рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - раздел Механика, Министерство...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ»

 

В.М. Адашевский, Г.О. Анищенко, Ю.Л. Тарсис

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

КИНЕМАТИКА

Харьков 2006

 

Национальный технический университет

«Харьковский политехнический институт»

 

 

В.М. Адашевский, Г.О. Анищенко, Ю.Л. Тарсис

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.

КИНЕМАТИКА

для студентов заочной формы обучения всех специальностей Утверждено … Харьков НТУ «ХПИ» 2007

ВВЕДЕНИЕ

 

Теоретическая механика – наука, которая изучает общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Она имеет большое значение для качественной подготовки инженерных кадров в различных отраслях техники, так как является фундаментальной наукой для многих специальных технических дисциплин. Теоретическая механика построена на законах И. Ньютона, а также на ряде аксиом, справедливость которых проверена многовековой практической деятельностью человека в области механики.

В общем случае движение является одной из форм существования материи. В теоретической механике изучают один из видов движения – механическое движение – это изменение положения тел в пространстве, происходящее с течением времени. Следует отметить, что состояние покоя является частным случаем механического движения, поэтому в теоретической механике изучают также равновесие материальных объектов. Под механическим взаимодействием понимают действия материальных тел друг на друга, в результате которых изменяется характер их механического движения или форма. Основной мерой механического взаимодействия тел является сила, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия.

Кинематика – важный раздел теоретической механики, в котором изучают законы движения материальной точки и абсолютно твердого тела с геометрической точки зрения, без учёта их инерционных характеристик (массы) и действующих на них сил.

Движение в кинематике рассматривают как изменение положения тела в пространстве с течением времени по отношению к выбранной системе отсчета. Система отсчета включает тело отсчета (движение тела всегда изучают по отношению к какому-либо другому телу, которое считают неподвижным), связанную с ним систему координат и часы для измерения времени. В теоретической механике в качестве основной используют гелиоцентрическую инерциальную систему отсчета, связанную с Солнцем. Однако при решении многих практических задач применяют и систему отсчета, связанную с Землей.

Движение тел происходит в пространстве с течением времени. В классической механике Галилея-Ньютона пространство, в котором изучают движение тел, считают трехмерным, евклидовым, абсолютным, однородным и изотропным. Свойства пространства не зависят от времени и движущихся в нем тел, они одинаковы во всех точках и направлениях. Время является непрерывно изменяющейся скалярной величиной, направлено от настоящего к будущему и протекает одинаково во всех системах отсчета.

Кинематику подразделяют на кинематику точки и кинематику абсолютно твердого тела. Если при изучении движения тела его формой и размерами можно пренебречь, то такое тело отождествляют с материальной точкой, т.е. с геометрической точкой, в которой вся масса тела условно считается сосредоточенной. В других случаях тело рассматривают как абсолютно твердое, форму и размеры которого принимают неизменяемыми. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между любыми двумя точками которого при его движении не изменяется.

В теории относительности Эйнштейна свойства пространства зависят от материальных объектов и их движения, а пространство и время связаны между собой и рассматриваются как единое четырехмерное пространство – время. При этом время зависит от того, в какой системе отсчета оно изменяется. Эйнштейну удалось обобщить законы механики на движение тел со скоростью, близкой к скорости света. Поправки и изменения, вносимые теорией относительности в законы классической механики, становятся ощутимыми только при больших скоростях, близких к скорости света, а также для тел, размеры которых имеют порядок атомов.

Основными задачами кинематики являются:

1) установление закона движения, т.е. способа задания положения точки или тела в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета;

2) определение по заданному закону движения всех кинематических величин, характеризующих изучаемое движение.

Для точки кинематическими характеристиками движения являются траектория, скоростьи ускорение, для абсолютно твердого тела – угловая скорость и угловое ускорение самого тела, а также траектория, скорость и ускорение любой его точки. В кинематике не используют какие-либо законы механики, полученные опытным путем. Все ее изложение опирается на известные аксиомы евклидовой геометрии. Для изучения кинематики необходимы знания математики в рамках аналитической геометрии, математического анализа и векторной алгебры.

В настоящем учебно-методическом пособии содержатся краткие теоретические сведения из раздела «Кинематика» по следующим темам:

1) кинематика точки;

2) простейшие виды движения твердого тела: поступательное и вращательное вокруг неподвижной оси;

3) плоскопараллельное движение твердого тела.

По каждой теме даны вопросы для самоконтроля. В 4-м разделе пособия рассмотрены примеры решения типовых задач и приведены варианты контрольных заданий. В пособии имеются ссылки на рекомендуемую литературу, из которой студенты заочного обучения могут получить более объемные знания по интересующим их вопросам.

Для изучения конкретной темы и выполнения контрольного задания студенту следует:

1) внимательно прочитать соответствующий раздел в учебнике, выбранном из списка рекомендуемой литературы; изучить теоретические сведения и методические рекомендации настоящего пособия; составить краткий конспект, записав основные определения, теоремы и формулы; ответить на контрольные вопросы;

2) разобрать решения приведенных типовых задач;

3) самостоятельно выполнить и оформить контрольные задания в соответствии с предложенным преподавателем вариантом.

Данное пособие способствует развитию и закреплению у будущих инженеров практических навыков решения разнообразных задач кинематики, необходимые в их профессиональной деятельности.

 

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

 

Кинематика точки – это раздел кинематики, в котором исследуют механическое движение материальной точки. Основная задача кинематики точки состоит в следующем:

1) задать закон движения точки, т.е. указать правило, в соответствии с которым можно однозначно определить положение точки в пространстве в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета;

2) по заданному закону движения точки определить все кинематические характеристики ее движения. К характеристикам движения относят траекторию, скорость и ускорение точки. Траектория точки – непрерывная пространственная кривая, которую точка описывает в процессе движения. Если траекторией является прямая линия, то движение называют прямолинейным, если кривая – криволинейным.

 

Способы задания движения точки

Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было задано. Оно считается заданным, если в любой момент времени однозначно можно определить положение точки в пространстве относительно заданной системы отсчета. Используют три основных способа задания движения точки: векторный, координатныйи естественный.

Векторный способ. Положение движущейся точки М в любой момент времени можно определить с помощью ее радиус-вектора, проведенного из центра О, связанного с телом отсчета, в точку М (рис. 1.1). Чтобы задать движение векторным способом, необходимо определить векторную функцию времени в виде:

(1.1)

Зависимость (1.1) называют уравнением движения точки в векторной форме. Начало радиус-вектора движущейся точки находится в точке О, а конец его перемещается по траектории вместе с точкой М. Геометрическое место концов радиус-вектора, т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

Координатный способ. С телом отсчета связывают прямоугольную систему декартовых координат, при этом положение точки определяют ее координатами, которые являются скалярными функциями времени (рис. 1.2):

(1.2)

Уравнения (1.2) называют уравнениями движения точки в координатной форме. Они являются параметрическими уравнениями траектории точки. Исключив из этих уравнений параметр – время, можно получить уравнение траектории.

Между способами задания движения точки имеется связь. Так, если начало декартовой системы координат совпадает с центром, из которого проводится радиус-вектор точки при векторном способе изучения ее движения (см. рис. 1.2), то координаты точки равны проекциям на соответствующие оси радиус-вектора точки

,

где – единичные орты координатных осей.

Естественный способ. Этот способ используют в тех случаях, когда заранее известна траектория точки. На траектории выбирают неподвижную точку О (начало отсчета), а также положительное и отрицательное направления отсчета расстояний точки от начала отсчета (рис. 1.3). Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться зависимостью криволинейной координаты S = ОМ от времени

(1.3)

Связь между координатным и естественным способами определяется выражением

,

где – первые производные от координат точки по времени; С – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

 

Скорость точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является скорость точки. Скорость точки – это векторная величина, характеризующая интенсивность и направление движения точки в пространстве в рассматриваемый момент времени.

В случае векторного способа задания движения вектор скорости точки равен первой производной по времени от ее радиус-вектора

(1.4)

где точка над функцией в теоретической механике означает первую производную по времени, а две точки – вторую производную по времени. Производные по другим переменным записывают обычным образом. Вектор скорости точки приложен в самой точке и направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Единица измерения скорости в системе СИ – 1 м/с.

При координатном способе задания движения точки ее скорость определяют через проекции вектора скорости на оси выбранной системы координат, которые равны первым производным от соответствующих координат по времени:

(1.5)

Если известны проекции скорости на оси координат, то модуль вектора скорости и его направляющие косинусы находят по формулам:

(1.6)

где – углы между вектором скорости и осями координат. При естественном способе задания движения точки вектор ее скорости определяют по формуле

(1.7)

где – единичный вектор касательной к траектории в данной точке, направленный всегда в сторону положительного отсчета криволинейной координаты S. Скалярную величину , являющуюся проекцией вектора скорости на касательную к траектории, называют алгебраической скоростью точки (рис. 1.4). Знак алгебраической скорости определяет направление движения точки: если > 0, то вектор скорости совпадает по направлению с вектором ; в противном случае он направлен в противоположную сторону. На рисунке точка О1 означает центр кривизны траектории, а – радиус кривизны в точке М.

 

Ускорение точки

Ускорение точки является векторной мерой изменения ее скорости, как по величине, так и по направлению. При векторном способе задания движения вектор…   (1.8)

Частные случаи движения точки

при криволинейном движении ; (1.13) при прямолинейном движении, например, вдоль оси x

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключаются задачи кинематики точки и абсолютно твердого тела?

2. Какие способы применяют для задания движения точки?

3. Как определяют скорость точки при различных способах задания ее движения?

4. Как определяют ускорение точки при различных способах задания ее движения?

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинематика твердого тела – это раздел, в котором изучают кинематику абсолютно твердого тела. Основными задачами кинематики твердого тела являются задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом, а также определение кинематических характеристик движения точек, принадлежащих этому телу.

К простейшим движениям твердого тела относят поступательное движение и вращение тела вокруг неподвижной оси. Более сложные виды движения – плоскопараллельное и сферическое.

Понятие о степенях свободы твердого тела

При задании движения твердого тела его положение в пространстве можно считать заданным, если известно положение трех его точек, например, А, В, С,… . Все девять координат нельзя считать независимыми, так как они связаны между собой уравнениями, вытекающими из условия…

Поступательное движение твердого тела

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: «При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (совпадающие при… (2.2) Так как для описания положения тела в пространстве надо задать три независимых параметра (декартовы координаты одной…

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением вокруг неподвижной оси называют такое движение твердого тела, при котором две какие-либо точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными.… Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, так как… Таким образом, закон вращательного движения можно считать установленным, если задан угол поворота тела как функция…

Преобразования простейших движений твердого тела

В различных механизмах часто осуществляют преобразование простейших движений: поступательное – во вращательное, вращательное – в поступательное, а… Рассмотрим определение угловой скорости барабана 2 при заданной скорости груза… Запишем алгебраическое значение угловой скорости 2-го колеса

Вопросы для самоконтроля

1. Что называют степенями свободы твердого тела?

2. Сколько степеней свободы имеет твердое тело в общем случае его движения в пространстве?

3. Какие виды движения твердого тела называют простейшими?

4. Каковы основные свойства поступательного движения твердого тела?

5. Какое движение твердого тела называют вращением вокруг неподвижной оси?

6. Каковы основные кинематические характеристики движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

7. Как связаны между собой угол поворота тела, угловая скорость и угловое ускорение при вращении его вокруг неподвижной оси?

8. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

9. Как определяют скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

10. Как определяют ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

 

 

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельное движение вполне определяется движением плоской фигуры S, полученной сечением тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости… . (3.1) Таким образом, для описания положения тела в пространстве необходимо задать три независимых параметра: декартовые…

Определение скоростей и ускорений точек тела

, (3.4) где – вектор угловой скорости, введенный так же, как и при рассмотрении… (3.5)

Мгновенный центр скоростей

Простой и наглядный способ определения скоростей плоской фигуры основан на понятии о мгновенном центре скоростей (МЦС). Им называют точку подвижной… Доказана теорема о том, что если тело движется не поступательно, то такая… . (3.8)

Вопросы для самоконтроля

1. Какое движение твердого тела называют плоскопараллельным?

2. На какие простейшие движения можно разложить плоскопараллельное движение?

3. Какие уравнения описывают плоскопараллельное движение?

4. Как определяют скорость произвольной точки плоской фигуры, если известна скорость полюса?

5. Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром скоростей (МЦС)?

6. Как распределены скорости точек тела по отношению к МЦС?

7. Какие существуют способы определения положения МЦС?

8. Как определяют ускорения произвольных точек тела, совершающего плоскопараллельное движение?

 

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

В задании К1 необходимо исследовать кинематику движения точки при координатном способе описания ее движения. В задании К2 необходимо определить… Для выполнения контрольных работ необходимо: 1) внимательно прочитать соответствующий раздел в учебнике, выбранном из списка рекомендуемой литературы; ознакомиться…

Определение скорости и ускорения точки

По заданным уравнениям ее движения

Задание К1

4.1.1. Пример решения контрольного задания К1

Пусть точка М движется в плоскости xOy в соответствии с уравнениями

.

Для момента времени = 0,5 с найти положение точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение

Заданный закон движения точки в координатной форме можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Исключим время t из уравнений движения и получим уравнение траектории точки в виде:

= 1.

Таким образом, траекторией точки М является эллипс со смещенным центром, изображенный на рис. 4.1. Отметим на траектории положение точки М1 (x1, y1) в момент времени t1 = 0,5 c

см;

см.

Вектор скорости точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей Оx и Оy; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от соответствующих координат по времени

В момент времени t1 = 0,5 c

Вектор скорости точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Модуль скорости точки определим по уже найденным проекциям

Вектор ускорения точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей Оx и Оy; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от проекций вектора скорости или 2-м производным от соответствующих координат по времени:

В момент времени t1 = 0,5 c

Вектор ускорения точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор ускорения точки в общем случае должен отклоняться от вектора скорости в сторону вогнутости траектории, а при движении по эллипсовидной траектории – проходить через центр эллипса. Модуль ускорения точки определим по уже найденным проекциям

Вектор полного ускорения точки можно также представить в виде геометрической суммы его проекций на оси естественной системы отсчета

,

где и – единичные орты касательной и главной нормали; и – соответственно проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль. Касательную М1t направляем по касательной к траектории в сторону движения точки движения, а главную нормаль М1n – перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. При вычислении касательного ускорения удобно воспользоваться формулой, устанавливающей связь между координатным и естественным способами задания движения точки

.

В момент времени t1 = 0,5 c

.

Значение касательного ускорения имеет отрицательный знак, следовательно, в данный момент времени движение точки замедленное и вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону направлению вектора скорости точки .

Нормальное ускорение вычислим по формуле , если известен радиус кривизны траектории. Например, если точка движется по окружности радиусом R, то в любой точке траектории ρ = R. Если же траекторией движения точки является прямая, то , следовательно, . В данном случае радиус кривизны траектории заранее не известен, поэтому нормальное ускорение определяем по формуле:

.

В момент времени t1 = 0,5 c

.

Построим векторы и в соответствии с уже выбранным масштабом, а затем сложим их геометрически. В результате получим тот же вектор полного ускорения точки , который ранее уже был получен геометрической суммой составляющих и . Этот факт служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим по формуле

.

В момент времени t1 = 0,5 c

.

Результаты всех вычислений для заданного момента времени приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Координаты, см Скорости, см/с Ускорения, ρ, см
x y
8,82 2,59 4,44 2,22 4,96 –6,97 3,49 7,79 –4,67 6,23 3,95

Примечание. В последнем столбце через ρ обозначен радиус кривизны траектории в точке .

4.1.2. Условие и варианты задания К1

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные для решения приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Номер варианта Уравнения движения Время с
, см , см
  К1-1  
  К1-2  
  К1-3  
К1-4 –4t 0,5
К1-5  
  К1-6  
  К1-7  
К1-8 –3t 0,5
  К1-9  
  К1-10  
  К1-11  
К1-12 3t 4t2 + 1 0,5

 

Продолжение табл. 4.2

Номер варианта Уравнения движения Время с
  К1-13  
  К1-14  
К1-15 –5t2 – 4 3t
  К1-16   2 – 3t – 6t2  
  К1-17  
К1-18 7t2 – 3 5t 0,25
  К1-19   3 – 3t2 + t  
  К1-20  
К1-21 –6t 2t2 – 4
  К1-22  
  К1-23  
К1-24 –4t2 + 1 –3t

 

Преобразование простейших движений твердого тела

Задание К2

4.2.1. Пример решения контрольного задания К2

Рассмотрим пример решения задания для механизма, кинематическая схема которого приведена на рис. 4.2., где ведущим звеном является груз. Задано: закон изменения вертикальной координаты груза x(t) = 30 + 10t2, см; радиусы колес R1 = R3 = 10 см, R2 = 30 см, r2 = 20 см. Определить скорость и ускорение точки М для момента времени t1 = 1 c.

Решение

Обозначим и покажем на рис. 4.3 точки механизма А, В, D1, D2, через которые передается движение от одного звена (ведущего) к другому (ведомому).

Решение задачи начнем с определения скорости груза. Поскольку груз совершает поступательное движение, его можно считать точкой, движение которой задано координатным способом, и движется только вдоль оси x. Проекцию скорости груза на эту ось определим как производную от координаты x по времени

, при t1 = 1 с vx= 20 см/с.

Поскольку знак проекции скорости груза на ось x положительный, вектор скорости направлен вниз, т.е. в положительном направлении оси x.

Скорости всех точек нити, на которой висит груз, одинаковы (нить считается нерастяжимой), скорость точки схода нити с барабана (колеса 1) равна скорости груза. Но точка А схода нити в данный момент времени принадлежит и колесу 1, совершающему вращательное движение вокруг неподвижной оси, что позволяет определить его угловую скорость. Направление угловой скорости колеса 1 соответствует направлению скорости точки А. Запишем теперь алгебраическое значение угловой скорости колеса 1

, при t1= 1с w1z= 2 рад/с.

Колеса 1 и 2 находятся в зацеплении и имеют общую точку В (см. рис.4.3). Поэтому скорости точек колес, находящихся на их ободьях, одинаковы. При записи алгебраического значения угловой скорости колеса 2 учтем, что внешнее зацепление меняет направление вращения на противоположное

, при t1 = 1 с w2z = 1 рад/с.

Одинаковы также скорости точек D1 и D2 , расположенных на шкивах ременной передачи. Однако здесь направление вращения не изменяется, поэтому

, при t1 = 1 с

Определим теперь скорость точки M колеса 3 в момент времени t1 = 1 с. Величина скорости – это произведение модуля угловой скорости на расстояние от точки M до оси вращения, которое равно радиусу , Направление вектора скорости покажем перпендикулярно радиусу, соединяющему точку с осью вращения, в соответствии с направлением вращения (рис. 4.4).

Для нахождения ускорения точки M необходимо знать угловое ускорение колеса 3. Алгебраическое значение углового ускорения определим как производную по времени от алгебраического значения угловой скорости Алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, следовательно, вращательное движение является ускоренным.

Ускорение точки M определим как геометрическую сумму векторов вращательного и осестремительного ускорений, модули которых вычислим по формулам:

,

откуда получим полное ускорение точки M

.

Векторы ускорений показаны на рис. 4.4. Движение колеса 3 ускоренное, поэтому вращательное ускорение точки M направлено в ту же сторону, что и ее скорость. Осестремительное ускорение всегда направлено к оси вращения.

Если в условии будет задан не закон движения груза x(t), а зависимость угла поворота колеса 1 от времени, например, j1(t) = 3+t 2 , рад, изменения в решении задачи коснутся только начального этапа. Алгебраическое значение угловой скорости колеса 1 определим как производную от его угла поворота по времени

Дальнейшее решение задачи не отличается от приведенного примера.

4.2.2. Условие и варианты задания К2

Задан закон движения ведущего звена механизма. В одних вариантах ведущим звеном является груз и задан закон изменения его вертикальной координаты x(t) в сантиметрах, а в других – одно из колес и задан закон изменения его угла поворота j(t) в радианах. Определить скорость и ускорение точки М для момента времени t1. Расчетные схемы задания К2 представлены табл. 4.3, а числовые исходные данные – в табл. 4.4.

 

Таблица 4.3

К2-1 К2-2
К2-3 К2-4
К2-5     К2-6

 

 

Продолжение табл. 4.3

К2-7 К2-8
К2-9   К2-10
К2-11     К2-12

 

 

Продолжение табл. 4.3

К2-13 К2-14
К2-15 К2-16
К2-17     К2-18

 

Продолжение табл. 4.3

К2-19 К2-20  
К2-21 К2-22  
К2-23 К2-24

Таблица 4.4

  Номер варианта Уравнение движения ведущего звена R1, см R2, см r2, см R3, см r3, см Момент времени, с
К2-1 = 3+ t2 0,5
К2-2 x=2+3t2
К2-3 = 3+t2
К2-4 x= 4t2 0,5
К2-5 = 1+ t2 0,5
К2-6 x= 4t2 0,5
К2-7 = 4+2t2
К2-8 x= t2
К2-9 x= 2t2
К2-10 = 2 + 2t2 0,5
К2-11 x= 5+ t2 0,5
К2-12 = t2 + 2
К2-13 х= 3t2 + t
К2-14 x=10 + t2
К2-15 = 3 t2+ 2
К2-16 x=5t2 + 5
К2-17 = 4t2 + 2
К2-18 x= 6t2
К2-19 = 4t2 2
К2-20 x=4 + t2
К2-21 x=5t2 4
К2-22 = 3 + 2t2
К2-23 x= 4 + t2
x= 3 + t2  

Определение скоростей точек тела

При плоскопараллельном движении

Задание К3

4.3.1. Примеры решения контрольного задания К3

Пример 1. Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути (рис. 4.5).

Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент времени = 2 м/с,

r = 0.6 м, R = 1 м.

Решение

Катушка совершает плоскопараллельное движение. Так как качение происходит без скольжения, то скорость точки Р касания катушки с неподвижной поверхностью , следовательно эта точка является мгновенным центром скоростей (МЦС). Вектор скорости точки А перпендикулярен АР и направлен в сторону качения катушки, а численное значение скорости пропорционально расстоянию от точки А до МЦС:

,

где

1,49 м.

Определим угловую скорость катушки

1,35 рад/с.

Так как скорости точек О и В катушки также пропорциональны их расстояниям до точки Р, то

0,81 м/с;

= 0,54 м/с.

Направление вращения катушки, а, следовательно, и направления скоростей точек В и О, определяются направлением вектора скорости по отношению к МЦС.

Пример 2. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = = 1 м/с.

Найти в положении, указанном на рис. 4.6, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 1,2 м, АС = ВС.

Решение

Стержень АВ совершает плоскопараллельное движение. Так как скорости точек А и В направлены параллельно соответствующим направляющим, вдоль которых скользят ползуны, то, восстанавливая из точек А и В перпендикуляры к скоростям этих точек, определим положение мгновенного центра скоростей стержня АВ – точка Р. Треугольник АВР является равнобедренным, следовательно, АВ = ВР = 1,2м.

Скорость точки А пропорциональна расстоянию от этой точки до точки Р: , где 2,08 м.

Вычислим угловую скорость стержня АВ

0,48 рад/с.

Скорость точки В определим по формуле

= 0,48·1,2 = 0,58 м/с.

Для определения скорости точки С найдем расстояние РС с помощью теоремы косинусов

1,59 м.

Тогда скорость точки С

= 0,76 м/с.

Пример 3. Кривошип ОА длиной r = 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с, приводя в движение шатун АВ длиной l = 4 м, как показано на рис. 4.7.

Определить скорость ползуна В, угловую скорость шатуна в двух положениях механизма, когда угол поворота кривошипа j = 0 и j = 900.

Решение

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. При этом , так как точка А принадлежит кривошипу ОА, совершающему вращательное движение. Скорость ползуна В параллельна направляющим. Численное значение скорости точки А

=2·1=2 м/с.

Найдем положение мгновенного центра скоростей, восстанавливая перпендикуляры к скоростям точек А и В из этих точек. При угле j = 0 (см. рис. 4.7,а) перпендикуляр к скорости и перпендикуляр к направлению пересекаются в точке В. Следовательно, точка В является в этом положении механизма мгновенным центром скоростей и . Это положение механизма называют «мертвым». Найдем угловую скорость шатуна

= 0,5 рад/с.

На рис. 4.7,а показано распределение скоростей точек шатуна.

При угле поворота кривошипа j = 900 скорости и направлены параллельно, а перпендикуляры к ним пересекаются в бесконечности. Следовательно, в данный момент времени имеет место мгновенное поступательное распределение скоростей, то есть все точки шатуна АВ имеют одинаковые скорости, равные , при этом угловая скорость шатуна wAB = 0 (рис. 4.7,б).

Пример 4. Кривошип ОА = 0,5м вращается с угловой скоростью w = 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ = 4 м.

Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С (АС = 2,5м), если угол поворота кривошипа j = 450 и ОА ^ АВ (рис. 4.8).

Решение

Так как кривошип ОА совершает вращательное движение, то

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Найдем мгновенный центр скоростей для данного положения шатуна – точку Р на пересечении перпендикуляров к скоростям точек А и В, восстановленных из этих точек. Треугольник РАВ равнобедренный, при этом АВ = АР = 4 м.

Найдем угловую скорость шатуна АВ

1.25 рад/с.

 

Скорости точек В и С пропорциональны их расстояниям до МЦС:

,

 

где ВР =5,65 м;

= 1,25·5,65 = 7,07 м/с;

, где СР =4,72 м;

= 1,25·4,72 = 5,9 м/с.

 

4.3.2. Условие и варианты задания К3

Для тела, совершающего плоскопараллельное движение, в соответствии с заданными кинематическими характеристиками и геометрическими размерами элементов, определить угловые скорости и линейные скорости точек. Расчетные схемы и исходные данные приведены в табл. 4.5.

 

Таблица 4.5

Вариант К3-1
1.1 1.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 4 см, . Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 6 см, АС = ВС.
Вариант К3-2
2.1 2.2
Колесо катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость колеса, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент R = 2 см, . Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 12 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-3
3.1 3.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек В и С, если в рассматриваемый момент r = 1 см, R = 2 см, . Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 8 см, АС = ВС.
Вариант К3-4
4.1 4.2
Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 4 см, R = 10 см, . Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 4 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-5
5.1 5.2
Катушка катится без скольжения прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 5 см, R = 10 см, .   Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 10 см, АС = 6 см.
Вариант К3-6
6.1 6.2
Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 6 см, . Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 6 см, АС = 2 см.

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант КЗ-7
7.1 7.2
Колесо катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость колеса, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент R = 3 см, = 12 см/с. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = 16 см/с. Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 8 см, АС = ВС.
Вариант КЗ-8
8.1 8.2
Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент R = 4 см, r = 3 см, = 10 см/с. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = 20 см/с. Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 10 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант КЗ-9
9.1 9.2
 
Катушка катится без скольжения по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент R = 4 см, r = 2 см, = 8 см/с. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 6 см, АС = ВС.
Вариант КЗ-10
10.1 10.2
Катушка катится без сколь-жения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек В и С, если в рассматриваемый момент R = 4 см, r = 3 см, = 7 см/с. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из них А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 4 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант КЗ-11
11.1 11.2
Колесо катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость колеса, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент R = 5 см, r = 3 см,= 12 см/с. Кривошип ОА длиной 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек А и С, если АС = ВС.
Вариант КЗ-12
12.1 12.2
Катушка катится без сколь-жения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент R = 4 см, = 10 см/с. Кривошип ОА длиной 0,5 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек А и С, если ВС = 0,2 м.

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-13
13.1 13.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и С, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, . Кривошип ОА длиной 0,5 м вращается с угловой скоростью = 3 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 0,1 м.
Вариант К3-14
14.1 14.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, . Кривошип ОА длиной 0,4 м вращается с угловой скоростью = 2,5 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0,3 м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-15
15.1 15.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 5 см, R = 10 см, . Кривошип ОА длиной 0,6 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 0,3 м.
Вариант К3-16
16.1 16.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 5 см, R = 10 см, . Кривошип ОА длиной 0,4 м вращается с угловой скоростью = 1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0,2 м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-17
17.1 17.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент R = 3 см, . Кривошип ОА длиной 1 м вращается с угловой скоростью = 1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 3 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 1 м.
Вариант К3-18
18.1 18.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость ка-тушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 4 см, . Кривошип ОА длиной 1,5 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 2 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 0,15м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-19
19.1 19.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, . Кривошип ОА длиной 0,5 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 4 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 2,5 м.
Вариант К3-20
20.1 20.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 5 см, . Кривошип ОА длиной 0,5 м вращается с угловой скоростью = 1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 4 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 1 м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-21
21.1 21.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и О, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, . Кривошип ОА длиной 2 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 2 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0,5 м.
Вариант К3-22
22.1 22.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и О, если в рассматриваемый момент, R = 3 см, . Кривошип ОА длиной 2 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0,5 м.

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-23
23.1 23.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 4 см, . Кривошип ОА длиной 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 3 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 1 м.
Вариант К3-24
24.1 24.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 6 см, . Стержень ОА длиной 1 м шарнирного четырехзвенника вращается с угловой скоростью = = 2 рад/с. длиной 1 м. Найти угловые скорости стержней АВ длиной 2 м и ВD длиной 3 м, а также скорости точек В и С, если АС = 1 м.
       

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛитературЫ

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.– М.: Высшая школа, 1974.– 400 с.

2. Бутенин И.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Краткий курс теоретической механики. Т.1 : Статика и кинематика.– М.: Наука, 1985.– 240 с.

