Философия в математике. Констатации и оценки

 

Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.

Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром над входом в его академию было начертано: «Не геометр, да не войдет». В пору Средневековья лидеры господствовавших тогда философских учений нередко решали логико-философские проблемы, тесно увязывая их с проблемами математики. В частности, рассуждая о бесконечности, о сотворении мира.

По мере развития науки область контактов математики и философии все более расширяется, а их взаимный интерес становится глубже и разностороннее.

Известный французский математик XIX в. Л. Пуансо, занявшись исследованиями теории чисел, посчитал необходимым обратиться к философии, поскольку увидел, что эта тема не только пересекается, но тесно связана с философскими проблемами. Проводя, например, анализ алгебры, Пуансо ставит проблему следующим образом. Он считает, что надо выявить «специфические свойства алгебры... чтобы бросить свет на философию науки»¹. Пуансо убежден, что именно философское осмысление математических проблем способно придать им более глубокое понимание. Лишь на этом пути может быть, по его мнению, «выявлена истинная природа алгебры и найдено истинное решение первых основ математики»².

Близкие мысли о взаимных отношениях математики и философии высказывает несколько десятилетий спустя другой видный ученый XIX в., представитель немецкой науки Ф. Клейн, кстати напомнить, зять Гегеля. Клейн писал: «Я принадлежу к тем математикам, которые желают более близкого общения с философскими кругами» ³. И поясняет, почему он придерживается высказанного мнения: «Я глубоко убежден, что есть масса вопросов, которые должны оди-

______________

¹ Пуансо Л. Размышления об основных положениях теории чисел // Сб. научно-популярных ст. по основаниям арифметики (философия числа). Казань, 1906. С. 184.

² Там же. С. 186.

³ Клейн Ф., Гофлер А. Пограничные вопросы математики // Новые идеи в математике. № 8. Математика – философия. 1. СПб., 1914. С. 117.

 

наково занимать как философов, так и математиков»¹. В качестве доказательства своего убеждения Клейн ссылается на факт совпадения интересов схоластов и математиков. Первые решали вопрос о том, как мог Бог создать бесконечный мир в конечное время, измеряемое Библией шестью днями (после которых он день отдыхал), то есть вполне философское занятие. Вторые же (математики) по существу пытались разрешить ту же проблему – существование бесконечного числа точек в пространстве конечного отрезка.

Также и другой немецкий математик, Г. Вейль, много занимавшийся философскими аспектами математики, природой математического мышления, отмечает, что два этих раздела человеческой культуры соприкасаются очень близко. Его поражало, насколько «тесно сплетаются в своих основах математика с общими проблемами познания»².

Чем же именно, если говорить конкретнее, философия становится методологически полезной для математики?

Философия ценна своим умением выделять общее, находить обобщенный взгляд на вещи и явления. Вступив в должность ректора Казанского университета Н. Лобачевский в одном из первых выступлений перед учеными обратился к коллегам (и не только математикам) с просьбой убрать из текстов лекций все частное, мелкое, отвлекающее память. При этом он сослался на роль философии, подчеркнув необходимость философских осмыслений в любой науке. Они должны быть обязательными, ибо без философских обобщений наука мертва, превращается в простое скопище фактов.

Значение философии проявляется и в том, что она, несмотря на склонность к обобщениям и широте подхода, помогает находить верные пути познания мира и способы адекватного выражения его результатов. Характерно в этой связи известное замечание А. Эйнштейна: «Если под философией понимать поиск знания в его наиболее широкой форме, то очевидно ее можно считать матерью всех научных исканий», то есть условием успеха в овладении природой, стратегией научного поиска.

В литературе отмечается и такое важное назначение философии, проявившееся в современных течениях анализа языка. Представители аналитического направления, в частности интересую-

_________

¹ Клейн Ф., Гофлер А. Пограничные вопросы математики // Новые идеи в математике. № 8. Математика – философия. 1. СПб., 1914. С. 117.

² Вейль Г. О философии математики. М.; Л.: ГТТИ, 1934. С. 33.

 

щиеся философскими аспектами языка точной науки, отмечают следующее. По мнению М. Даммита, обратившего внимание на язык физики и математики, «философия может быть принята нами только как то, что дает возможность овладеть ясным видением тех понятий, посредством которых мы думаем о мире, и таким образом достигнуть более точного охватывания того способа, каким мы репрезентируем мир в нашем мышлении» ¹.

Необходимость сотрудничества математики с философией стала острой особенно на современном этапе. Реализуя внутренние потенции, математика ныне поднялась к абстракциям, особенно отрешенным от мира действительности. Конечно, она всегда умела находить аналогии, выявляя сходства часто весьма далеких явлений, наводя между ними перемычки. Но если вначале то были аналогии между утверждениями и доказательствами, позднее – между теориями (за которыми стояли уже более абстрактные объекты, чем констатируемые утверждениями и описываемые доказательствами), то современная математика ставит вопрос о самой природе аналогий. Все это усиливает роль формальных методов исследования, подчеркивает настоятельность развития в математике тех начал, которые, по определению Н. Бурбаки, делают ее «скоплением абстрактных форм».

Тем самым нарастает опасность такого применения приемов формализации, которое односторонне заслонит иные возможности исследований. Здесь стоит напомнить об одном предупреждении И. Лакатоса: «При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой»².

Мы отметили немало фактов позитивного влияния философии на математику, как и событий обратного влияния, хотя и отмеченного здесь в меньшей мере, но достаточно мощного, поскольку математика питает философию явно сильнее, чем это делают другие науки. Такова ее природа. Хотелось бы выделить еще один момент. Принимая роль философии, математики связывали даже надежды в развитии своей науки именно с философией. В этом отношении очень показательно признание Д. Гильберта.

___________

¹ Dummeil V. ТН. Logical Basic of Metaphysics. Cambridge; Massachusetts: Harvard University Press, 1991. P. 1.

² Лакатос И. Доказательство и опровержение. М.: Наука, 1967. С. 7.

 

Приветствуя на II Международном математическом конгрессе А. Пуанкаре, Гильберт произнес: «Какое счастье быть математиком! Повсюду математика разрастается, пуская новые побеги. Все более важное значение получают ее приложения к естествознанию и ее связи с философией, благодаря чему она готовится занять свое прошлое центральное место»¹.

Насколько значимо влияние научных философских идей, настолько же негативно воздействие ошибочных установок философии на творчество ученого. В этом убеждает пример Пуанкаре.

Специалисты считают, что Пуанкаре располагал для создания теории относительности всеми данными (объективными и субъективно-личностными). Он знал преобразования Лоренца, ему были известны релятивистские эффекты кинематики и динамики. Более того, Пуанкаре ввел и сам термин «принцип относительности». Что касается математической основы теории относительности, то Пуанкаре был подготовлен сильнее, чем Эйнштейн. Эйнштейн и сам не раз признавался (конечно, и из присущей ему скромности), что он «плохой математик» и больше доверяет интуиции. Но вот что говорил Гильберт: «Каждый мальчик на улицах Геттингена понимает в математике больше, чем Эйнштейн. Однако творцом теории относительности стал именно Эйнштейн, а не мальчики».

Причина как раз и лежала в философии. Пуанкаре разделял ошибочную доктрину конвенционализма, согласно которой все возможные описания реальности эквивалентны, и мы выбираем по соглашению лишь более удобную. Приведем его рассуждение.

Пуанкаре верно отмечает, что единственная доступная познанию реальность – это отношения между объективно существующими вещами. Прав Пуанкаре и в том, что условие познания состоит в установлении между вещами тех же самых отношений, «как и между моделями, которые мы вынуждены помещать на место последних» (то есть вещей). Но далее он делает заключение, которое полностью выдает его конвенционалистскую установку: «И если эти отношения нам известны, не все ли равно, какою именно моделью покажется нам удобнее заменить ей предшествующую» ² .

Такое признание, по существу уводит Пуанкаре в сторону от тех верных мыслей, которые он высказывает вначале. Смысл его

____________

¹ Гильберт Д. Математические проблемы: Речь на II Международном математическом конгрессе // Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 470-471.

² Пуанкаре А. Наука и гипотеза. СПб., 1906. С. 162.

 

рассуждений становится еще более ясным в контексте следующих признаний ученого на страницах той же работы. «Но может быть, геометрия имеет опытное происхождение? – спрашивает он и отвечает: «Более глубокое обсуждение вопроса показывает, что нет». И далее: «Основные принципы геометрии суть не что иное, как условия»¹. Правда, Пуанкаре добавляет, что они не произвольны. Однако не уточняет, чем же они детерминированы, кроме установки на конвенцию. Геометрия в его понимании – условность, удобство. Поэтому она не физическая наука, а образ ума.

Как замечает де Бройль, эта склонность Пуанкаре к «номиналистскому удобству» и помешала ему сделать верные выводы.

Иную философскую позицию занимал Эйнштейн. Он пишет, что, конечно, геометрия сохраняет характер математической науки. Но одновременно она становится физической наукой, так как ее исходные положения содержат утверждения, относящиеся к объектам природы, справедливость которых может быть доказана только опытом. Как видим, теория относительности явилась не только результатом овладения Эйнштейном специальных знаний, но и продуктом философии. Потому, по мнению М. Борна, эта теория есть «синтез философской глубины, физической интуиции и математического искусства» ².

В контексте обсуждаемой здесь темы стоит заметить, что и сам М. Борн не только придерживался прогрессивных идей в философии, но и разделял убеждения в плодотворности ее влияний на науку, особенно физику, отмечая также и роль философии в понимании математических проблем ³.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Основные определения философии.

2. Задачи мировоззрения и его проявление в математике.

3. Методологическая роль философии для математики.

 

_________

¹ Пуанкаре А. Наука и гипотеза. СПб., 1906. С. 9, 79.

² Борн М. Физика в жизни моего поколения. М.: Иностр. лит., 1963. С. 325.

³ См.: Vogel Н. Physik und Philosophie fur Max Born. Veb Deutschern Verlag der Wissenschaften. Berlin, 1968.