Интеграл Лебега

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Курсовая работа на тему Интеграл Лебега Выполнила студентка 3мфА Сенченко Ю. В. Проверила Панфилова Т. Л. Вологда 2000 Содержание. 1. Введение. 1.Простые функции. 2.ИнтегралЛебега от простых функций. 2. Определение интнгралаЛебега. 3. Основные свойства интеграла. 4. Предельный переход под знаком интеграла. 5. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 6. Примеры. 7. Литература. 1. Введение Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют не слишком много точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла, римановская конструкция интеграла становится непригодной.

Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.

Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для функций, заданных на любых пространствах с мерой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла. Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная -аддитивная мера, определенная на -алгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А Х будут предполагаться измеримыми, а функции fx - определенными для x Х и измеримыми. 1. Простые функции. Определение 1. Функция fx, определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой. Теорема 1. Функция fx, принимающая не более чем счетное число различных значений y1, y2 yn измерима в том и только том случае, если все множества Anx xyn измеримы. Доказательство.

Необходимость условия ясна, так как каждое An есть прообраз одноточечного множества yn, а всякое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f-1B любого борелевского множества есть объединение не более чем счетного числа измеримых множеств An, т. е. измерим.

Использование простых функций в построении интеграла Лебега будет основано на следующей теореме. Теорема 2. Для измеримости функции fx необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций. Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию fx и положим fnхmп, если тп xm1n здесь т - целые, а п - целые положительные. Ясно, что функции fnx простые при п они равномерно сходятся к fx, так как fx- fnx1n. 2.Интеграл Лебега для простых функций. Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.

Пусть f некоторая простая функция, принимающая значения y1, y2 yn, yi yj при i j, и пусть А некоторое измеримое подмножество X. Естественно определить интеграл от функции f по множеству А равенством, где Anx x, fxyn, 1 если ряд справа сходится.

Мы приходим к следующему определению в котором по понятным причинам заранее постулируется абсолютная сходимость ряда. Определение 2. Простая функция f называется интегрируемой или суммируемой по мере на множестве A, если ряд 1 абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда 1 называется интегралом от f по множеству А. В этом определении предполагается, что все уn различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида ckBk и не предполагая, что все ck различны.

Это позволяет сделать следующая лемма. Лемма. Пусть А , Bi j при i j и пусть на каждом множестве Bk функция f принимает только одно значение ck тогда , 2 причем функция f интегрируема на А в том и только том случае, когда ряд 2 абсолютно сходится. Доказательство. Легко видеть, что каждое множество Аnх хА, fxyn является объединением тех Bk, для которых сkyn. Поэтому. Так как мера неотрицательна, то, т. е. ряды и абсолютно сходятся или расходятся одновременно.

Лемма доказана. Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций A , причем из существования интегралов в правой части равенства следует существование интеграла в левой. Для доказательства предположим, что f принимает значения fi на множествах Fi A, a g значения gj на множествах Gj A, так что J1 , 3 J2 . 4 Тогда в силу леммы J 5 так что из абсолютной сходимости рядов 3 и 4 следует и абсолютная сходимость ряда 5 при этом JJ1J2. Б Для любого постоянного k k, причем из существования интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части.

Проверяется непосредственно. В Ограниченная на множестве А простая функция f интегрируема на А, причем, если fx M на A, то MA. Проверяется непосредственно. 2. Определение интеграла Лебега Классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем рассматривается конечная функция fx, заданная на сегменте a, b этот сегмент разбивается на части точками x0 a x1 x2 xn b в каждой части xk, xk1 выбирается точка k и составляется риманова сумма. Если сумма при стремлении к нулю числа maxxk1 xk. стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления a, b, ни от выбора точек k, то этот предел I называется интегралом Римана функции fx и обозначается символом. Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут R . Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми R. Для интегрируемости R функции fx необходимо, чтобы она была ограниченной.

Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегрируема R. Существуют также и разрывные функции, интегрируемые R. В частности, такова любая разрывная монотонная функция.

Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой R. Рассмотрим, например, функцию Дирихле, которая определяется на сегменте 0, 1 следующим образом 1, если x рационально, x 0, если x иррационально.

Легко видеть, что эта функция не интегрируема R, ибо сумма обращается в 0, если все точки иррациональны и 1, если все рациональны. Таким образом, риманово определение интеграла страдает существенными недостатками - даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми. Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства. Дело заключается в следующем при составлении сумм Римана, мы дробим сегмент a, b на мелкие части x0, x1, x1, x2, ,xn-1, xn назовем их через e0, e1 en-1, в каждой части ek берем точку k и, составив сумму, требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек k в множествах еk. Иначе говоря, каждая точка х из множества еk может быть взята за k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы. А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки k мало изменяет величину fk. Но что же объединяет между собой различные точки х множества ek Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо еk есть малый сегмент xk, xk1. Если функция fx непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что изменение точки k в пределах множества ek мало влияет на величину суммы, но для функция разрывной это вовсе не так. Иначе можно сказать, что множества ek составлены так, что только для непрерывных функций значение fk можно считать нормальным представителем других значений функции на ek. Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным.

Ниже мы убедимся, что для интегрируемости R необходимо, чтобы рассматриваемая функция не была слишком разрывной.

Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в множества ek не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции.

С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент a, b, расположенный на оси абсцисс, а сегмент А, В, лежащий на оси ординат и включающий все значения функции fx A yo y1 yn B Если составить множества ek так ek Eyk f yk1, то ясно, что различный точкам х еk и в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим представителем значений функции на множестве ek может служить, например, yk, так что естественно положить в основу понятия интеграла сумму. Перейдем теперь к точному изложению вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция fx, причем A fx B. 1 Разобьем сегмент А, В на части точками yo A y1 y2 yn B и соотнесем каждому полусегменту уk, уk1 множество ek Eyk f yk1 Легко проверить четыре свойства множеств ek 1 Множества ek попарно не пересекаются ekek 0 k k. 2 Эти множества измеримы. 3 E 4 тЕ Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S S S Если мы положим max yk1 yk, то будем иметь 0 S s mE. 2 Основное свойство сумм Лебега выражает Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента А, В отвечают суммы Лебега s0 и S0. Если ми добавим новую точку дробления и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется s0 s, S S0. Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство.

Допустим, что yi yi1. 3 Тогда при k i полусегменты yk, уk1, а с ними и множества ek, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же yi, yi1 при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами yi yi1, в связи с чем и множество ei разбивается на два множества Eyi f , E f yi1. Очевидно, что ei , 0, так что mei m m . 4 Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s0 заменой слагаемого yimei двумя слагаемыми yim m, откуда, в связи с 3 и с 4, и следует, что s s0. Для верхних сумм рассуждение аналогично.

Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S. Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента А, В. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s1 и s2 и верхние суммы S1 и S2. Составим третий способ дробления А, В - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s3 и S3, то, в силу леммы, s1 s3, S3 S2, откуда, в связи с тем, что s3 S3, ясно, что s1 S2, а это и требовалось доказать.

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S0. Так как для всякой нижней суммы s будет s S0, то множество s всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть U есть его точная верхняя граница U sups. Тогда, ясно, что U S0. Ввиду произвольности суммы S0, последнее неравенство доказывает, что множество S всех верхних сумм Лебега ограничено снизу.

Назовем через V его точную нижнюю границу V infS. Очевидно, при любом способе дробления будет S U V S. Но, как мы отмечали, S s mE, откуда 0 V U mE и, так как произвольно мало, то U V. Определение. Общее значение чисел U и V называется интегралом Лебега функции fx по множеству Е и обозначается символом L В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто В частности, если Е есть сегмент а, b, употребляют символы L Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, интегрируема L. Уже из этого замечания видно, что процесс интегрирования L приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования R. В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов R имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1. Если 0, то суммы Лебега s и S стремятся к интегралу Теорема непосредственно вытекает из неравенств S S, S s mE. Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение интеграла Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А и В, на самом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что A fx В, A fx B, причем В В. Раздробим сегмент А, В на части A у0 у1 yn В, причем включим и точку В в число точек деления В ут. Если мы составим множества ek, то легко убедиться, что ek 0 k m. Значит, s s, где s есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сегмента А, В. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, найдем, что I I, где I и I суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегментам А, В и А, В. Таким образом, изменение числа В не отражается на величине интеграла.

То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора точек А и В. 3.

Основные свойства интеграла

Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества поп... В силу теоремы о среднем A mRn B mRn, а в силу мера mRn множества Rn с... Мы ограничимся доказательством следующей теоремы. Теорема А. Положим, An E , Bn E . Фиксировав это, мы, на основании самого определения сходимости по мере...

Сравнение интегралов Римана и Лебега

Сравнение интегралов Римана и Лебега. Если уменьшается, то mx0 не убывает, a Mx0 не возрастает. Поэтому суще... Иначе говоря, для всех х х0 x0 будет fx0 - fx fx0 . Эти неравенства означают, что fx0 - mx0, Mx0 fx0 . 1 - 1 , 1 , значит функция fx суммируемой не является.

Литература

Литература 1 Колмогоров, Фомин Элементы функционального анализа. 2 Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, С-П, 1999. 3 Очан Сборник задач по математическому анализу.