3. Яблонский А.А. Курс теоретической механики Ч.1 : Статика. Кинематика.– М.: Высшая школа, 1984.– 343 с.

4. Павловський М.А. Теоретична механіка.– Київ : Техніка, 2002.– 670 с.

5. Беломытцев А.С. Краткий курс теоретической механики. Статика и кинематика / Тексты лекций для студентов заочной формы обучения всех специальностей.– Харьков : НТУ «ХПИ», 2004.– 76 с.

6. Адашевский В.М., Анищенко Г.О., Тарсис Ю.Л. Общий курс теоретической механики / Учебное пособие для студентов заочной формы обучения.– Харьков : НТУ «ХПИ», 2005.– 108 с.

7. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 : Статика и кинематика.– М.: Наука, 1990.– 670 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Кинематика точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Способы задания движения точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Скорость точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ускорение точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Частные случаи движения точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Кинематика твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Понятие о степенях свободы твердого тела . . . . . . . . . . .
2.2. Поступательное движение тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. . . . .
2.4. Преобразование простейших движений. . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Плоскопараллельное движение твердого тела. . . . . . . . . .
3.1. Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное. . . . . . . . . . . . .  
3.2. Определение скоростей и ускорений точек тела. . . . . . .
3.3. Мгновенный центр скоростей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Задания к контрольным работам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения. Задание К1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
4.1.1. Пример решения контрольного задания К1. . . . . . . . . .
4.1.2. Условия и варианты задания К1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Преобразование простейших движений твердого тела. Задание К2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
4.2.1. Пример решения контрольного задания К2. . . . . . . . . .
4.2.2. Условия и варианты задания К2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Задание К3. . . . . . . . . . . . . .  
4.3.1. Примеры решения контрольного задания К3 . . . . . . . .
4.3.2. Условия и варианты задания К3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список рекомендуемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

Навчальне видання

 

АДАШЕВСЬКИЙ Володимир Михайлович

АНІЩЕНКО Галина Оттівна

ТАРСІС Юрій Львович

 

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА.

КІНЕМАТИКА

Навчально-методичний посібник

для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей

 

Російською мовою

 

Роботу до друку рекомендував Д.В. Бреславський

 

В авторській редакції

 

Комп’ютерна верстка та графічне оформлення – І.Р. Грабовська

 

План 2007, п. 42/

Підп. до друку . .07. Формат 60х84 1/16. Папір офсет. № 2.

Riso – друк . Гарнітура Таймс. Ум. друк. арк. 2,8. Обл.-вид. арк. 4,5.

Наклад 100 прим. Зам. № . Ціна договірна

 

Видавничий центр НТУ «ХПІ».

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 116 від 10.07.2000 р.

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

______________________________________________________________

Друкарня НТУ «ХПІ».61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

 

– Конец работы –

Используемые теги: Теоретическая, Механика0.046

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА- краткий курс КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ 2206 Теоретическая механика: Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики
КОНСПЕКТ лекций по дисциплине... ТМ Теоретическая механика... Астана...

Теоретическая механика. Часть 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение...

В теоретической механике изучается движение тел относительно других тел, представляющие собой физические системы отсчёта
В теоретической механике изучается движение тел относительно других тел представляющие собой физические системы отсч та... Механика позволяет не только описывать но и предсказывать движение тел... Основные абстрактные модели реальных тел...

Шпоры по теоретической механике
Сис-ма отчёта – сис-ма координат, жёстко или неизменно связанная с каким-то телом, относ кот-ого опред-тся положение данного объекта. Мат-ое тело –… Силовой фактор – мера механического взаимодействия тел. 1) сосредоточенный… Эквивалентные - с.с, каждую из кот можно заменить др, не нарушая состоянии покоя. Равнодейств-ая – сила, кот одна…

Кафедра теоретической механики и инженерной графики
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Теоретическая механика. Часть 1
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования...

Раздел Теоретическая механика
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА... Раздел Теоретическая механика... Тверь г...

Часть 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ... Кафедра технической механики и гидравлики...

Истоки и теоретические основы паблик рилейшнз. Истоки и теоретические основы паблик рилейшнз (ПР)
Смоленский государственный университет... Н Н Розанова ПАБЛИК РИЛЕЙШНЗ Пособие к семинарским занятиям...

0.041
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам