Принципы построения дедуктивных теорий

 

Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.

Дедуктивный вывод является принудительным, его признание диктуется принятием посылок и их логической структуры. При индуктивном же умозаключении вывод не следует из посылок с такой жесткой однозначностью, его принятие не обязательно и характеризуется лишь вероятностными соображениями. Это первое. Отсюда вытекает, во-вторых, что дедуктивно полученное следствие не нуждается в проверке и подтверждении внелогическими фактами. Его истинность гарантирована самой структурой рассуждения, если оно проведено по правилам логики. Вывод, добытый индуктивным путем, не будучи обязательным, требует эмпирической обоснованности. Наконец, третье. Дедукция есть движение мысли от общего к частному, индукция же развертывается как процесс поиска общего на основе частных посылок.

Вместе с тем надо признать, что в научном поиске дедуктивные и индуктивные процедуры не отгорожены друг от друга, они не просто соседствуют, а дополняют друг друга, вместе решая проблемы. В связи с этим А. Эйнштейн пишет, например, следующее: «...высшим долгом физиков является поиск тех общих элементарных законов, из которых путем чистой дедукции можно получить картину мира». Но «к этим законам ведет не логический путь, а только «основанная на проникновении в суть опыта интуиция»¹. Иначе, если перевести сказанное Эйнштейном в дедуктивно-индуктивный расклад, законы добывают не дедуктивным путем, а на основе индукции.

И математика не составляет исключения. Математическая теория строится как дедуктивная система, утверждения которой выводимы из общих положений, аксиом. Однако самому появлению аксиом их творцы обязаны индукции, мыслительные операции которой и обеспечивают успех созидания. Но сейчас мы рассматриваем математику в ее дедуктивном разрезе.

__________________

¹ Эйнштейн А. Мотивы научного исследования // А. Эйнштейн. Собрание научных трудов: В 4 т. М: Наука, 1967. Т. 4. С. 40.

 

В основе дедуктивных построений лежит аксиоматический метод, с помощью средств которого создаются аксиоматические, дедуктивно организованные теории. Аксиоматические теории предполагают (здесь мы отчасти повторимся – гл. VII, § 2) три составляющие: исходные понятия, или объекты аксиоматизируемой области; исходные утверждения – аксиомы, связывающие исходные объекты; правила вывода, логические операции, обеспечивающие переход от аксиом ко всем допустимым в данной теории утверждениям – теоремам, леммам, следствиям.

Выработаны определенные правила построения и требования, предъявляемые к аксиоматической теории.

Исходные объекты вводятся без определений. Всякая попытка дать определение обременяла бы теорию конкретностью, что является нарушением принципа математического доказательства, которое, по определению, в высшей мере абстрактно и оперирует переменными, самими по себе не имеющими значения. Напомним слова Д. Гильберта, когда он заявляет об исходных объектах геометрии: мы не знаем, что такое «точка», «прямая», плоскость», и знать это незачем. «Обрастание» исходных объектов конкретностью уводило бы математика в сторону исследования именно этой конкретности, превращая поиск в выяснение физических, химических и т. п., но не математических свойств. Кроме того, попытка найти определения исходным объектам неизбежно ведет к регрессу в бесконечность, поскольку определение есть подведение данного объекта под другой, более широкий по объему объект, а этот другой также нуждается в определении через нечто более общее... И так до бесконечности.

Однако, говоря строго, исходные объекты все же не обходятся вовсе без определения. Оно есть, только особого рода. Это не обычные, родовидовые или генетические (через указание способа построения объекта), а так называемые имплицитные, скрытые определения. Они раскрывают содержание объекта в аксиомах, но не прямо, а косвенно.

Аксиомы (от греч. axioma – значимое, достойное уважения, бесспорное) есть основные исходные положения данной теории, которые принимаются в ней без доказательства. Здесь та же ситуация, что и в случае с исходными объектами. Попытка доказательства аксиом неизбежно уводила бы математика к исследованию конкретного состояния дел, то есть в область естествознания, что разрушает принцип собственно математического подхода, описывающего любую реальность (в том числе и ненаблюдаемую) под углом

 

принятой системы аксиом. Иногда говорят о самоочевидности аксиом. Однако есть аксиомы, далеко не самоочевидные и, казалось бы, нуждающиеся в доказательстве. Например, постулат параллельности. Не случайно положено столько сил на его доказательство.

Требования к аксиомам. Практически они становятся требованиями, предъявляемыми к аксиоматическим теориям в целом. Их три: непротиворечивость, независимость и полнота.

Требование непротиворечивости. Оно заложено самой природой формально-логического знания (да и содержательного тоже, поскольку оно подчиняется одному из основных законов логики, называемому законом противоречия, то есть недопущения противоречия – АÙĀ). Это такое свойство системы аксиом, что никакие два принятых исходных положения не должны противоречить одно другому. Отсюда следует, что в пределах данной системы нельзя получить одновременно высказывание а и его отрицание – ā. Подобная система называется противоречивой или несовместной. Противоречивые системы не имеют никакой ценности, ибо в них исчезает различие между истиной и ложью.

Говоря об этом требовании, надо напомнить, что непротиворечивость аксиоматической теории нельзя доказать средствами данной теории, то есть на ее языке. В подобных случаях прибегают к методу интерпретации. Формальная система считается содержательно непротиворечивой, если существует модель, в которой истинны все теоремы данной системы. Если формальная система содержательно непротиворечива, то она непротиворечива и формально (о приеме интерпретации см. § 3 настоящей главы).

