Эконометрика

 

Г.М.Булдык

 

 

Эконометрика

 

 

ЧАСТЬ II

 

Минск, 2010

 

Г.М.Булдык

 

 

Эконометрика

Часть II

 

 

Учебное пособие

для студентов экономических специальностей

высших учебных заведений

 

Минск, 2010

 

ББК 65.050я73

УДК 330.4+519.8(075.6)

 

Р е ц е н з е н т ы : доктор физико-математических наук, профессор В.В. Амелькин,

кандидат физико-математических наук, доцент А.Е. Руденок

Булдык Г.М.

.   Дается методическое обоснование моделирования, рассматриваются статистические методы выявления корреляционных связей,…

Предисловие

 

В настоящее время общепризнанна роль математических методов в развитии экономической науки. Этому способствовали успехи, достигнутые учеными-экономистами и математиками при изучении экономических закономерностей.

Применение математики в экономике предполагает не просто проведение различного рода экономических расчетов, а использование ее для изучения экономических закономерностей, получения новых теоретических выводов, нахождения наилучших экономических решений. Главные преимущества математики как средства научного познания раскрываются при построении математических моделей, заменяющих в определенных отношениях исследуемые объекты. Математические модели экономики, отражающие с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем.

Дальнейшее успешное продвижение предполагает углубленное изучение количественных закономерностей, характеризующих анализируемые, прогнозируемые и планируемые экономические процессы. При этом важную роль играет совокупность методов обработки статистических данных, основывающихся на применении концепций и процедур математической статистики. Поскольку в настоящее время большее значение приобрело создание систем моделей планирования и прогнозирования, а также базирующихся на них автоматизированных систем управления, то значительно возрос интерес к методам определения параметров экономико-математических моделей, общая структура которых уже выяснена на предварительных этапах исследования. Статистический подход к определению этих параметров представляет собой ядро необходимого этапа разработки таких моделей. Велико его значение и в процессе определения важнейших направлений совершенствования экономико-математических моделей планирования и прогнозирования.

В данной книге специфический эконометрический подход к изучаемым вопросам проявляется не в том, что примеры и терминология берутся из экономической области, а главным образом в том внимании, которое уделяется вопросу о соответствии выбранной модели изучаемому объекту. При этом в первую очередь уделяется внимание возможным формулировкам гипотез, среди которых необходимо сделать выбор, с тем чтобы применять рекомендуемые процедуры оценивания параметров модели.

Учебное пособие открывается развернутым введением, знакомящим с наиболее простыми и в то же время характерными понятиями и идеями, используемыми в экономических исследованиях.

В первой главе рассматриваются модели, содержащие стохастические зависимости. Приводятся методы определения наличия и проверки корреляционной связи, строятся однофакторные и многофакторные регрессионные модели. Здесь же изучаются задачи дисперсионного и ковариационного анализа. Рассматриваются прогнозирование и способы определения ошибок прогнозов по регрессионным моделям.

Во второй главе подробно анализируются динамические ряды и иллюстрируется построение однофакторных динамических моделей на конкретных экономических примерах. Исследуется адекватность построенных моделей моделируемым объектам.

Значительное место при проверке адекватности моделей отводится логическому анализу и установлению истинности статистических гипотез о связи между параметрами и переменными модели.

Рассматриваются методологические аспекты краткосрочного и долгосрочного прогнозов, оценивается их точность и надежность. Для проверки точности прогноза используется ретроспективный прогноз, т.е. прогноз для прошедшего периода времени. Затем полученные результаты сравниваются с фактической динамикой. Такое сравнение проводится по значению средней квадратичной ошибки или средней ошибки аппроксимации.

Таким образом, данное учебное пособие охватывает достаточно широкий круг задач, изучаемых эконометрикой, и будет полезен экономистам, использующим математические методы в практической деятельности, аспирантам и студентам старших курсов вузов, сталкивающимся с проблемой определения параметров экономико-математических моделей на основе обработки статистических данных.

Одним из условий успешного применения на практике изложенных в учебнике математических моделей является использование персональных ЭВМ, которые позволяют достигать гибкости при тестировании модели и высокого быстродействия.

Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам книги – доктору физико-математических наук, профессору В.В. Амелькину, кандидату физико-математических наук, доценту А.Е. Руденку за высказанные ими ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению содержания учебного пособия.

Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: г. Минск, ул. Тимирязева, 65А, ИПП, кафедра «Финансы и кредит».

Автор

Моделирование одномерных временных рядов

В любом динамическом ряду содержится перечень хронологических дат (моментов) или периодов и конкретные количественные значения соответствующего… Динамический ряд имеет два главных отличия от рассматриваемых наблюдений… 1) образующие временной ряд наблюдения не являются взаимно независимыми; в частности, значение, которое мы получим в…

Моделирование связных рядов динамики

1.Модели с лагами (модели с распределенными лагами) – это модели, содержащие в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие)… (8.2) 2.Авторегрессионные модели – это модели, содержащие в качестве лаговых независимых переменных значения зависимых и…

Прогнозирование с помощью временных рядов

Для того чтобы в прогнозе содержалось не только правильное качественное предсказание, но и наиболее вероятное количественное значение… При прогнозировании нужно взвешивать все существующие методы, чтобы… Наиболее точный способ оценивания надежности метода прогноза состоит в исследовании его “работы” за какой-либо период.…

Прогнозирование с использованием авторегрессионных моделей.

В основе метода прогнозирования с использованием авторегрессионых моделей лежит гипотеза о стационарности изучаемого явления, т.е. о сохранении статистических характеристик явления без изменения на ретроспективном промежутке времени, в настоящем и будущем.

При прогнозировании важен выбор модели авторегрессии наименьшего порядка с целью обеспечения требуемой точности описания данных.

При использовании модели авторегрессии порядка p нужно проверить существенность автокорреляции остатков в этой модели, применив критерий Дарбина-Уотсона. Затем проверяется условие нормальности распределения случайной компоненты путем исследования показателей асимметрии и эксцесса , а также их средних квадратичных ошибок и

Итак, прежде чем использовать при прогнозировании авторегрессионую моделью, нужно убедиться в следующем.

1. Случайная компонента динамического ряда представляет собой стационарности в широком смысле случайный процесс. Для определения ее стационарности находят значения автокорреляционной функции для случайной компоненты, используя уровней динамического ряда. В результате получают групп коэффициентов автокорреляции, в каждую из которых будет входить k+1 коэффициентов. Затем, используя z - критерий Фишера, устанавливают однородность коэффициентов автокорреляции, входящих в одну и ту же группу. Если гипотеза об однородности не отвергается для всех групп, можно сделать вывод о том, что отклонения представляют собой стационарный в широком смысле случайный процесс.

2. Случайная компонента является случайной величиной, не зависящей от времени.

3. Отклонения от расчетных значений, полученных по авторегрессионой модели, являются выборкой нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием, равным нулю.

4. Отклонения от расчетных значений, полученных по авторегрессионой модели, не содержат автокорреляции.

Если при проверке установлено, что для динамического ряда не выполняется хотя бы одно из перечисленных выше условий, то авторегрессионая модель не применяется для описания исследуемого динамического ряда.

Установив выполнимость указанных условий, вычисляют коэффициенты авторегрессионой модели и определяют, насколько точно можно оценить эти коэффициенты по имеющейся выборке.

Оценки коэффициентов авторегрессии

 

 

являются случайными величины со средними, равными, и дисперсиями, вычисляемыми по формулам

 

,

 

где - i-и диагональный элемент матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений для определения коэффициентов Величина имеет t-распределение Стьюдента с степенями свободы.

После вычисления коэффициентов авторегрессионой модели прогнозируют значения на период по авторегрессионой модели следующим образом.

Сначала вычисляют значение по формуле

 

.

 

Вычисленное значение подставляют в модель

 

 

и находят значение и т.д.

Важную роль играет оценка погрешности прогноза, полученного с помощью авторегрессионой модели. Для построения доверительного интервала прогноза используется тот факт, что остатки в уравнении авторегрессии распределены нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Если коэффициенты авторегрессионой модели известны из других выборок или из априорных соображений, то оценка дисперсии случайной величины вычисляется по формуле

где n - число уровней динамического ряда; h - порядок авторегрессионой модели.

Случайная величина имеет t - распределение Стьюдента степенями свободы. Тогда вероятность того, что величина не превосходит, можно определить по формуле , откуда следует, что

или

,

где - истинное значение исследуемого параметра, - предсказанное значение.

Если же коэффициенты авторегрессионой модели вычислены на основании исследуемого динамического ряда, то оценка дисперсии остатков вычисляется по формуле

 

 

где - дисперсия динамического ряда - i-й коэффициент авторегрессии; - коэффициент автокорреляции i-го порядка.

Доверительный интервал прогноза будет аналогичным:

 

.

 

Пример 9.8. Рассмотрим динамический ряд, характеризующий объем производства фирмы “Эврика” (табл.9.10).

Таблица 9.10

Год t	Объем производства , млн. р.		Год t	Объем производства , млн. р.		Год t	Объем производства , млн. р.
1976 572 1981 681 1986 799 1977 593 1982 709 1987 850 1978 610 1983 731 1988 814 1979 685 1984 733 1989 837 1980 696 1985 777 1990 746

 

Для описания тренда данного ряда динамики выберем линейную функцию . Решив систему нормальных уравнений

 

 

получим: Тогда уравнение тренда будет иметь вид:

(9.18)

Проверим выполнимость предпосылок возможности использования авторегрессионых моделей для прогнозирования.

Прежде всего проверим гипотезу о случайном характере отклонений от тренда с помощью критерия серий:

Динамический ряд остатков представлен в табл.9.11.

Таблица 9.11.

	-28,002 -24,463 - 24,919 32,625 26,169		-6,287 4,257 8,801 -6,655 19,889		24,433 57,977 4,521 10,065 -98,391

 

Построив вариационный ряд -98,391; -28,002; -24,919; -24,463; -6,655; -6,287; 4,257; 4,521; 8,801; 10,065; 19,889; 24,433; 26,169; 32,625; 57,977, определим медиану Me = 4,521 и образуем последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу. На i-м месте ставим плюс, если i-й уровень динамического ряда остатков превосходит медиану, и минус, если он меньше медианы. Получим последовательность знаков:

 

-, -, -, +, +, -, -, +, -, +, +, +, +, -.

 

Отсюда найдем протяженность самой длинной серии и общее число серий . Тогда из неравенств

следует, что отклонения от тренда носят случайный характер.

Далее проверяем гипотезу о том, что случайная компонента представляет собой стационарный случайный процесс. Для этого находим значения автокорреляционной функции соответственно для n = 15,14,13,12 уровней динамического ряда, т.е. из расчетов последовательно исключаются первый, второй, третий и четвертый уровни. Большее число уровней исключать нецелесообразно, так как ряд отклонений слишком короток. Для всех значений коэффициентов автокорреляции вычислены значения z- критерия Фишера:

средние для каждой группы

и величина

 

для каждого сдвига . Результаты расчетов приведены в табл.9.12.

 

 

Таблица 9.12

Кол-во уровней		Сдвиг
		0,1745 0,1763	0,0114 0,0114	-0,2908 -0,2994	-0,1076 -0,1080
		0,0988 0,0991	-0,0965 -0,0968	-0,6156 -0,7179	-0,0227 -0,0227
		-0,0060 -0,0060	0,0013 0,0013	-0,5605 -0,6336	-0,2387 -0,2434
		0,1287 0,1396	0,1303 0,1311	-0,7899 -1,0712	-0,3477 -0,3628
		0,10225 0,2047	0,01175 0,2352	-0,68052 2,1104	-0,18422 0,3365

 

Вычисленные значения , представленные в последней строке табл.9.12, сравниваем с квантилем -распределения для уровня значимости и числа степеней свободы , т.е. с . Из таблицы видим, что фактические значения меньше . Следовательно, гипотеза об однородности коэффициентов автокорреляции для каждого сдвига не отвергаются и отклонения от линейного тренда являются стационарным в широком смысле случайным процессом.

Для выбора порядка авторегрессионой модели рассмотрим значения автокорреляцио ной функции, представленные в табл.9.13, и построим коррелограмму (рис.9.2).

 

Таблица 9.13

Сдвиг	1 2 3 4 5 6 7
Значение автокореляционной функции	0,1745 0,0114 -0,2908 - 0,1076 - 0,0775 0,0706 0,0412

 

 

Рис.9.2

 

 

На рис. 9.2 видно, что, начиная с третьего сдвига, происходит затухание коррелограммы, т.е. связь с прошлым ослабевает. Это свидетельствует о том, что нужно строить авторегрессионые модели не выше третьего порядка. Так как для отклонений от линейного тренда автокорреляционная функция достигает наибольшего значения на первом сдвиге, то строим три модели соответственно 1-го, 2-го и 3-го порядков:

 

 

Единственный коэффициент модели первого порядка равен коэффициенту автокорреляции первого порядка: Коэффициенты авторегрессионой модели второго порядка находим из соотношений:

 

 

Используя коэффициенты и модели авторегрессии второго порядка и коэффициенты автокорреляции находим коэффициенты модели третьего порядка:

 

Применим критерий Бартлетта для определения порядка авторегрессионой модели. Для этого вычислим сумму квадратов остатков для моделей:

 

 

Значения критерия Бартлетта для сравнения моделей первого и второго, первого и третьего, второго и третьего порядков соответственно равны:

 

Табличные значения для уровня значимости и и степени свободы равны:

 

 

Следовательно, гипотеза о том, что авторегрессионые модели второго и третьего порядков дадут лучшие результаты, отвергается, т.е. для прогнозирования можно применять авторегрессионую модель первого порядка. Этот вывод подтверждается и сравнением финальных ошибок прогноза на текущий момент времени:

 

ФОП

где ФОП

Для выбранной авторегрессионой модели первого порядка проверим существенность автокорреляции остатков, пользуясь критерием Дабрина-Уотсона. Для рассматриваемого примера

 

 

Так как при уровне значимости выполняется неравенство , т.е. 1,2,3,<1,3550<2,77, то с вероятностью =0,975 можно утверждать, что автокорреляция в отклонениях от авторегрессионой модели первого порядка отсутствует.

Проверим условие нормальности распределения величины , используя показатели асимметрии и эксцесса:

 

 

и средние квадратичные ошибки коэффициентов асимметрии и эксцесса:

 

 

Из значений асимметрии и эксцесса и их ошибок следует, что неравенства

 

 

не выполняются, т.е. отклонения от авторегрессионой модели первого порядка не подчиняются нормальному закону распределения.

Учитывая результаты проверок основных предпосылок, делаем вывод о том, что отклонения от линейного тренда могут быть аппроксимированы авторегрессионой моделью

 

(9.19)

 

Из уравнения тренда (9.18) выразим случайную компоненту

 

 

и подставим это значение в авторегрессионую модель (9.19) первого порядка:

 

 

в результате преобразований получим следующую модель прогноза объема производства фирмы “Эврика”:

 

 

Прогноз объема производства на 1991 г. по этой модели

 

 

Доверительный интервал прогноза построить нельзя, так как вероятностные оценки прогноза предполагают нормальное распределение случайной величины , что для рассматриваемого примера не подтверждается.

Проверка условий 1--4, приведенных в начале параграфа, для данного примера показал, что не выполняется условие 3. Это означает, что рассматриваемый процесс может описываться авторегрессией более высокого порядка. Такой вывод можно сделать, и рассматривая табл. 9.13 значений автокорреляционной функции.

Таким образом, оценка порядка авторегрессионой модели являются очень “тонким” вопросом. Определяя порядок авторегрессионой модели, нужно учитывать внутреннюю структуру экономических процессов за прошлые периоды времени. Небольшое число уровней динамического ряда также сказывается при выборе порядка авторегрессионой модели.

Некоторую помощь в решении этого вопроса может оказать исследование конкретных процессов авторегрессии, которым соответствуют авторегрессионые модели различного порядка. Тогда возможный порядок авторегрессии можно оценить путем сопоставления с некоторыми стандартными моделями.

 

 

Литература

1. Болш Б., Хуан K.Дж. Многомерные статистические методы для экономики. M.: Статистика, 1979.

2. Булдык Г.M. Теория вероятностей и математическая статистика. Mн.: Выш. шк, 1989.

3. Булдык Г.М. Статистическое моделирование и прогнозирование: Учебник. – Мн.: НО ООО «БИП-С», - 2003.

4. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математические понятия и формулы в экономическом анализе. M.: Статистика, - 1974.

5. Гренджер K., Хатанака M. Спектральный анализ временных рядов в экономике. M.: Мир, 1973.

6. Демиденко E.З. Линейная и нелинейная регрессия. M.: Финансы и статистика, 1981.

7. Джонсон Дж. Эконометрические методы. M.: Статистика, 1980.

8. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. M.: Статистика, 1973.

9. Имитационное и статистическое моделирование. / Ю.С.Харин, В.И. Малюгин, В.П.Кирилица и др. Mн.: Университетское, 1992.

10. Казинец Л.С. Темпы роста и структурные сдвиги в экономке. M.: Экономика, 1981.

11. Казмер Л. Методы статистического анализа в экономке. M.: Статистика, 1972.

12. Кендалл M.Дж. Временные ряды. M.: Финансы и статистика, 1981.

13. Кендалл M.Дж., Стюарт A. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - M.: Наука, 1976.

14. Кильдешев Г.С., Френкель A.A. Анализ временных рядов и прогнозирование. M.: Статистика, 1973.

15. Максимей И.В. Математическое моделирование больших систем. Mн.: Выш. шк., 1985.

16. Персан M. Слейтер A. Динамическая регрессия: Теория и алгоритмы. M.: Финансы и статистика, 1984.

17. Сиськов В.И. Корреляционный анализ в экономических исследованиях. M.: Статистика, 1975.

18. Тейл Г. Прикладное экономическое прогнозирование. M.: Прогресс, 1970.

19. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. M.: Финансы и статистика, 1990.

20. Четыркин E.M. Статистические методы прогнозирования. M.: Статистика, 1977.

 

 

Содержание

Предисловие……………………………………………………..4

7. Моделирование одномерных временных рядов……………6

7.1. Временные (динамичкские) ряды……………………………….6

7.2. Агрегатная модель компонент уровня ряда динамики………...8

7.3. Выбор функции тренда…………………………………………12

7.4. Методы определения сезонных колебаний……………………16

7.5. Анализ и моделирование случайной компоненты…………….29

7.6. Авторегрессионные модели…………………………………….33

8. Моделирование связных рядов динамики…………………49

8.1. Математические модели связных рядов динамики……………49

8.2. Модели с распределенными лагами…………………………… 49

8.3. Авторегрессионные модели……………………………………..51

8.4. Методы оценки коэффициентов авторегрессионных

моделей………………………………………………………….. 53

9. Прогнозирование с помощью временных рядов………… 55

9.1. Прогнозирование с использованием показателей

средних характеристик ряда динамики…………………………56

9.2. Прогнозирование динамики социально-экономических

явлений по трендовым моделям……………………………….60

9.3. Построение доверительных интервалов для

полиномиальных трендов………………………………………63

9.4. Построение доверительных интервалов для трендов,

приводимых к линейному………………………………………64

9.5. Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания..66

9.6. Прогнозирование методом гармонических весов……………..72

9.7. Особенности прогнозирования сезонных колебаний…………80

9.8. Прогнозирование с использованием авторегрессионных

моделей………………………………………………………… 89

Литература……………………………………………………. 98

 

 

Учебное издание

 

 

Булдык Георгий Митрофанович

Доктор педагогических наук

Профессор

 

ЭКОНОМЕТРИКА

ЧАСТЬ II

Ответственный за выпуск

 

 

Подписано в печать .Формат . Бумага газетная. Гарнитура школьная. Усл. печ.л. . Уч.- изд. л. . Тираж экз. Заказ №

 

Институт парламентаризма и предпринимательства.

Лицензия №