Математика – источник представлений и концепций в естествознании

 

Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук.

Это обусловлено все той же особенностью математики, позволяющей ей описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений. И поскольку отношения, вводимые математикой, особые, то ей удается проникать в самые глубокие характеристики мира и разговаривать на языке не просто отношений, а структур, определяемых как инварианты систем. Поэтому, кстати сказать, математики скорее говорят не о законах (раскры-

_____________

¹ Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М., 1980.

 

вающих общие, существенные, повторяющиеся и т. д. связи), а именно о структурах.

Эти глубинные проникновения в природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: «Математика для физики – это не только инструмент, с помощью которого она может количественно описать явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории» ¹. Близкие мысли высказывает известный математик, академик Б. Гнеденко, который отмечая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, и подчеркивал, что математика – определенная концепция природы.

Поскольку привилегия математики – выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально насыщенному) содержанию, она тем самым вырабатывает модели возможных, еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль. В силу указанной особенности математику характеризуют как склад готовых костюмов, пошитых на все живые существа, мыслимые и немыслимые (Р. Фейнман), вообще на все возможные природные ситуации. То есть это своеобразный портной для разнообразных вещественных образований, которые могут быть вписаны в эти готовые одежды. Характеризуя рассматриваемую особенность отношений между математикой и физикой, американский физик-теоретик венгерского происхождения Е. Виг-нер в режиме шутки произнес: «Физики – безответственные люди: они берут готовые математические уравнения и используют их, не зная, верны они или нет».

В свое время И. Кант метко определил: «Математика – наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах»². Если физику, вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Иначе сказать, физик не может строить мир, противоречивый физически (и уж тем более – логиче-

_______________

¹ Дайсон Ф. Математика в физических науках // Математика в современном мире. М., 1967. С. 112.

² Кант И. Соч.: В 6 т. М.: Мысль, 1966. Т. 6. С. 59.

 

ски), математику же разрешены построения, противоречивые физически, лишь бы они не страдали логическими противоречиями. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Это и придает стимул воображению. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку. Стоит заметить лишь, что раскованность и рискованность – преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, если и поскольку он мыслит математически, то есть пытаясь дать, по выражению Г. Вейля, «теоретическое изображение бытия на фоне возможного».

Здесь не должно сложиться впечатления о возможности бескрайней фантазийной деятельности ученого. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это способна определить и узаконить лишь математика, владеющая искусством расчета на основе количественного описания явлений. Другие науки знают лишь, что разрешено, но они не умеют знать той черты, до которой это разрешено, не умеют устанавливать пределов возможного — той количественной меры, определяющей вариантность изменений. Скажем, биолог не располагает сведениями пределов возможного для жизни и познает их в диапазоне лишь наблюдаемого. В этой связи небезынтересно одно замечание по поводу творчества Д. Свифта.

Повествуя в памфлете «Гулливер у великанов» о приключениях героя, автор приписывает существам, среди которых тот оказался, достаточно крупные размеры. Критика проявила интерес, насколько оправданна фантазия писателя: возможно ли нормальное существование подобных великанам людей, то есть выдержат ли кости ног столь габаритные формы и столь внушительный вес? Провели расчеты, оказалось, что кость человека способна удерживать подобных размеров массу тела. Решили, что, очевидно, Свифт либо произвел соответствующие вычисления сам, либо обратился к математикам. Едва ли писатель полностью полагался на интуицию.

Методологическое значение математики для других наук проявляется еще в одном аспекте. Поскольку ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением «наводить мосты над пропастью»,Там, где конкретная наука останавливается

 

(кончается ее компетенция), математика, в силу ее количественного подхода к явлениям, свободно переносит свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы. Видеть «склейки» – так характеризовал эту особенность математического подхода Б. Рассел, и далее, развивая образ, он ставит шутливый вопрос о том, чем отличается состояние абсолютного опьянения от абсолютной трезвости. Пьяный видит одну вещь как две, а трезвый – две вещи как одну. То есть математика представляется наукой абсолютной трезвости.

В оправдание же нашего частого обращения к форме шутки отметим, что большие ученые довольно часто отсылают читателя к шутливым иллюстрациям. Видно, это позволяет легче донести некое содержание читателю. Ю. Шрейдер, кандидат физико-математических и доктор философских наук, вполне оправданно обратил внимание на стиль выражения, который он назвал «принципом сохранения серьезности»: чем серьезнее наука, тем более шутливые примеры она использует. Мы будем подобные повороты мысли, встречающиеся в текстах ученых, вовлекать в наше повествование, чтобы не оказаться... слишком серьезными.

Таковы некоторые методологические уроки, внушаемые математикой. Однако сколь ни эффективна математическая наука, и на нее брошены некоторые тени, а лучше сказать: эти тени – есть продолжение ее достоинств (при неадекватном использовании последних).

Мы говорим, что математический аппарат исследования применим там, где выявлена однородность, точнее сказать, математика и приводит природные образования к однородностям. Но тем самым она лишает мир многообразия и богатства качественных проявлений, ибо счет, по выражению отечественного математика И. Шафаревича, «убивает индивидуальность». Он пишет. Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: «7 предметов». Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков «предметы»¹. То есть счет выравнивает вещи, убирая «персональные» характеристики. Как шутил В. Маяковский, математику все едино: он может складывать окурки и паровозы.

Описывая объект, процесс, математика выявляет какую-то лишь одну (существенную) характеристику и, прослеживая ее вариации, выводит закономерность. Все остальные характеристики

______________

¹ Шафаревич И.Р. Математическое мышление и природа // Вопросы истории и естествознания. 1996. № 1. С. 82.

 

уходят в тень, иначе они будут мешать исследованию. Конечно, эти другие также могут оказаться предметом изучения, но будучи взяты по тому же математическому сценарию: каждый раз только один единственный параметр, одно выделенное свойство в отвлечении от остального разнообразия. Напрашивается аналогия. Ее проводит Ю. Шрейдер, называя математику пародией на природу. И в самом деле, пародия схватывает какую-то одну характеристическую черту пародируемого, за которой уже не видно других особенностей, просто они не важны.

Однако из этого обстоятельства не следуют лишь негативные выводы. Во-первых, математика по-иному работать не может, а во-вторых, в подобном подходе свое преимущество, оно сопряжено, так сказать, с «чистотой» описания: налицо четкая заданность исследования, когда необходимо проследить «поведение» объекта на основе определенного свойства, вычленить линию изменений, тенденцию развития и передать информацию в строгих графиках, схемах, уравнениях.

Собственно, и пародия несет не только функцию карикатурной усмешки. Она улавливает значимые определения изображаемого и, выпячивая их, подчеркивает главное. Автору сего текста довелось как-то слушать признания поэта Е. Евтушенко. Выступая в 60-х гг. в Томске, он сразу предупредил, что читать стихи не будет (и не просите), а будет отвечать на вопросы. Среди них был такой: «Как Вы относитесь к пародиям на себя?» А что, ответил он, пародия – это хорошо, потому что пародировать можно лишь по-настоящему самобытного поэта, не безликого, но имеющего собственный голос, узнаваемый в массе голосов... По правде говоря, таких поэтов, на которых можно написать хорошую пародию, мало. Потому, как правило, пародии делаются не на стиль, а просто замечают неудачный оборот или сюжет стихотворения и потешаются над ними.

В этой связи вспоминается одно несколько парадоксальное замечание Д. Гранина в романе «Зубр». Характеризуя своего героя биолога Тимофеева-Ресовского (прозванного Зубром), писатель бросает фразу: «Что это за человек, если ему нельзя дать прозвища?»

Возвращаясь к математике, отметим еще одну ее особенность, также имеющую следствием нежелательные моменты. Дело касается математической точности. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки-символы, обозначающие объекты и операции математики. Здесь символы жестко

 

привязаны к значениям, не допуская разночтений, интерпретаций и объяснений, что имеет место относительно знаков других наук.

Таким образом, математические тексты обладают исключительной точностью, недостигаемой другими науками, поскольку у них другие задачи. Вместе с тем именно эта последовательно реализуемая точность может оборачиваться для науки, применяющей математический аппарат (быть может, и для самой математики), известными утратами.

Математическая точность в описании реальности задает логически жесткий ход мысли, который оставляет очень узкий коридор поиску. Оценивая познавательную ситуацию в естествознании и, очевидно, обобщая опыт собственных исканий, известный отечественный физик нашего времени Л. Мандельштам пишет: «Если бы науку с самого начала развивали такие строгие и тонкие умы, которыми обладают некоторые современные математики, которых я очень уважаю, точность не позволила бы двигаться вперед» ¹. Как тут не вспомнить Гегеля, который в свое время обронил афоризм: «Математика наука точная, потому что она наука тощая». Тощая в том отношении, что лишает полноты восприятия мира, разрешая мысли двигаться по крайне тонкой тропе в неизведанное.

Используя математические методы исследования, вовлекая их в познавательный поиск, науки должны учитывать возможности математики, считаясь с границами ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации. Как замечает Г. Вейль, математика – это мясорубка. И если ее засыплешь лебедой, то и на выходе получишь ту же лебеду, только что мелко изрубленную. Надо полагать, осознание границ точных количественных методов и отсутствие универсальных (пригодных для всех наук) методов заставило обратиться к разработке в общем-то тоже научных, но неколичественных способов анализа. В частности, А. Заде развивает идею нечетких множеств и на этой основе – особых методов исследования. Вообще, Заде исходит из того, что количественный анализ оказывается непригодным для описания сложных систем (гуманистических и сравнимых с ними). Действует так называемый принцип несовместимости: чем сложнее система, тем менее мы способны сделать точные и практически значимые выводы о ее поведении (чем глубже анализируем

______________________

¹ Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. С. 51.

 

задачу, тем неопределеннее ее решение). Но часто высокая точность и не нужна, вполне достаточна приближенная характеристика.

Новый подход опирается на практику мышления, которое оперирует элементами «нечетких множеств», где, например, переход от «принадлежности классу» к «непринадлежности» ему не скачкообразен. Можно предположить, что в основе такого мышления лежит не двузначная логика, а логика с «нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода».

Базируясь на допущении нечеткости и частичной истины, Заде и предлагает особый логический аппарат. Он включает: 1) «лингвистические переменные» (вместо числовых или в дополнение к ним), в качестве которых функционируют слова естественного языка; 2) нечеткие высказывания, описывающие отношения между переменными, например: «если х мало, то у очень велико», «если х не мало и не велико, то у не очень велико»; 3) нечеткие алгоритмы, описывающие сложные отношения. К примеру, «если у велико, то немного уменьшить х», «если у не очень велико и не очень мало, то очень не намного уменьшить х».

Все это позволяет дать эффективные способы приближенного описания сложных систем там, где точные определения невозможны. Метод является более гибким, собственно, даже – при объяснении указанного плана явлений – единственно возможным, поскольку количественная характеристика оказывается здесь непродуктивной.

Одним словом, заключая главу «Математика в системе наук», подчеркнем важную роль этой науки как языка, арсенала особых методов исследования, источника представлений и концепций в естествознании. Вместе с тем следует отдавать себе отчет в том, что математика не всесильна и что ее особое место, которое ей обеспечено в системе наук, не означает ее исключительности. Выделять математику в человеческом мышлении – все равно, пишет в связи с этим англо-американский математик и логик конца XIX – середины XX столетия А. Уайтхед, что вместо Гамлета выдвигать на первое место в трагедии Шекспира Офелию. «Офелия, – продолжает он, – бесспорно очаровательна и немного безумна, но Гамлет – все же центральный персонаж»¹

_______________

¹ Цит. по: Клайн М. Математика – поиск истины. М.: Мир, 1988. С. 167.