Циклова комісія математики, інформатики та обчислювальної техніки

Міністерство освіти і науки України

ХАРКІВСЬКИЙ МАШИНОБУДІВНИЙ КОЛЕДЖ

Циклова комісія математики, інформатики та обчислювальної техніки

 

Алгебра та початки аналізу

Частина І

(навчально-методичний посібник для студентів 1-а курсу)

 

 

Рекомендовано методичною Радою коледжу

Протокол ________від ___________________

Погоджено цикловою комісією математики, інформатики

та обчислювальної техніки

Протокол № від . .2010 р.

Голова комісії ____________Л.О.Якшина

 

 

Укладачі: викладачі вищої категорії

О.А.Клинцова, Л.Ф.Зоркіна

Харків 2010

Передмова

Завданням І розділу посібника є повторення та узагальнення знань з тем «Натуральні, цілі, раціональні, дійсні числа та дії над ними», «Алгебраїчні… Специфікою посібника порівняно з нормативними підручниками є орієнтація на… Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач більшість студентів потребують постійних консультацій щодо способів і…

Розділ 1

  Числовою системою називається та чи інша числова множина розглянута разом з…  

Звичайні дроби

1) Що називають звичайним дробом і як його позначають? 2) Що показують чисельник і знаменник дробу і як вони розташовані відносно… 3) Який дріб називається правильним, а який неправильним?

Десяткові дроби

●17.Розгляньте та проаналізуйте виконання дій додавання, віднімання, множення та ділення десяткових дробів 1) 0,234 2) 7,459 3) 13,300 4) 0,132 5) 19,2|12__ +3,523 -2,181 -9,674 ×2,34 -12 1,6

Пропорція

IIЗнайдіть з пропорції: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

Відсотки

IIЗнайдіть відсотки від заданих чисел: 1) 10% від 40;2) 2% від 50; 3) 18% від 70; 4) 25% від 120;

Розв’язання

Відповідь: доларів.   *43. Вкладник вніс в ощадбанк 3000 грн. Ощадбанк нараховує щорічно 5% від суми внеску. Якою стане сума внеску: 1)…

Додатні і від’ємні числа. Цілі числа. Дійсні числа. Модуль дійсного числа

- додатні числа. Додатні числа можна писати без знака, тобто замість можна писати . - від’ємні числа. Від’ємні числа не можна писати без знака. Числа 1 і (-1); 5 і (-5); і називаються протилежними. Загалом і - протилежні числа. Сума протилежних чисел дорівнює…

Таблиця знаків

▼49. IВиконайте додавання (віднімання) цілих чисел: 1) 5-29; 2) -29+16; 3) 5-(-16); 4) -8+(-13); 5) -7-21; 6) -6-(-15);

Дії з алгебраїчними виразами

ІІПеревірте свої відповіді за наведеним нижче теоретичним матеріалом Алгебраїчні вирази – це математичні вирази, що складаються з чисел і змінних… Одночлен – це вираз, який може містити тільки дві дії: множення змінних і чисел і піднесення змінних до невід’ємного…

Правило розкриття дужок

Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого і отримані добутки додати. При множенні…

.

Ці формули можна застосовувати, читаючи їх як зліва направо, так і навпаки – справа наліво.

54.Перетворити на многочлени стандартного виду наступні вирази:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

● 55.Розкладанням многочлена на множники називається перетворення многочлена в добуток двох або декількох многочленів, серед яких можуть бути й одночлени. Існує чотири основних способи розкладання многочлена на множники.

Перший спосіб. Винесення спільного множника за дужки. Наприклад,

.

Другий спосіб. Спосіб групування, який полягає у поєднанні в групи тих членів, які мають спільні множники, і винесенні за дужки спільного множника кожної з груп. Якщо після такого перетворення виявиться спільний множник у всіх утворених груп, то його виносять за дужки. Наприклад,

.

Третій спосіб. Застосування формул скороченого множення. Наприклад,

.

Четвертий спосіб. Розкладання квадратного тричлена на множники, якщо відомі його корені. Забігаючи наперед, зазначимо, що якщо квадратний тричлен має дійсні корені і , то він може бути розкладений на лінійні множники в такий спосіб: .

56.Розкласти многочлени на множники:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ’ 10) .

● 57.Цілими раціональними виразами називаються всі числові вирази, а також вирази зі змінними, які можуть містити дії додавання, віднімання, піднесення до натурального степеня.

Дробовими раціональними виразами (дробово-раціональними виразами) називаються вирази зі змінними, які містити дії додавання, віднімання, множення, піднесення до натурального степеня і ділення на вирази зі змінними.

 

Раціональним (алгебраїчним) дробом називається вираз , де і - раціональні вирази, причому обов’язково містить змінні.

Скоротити раціональний дріб – це значить поділити чисельник і знаменник дробу на спільний множник. Можливість подібного скорочення обумовлена основною властивістю дробу.

Для того щоб скоротити раціональний дріб, потрібно спробувати розкласти на множники його чисельник і знаменник. Якщо чисельник і знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити. Якщо спільних множників немає, то перетворення дробу за допомогою скорочення неможливо. Наприклад, скоротимо дріб: .

Спільним знаменником двох або декількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник кожного дробу.

Для того щоб кілька раціональних дробів звести до спільного знаменника, необхідно:

1) розкласти знаменник кожного дробу на множники, якщо це можливо;

2) скласти найменший спільний знаменник, включивши до нього як співмножники всі різноманітні множники, отримані в пункті 1); якщо деякий множник є в кількох розкладеннях, то він береться з показником степеня, що дорівнює найбільшому з наявних;

3) визначити додаткові множники для кожного з дробів, для чого спільний знаменник поділити на знаменник кожного дробу;

4) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник.

Сума (різниця) двох раціональних дробів з однаковими знаменниками тотожно дорівнює дробу з тим же знаменником і з чисельником, що дорівнює сумі (різниці) чисельників початкових дробів: .

При додаванні (або відніманні) раціональних дробів з різними знаменниками потрібно звести дроби до спільного знаменника і виконати додавання (або віднімання) дробів із спільним знаменником.
Наприклад, .

Добуток двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник – добутку знаменників дробів, що перемножуються: .Це правило розповсюджується на добуток будь-якого скінченого числа дробів.

 

Частка від ділення двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу і знаменника другого дробу, а знаменник – добутку знаменника першого дробу і чисельника

другого дробу: . Якщо дріб множиться або ділиться не на дріб, а на многочлен , то зазначені вище правила залишаються дійсними, але многочлен необхідно зобразити у вигляді . На практиці при множенні або діленні раціональних дробів звичайно попередньо на множники чисельники і знаменники початкових дробів (якщо це можливо).

58.Скоротіть дробі:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

59.Виконайте дії з раціональними дробами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

60.Спростить вирази:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

До змiсту

Лінійні та зведені до них рівняння та нерівності

1) Що називається рівнянням? 2) Що називається коренем або розв’язком рівняння? 3) Що означає «розв’язати рівняння»?

Квадратні рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних

1) Яке рівняння має назву квадратного? 2) Яке квадратне рівняння називається зведеним? 3) В яких випадках квадратне рівняння називається повним або неповним?

Квадратні нерівності

1) Яка функція називається квадратичною? 2) Яка лінія є графіком квадратичної функції? 3) Як залежить розташування графіка квадратичної функції відносно системи координат від її коефіцієнтів і…

Наближені обчислення.

Абсолютна та відносна похибки

Результати вимірювань, підрахунків та обчислень часто наближено, з деякою точністю характеризують величини. Точні вимірювання неможливі з огляду на… Модуль різниці між точним числом і його наближеним значенням називається… .

Обчислення з наближеними даними.

Розв’язання трикутників

1) . Знайти . 2) . Знайти . 3) . Знайти . 4) . Знайти . 5) . Знайти . 6) . Знайти .

Розділ 2

Функції, їх властивості та графіки

До змiсту

Числова функція. Способи завдання функції

Змінна називається незалежною змінною, або аргументом функції, а змінна - залежною змінною або функцією. Функцію позначають латинськими буквами f, g, h… (або f(x), g(x), h(x)…) або… Областю визначення функції називається множина тих значень, які може приймати незалежна змінна x. Область визначення…

Властивості числових функцій

Функція називається непарною, якщо для будь-якого значення із значення і виконується рівність . Якщо то - функція загального виду. З визначення парних і непарних функцій випливає, що область визначення як парної, так і непарної функції симетрична…

Обернена функція

Наприклад, функція - оборотна, а функція не є оборотною, так як значення вона набуває у двох точках . Якщо функція задана формулою, то для знаходження оберненої функції потрібно… Графіки даної функції і оберненої до даної симетричні відносно прямої .

Перетворення графіків функцій

1) Графік функції дістаємо з графіка «розтягненням»уздовж осі Оу в К разів при К > 1 і «стисненням» уздовж цієї осі в 1/К разів при 0< К… 2) Графік функції дістаємо «стисканням» графіка у разів до осі Он при >1… 3) Графік функції дістаємо паралельним перенесенням графіка функції у від’ємному напрямі осі Ох на одиниць при і у…

Границя функції

 

Основні табличні границі

1);

2) ;

3) ;

4) .

Основні теореми про границі

2) Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) границь цих функцій, при умові, що границі доданків існують   .

Особливі границі

.   132.Використовуючи графіки функцій (рис. 22), з’ясувати:

Неперервність функції

  Рис. 23

Розділ 3

Степені та логарифми

До змiсту

Степінь з довільним раціональним показником

З означення арифметичного кореня -го степеня випливає: 1. Якщо існує, то . 2.

Логарифми та їх властивості

Наприклад, ; ; . Десятковим логарифмом називається логарифм за основою 10 і позначається . Натуральними логарифмами називаються логарифми за основою (число - ірраціональне, ), позначаються .

Властивості логарифмів

1); 2) ;   3) ; 4) ;

Показникова функція та її властивості

Властивості функціїпри : 1) область визначення – уся числова пряма, тобто ; 2) область значень – проміжок , тобто ;

Логарифмічна функція та її властивості

Функція () називається логарифмічною. Таким чином, показникова і логарифмічна функції при тій самій основі є взаємно… Графік функції при виглядає так, як показано на рисунку 29

Степенева функція та її властивості

  ▼ 161. IПригадайте властивості степеневих функцій та їхні графіки IIПеревірте свої відповіді за допомогою наведеної нижче таблиці.

Показникові рівняння та нерівності

Наприклад. Рівняння ; є показниковими. Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння , де . Оскільки множина значень функції - множина додатних чисел, то рівняння :

Логарифмічні рівняння та нерівності

Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд , де . За означенням логарифму випливає, що . Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння такий: , де . Із цього… Найпростішим логарифмічним рівнянням також є рівняння , де . За означенням логарифму маємо:

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

2. М. І. Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загально освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО,… 3. Титаренко О. М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник.… 4. Титаренко О. М. 5770 задач з математики з відповідями. 2-ге вид., випр. – Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005. – 336 с.

Зміст

Передмова …………………………………………………………………………......3

Розділ І. Числові системи та наближені обчислення

§ 1. Натуральні числа ………………………………………………………………...4

§ 2 Звичайні дроби ……………………………………………………………………6

§ 3 Десяткові дроби …………………………………………………………………..7

§ 4 Пропорція ………………………………………………………………………..10

§ 5 Відсотки ………………………………………………………………………….10

§ 6 Додатні і від’ємні числа. Цілі числа. Модуль дійсного числа ……………….12

§ 7 Дії з алгебраїчними виразами …………………………………………………..14

§ 8 Лінійні та зведені до них рівняння та нерівності ……………………………...18

§ 9 Квадратні рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних ......…..………20

§ 10 Квадратні нерівності …………………………………………………………...23

§ 11 Наближені обчислення. Абсолютна та відносна похибки …………………..25

§ 12 Обчислення з наближеними даними. Розв’язання трикутників …………….27

Розділ ІІ Функції, їх властивості та графіки

§ 13 Числова функція. Способи завдання функції ………………………………...28

§ 14 Властивості числових функцій ………………………………………………..33

§ 15 Обернена функція ……………………………………………………………...36

§ 16 Перетворення графіків функцій ………………………………………………38

§ 17 Границя функції ………………………………………………………………..39

§ 18 Неперервність функції …………………………………………………………41

Розділ ІІІ Степені та логарифми

§ 19 Степінь з довільним раціональним показником ……………………………..45

§ 20 Логарифми та їх властивості ………………………………………………….48

§ 21 Показникова функція та її властивості ……………………………………….50

§ 22 Логарифмічна функція та її властивості ……………………………………...52

§ 23 Степенева функція та її властивості ………………………………………….54

§ 24 Показникові рівняння та нерівності …………………………………………..56

§ 25 Логарифмічні рівняння та нерівності ………………………………………...58

Список лiтератури…………………………………………………………………..60