Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Новая Ориентация В Обоснованиях, Впервые Заявившая О Себе В 1...
Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг, чуть ранее Л. Кронекер и др.) в противовес этому исходили из того, что математика не может быть сведена к логике, ибо уходит в структуры мысли глубже ее, логика связана с языком, который, как показали парадоксы, несовершенен. Поэтому математика не нуждается ни в языке, ни в логике, ибо невербали-зуема и, будучи независимой, автономной от языка, опирается на интуицию. Математическое построение должно быть столь непосредственным для разума, а результат ясным, что это не нуждается в логических подпорках.
Как полагает голландский математик Я. Брауэр, считающийся основателем интуиционизма, математические мысли рождаются вне слов, слова используются только для передачи мысли, математическое содержание которой не зависит от словесного одеяния. Мысли нельзя выразить адекватно в языке (даже в математическом языке), поскольку он вносит отклонения от предмета. Еще А. Шо-
пенгауэр говорил: мысль умирает, как только она воплощается в словах. Те же мотивы у нашего поэта Ф. Тютчева:
Другому как понять тебя?
Поймет ли он, чем ты живешь?
Мысль изреченная есть ложь.
Все это и делает правомерным для интуиционистов вывод о независимости математики от языка и логики. Более того, ими высказывается тезис о том, что не математика – часть логики, а, наоборот, логика есть часть математики и была в свое время абстрагирована от последней, именно – от математики конечных множеств. Но забыв об этом, кто-то принял логику за нечто, стоящее над математикой, ей предшествующее, и применил к математике бесконечных множеств. В этом состоял грех теории множеств, за который ее и покарало антиномиями.
Вместе с тем это не означает отрицания роли логики вообще. В ней есть для интуиционизма ценное. Брауэр, например, выделяет интуитивно приемлемые логические принципы, которые можно использовать. Только необходимо проводить анализ границ их применимости (об этом сажем позднее).
Новые установки повлекли пересмотр фундаментальных математических понятий, принципов и методов, затрагивая не только идеи логицизма, но и всей традиционной математики. Прежде всего подвергся критике принцип бесконечности. И это не случайно. «Если пожелать... резюмировать сущность математики в немногих словах, – пишет Г. Вейль, – то можно сказать – это наука о бесконечном». И далее Вейль приводит слова Д. Гильберта, который, имея в виду прежде всего математика, писал: «Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала столь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного, но, с другой стороны, ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие бесконечного»1.
Математическое построение конечно, но не любое построение может быть выполнено фактически, поскольку для его получения надо совершить бесконечное количество шагов. Тем не менее математика свободно оперирует с подобными конструктами. Почему?
______________
1 Вейль Г. О философии математики. С. 90.
Как показал отечественный математик, сторонник конструктивистского течения, А. Марков, математик имеет дело не с самой бесконечностью, но лишь с ее абстракцией, то есть, строя свой объект, он исходит из гипотезы осуществимости таких операций, которые, если бы их провести фактически, затянулись на века. От возможности построения подобных объектов отвлекаются, принимая ее лишь в абстрактном смысле. Это наше действие и опирается на абстракцию осуществимости. Реальное построение бесконечного объекта, с точки зрения интуиционизма, невозможно, но оно кажется осуществимым либо даже осуществлено (если заранее задано).
Наиболее сильным допущением является актуальная осуществимость: объект существует, если мыслим без противоречий. На этом основании и строилась актуальная (то есть осуществленная, заданная всеми своими элементами) бесконечность, например натуральный ряд чисел. Благодаря такой абстракции математики оперируют с бесконечными множествами как с конечными, так сказать, реализуя тезис Файхингера «Philosophie des Als Ob» – «философия как если бы». Так удобно.
Другой представитель отечественного конструктивизма,Н. Шанин, показал гносеологический механизм образования понятия бесконечности. Он поясняет, что, имея набор конструктивных средств построения математических объектов, мы можем допустить, что эти объекты не только осуществимы потенциально, но и построены фактически. Необходимы четыре шага:
1) вводим наряду с реальной, природою данной бесконечностью математическую бесконечность как возможность;
2) мысленно приравниваем воображаемую ситуацию к реальной, при этом рассуждаем об этом воображаемом построении, применяя методы классической логики;
3) полагаем сконструированную нами бесконечность независимой от набора конструктивных операций;
4) принимаем бесконечную совокупность одновременно существующих объектов в качестве не связанных вообще с какими-либо конструктивными операциями даже и своим происхождением1.
«Арифметическая катастрофа» послужила сигналом к пересмотру концепции бесконечности и принципа введения математи-
_____________
1 Шанин H.A. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1962. № 67. С. 287-288.
ческих объектов на основе логического тезиса о непротиворечивости, реализуемого процедурой доказательства от противного. Неудовлетворенность традиционной позицией, на которой базировался логицизм, вызывали три момента.
Невозможность найти в бесконечном множестве заданный элемент именно потому, что число элементов бесконечно. По этому поводу Вейль иронизировал: бесконечное множество не может быть представлено элементами, которые бы расстилались перед нами так, что их остается по очереди перебрать, подобно тому как полицейский чиновник просматривает список задержанных в участке с целью обнаружить в нем лицо того или иного рода. Словом так: сокровище есть, но им невозможно воспользоваться, ибо не знаем, как его обнаружить. Или: у меня есть друг, однако я не знаю, каким образом его отыскать.
Против идеи актуальной бесконечности восставала интуиция. Заданная всеми элементами бесконечность уже не бесконечность. Множество потому и бесконечно, что не закончено, между тем его предлагают завершить, то есть фактически уничтожить и в то же время – сохранить как бесконечное. Это противоречие, ибо натуральный ряд мыслится как неограниченно продолженный.
Вызывало недоумение и то следствие теории, что в случае бесконечных множеств теряла силу аксиома – часть меньше целого. Действительно, если удается каждому элементу класса сопоставить один и только один элемент другого класса, значит, они равно-мощны, эквивалентны. Так, множество целых чисел натурального ряда эквивалентно множеству квадратов этих чисел, то есть часть оказывается равна целому, ибо невозможно указать какое-либо натуральное число, которому мы не могли бы сопоставить квадрат этого числа. Говорят, когда Кантор доказал (после трехлетних усилий) эту теорему о равномощности бесконечных множеств, он воскликнул: «Я вижу это, и я не верю этому».
Эти и другие моменты ставили под сомнение методы теоретико-множественного подхода Г. Кантора, а тем самым и концепцию логицизма. Математический объект принимается существующим, если он мыслим без противоречий, между тем сказанное (логические парадоксы, актуализация бесконечности, вывод о том, что часть равна целому) как раз свидетельствовало о глубине противоречивости в построениях Кантора1.
_______________
1 Имея в виду отмеченные неувязки, интуиционисты назвали канторову теорию множества любопытным «патологическим казусом», от которого грядущие поколения придут, вероятно, в ужас.
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов