ОСНОВНІ ПИТАННЯ ПРОГРАМИ ДИСЦИПЛІНИ ЗА ТЕМОЮ ЛІНІЙНА ТА ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

ЗМІСТ

ВСТУП ............................................................................................................ 4

ОСНОВНІ ПИТАННЯ ПРОГРАМИ ДИСЦИПЛІНИ ЗА ТЕМОЮ

«ЛІНІЙНА ТА ВЕКТОРНА АЛГЕБРА» ....................................................... 5

ОРІЄНТОВНИЙ ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ ДЛЯ ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ 6

1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА .................................................................................. 7

1.1. Матриці та дії над ними .......................................................................... 7

1.2. Визначення та основні властивості визначників .................................. 11

1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь .............................................. 14

2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ............................................................................ 20

2.1. Поняття вектора та лінійні операції над векторами ............................ 20

2.2. Вектори у декартовій системі координат ............................................. 22

2.3. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів .......................... 23

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ 25

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ .............................................................................. 27

Додаток А

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ЗА ТЕМОЮ «ЛІНІЙНА ТА ВЕКТОРНА АЛГЕБРА» ................................................................................................................... ….28

Вступ

Методичні вказівки відповідають програмі курсу «Вища математика» для студентів технологічних спеціальностей та можуть бути використані при виконанні індивідуальних завдань за темою «Лінійна та векторна алгебра».

Особливістю посібника є наявність завдань для тетраместрових індивідуальних робіт у кількості, достатній для академічних груп.

Дані методичні вказівки є довідковим матеріалом. Вони містять визначення, формули, деякі теоретичні відомості. Мета роботи – надати в невеликому за обсягом довіднику деякі відомості з вищої математики, необхідні при вивченні тем: «Матриці», «Визначники», «Системи лінійних рівнянь», «Векторна алгебра».

Слід мати на увазі, що це – не навчальна книга, не конспект лекцій, а короткий довідковий матеріал, який не може замінити вивчення лекційного матеріалу та навчальної літератури.

Кожен розділ посібника, охоплюючи ту чи іншу тему, містить необхідні теоретичні положення.

Перед розв’язуванням задач необхідно вивчити відповідні розділи теоретичного матеріалу.

Основні питання Програми дисципліни за темою «Лінійна та векторна алгебра»

1. Матриці. Дії над матрицями:
	Поняття прямокутноїматриці. Види матриць. Дії з матрицями та їх властивості. Поняття рангу матриці. Методи знаходження рангу. Теореми про ранг матриці.
2. Визначники. Властивості визначників і способи їх обчислення:
	Поняття визначника. Мінор та алгебраїчне доповнення. Властивості та методи обчислення визначників другого та третього порядків. Визначники n-го порядку, їх властивості та обчислення.
3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР):
	Основні поняття та визначення. Правило Крамера для розв’язування СЛАР. Матрична форма запису СЛАР. Поняття та знаходження оберненої матриці. Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці. Умови існування та одиничності розв’язку. Однорідні СЛАР, умови одиничності розв’язку.
4. Поняття вектора та скаляра. Основні характеристики та визначення. Лінійні операції над векторами:
	Поняття скаляра та вектора. Види векторів. Рівність векторів. Лінійні операції над векторами: додавання, віднімання та множення на скаляр. Одиничний вектор. Колінеарність та компланарність векторів. Лінійна залежність, незалежність векторів. Проекція вектора на вісь, її властивості.
5. Скалярний добуток векторів:
	Визначення, основні властивості, геометричний зміст. Скалярний добуток векторів у координатній формі запису. Застосування скалярного добутку (довжина вектора, кут між векторами, проекція одного вектора на напрямок іншого, умова перпендикулярності векторів).
6. Векторний добуток векторів:
	Визначення, основні властивості, геометричний зміст. Векторний добуток векторів у координатній формі запису. Застосування векторного добутку (площа, висота паралелограма та трикутника, умова колінеарності двох векторів).
7. Мішаний добуток векторів:
	Визначення, основні властивості, геометричний зміст. Мішаний добуток векторів у координатній формі запису. Застосування мішаного добутку (об’єм, висота паралелепіпеда та піраміди, умова компланарності векторів).

ОРІЄНТОВНИЙ ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ ДЛЯ ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

2. Визначники. Мінори. Алгебраїчні доповнення. 3. Властивості визначників. 4. Визначники 2-го та 3-го порядку, способи їх обчислення.

Лінійна алгебра

Матриці та дії над ними

, де – елемент матриці; числа , – індекси елемента матриці, що вказують його… Число елементів матриці знаходиться як добуток числа рядків на число стовпців .

Деякі типи матриць

Дії над матрицями

  Продовження 4. Транспонування матриці: Транспонованою…

Визначення та основні властивості визначників

Мінором елемента визначника називається визначник на одиницю меншого порядку, отриманий із даного шляхом викресленням з нього -го рядка та -го… Алгебраїчним доповненнямелемента визначника називається величина, яку…

Правила обчислення визначників різних порядків

  Продовження в) розкладання визначника за елементами будь-якого рядка…

Властивості визначників

Обернена матриця

Для того, щоб квадратна матриця мала обернену матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначник не дорівнював нулю (невироджена матриця). Обернену… де – алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці . Зауваження. Звернемо увагу на розташування чисел в правій частині формули: число розташоване не у -му рядку та -му…

Види систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Можливі наступні випадки розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь: 1) якщо , тоді система має єдиний розв’язок, який можна знайти або за… 2) якщо , тоді система або несумісна, або має безліч розв’язків. Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь Метод Крамера Використовується лише для…

Однорідна система лінійних рівнянь

Складемо головний визначник системи. При розв’язанні системи можуть бути випадки: 1) якщо , тоді система має лише єдиний нульовий розв’язок, тобто (підстановка… 2) якщо , тоді система може мати безліч ненульових розв’язків, тобто буде неозначеною. У цьому випадку одне з рівнянь…

Векторна алгебра

Поняття вектора та лінійні операції над векторами

Будь-яка упорядкована пара точок А і В простору визначає вектор, тобто відрізок, що має певну довжину і напрямок.… Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Одиничний… Три вектори називаються компланарними, якщо вони розміщені в одній площині, або паралельні одній і тій же площині.

Властивості лінійних операцій над векторами

Умовою колінеарності двох векторів та є пропорційність однойменних координат: .

Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ індивідуальних завдань

Практичні завдання для кожного студента групи індивідуальні (кожне завдання складене в 30 варіантах). Відповідне цифрове значення замість символу… Завершальним етапом роботи над індивідуальним завданням є його захист. Під час… Умови завдань наведені у додатку.

ПРАВИЛА ВИКОНАННЯ І ОФОРМЛЕННЯ

ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

2. У заголовку роботи на титульній сторонці мають бути ясно написані: номер та назва індивідуального завдання, з якої дисципліни вона виконується,… А також: – номер варіанта;

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Додаток А

Індивідуальні завдання за темою

«лінійна та векторна алгебра»

Завдання 1

Задані матриці . Необхідно: 1. Знайти величину визначника матриці наступними способами: а) використавши правило трикутника (правило Саррюса);

Завдання 2

Знайти величину визначника четвертого порядку, скориставшись його властивостями та одержавши три нулі в будь-якому рядку. 2.1 …    

Завдання 3

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь трьома способами: а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса;

Завдання 4

Дані координати точок . Необхідно: 1. Знайти модуль та напрямок вектора у просторі. 2. Знайти кут між векторами та .