поэтому: . Но сонаправлен с . Таким образом . Следовательно: . Поэтому – работа внутренних сил АТТ равна нулю.

Закон сохранения полной механической энергии для абсолютно твердого тела: полная механическая энергия абсолютно твердого тела сохраняется, если все внешние силы являются консервативными.

Основное уравнение динамики вращательного движения

Запишем теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента АТТ: ; .