Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром

 

Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить одно в другое. «Внешние» вопросы так же волнуют математиков, как и внутриязыковые проблемы. Можно выделить два направления. Крупный американский математик и логик XX в. X. Карри в связи с этим говорит про две группы коллег: контенси-вистов (от английского «contensive» как перевод с немецкого

________________

¹ Рашевский П.К. Предисловие// Д. Гильберт. Основания геометрии. С. 7.

 

«inhalteich» – содержательный) и формалистов. Согласно первой точке зрения, «математика, – пишет Карри, – имеет определенный предмет, определенное содержание; объекты, фигурирующие в математических утверждениях, считаются в математическом обиходе понятными, – числа, множества, отношения, функции и т.д. – в каком-то смысле существуют, и математические утверждения истинны как раз в той степени, с какой они согласуются с фактами». Наоборот, для сторонников второго направления, названного автором формализмом, «математика характеризуется скорее своим методом, нежели предметом изучения, ее объекты или не определяются, или если и определяются, то таковы, что подлинная их природа несущественна, так что замена одних категорий объектов на другие может и не повлиять на истинность теории»¹.

Налицо не только разграничение линий анализа – семантика (содержательный аспект) и синтаксис (формальный подход), но и явное признание важности исследований проблемы отношения математических объектов к внешнему миру, то есть проблемы важности определения философского статуса объектов математики. Еще более однозначно говорит об этом Д.Н. Хорафас, специалист в области прикладной математики: «В самом широком плане математику можно разделить на две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело с символами, их комбинациями и свойствами в формализованном виде. Математики, ведущие исследования в другой области, интересуются значениями символов, то есть смысловым содержанием теории, связанной с реальным миром»².

Переведя разговор в границы «внешнего» языкового каркаса, обнаруживаем, что исследователей волновал вопрос, обусловлено ли содержание математического знания объективной реальностью или оно возникает независимо от нее. В попытках ответить на это сформировались три точки зрения. Первая считает, что мы предна-ходим математические объекты во внешнем мире, согласно второй точке зрения, мы вносим их в окружающий мир, и третье решение полагает объекты математики отражением некоторых сторон реальности. Первые два подхода определены в литературе как проявления пифагорейского синдрома (Р. Аронов) или эффекта Пигмалиона (М. Розов).

_________________

¹ Карри X. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. С. 27.

² Хорафас Д.Н. Системы и моделирование. М; Мир, 1967. С. 13.

 

Пифагор (VI-V вв. до н.э.) считал, что числа и геометрические фигуры существуют в готовом виде во внешней реальности и мы лишь «пересаживаем» их в человеческие головы. Более того, пифагорейцы уверены, что числа суть вещей, которые состоят из чисел, подобно тому, как вещам присущи вода, воздух, другие качества. Числа – субстанция и первооснова всего окружающего, представляющая заэмпирические корни вещей. Так, единица есть абсолютное, неделимое; два – даль, бесконечность, неопределенность; три – оформление бесконечности, завершенность, самозаключенность. Далее, три – вертикальная координация (небо – земля – подземелье); четыре – горизонтальная координация (четыре стороны света); 1, 2, 3, 4 в сумме составляют 10 – священное число и т.д. Отголоски пифагорейского понимания запечатлены в поэтических формах Велимира Хлебникова, кстати, математика по образованию:

 

Пружины троек видел я и двоек

В железном чучеле миров,

Упругий голос чисел.

 

Хлебников наделяет числа даже способностью чувствовать, страдать. Описывая трагедию Первой мировой войны, поэт пишет:

 

...И покраснел от крови Тисе,

Когда рыдающие числа

Над бедным миром понеслись¹.

 

Когда говорят об эффекте Пигмалиона, внимание переключается уже на познавательный механизм происхождения чисел. Согласно мифу, легендарный скульптор, царь Кипра Пигмалион, изваяв статую девушки, названной им Галатеей, влюбился в нее. Чувство было столь сильным, что Афродита, богиня любви и красоты, одушевила Галатею, которая стала женой Пигмалиона. Имя обрело нарицательный смысл: человек, влюбленный в свое творение. Обращаясь к области математических объектов, обнаруживаем сходную ситуацию: они созданы мыслью, но воспринимаются как реально сущие вне и независимо от мысли. Так, характеризуя уравнения электродинамики Максвелла, Г. Герц пишет: «Трудно отделаться от мысли, что математическим формулам присуща самостоятельная жизнь, что они умнее нас и умнее даже открывшего их, что они дают больше, чем в них было ранее вложено» ².

______________

¹ Хлебников В. Собр. произведений: В 5 т. Л., 1930. Т. 3. С. 95.

² Герц Г. Из предыстории радио. М.; Л., 1948. С. 196.

 

Согласно классификациям, – это идеализм объективного толка, принимающий духовное начало доминирующим над природно-материальным и первичным по отношению к нему. В математике это и реализуется в виде признания ее независимости от окружающего мира, существующей до человека. Как заявляет известный английский математик Г. Харди, «я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас, и наша роль заключается в том, чтобы открывать или наблюдать ее, а теоремы, которые мы доказываем и столь пышно именуем нашими «творениями», в действительности представляют записи наших наблюдений»¹. Аналогично этому и Н. Бурбаки считает, что где-то вне человеческой мысли и продуктов ее деятельности (в ноосфере, космосе и т.п.) существует так называемое «Ядро» математики, и мы, люди, лишь списываем с этого «ядра», как с матрицы, создавая человеческую математику. Притом природа в качестве источника математического знания не рассматривается. И хотя, продолжает Бурбаки, между экспериментальными данными и математическими структурами совсем неожиданным образом была выявлена недавними открытиями современной физики согласованность, нам «совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только подобным словам можно приписать какой-то смысл) и, быть может, мы их никогда не узна-ем»².Таким образом, рассмотренное направление исходит из идеи объективного, дочеловеческого начала математических сущностей. Потому мы и относим его к проявлениям философского объективного идеализма. Подобному пониманию содействует то обстоятельство, что многие природные процессы нам неясны с точки зрения их физических механизмов, но они хорошо описываемы математически. Нам непонятна, например, суть физического фактора тяготения, электромагнетизма и т. п., но мы прочно усвоили соответствующие математические формулы, которыми они представлены. Получается, что природа дана познанию математически наподобие того «ядра», о котором пишет Бурбаки.

Идея автономности математики относительно реального мира развивается и по другой линии, когда это ставится в зависимость лишь от умственных способностей человека и никак не связано с внешней субъекту детерминацией со стороны ли неких идеальных математических образований (пифагорейских чисел и фигур, математического «ядра» и т.п.) или со стороны самой природы. Если в рассмотренном варианте объективного идеализма математические объекты мы пред-

 

¹ Цит. по: Клайн М. Математика – поиск истины. М: Мир, 1988. С. 232.

² Бурбаки Н. Очерки по истории математики. С. 258.

×≠

находим вовне мышления, то сейчас обратимся к концепциям, в которых эти объекты вносятся во внешнюю реальность.

По мнению И. Канта, математические понятия находятся в мышлении человека а priori, то есть до всякого опыта. Однако они оказываются в реальном мире благодаря тому, что рассудок в процессах опытного освоения действительности вносит их в нее. Имеет место, с одной стороны, чувственное созерцание, а с другой – упорядочение результатов последнего рассудочной деятельностью соответственно априорным формам. И хотя математические понятия подтверждаются эмпирически данными фактами, они не вытекают из фактов. Последующее развитие математики показало ошибочность априоризма. Обнаружилось, что понятия математики не универсальны, как полагал Кант, а подвержены изменениям на основе более глубокого понимания природы.

Об этом свидетельствовало прежде всего открытие неэвклидовых геометрий, перечеркнувших идею априорности форм мысли. Затем была опровергнута «абсолютность» правил арифметики. Появление новых алгебр, кватернионной (Гамильтон) и матричной, октонионной (Кэли) поколебало убеждение в универсальности действий арифметики как одном из важных оснований априоризма. Так, например, оказалось, что в квантовой механике закон коммутативности для конъюнкции (a×b = b×а) невыполним: a×b ≠Ь×а, то есть произведения одних и тех же чисел дают неодинаковые результаты. Говорят, что когда В. Гейзенберг узнал об этом, то заявил: «Если такое действительно верно, то это конец квантовой механики». Невыполним также и закон ассоциативности для конъюнкции (a × b) × с = а ×(b × с) И здесь произведение в левой части не тождественно произведению в его правой части.

Поистине произошло рождение не просто странных, необычных вариантов алгебры, но, как ее называет В. Захаров, «потусторонней» алгебры и привлекает для иллюстрации отрывок из «Фауста» В. Гете, где разворачивает свое искусство счисления ведьма.

...Четыре сгладь,

А шесть и пять

За семь считать...

Пусть девять в счет

За раз сойдет,

А десять сгладь¹.

В подлиннике это звучит так:

____________

¹ Захаров БД. Метафизика в науках о природе // Вопросы философии. 1999. №3. С. 106.

 

Aus fünf und sechs,

So sagt die Hex,

Mach sieben und Acht,

So ist Vollbracht;

Und Neuin ist Eins,

Und Zehn ist Keins.

Das ist das Hexen – Einmaleins!¹

 

Не имеем ли мы дело с великим предвидением поэта, сумевшего предугадать развитие науки? Ведь то были годы (1-я треть XIX столетия) новых открытий, годы создания неэвклидовых геометрий, о необычности которых, конечно же шла утечка информации от ученых в культурные слои общества. К тому же, Гете – сам крупный естествоиспытатель, автор многих работ, в том числе «Учения о цвете», «Опыта о метаморфозе растений». Как заметил Д. Гранин, «это у больших писателей принято», то есть принято заглядывать в будущее. Не случайно, что «Фауст» в изобилии насыщен научными мыслями своего времени.

Как видим, со временем априоризм показал неспособность правильно объяснить соотношение математического знания и реальности. Но признание независимости объектов математики от природы получает и другое, неаприористское обоснование. Развивается идея произвольного, ничем не скованного математического творчества, создающего свои объекты. Видный немецкий математик XIX – начала XX в. Р. Дедекинд в философской работе с интересным названием «Was sind und was solen die Zaheln?» (буквально: что есть и что должны числа?) пишет: «Считая числа свободными от всякого иного содержания (абстрагируясь от него), мы можем, очевидно, с полным правом принять их за свободное создание нашего духа (чистый продукт мысли)»². Из подобных заявлений следует, что окружающий мир никоим образом не участвует в формировании математических образов. Идею автономности математики от действительности отстаивает современный американский исследователь М. Стоун. Математическое построение, заявляет он, создается «по своим особым канонам» вне связи с чем-либо внешним, поэтому в качестве научной дисциплины «математика совершенно независима от физического мира»³.

Мы рассмотрели две позиции по вопросу об отношении математических объектов к реальности, две крайности: либо объекты нахо-

____________

¹ Goethes Werke. Bd. 3. Leipzig Kerlag die Literatur Werke Minerva. S. a. S. 84.

² Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат? Казань, 1905. С. 34.

³ Stone M The Revolution in Mathematicals // The American Mathematical Monthly. 1961. Vol. 68. №8. P. 716-717.

 

дятся вне нас как таковые, наподобие вещей, либо мы изобретаем их и вносим в природу. Но есть и третье решение. Оно связано с материалистическим подходом и состоит в следующем. В объективном мире нет готовых чисел, функций и т. п., однако там есть некоторые предпосылки, позволяющие мышлению создавать идеальные образы математики. В свое время еще Аристотель, анализируя идеи пифагорейцев, подчеркивал: в мире находятся не числа, а их прототипы, поэтому не правы те, кто делает из чисел нечто обладающее легкостью или тяжестью, как это свойственно вещам.

Это значит, что математические объекты – не произвольные творения мысли, а результат отображения ею внешних состояний действительности. В этом отношении примечательны рассуждения Д. Гильберта: «Несомненно, что первые и самые старые проблемы каждой математической области знания возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений. При дальнейшем развитии какой-либо математической дисциплины ум... проявляет уже самостоятельность, и сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления...»¹ Если математику брать на малом отрезке эволюции, то возникает иллюзия ее независимости от эмпирии, но, уходя вглубь, к истокам, ее связь с реальностью становится все более значимой. Поэтому хотя при аксиоматических построениях математик выбирает исходные положения свободно, это не означает, что математика в целом, на глубину всех исторических уровней может быть аксиоматизирована. Ее первые шаги неизбежно упираются в практический опыт и детерминированы им. Для последующих этапов эта связь уже явственно не просматривается и остается лишь конечный итог совпадения абстрактных теоретических выводов с практикой жизни. Сколь бы ни были математические объекты отвлеченными, на них все равно лежит печать их «земного» происхождения. Как подчеркивает современный французский математик Пьер Бутру, «если математика почти точно согласуется с эмпирическими условиями, то это результат не ее внутренних свойств, а лишь внешних обстоятельств»².

«Давление» внешних обстоятельств сказывается не только в исходных, но и в конечных точках математического творчества, когда его результаты через сложный ряд опосредовании поступают в распоряжение лиц, непосредственно связанных с применением математики к практическим делам.

______________

¹ Гильберт Д. Математические проблемы. С. 471.

² Цит. по: Математика в современном мире. М.: Знание, 1969. С. 7.