Математика и методы схоластики

 

В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы остановиться подробнее на самих методах работы схоластов, чтобы рельефнее оттенить особенности деятельности математиков: специфику их общения с реальностью, способы доказательства, пути обоснования истины.

Религиозная схоластика как разновидность философского мышления сформировалась в Средние века в западноевропейских центрах культуры. Она возникла в лоне теологических исканий и представляет соединение догматических религиозных предпосылок с рационалистическими приемами мыслительной деятельности. Лидеры схоластики ставят целью доказать догматы церковных учений средствами формально-логического аппарата. Этим и предопределяется метод исследования, используемый схоластами, проявляются особенности религиозной схоластики как способа изучения объекта, очень даже напоминающие, порой даже близкие математическому подходу к своему предмету.

Основным и единственным инструментарием схоластических исканий выступают операции чистой мысли, реализуемые в сфере спекулятивных тем, не обремененных связью с вещественным миром, когда материал для рассуждений поставляет не эмпирическая действительность, а тексты святых писаний и авторитеты теологических и философских учений (особенно Платона и Аристотеля).

Важно подчеркнуть, что ориентация на спекулятивные, формально-логические приемы доказательства проистекает не из недостатка эмпирических аргументов, хотя это обстоятельство имело место и также обусловливало характер схоластического подхода. Главное – сама установка отцов схоластики на отказ от внешних мысли аргументов, могущих скомпрометировать сам ход рассуждений, замутить чистоту доказательства.

Примечателен разговор, состоявшийся во дворе одного средневекового монастыря. Спорили два схоласта, как обычно напористо, во всеоружии ученых средств: есть ли у крота глаза? Их диспут услышал садовник, который предложил: «Зачем же спорить, господа? Вы лишь прикажите, и я мигом доставлю вам крота. Вы и уви-

 

дите, есть ли у него глаза». На эту инициативу схоласты ответили единодушным отказом, заявив: «Нет, мы спорим в принципе».

Более того. Схоластическая установка такова, что если даже эмпирический факт вторгается в ткань мыслительных действий, противореча устоявшемуся учению, следует отказаться не от учения, а от факта. Г. Галилей в «Диалоге о двух главнейших системах мира» воспроизводит один эпизод, хорошо раскрывающий схоластическую методологию. Анатом наглядно доказал схоласту, что нервы сходятся в мозгу, а не в сердце, как то написано у Аристотеля. Тем не менее схоласт возразил: «Вы мне показали все так ясно и ощутимо, что если бы текст Аристотеля не говорил обратного – а там прямо сказано, что нервы зарождаются в сердце, – то необходимо было бы признать это истиной»¹.

Ввиду отмеченных особенностей схоластика обычно и оценивается как занятие, оторванное от текущих нужд науки и жизненной практики, уходящее ввысь малопродуктивных дел. Потому сам термин «схоластика» воспринимается нередко как синоним пустого времяпровождения, крайне далекого от запросов науки. Особенно резкими являются оценки, раздаваемые философами-материалистами, сторонниками атеистического направления. К примеру в «Философском энциклопедическом словаре», изданном в нашей стране в 1983 г., подчеркивается: «Утверждая догматическую сумму представлений, схоластика не способствовала развитию естественных наук». И далее: «Гуманисты Возрождения и особенно философы Просвещения в борьбе со средневековыми традициями выступили против схоластики, подчеркивая все мертвое в ней и превратив само слово «схоластика» в бранную кличку бесплодного и бессодержательного умствования, пустой словесной игры» ².

Конечно, подобные упреки не лишены, как мы видели, оснований. Вместе с тем, хотелось бы оттенить и другое – указать на позитивную роль схоластики именно как особого приема исследования, вписав ее установки и рекомендации в традиции научной методологии, сыгравшей свою роль в эволюции познания и особенно в развитии методов математического доказательства.

Схоластика в качестве совокупности формально-логических операций мысли лежит в русле исследований, сознательно укло-

__________________

¹ Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой. М.; Л., 1948. С. 92.

² Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983. С. 667.

 

няющихся от манипуляций с веществом и энергией, от эксперимента, опыта, наблюдений. Это логика и математика.

Принцип дихотомии науки выносит названные дисциплины в разряд формального знания. Напомним. В отличие от фактуального знания (естественные науки, науки об обществе и т.п.), несущего информацию о мире и поддающегося проверке на истинность (как соответствия утверждений тому, о чем они говорят), предложения математики и логики истинны в себе, в силу определенной структуры их высказываний. Они истинны не потому, что в момент написания или произнесения характеризуют некое положение дел во внешнем мире, а в силу согласованности компонентов знаковой формы друг с другом, скажем, тождества левой части математического равенства его правой части.

Особенность математики высказывать истины вне их отношения к конкретной реальности, но истины вообще и дала основание А. Эйнштейну в шутку заметить: математик не знает, о чем он говорит и истинно ли то, что он говорит. Иначе сказать, здесь имеется в виду истинность не в фактуальном, естественно-научном смысле, а истины математические, опирающиеся на иные постулаты, связанные с выявлением абстрактных структур, отличающихся внутренней непротиворечивостью сочетания их элементов. Учитывая это, математику и можно назвать, как замечает Б. Рассел, наукой, провозглашающей «веру в вечную и точную истину, а также в сверхчувственный интеллигибельный мир»¹.

Однако вопрос не просто в том, что математика, соответственно и схоластика, сопряжены с особым видом истины и работают в области замкнутого на себе самом содержании, вне обращения к внешней реальности. Дело в том, что подобное обращение не служит на пользу той и другой дисциплинам, оно мешает им в творческом поиске. Это дает о себе знать, в частности, при аксиоматических построениях, когда совершается прорыв к новым математическим реальностям, к новым концепциям пространства, числовых множеств.

В самом деле, поскольку исходные объекты берутся чисто умозрительно, а связывающие их аксиомы принимаются без ссылок на эмпирию, поступление какой-либо внешней информации невольно ориентировало бы исследователя на учет этого внешнего содержа-

__________________

¹ Рассел Б. История западной философии. М: Иностр. лит., 1959. С. 56.

 

ния, очерченного кругом чувственных данных, что,., безусловно, искажает чистоту мысли.

Достаточно вспомнить предупреждение Д. Гильберта о том, что, вводя в аксиоматику геометрии Эвклида основные понятия «точка», «прямая», «плоскость» и называя их просто «вещи», мы не только ничего не знаем об их свойствах, но и не должны этого знать. Напомним и о попытках соотнести положения неэвклидовой геометрии с реальностью, которые привели К. Гаусса и Н. Лобачевского к выводу о том, что при построении треугольников в масштабах гигантских, выходящих за грань повседневного опыта пространств, отступлений от эвклидовой геометрии не наблюдается. Говоря другими словами, если бы они «прислушались» к голосу разума, опирающегося на эмпирию, он внушил бы, что им не следует развивать никаких иных концепций пространства, кроме учения Эвклида. В том и суть, что оба исследователя игнорировали наблюдательные данные и встали на путь спекулятивных размышлений об окружающем мире. Иначе сказать, мы видим действия, аналогичные тем, что присущи работе схоласта (естественно, учитывая различия в природе самого материала спекулятивных пристрастий).

Итак, нами проводится аналогия в методах, лишь в методах. Но мы и ставили целью настоящего раздела рассмотрение методологического среза религиозной схоластики. Вместе с тем обнаруживается, что и на пути собственно схоластических занятий были получены интересные результаты.

Прежде всего, это касается самой логики. Схоласты не только сохранили античную логическую традицию, но решительно расширили ее область, проложив линии к поздним исследованиям, в частности (через Лейбница) к современной математической логике.

Идеи схоластов оказали влияние на многих ученых-математиков вплоть до начала нашего века (И. Ньютон, И. Кеплер, Г. Кантор и др.). Порой оказывалось, что схоласты и математики бились над одними и теми же проблемами, только что подходили к ним с разных сторон. Например, в решении проблемы бесконечности, вмещаемой в конечных интервалах времени (сотворение Богом бесконечного мира в течение шести дней – у схоластов) и пространства (бесконечность точек на отрезке прямой – в исследованиях математиков).

Стоит особо отметить творчество И. Кеплера, который, будучи по образованию теологом, не только был хорошо знаком с трудами схоластов, но и плодотворно использовал их идеи и методы. Его представления об устройстве планетной системы формировались

 

под влиянием аналогии с концепцией триединства. Божия. Солнце олицетворяло у него Бога Отца, на периферии поверхности сферы, там, где располагаются планеты, разлит Бог Сын, а Бог Дух Святой соответствует лучам, идущим от центра к периферии.

Кеплер использует и другую аналогию. Бог Отец, воплощая Солнце, представляет физический центр, поскольку стягивает планеты в единую систему, математический центр, ибо позволяет точно описывать движение планет, и теологический центр, так как являет собой гармонию мировых сил.

Методы схоластической философии находят разработку и в наши дни, при этом в сочинениях не только теологов. Сошлемся на статью С. Дерюгина и А. Наумова, применивших метод схоластики в решении основного вопроса философии¹. Но особенно примечательно обращение к идеям схоластов ученых, работающих в области точного знания, как это имело место в исследованиях известного отечественного специалиста в области ракетных двигателей Б. Раушенбаха, издавшего также ряд книг по проблемам искусства архитектуры.

Речь идет об использовании математики для, доказательства того, что некоторые идеи религиозной схоластики несут глубокий смысл, заслуживая серьезного внимания. В частности, тот же, не раз затрагиваемый нами догмат о триединстве Божия.

Неоднозначно понимаемый даже среди самих теологов, догмат тем более вызывает, мягко говоря, недоумение со стороны ученого и неученого сообщества. Кажется странным тезис о том, что Бог, хотя и один, но существует в трех лицах. Обращаясь к этому догмату, Б. Раушенбах показывает, что подобное утверждение о триединстве – не парадокс, не абсурд, а вполне допустимая мысленная конструкция, которая оправданна наличием в объективном мире соответствующих моделей².

Примером подобной логико-математической модели может служить, по убеждению Раушенбаха, вектор в трехмерной системе ортогональных (то есть равноправных с сохранением единицы измерения) координат. На этой модели выполняются все основные свойства триединства Божия: триединство, единосущность, нераздельность и неслиянность.

__________________

¹ См.: Дерюгин СВ., Наумов А.Н. Основной вопрос философии: Вариант решения // Философские науки. 1991. № 1.

² Раушенбах Б.В. О логике триединства // Вопросы философии. 1990. № 11. С. 91-102.

 

Действительно, все три составляющих вектора являют нераздельность, которая характерна и для божественной троицы, где действия каждого из трех лиц (Бог Отец, Бог Сын, Бог Дух Святой) исходит не от какого-либо одного представителя, а есть волеизъявление одновременно всех трех. Равно и в случае вектора, где составляющие вектора связаны с ним абсолютно, поскольку выступают его проекциями. Неслиянность троицы предполагает наличие у каждого из трех особых функций, отличных от функций других. Потому и разные к ним обращения верующих в молитвах: Господи ( к Богу Отцу), Владыка (к Богу Сыну) и Святый (к Богу Духу Святому). Равно и разные к ним просьбы. Неслиянность вектора выявляется в том, что если тело движется, скажем, по оси х, то оно не может в то же самое время перемещаться по оспу или z-

Раушенбах приходит к выводу, что божественная троица изоморфна вектору в трехмерном пространстве, который представляет ее непротиворечивую интерпретацию на логико-математической модели.