Требование независимости. Оно предъявляется как к каждой аксиоме в отдельности, так и в отношении системы в целом и означает, что каждая аксиома не должна являться логическим следствием из множества остальных аксиом данной теории и что ее нельзя доказать с помощью последних. Исключение ее из системы аксиом уменьшает набор теорем (в противном случае аксиома зависима). Независимость аксиомы означает, что эту аксиому можно без противоречия заменить ее отрицанием. Говоря другими словами, аксиома независима только в том случае и только в том, если имеется интерпретация, при которой эта аксиома ложна, а все остальные аксиомы данной теории истинны. То есть для доказательства независимости какой-либо аксиомы достаточно подобрать систему объектов, которая отвечала бы всем аксиомам системы, кроме одной, выделенной, и не удовлетворяла бы этой последней. Можно

 

сказать и так. Доказательство независимости аксиомы осуществимо путем интерпретации системы аксиом, которую получим из рассматриваемой системы после того, как заменили интересующую нас аксиому ее отрицанием¹. Объяснение убедительности этого приема через интерпретацию системы с замененной аксиомой на противоположную состоит в том, что, будь занимающая нас аксиома зависимой, то есть логически выводимой из других, она определенным образом вносила бы «возмущения» в проводимую операцию, изменяя остальные аксиомы и систему в целом. Поскольку этого нет, стало быть, взятая аксиома независима.

Обращаясь к свойству независимости, А. Черч предлагает следующий вариант подхода. По его мнению, аксиома является независимой, если она не представляет собой теорему в полученной путем ее исключения из состава аксиом системе. Равносильно тому аксиома независима в случае наличия теоремы, не поддающейся доказательству при отсутствии рассматриваемой аксиомы.

Логики и математики считают, что независимость сама по себе не обязательное свойство аксиоматических теорий. Она играет только роль свидетельства того, что система исходных положений теории не страдает избыточностью и приносит известные технические удобства. Вместе с тем анализ требования независимости аксиом и процедура доказательства свойства независимости углубляют понимание исследуемой теории. Пример тому – многие ценные результаты, полученные благодаря вниманию, оказанному постулату о параллельных в системе аксиом геометрии Эвклида, по линии решения вопроса о его независимости или зависимости.

Требование полноты. Система аксиом считается полной, если в ней все содержательно-истинные формулы, выраженные языковыми средствами данной системы, выводимы по ее правилам. Вместе с тем имеется и другое понятие полноты. Дедуктивная система является полной, если при включении в число ее аксиом невыводимого в ней утверждения в качестве новой аксиомы теория становится противоречивой. А логическое противоречие делает теорию бесполезной.

Необходимо заметить, что полнота теории не является столь же необходимым требованием, как непротиворечивость. Оно не выступает обязательным условием для всех аксиоматических теорий. Более того, неполные системы оказываются даже практически полезными, поскольку позволяют получать интересные следствия.

__________________

¹ См.: Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1959. С. 14.

 

Третьей составляющей дедуктивных теорий являются правила вывода. Это логические операции, применяя которые, из исходных истинных формул получают все остальные истинные формулы, допустимые в данной теории. Непосредственно в теории они не записываются, просто их выбирают и используют в исчислениях. При аксиоматическом построении чаще фигурируют правило подстановки (о нем говорилось в предыдущем параграфе настоящей главы) и правила заключения, такие как введение и удаление конъюнкции, соответственно – дизъюнкции, импликации, кванторов общности и существования и др. – всего 19 правил¹.

По отношению к формальным системам и более широко к исчислениям применимо говорить о независимости и правил вывода. Правило вывода считается независимым, когда имеется теорема данного исчисления, которая невыводима без применения этого правила.

Были рассмотрены составляющие дедуктивного построения теории математической области. Различают три типа дедуктивных теорий: содержательно-аксиоматическая, формализованная (или формальная) аксиоматика и гипотетико-дедуктивная.

Первый тип организации знания реализуется при построении конкретной математической дисциплины – геометрии, арифметики и т. п. В качестве основы берутся аксиомы, связывающие исходные объекты данной области. Все остальные утверждения получают из аксиом. Подробно структура содержательно-аксиоматического типа рассмотрена в § 2 главы V в связи с проблемой аксиоматизации арифметики.

Вариант формализованной аксиоматики осуществляется путем замены содержательных исходных положений (аксиом) и исходных объектов формулами и символами, в итоге чего и получают систему формализованного языка, как то было сделано Д. Гильбертом. Знаки и формулы этого языка не несут никакого содержательного смысла. Характеризуя подобное построение теории, Д. Гильберт и П. Бернайс пишут: «Аксиоматику в такой усиленной форме, возникающую в результате отвлечения от конкретного содержания и сформулированную в экзистенциальном виде, мы кратко будем называть формачьной аксиоматикой» .

__________________

¹ См.: Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел // Математическая теория логического вывода. М., 1967. С. 99-100.

² Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979. С. 24.

 

При гипотетико-дедуктивном построении области знания в качестве исходных положений принимаются вместо аксиом гипотезы, в роли которых выступают законы данной научной дисциплины. Примером подобной организации может служить механика И. Ньютона. В ее основу им положены три закона – закон инерции, закон пропорциональности силы и ускорения при постоянной массе (F=ma) и закон равенства действия и противодействия.

Особенностью третьего типа дедуктивного построения является то, что здесь более или менее отчетливо просматривается, в отличие от аксиоматик первого и второго типа, эмпирическое происхождение исходных положений – законов, о чем, как мы уже отмечали, и говорил А. Эйнштейн, описывая работу физика в процессе поиска им общих закономерностей. Об апостериорном характере законов Ньютона доказательно высказывается А. Арлычев, противопоставляя по этому вопросу свою позицию априористской точке зрения И. Канта, отстаиваемой А.Ю. Грязновым. В частности, Арлычев подчеркивает: «Законы Ньютона явились результатом стихийного сложного развития апостериорного знания о перемещении не математической точки, а реальных физических объектов...»¹.