Причина неудач - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Выполнение Замысла Логистов Близилось К Концу: Оставалось Лиш...
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств» А. Френкель и И. Бар-Хиллел, «с бесконечными предостережениями и скрупулезностью, применяя причудливый геометрический символизм, определял один арифметический символ за другим и, оперируя по ходу дела этими терминами, доказывал основные арифметические теоремы, связывающие эти термины»1. Программа сведения математики к логике представлялась завершенной, страсти вокруг улеглись, борения закончились.
И всем казалось, что радость будет,
Что в тихой гавани все корабли.
Но вдруг... Молодой английский математик и логик Б. Рассел в самом начале прошлого столетия в письме к Фреге обращает внимание на некорректность использования им основного понятия теории множеств, лежащей в фундаменте арифметики, а следовательно, всей математики. Дело касалось понятия «класс всех классов». Ситуация получила название «Парадокс Рассела». Вообще, парадокс проявился в трех аспектах – как собственно математический, логический и лингвистический.
В математике является признанным тезис о несуществовании наибольшего кардинального числа, то есть самого мощного множества, ибо какое бы наиболее мощное множество мы ни взяли, всегда можно построить еще более мощное. Например, множество
_______________
1 Френкель А., Бар-Хиллел И Основания теории множеств. С. 199-200.
чисел натурального ряда и тождественных ему так называемых счетных множеств (таких, что элементы множества можно расположить в последовательность). Для них более мощным является континуум, то есть множество точек на отрезке прямой (непрерывность), а относительно континуума более мощным выступает множество функций. Вообще, поскольку всегда можно образовать множество всех подмножеств данного множества и, включив его в исходное множество, получим совокупность, мощность которого будет на единицу выше мощности данного множества. Таким образом, существуют все большие трансфинитные множества, потому, как звучит доказанная Г. Кантором теорема, нельзя построить самое мощное множество.
Однако, с другой стороны, интуитивно ясно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, так как оно представляет совокупность всех мыслимых множеств, являясь сверхмощным. Как заметил Рассел, если взять все, то не останется ничего и, следовательно, ничего уже нельзя добавить. Кстати, и сам Кантор, несмотря на доказанное им, пришел к выводу, что должно же существовать трансфинитное число, превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел.
Мы рассмотрели математическое содержание парадокса, выражением противоречия в котором стала логическая антиномия, о чем и заявил Рассел.
Согласно теории множеств Кантора, множество или класс есть совокупность предметов, мыслимых как нечто единое. Затем вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Поскольку само множество — тоже объект (как и его элементы), возникает вопрос, принадлежит ли множество самому себе.
Есть два вида классов: содержащие себя в качестве собственного элемента и не содержащие. К первым относятся, например, понятия «список», «каталог», «классификация» и т. п. («список списков» – также список). Подобные понятия составляют меньшинство, поэтому их называют нестандартными. Обычно же классы не содержат себя в качестве элемента своего класса, не входят в объем собственного множества (стандартные классы). Скажем, элементами множества «студент» являются конкретные студенты, но само-то множество студентом не является, ибо не имеет ни возраста, ни национальности или факультетской принадлежности. Нет студента как такового.
Логически парадокс обнаруживается в том, что неизвестно, куда поместить стандартное множество. В классе, который является собственным элементом, ему не место, поскольку он не входит в свой класс. Но его нельзя включить и в класс, который собственным элементом не является, поскольку он представляет стандартный класс и не должен находиться среди собственных элементов. Формально-логически это выглядит так. Пусть R – семейство тех и только тех множеств X, которые не являются своими элементами и потому удовлетворяют условию XÏX. Таким образом, имеет место эквивалентность XÎR≡XÏX. А теперь проверим R. Подставляя вместо переменной X символ R, получим RÎR≡ RÏR, то есть имеем явное противоречие.
Рассел иллюстрирует этот парадокс примером, который он назвал «парадокс парикмахера». Допустим, в некой деревушке, где имеется лишь единственный парикмахер — мужчина, мэр издал указ: «У парикмахера имеют право бриться те и только те, кто не бреется сам». Спрашивается, может ли парикмахер брить себя? С одной стороны, он не имеет права этого делать, поскольку бреет только других. Но, если он не будет брить себя, то попадет в число тех, кто себя не бреет и, следовательно, согласно указу, получает право на то, чтобы брить сам себя. Имеется и вторая версия этого парадокса. Парикмахер объявил, что бреет всех, кто не бреется сам. При этом он похвалялся, что в парикмахерском деле ему нет равных, но однажды задумался, а должен ли он брить сам себя.
Обнаружив парадокс, Рассел решил, что Кантор, доказывая теорему о несуществовании самого мощного множества, допустил тонкую логическую ошибку. Рассел надеялся преодолеть ее, однако не смог и через 16 лет извинился за то, что не сумел выполнить обещание.
Пытаясь понять причину парадоксов, чтобы в дальнейшем избегать их, Б. Рассел и английский математик А. Уайтхед в совместной книге «Principia mathematica» (1910-1913), пишут: «Анализ парадоксов показывает, что все они имеют источником порочный круг. Этот порочный круг возникает из принятия того, что множество предметов способно содержать элемент, который может быть определен только посредством множества как целого»1. Здесь мы
______________
1 Цит. по: Berka R., Kreiser L, Logik-Texte. Kommentire Auswahe zur Geschichte der modernen Logik. Akademie-Verlag. Berlin, 1971. S. 330.
переходим к лингвистическому аспекту парадокса, то есть к проблеме несовершенства самого языка математики, чем и отличается ее третий кризис.
В науке, в том числе и в математике, часто приходится использовать так называемые непредикативные определения, чем и обусловлено появление порочного круга. Их суть такова.
Непредикативное описание такое, в котором определяемый предмет вводится через множество, к которому данный предмет принадлежит в качестве элемента. Здесь и заключена возможность ошибки, поскольку то, что определяется, принимает участие в определении. Получается логический круг. Отметим, что не все непредикативные определения ошибочны. Многие из непредикативных описаний вполне приемлемы, в том числе и в математике. Например, двойка есть такое число, что, будучи сложено само с собой, дает свой точный квадрат – (2+2=22 ). Однако есть ряд некорректных непредикативных определений, которые ведут к парадоксам. Мы и наблюдаем это в случае определения множества, которое не принадлежит самому себе. Тогда мы сталкиваемся со свойством предикабильности.
Понятия различаются как предикабильные и непредикабиль-ные. Предикабильные – такие, которые фиксируют свойство, относящееся к самому себе. Например, понятия «русский» – русское, «абстрактный» – абстрактно, «двузначный» – двузначно. Другие же понятия, и их большинство, – непредикабильны. Понятие «зеленый» не является зеленым, понятие «человек» не есть человек.
Поставим вопрос. Куда отнести само понятие «непредикабиль-ный»? Возникает парадокс. В классе предикабильных оно непреди-кабильно, а в классе непредикабильных оно предикабильно, ибо здесь оно распространяется на самого себя. Оно непредикабильно, когда находится в классе непредикабильных, значит, оно здесь предикабильно. Но как же оно стало предикабильным, если, по определению, не относится к самому себе?
Парадоксы теории множеств заставили обратить внимание на самые глубинные проблемы математики, на ее основы, затронули математический язык. Опыт же исканий логицистов показал, что хотя попытка оправдания математики логикой в некоторых моментах имеет право на применение, но по своим основаниям является недостаточной и вынуждена выходить за пределы собственно логики, апеллируя к философии и беря ее в союзники. Фактически, сводя математику к логике, логицисты лишь отодвинули проблему.
Теперь она состояла в обосновании возможности существования уже не математических, а логических объектов. То есть в их философском обосновании, к рассмотрению чего мы и переходим.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Причина неудач
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов