ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ. БАЗИС. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ
Пусть Заданы Векторы ...
Пусть заданы векторы и числа . Выражение называется линейной комбинацией векторов. Очевидно, что линейная комбинация векторов является вектором. Рассмотрим особый случай, когда
. (37)
Если равенство (37) возможно только при всех , равных нулю, то векторы называются линейно-независимыми. Если же это равенство справедливо не при всех , где , то векторы называются линейно-зависимыми.
Пусть линейно-зависимы. Тогда среди найдется хотя бы одно не равное нулю число. Пусть . Разделив обе части равенства (37) на , получим
,
где .
Выражение , является линейной комбинацией векторов . Итак, если векторы линейно-зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
Справедливо и обратное утверждение: если хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов, то вся группа векторов линейно-зависима. Пусть, например,
.
Тогда и коэффициент при отличен от нуля. Это означает, что вектора линейно-зависимы. Примерами линейно-зависимых векторов являются любые два вектора прямой; любые три вектора плоскости; любые четыре вектора пространства (рис. 15-17).
В то же время два неколлинеарных вектора плоскости (рис.16) или три некомпланарных вектора пространства (рис.17) являются примерами линейно-независимых векторов.
Любая группа, составленная из максимального числа линейно-независимых векторов некоторого пространства , называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется размерностью пространства. Так, базисом на прямой (пространства ) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на плоскости (пространства ) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. Базисом в объемном пространстве (пространство ) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.
Пусть векторы образуют базис пространства . Тогда любой вектор этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, т.е.
. (38)
Представление вектора в форме (38) называется разложением этого вектора по базисным векторам.
Числа разложения называются координатами векторапо базису . Этот факт записывается в виде .
Векторы , образующие базис, имеют общее начало 0 и вектор , где - некоторая точка пространства, то числа называют также координатами этой точки. Этот факт записывают в виде .
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ. БАЗИС.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
.
ОПРЕДЕ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):
МЕТОДОМ ГАУССА.
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:
(27)
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
ложение векторов.
II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение.
Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл
Окружность.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:
ГИПЕРБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных
ПАРАБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ
Поверхности второго порядка.
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:
Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли
Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р
и числа 
. Выражение 
называется линейной комбинацией векторов 
. (37)
, где 
, то векторы называются линейно-зависимыми.
найдется хотя бы одно не равное нулю число. Пусть 
. Разделив обе части равенства (37) на 
, получим
,
.
, является линейной комбинацией векторов 
.
и коэффициент при 
отличен от нуля. Это означает, что вектора 
, называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется размерностью пространства. Так, базисом на прямой (пространства 
) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на плоскости (пространства 
) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. Базисом в объемном пространстве (пространство 
) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.
образуют базис пространства 
этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, т.е.
. (38)
разложения называются координатами вектора 
.
, образующие базис, имеют общее начало 0 и вектор 
, где 
- некоторая точка пространства, то числа 
.
Новости и инфо для студентов