Обоснование в свете эволюции математики

 

Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категориальный) показывает, что проблема философского обоснования такова, что она постоянно остается проблемой и, очевидно, таковой останется и в дальнейшем.

 

Одной из основных задач философии часто полагают ее устремленность на решение вечных проблем.

Это такие вопросы, которые волновали человечество всегда, поскольку бытие постоянно открыто нашему взору, предъявляя ему все новые горизонты для раздумий и помыслов. Далее, это проблемы, ответ на которые каждый человек ищет для себя сам, раскрывая свою сущность. Как говорится, jeder stirbt für sich allein (каждый умирает в одиночку). Наконец, вечными подобные вопросы становятся потому, что не находят окончательного ответа, ибо его нет. Потому человечество по отношению к подобным темам всегда в пути, в неизменном поиске.

К числу таких вечных проблем, очевидно, относят и задачи философского обоснования математики. В этом смысле, если иметь в виду нашу тему, математика обречена всегда находиться в «кризисной» ситуации.

Но от этих систематических потрясений математика не гибнет. Наоборот. Характеризуя итоги исследований в области обоснования, М. Бунго отметил, что ныне уже никому не следует принимать позу человека, выработавшего «окончательные решения» и разрушившего тем самым все иные концепции. О результатах можно сказать так. Теории обоснования не похожи на здания, развалившиеся при замене фундаментов. Их лучше уподобить растущему организму с частями хрупкими и взаимно друг друга уравновешивающими.

Процесс обоснования — это процесс поиска своего рода «вечной» истины. Он не может иметь окончания, но каждый его шаг обогащает наше понимание, продвигая к более полному знанию. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, – пишет И. Лакатос, – но «хитрость разума» превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики»¹.

Поэтому, решая проблему обоснования, надо учитывать два обстоятельства.

Скорее можно добиться успеха, действуя не раздробленными (тем более находящимися в состоянии конфронтации), а общими усилиями. Обращаясь к этому сюжету, Р. Курант и Г. Роббинс пишут: «Ее (математики. – A.C.) основные и взаимно противоположные элементы – логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность». Но если так, то отсюда следует: «Как бы ни

__________________

¹ Лакатос И. Доказательство и опровержение. С. 80.

 

были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивает жизнеспособность и высокую ценность математической науки»¹.

И второе. Учитывая особенность задач философского обоснования математики, необходимо признать, что «закрыть» эту тему не удастся, потому что систематическое появление различных направлений убеждает в невозможности ни одного из них претендовать на решение, с которым согласились бы все и которое тем самым закрыло бы самое проблему обоснования. Проблема тем и отличается от конкретно-математических, что предполагает и располагает мысль к разнообразию подходов в решении, а это стимулирует переосмысление методов в понимании основ математики, ее предмета.

Отсюда и неизбежность возникновения все новых течений в обосновании. В значительной мере этому служит и то, что сама математика не стоит на месте. Как подчеркивает А.Д. Александров, «строгость математики не абсолютна: она развивается». Поэтому ее «принципы... не застыли раз и навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат предметом научных споров»².

Не исключено появление принципиально иных подходов к обоснованию, таких, которые совершенно меняют ракурс понимания математики. И они наметились.

В частности, рядом математиков и логиков (в их числе И. Лакатос, Л. Кольмар, П. Бернайс) высказывается мысль о том, что математика должна получить объяснение существованию своих объектов из опыта. В связи с этим подвергается критике известная позитивистская (разделяемая не только позитивистами) идея противопоставления логико-математического знания как формального, не несущего информации о мире, фактуальному, то есть естественно-научному знанию, обогащающему нас сведениями о внешней действительности.

Так, например, венгерский математик Л. Кольмар на коллоквиуме в Голландии еще в 1967 г. в докладе «Основания математики. Куда теперь?» говорил: «Я предполагаю, что исследование проблем эмпирического обоснования математики будет одним из основных направлений в будущем, если не основным» ³.

__________________

¹ Курант Р., РоббинсГ. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. С. 19.

² Александров А.Д., Лаврентьев М.А. Математика, ее содержание, методы. М., 1956. С. 7.

³ Цит. по: Вопросы философии. 1969. № 2. С. 161.

 

Интересную идею высказывает В.И. Метлов¹. Он считает, что поскольку традиционно проблема обоснования и проблема развития математического знания обособлены, это ведет к противоречиям.

Оно в том, что, с одной стороны, основания принимаются очевидными, такими, которые сами уже не нуждаются ни в каком обосновании. С другой стороны, предполагается из найденных оснований реконструировать всю науку (или ее фрагмент). Но это ведет к противоречию. Раз основания не нуждаются в обоснованиях, значит, они отличны от обосновываемого знания. Между тем они же должны позволять воспроизводить науку, то есть обладать общими чертами с обосновываемым знанием.

Выход, по мнению В.И. Метлова, – в отказе от идеи элементарности (которая, впрочем, уже показала свою несостоятельность) и осмыслении проблемы с позиции учета субъектно-объектных отношений и активной роли субъекта в познании. Это позволяет связать в одно целое проблемы обоснования математики и ее развития.

Так, фактом создания субъектом всех условий существования и функционирования математической реальности Д. Гильберт мыслил в конечном итоге полностью исключить субъективный элемент, «сведя развитие математики к преобразованиям созданного субъектом объективного уровня»². К. Гедель, продолжает В.И. Метлов, идет еще дальше, показав, что развитие математики осуществляется не только в форме выведения следствий из базисной системы аксиом по строго фиксированным правилам (заслуга логицистов и Гильберта), «но и за счет присоединения новых предложений, которые не могут быть выведены из данной системы аксиом»³. То есть Гедель «снял» разделение Гильбертом знания на математическое – объективное и математическое – субъективное. Развитие математики оказалось, благодаря такому подходу, результатом взаимодействия субъективного и объективного факторов.

Таким образом, учет принципа активности субъекта позволяет провести взгляд на основания как разрешаемое в процессах развития математики противоречие.

Наконец, высказывается и такой взгляд, что основания математики в общем-то не обязательно и осуществлять. Хотя поиск «абсо-

__________________

¹ См. Метлов В.И. Диалектика оснований и развития научного знания // Вопросы философии. 1976. № 1. С. 117-128.

² Метлов В.И. Диалектика оснований и развития научного знания. С. 125.

³ Там же. С. 126.

 

лютной надежности» и был мотивом для некоторых концепций, «но нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенными в непротиворечивости теории или в том, что ее можно вывести с помощью абсолютно определенной интуиции чистого времени? — спрашивает X. Карри. – Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований». X. Карри приходит к выводу, что математике достаточно того, что она находит практическое применение. Ибо «мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно делать полезные предсказания...»¹.

Здесь заканчиваем рассмотрение проблемы обоснования математики. Мы видим, что она касается не только математики. По существу, это имеет общефилософский характер, поскольку разрешается вопрос о соотношении математической и объективной реальностей, о глубинных причинах оправдания допущения математических объектов и высказываний о них.

Именно в силу того, что обсуждаются фундаментальные вопросы науки, концепции обоснования стимулируют развитие математики. Без мировоззренческого осмысления своих понятий и законов никакая область знания не способна успешно идти вперед. Проблема обоснования возникла не в качестве довеска к математике, не в качестве логической роскоши, а потому, что, осознав собственный базис, математика получает мощные дополнительные стимулы эволюции. «Исследование оснований математики оказалось, – подчеркивают А. Френкель и И. Бар-Хиллел, – сверх всяких ожиданий, не только делом, которое следовало предпринять по соображениям интеллектуальной искренности или философской щепетильности, но и чрезвычайно благодарным, волнующим и полезным делом»².

Характерно, что важнейшие результаты в математике связаны с попытками осмыслить начала, на которых она покоится, природу ее объектов и операций. Все это имеет, по существу, философскую значимость. Н.И. Лобачевский делает открытие, размышляя о системе постулатов геометрии. К созданию теории множеств Г. Кантора привело стремление понять природу части и целого бесконечных множеств; с анализом понятия бесконечности связаны и концепции интуиционизма. Результат К. Геделя появился как ответ на безуспешность попыток формализовать всю математику в целом.

__________________

¹ Карри X. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. С. 38-39.

² Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. С. 323.

 

И еще. Интерес математики к себе самой, стимулированный идеями обоснования, стал вместе с тем предметом раздумий о возможностях человеческого разума вообще. Это обусловлено спецификой математического знания, отвлеченного от природы вещей. Но чем сильнее рассуждения уклоняются от чувственной основы реальностей, от прикладных аспектов (свойственных другим наукам), чем более они вводят в сферу чистой математики, тем отчетливее выявляется, на что способен человеческий ум, тем, следовательно, лучше мы познаем разум в его внутренней сущности, ибо математика – одно из высших проявлений потенций человеческой мысли.