Понятие формализации - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Под Формализацией Понимается Специфический Прием Исследования...
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структуры, как связи компонентов содержания). Предполагается, что определенная мысль всегда выражена при помощи одних и тех же знаков, символов, расположенных одним и тем же способом.
Процедура формализации есть установление однозначного соответствия между последовательностью мысли и последовательностью знаков, ее фиксирующих (между логическими операциями в мышлении и манипуляциями с символами), так что, зная только значение каждого символа и их последовательность, мы можем восстановить и самое мысль. Благодаря формализации удается строго фиксировать содержание знаний, выразив его в устойчивой форме.
Формализация сопровождается введением символов (хотя и не сводится только к этому). Формализовать некоторую содержательную область – значит построить искусственный язык, в котором понятия замещены символами, а высказывания – сочетаниями символов (формулами). Создается исчисление, когда из одних знаковых сочетаний по фиксированным правилам можно получить другие.
Алгоритм формализации (мы рассмотрели его в связи с обоснованием математики в гл. VII, § 2) предполагает: задание списка ис-
ходных символов системы и правил их соединения в формулы (правила образования), указание исходных формул (аксиом), а также правил вывода из них остальных формул исчисления (правил преобразования).
Это наиболее последовательная формализация, формализация в узком смысле, которая приводит к исчислению. Притом оно может быть неинтерпретированным и интерпретированным. В последнем случае к правилам образования и преобразования добавляются еще правила интерпретации.
Говорят и о формализации в широком смысле, как символическом языке, но без четко очерченных ограничений в синтаксической структуре. Такому языку не чужды и дедуктивные формы, обслуживающие проведение доказательств и получение следствий. Например, языки физики и химии, использующие для обозначения специальных терминов также и особые знаки (скажем, символы химических элементов, физических констант, операций с ними). Но это скорее символизация, чем формализация.
Образцы формализованных систем, как исчислений, являют логика и математика. Однако общие условия и особенности процесса формализации описывает логика средствами логического синтаксиса и логической семантики (составляющими аппарат металогики).
Выделяя синтаксическую и семантическую стороны исчисления, учитывают в первом лишь отношение знака к знаку, в силу чего формально-логическая система рассматривается как множество формул, взаимосвязанных правилами дедукции или конструкции. Алфавит (список символов) вместе с логическими операциями связи символов образуют морфологию системы. Семантически же выясняется отношение исчисления к содержательным предметным областям как его моделям (интерпретациям). Логическая семантика определяет содержание, могущее быть выраженным исчислением, значение записанных формализованным языком выражений, их истинность (соответствие формул ситуациям во внеязыковой реальности). Система, знаки и формулы которой, будучи поняты как отображения некоторой содержательной области, обретают смысл, называется семантической (интерпретированной) Семантика и занимается общими проблемами отношения исчисления к его интерпретациям.
Но нас интересует роль методов формализации в познании, в частности математическом.
Поскольку формализация сопровождается введением символов, это несет наряду с достижением точности, однозначности мысли
более экономную запись выражений, которые становятся легко обозримыми, а операции с ними – удобными. Экономность математического мышления, замечает профессор Франц Танк, позволяет свести законы в уравнения из нескольких строчек и выразить целый мир в «ореховой скорлупе».
Разумеется, дело не просто в минимизации выражений. Создаются совершенно иные условия для работы. Благодаря связанной с формализацией однозначности в понимании знаков введение символов не оставляет места неопределенности при истолковании значений, присущей естественному языку.
Минимальность и точность знаковых обозначений позволяет реализовать творческие потенции ученого, не могущие полностью раскрыться на уровне словесного оформления мысли и манипуляций понятиями.
Насколько это существенно, говорит пример Б. Паскаля. Отказ от буквенной символики помешал ему, как считают исследователи, создать дифференциальное и интегральное исчисления, хотя он подошел к этому очень близко. Полагают, что его «Трактат о рулетте» является чудом проницательности, связующим звеном между методом исчерпывания Архимеда и дифференциальным исчислением Ньютона. Но Паскаль избегал производить алгебраические операции. Все содержание он выражал словами (как и Архимед). Эта антиалгебраическая установка и отрицание буквенных обозначений и сузили творческие возможности гения Паскаля1.
Переход на язык алгебры не просто несет краткость в записи мысли. Ее язык выводит к новым математическим структурам, поскольку, по определению, алгебра фиксирует отношения, однозначно определяющие 3-й элемент по двум другим. Например, сложение, умножение. Алгебра нивелирует числовые значения (которые конкретны), заменяя их переменными. Это делает хорошо видимыми отношения, которые скрыты, не просматриваются четко при числовом выражении. Скажем, формулы: разность квадратов (a2-b2) и квадрат разности (a-b)2. Но попробуйте столь же зримо увидеть эти отношения в их числовом выражении: (32 – 22 ) и (3-2)2 .
Развитие алгебраической символики стимулировало появление новых разделов математики, таких как формирование математического анализа. Запись многих основных понятий анализа – пере-
_________________
1 См.: Кляус Е.М. Блез Паскаль // У истоков классической науки. М., 1968. С. 316.
менная величина, функция и др. – невозможны без буквенной символики, и в анализе, в частности в дифференциальном и интегральном исчислениях, целиком прибегают к буквенному языку алгебры.
Объектом логической формализации является непосредственно язык науки. Он, представляя материализованное в знаках мышление, обладает известной самостоятельностью (чем и обусловлена возможность его формализации). Однако язык, закрепляя мысль, тем самым несет знания и о реальности, о практических связях, в которые вступает объект познания. Тем самым язык впитывает в себя особенности содержания как мысли, так и предметов мысли. Следовательно, выявляя в процессах формализации структуру мысли, нам удается обнаружить информацию о самом реальном мире.
Боле того, благодаря формализации, оказывается выявленной такая информация, которая не улавливается на уровне содержательного анализа. Ибо там, где выражения естественного языка фиксируют многообразие, различия, формализм находит общие закономерности, выявляет сходства. Формализация не прибавляет к сумме знаний новых сведений, а лишь представляет наличную информацию способом, когда она видна отчетливо.
Это обусловлено именно тем, что форма не нечто внешнее по отношению к содержанию. Как подчеркивал И. Кант, содержание есть со-держание, то есть «совместное держание» (совместное с формой). Форма не проявление голой чувственности бытия вещей, а то, что придает миру осмысленность, то есть содействует выделению в бесконечном необозримом бытии, при первичном его восприятии кажущемся бессмысленным переплетением связей вещей, – выделению, схватыванию смыслов. Благодаря этому содержание и переходит в форму, а форма предъявляет содержание в одной из его возможностей.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Понятие формализации
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов